江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考 数学(理数)卷(含答案)
2020届江西省高三上学期第二次大联考数学(理)试题
2020届江西省高三上学期第二次大联考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，则AB =（ ）A ．{}1,1,3-B ．{}1,1-C ．{}5,3,1,1,3---D ．{}3,1,1-- 2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -3．已知函数()()21log ,04,0x f x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则()2f -=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24．若1a =，2b =，则a b +的取值范围是（ ）A ．[]1,9B ．()1,9C ．[]1,3D ．()1,35．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777D ．50100200,,777 6．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则(π)f =（ ）A ．13B ．13- C ．3 D ．3- 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4π3C ．3D ．3 8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<9．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件；③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ）A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2]11．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A． B ．84π C ．252π D ．126π12．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.14．若函数22()21x ax f x x =++为奇函数，则a =_______. 15．记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则57a b =______. 16．已知函数()()()224f x x x ax b =-++的图象关于1x =对称，记函数()f x 的所有极值点之和与积分别为m ，n ，则()f m n +=______.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求C 的取值范围；（2）若cos C =，求c a 的值. 18．已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG .（2）求二面角A BF D --的正弦值．20．已知函数()1sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()223g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.21．已知函数()e 2x f x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．22．已知函数()252ln f x x x x =-+.（1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：313x x -<.参考答案1．A【解析】【分析】化简集合A ，按照交集定义，即可求解.【详解】因为{}5|3A x x =-≤≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，所以{}1,1,3A B ⋂=-.故选;A.【点睛】本题考查集合的运算，要注意集合元素表示的意义，属于基础题.2．B【解析】【分析】由题意得,13i 23i z =+,求解即可. 【详解】因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 3932i 23i (23i)(23i)49z -+====+++-+. 故选:B .【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.3．A【解析】【分析】根据解析式特征，将自变量2-转化为2，即可得出结论.【详解】由题意可得()()2122log 12f f ⎛⎫-===-⎪⎝⎭. 故选:A.本题考查分段函数求函数值，理解解析式是解题的关键，属于基础题.4．C【解析】【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，由向量数量积运算律将2a b +表示为cos θ关系式，利用cos θ有界性，即可求解. 【详解】设向量a ，b 的夹角为θ，因为1a =，2b =， ()[]222254cos 1,9a b a a b b θ+=+⋅+=+∈，则()[]21,3a b a b +=+∈. 故选:C.【点睛】 本题考查向量模长取值范围，考查向量的数量积运算，属于基础题.5．D【解析】【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D .【点睛】 本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6．B【分析】结合图象,可求出,T ω的值,由π123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,可求得sin A ϕ的值,再由(π)sin f A ϕ=可求出答案.【详解】 由图象知，5π3ππ4884T =-=，即2ππT ω==，则2ω=±，从而()sin(2)f x A x ϕ=±+. 因为πsin(π)2f A ϕ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭13=,所以1sin 3A ϕ=-,则1(π)sin(2π)sin 3f A A ϕϕ=±+==-. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数求值,考查三角函数的图象性质的应用,考查学生的推理能力与运算求解能力,属于中档题.7．D【解析】【分析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积1114π23V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积21442V =⨯⨯=故该几何体的体积123V V V =+=+. 故选:D .【点睛】 本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.8．A【解析】【分析】 利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出1.180.3log 0.2log 42、、的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在0,上是减函数. 因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=，1.122>， 所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<. 故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.9．C【解析】【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos 2B <,即充分性成立;必要性:ABC 中,0180B ︒︒<<,若cos B <结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.11．C 【解析】 【分析】先确定球心位置，球心为过ABE ∆的中心1O 且垂直于平面ABE 的直线，与过矩形BCDE 的中心2O 且垂直于平面BCDE 的直线的交点，由已知通过解直角三角形，求出外接球的半径，即可求解. 【详解】设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ， 过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ， 过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O ， 即几何体ABCDE 外接球的球心..取BE 的中点F ， 连接1O F ，2O F ，由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒.连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =.连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径.又16O A =，则22211273663OA OO O A =+=+=，故所得几何体外接球的表面积等于252π. 故选:C.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，应用球的几何性质确定球心是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)x g x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可.【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>. 设ln ()(0)x h x x x =>,则21ln ()(0)xh x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减, 从而max 1()(e)e h x h ==，故1em >. 故选:A. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 13．3 【解析】 【分析】作出可行域,可得当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,z 取得最大值,求解即可. 【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020x y x y --=⎧⎨+-=⎩,可求得点()1,1A ,当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,max 1213z =+⨯=. 故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题. 14．-2 【解析】 【分析】由()f x 是定义在R 上的奇函数,可知对任意的x ,()()f x f x -=-都成立,代入函数式可求得a 的值. 【详解】由题意,()f x 的定义域为R ,222()12121x x ax a f x x x ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭, ()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-,即对任意的x ,()22112121x x a a x x -⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭都成立,故112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭,整理得20a +=,解得2a =-. 故答案为:2-. 【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 15．85【解析】 【分析】根据题意设()35n S kn n =+，()7n T kn n =+，利用等差数列的性质(若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+)可得959S a =，13713Tb =，从而求得比值. 【详解】因为357n n S n T n +=+，所以可设()35n S kn n =+，()7n T kn n =+， 912959S a a a a =+++=，95329S a k ∴==， 131213713S b b b a =+++=，1372013T b k ∴==，故5785a b =.故答案为：85【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 16．15- 【解析】 【分析】根据()f x 图象关于1x =对称必要条件，有()()()()0224f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，求出,a b ，并验证函数关于1x =对称，求出()f x '，进而求出极值点，即可得出结论.【详解】因为()f x 的图象关于1x =对称，所以()()()()0224f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 即()()()0401641640b a b ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得40a b =-⎧⎨=⎩，所以()()()2244f x x xx =--，此时()222[(2)4)[])4(2)(2f x x x x -----=-22(4)(4)(),()x x x f x f x =--=∴关于直线1x =对称，()2232'2(4)(4)(24)412816f x x x x x x x x x =-+--=--+()()32224[()2(2)]4124x x x x x x x =--+-=---.令()'0f x =，得1x =或2240x x --=， 从而123m =+=，()144n =⨯-=-， 故()()13515f m n f +=-=-⨯=-. 故答案为:15-. 【点睛】本题考查函数的对称性求参数，要注意必要条件应用，减少计算量，但要验证，考查函数的极值，以及根与系数的关系的运用，属于中档题.17．（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）3【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件等式中的角化为边，再由余弦定理和基本不等式，求出cos C 的范围，即可得出结论；（2）根据所求为,c a 比值，利用（1）中边的关系，将b 用,a c 表示，由已知结合余弦定理，得到,a c 齐次关系式，即可求解. 【详解】（1）因为()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-，所以()()22a b c a b c c ab -+--=-，整理得2222a b c +=，即2221122c a b =+. 由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=，则2211122cos 222a bab C ab ab +=≥=， 因为0C π<<，所以C 的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由（1）可得2222b c a =-，即b =，则2222cos 23a b c C ab +-===，整理得4224384c a c a =-，即()()22223220c a ca --=，则c a =c a=因为22220b c a =->，所以2212c a >，则c a. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意基本不等式在解题的运用，属于中档题.18．（1）见解析；（2）()()21log 12n n n S n +=++【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，将已知递推公式整理为2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的结构形式，即可得证； （2）由（1）求出数列{}n a 的通项公式，进而求出{}n b 的通项公式，并根据其通项特征，即可求出前n 项和.【详解】（1）证明：因为11221n n n na a n +++=+，所以()11122n n n n a na +++=+，所以()111122n n n nn a na -++=+，所以()111122n nn nn a na +++-=.因为14a =，所以122a =. 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列. （2）解：由（1）可知12n n na n =+，则12nn n a n+=⋅. 因为2log n n b a =，所以2222111log 2log log 2log n n n n n n b n n n n +++⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭， 则123n nS b b b b =+++⋅⋅⋅+()2222341log 21log 2log 3log 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222341log 2log log log 12323n n n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()21log 12n n n +=++.【点睛】本题考查用定义证明等差数列，以及求数列的前n 项和，合理利用辅助数列是解题的关键，属于中档题.19．（1）见解析；（2）sin 35θ= 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF 和DBF的法向量,m n ,然后由cos ,||||m nm n m n ⋅〈〉=,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =, 因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD ︒∠=,所以(0,(1,0,0),(1,0,0),((1,0,2)A B E DF ---,则(1,3,0),(2,0,2),(3,AB BF BD ==-=-,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =,则11110220m AB x m BF x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取11y =-,则(3,m =-,设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =,则222230220n BD x n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取21x =,则(1,3,1)n =,故cos ,35||||7m n m n m n ⋅〈〉===⨯.记二面角A BF D --的大小为θ,故sin 35θ==.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题. 20．（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）[]1,3- 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入()f x ，用待定系数法求出参数,a b ，再由辅助角公式求出()f x ； （2）求出()f x 在[]0,π的值域，所求的问题等价为()f x 在[]0,π的值域，是()g x 在[]2,m -值域的子集，根据二次函数图像和性质求出()g x 在[]2,m -的最值，即可求解. 【详解】（1）因为()01f =-，13f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以()1012111322f a f b a π⎧==-⎪⎪⎨⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1a =，2b =.()13sin cos 2222f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]1,2f x ∈-. ()g x 的图象的对称轴是1x =.①当21m -<<时，()()2min 3g x g m m m ==--，()()max 25g x g m =-=+，则2213152m m m m -<<⎧⎪--≤-⎨⎪+≥⎩，解得11m -≤<，符合题意； ②当14m ≤≤时，()()min 14g x g m ==-，()()max 25g x g m =-=+，则144152m m m ≤≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得13m ≤≤，符合题意； ③当4m >时，()()min 14g x g m ==-，()()2max 3g x g m m m ==--， 则244132m m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪--≥⎩，不等式组无解. 综上，m 的取值范围是[]1,3-. 【点睛】本题考查三角恒等变换化简函数式，考查正弦函数的性质，解题的关键是“任意”“存在”的等式关系等价转化为函数值域关系，属于中档题.21．（1）y x =-；（2）[2,)+∞ 【解析】 【分析】（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ②当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2xf x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题. 22．（1）极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；()f x 的极小值为()262ln 2f =-+；（2）见解析【解析】 【分析】（1）求导求出()f x '，求出单调区间，进而求出极值；（2）由（1）1231022x x x <<<<<，结合极值点考虑111,22x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭与2x 的大小关系，()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，只需比较1(1)f x -与2()f x 大小关系，而21()()f x f x =，转化为比较1(1)f x -与1()f x 比较大小，构造函数()()()11,0,2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，1()02F =，通过求导求出1(),(0,)2F x x ∈的单调性，即可得出12,x x 的不等量关系，同理构造函数()()(),1,224x G x f x f x ⎪=∈-⎛⎫⎝⎭-，得出23,x x 的不等量关系，即可证明结论.【详解】 （1）解：因为()252ln f x x x x =-+，所以()()()()2122'250x x f x x x x x--=-+=>， 所以当()10,2,2x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0f x <， 则()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故()f x 的极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； ()f x 的极小值为()262ln 2f =-+.（2）证明：由（1）知1231022x x x <<<<<. 设函数()()()1F x f x f x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()'''1F x f x f x =+-()()()()()()221221122111x x x x x x x x x ---+-=+=--，则()'0F x >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()102F x F ⎛⎫<=⎪⎝⎭，即()()1f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立. 因为110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()2111f x f x f x =<-. 因为211,1,22x x ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以211x x >-，即121x x +>.① 设函数()()()4G x f x f x =--，1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()()()'''4G x f x f x =+-()()()()()()22122722244x x x x x x x x x -----=+=--，则()'0G x >在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即()G x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故()()20G x G <=，即()()4f x f x <-在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立. 因为21,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()()()3224f x f x f x =<-. 因为3x ，()242,x -∈+∞，且()f x 在()2,+∞上单调递增， 所以324x x <-，即234x x +<.② 结合①②，可得313x x -<. 【点睛】本题考查导数是综合应用，涉及到单调性、极值、最值、证明不等式，构造函数是解题的关键点和难点，属于较难题.。
2020届江西省名校联盟高三第二次联考数学(理)试卷
2020届江西省名校联盟高三第二次联考理科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|560},{|5},A x x x B x x =--≤=<则A B =（ ）A. [1,5)-B. ∞（－,6]C.[1,6]－D.∞（－,5) 2．已知复数312a ii-+在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围为（ ） A.6a < B.32a >- C.32a <- D.6a >3．已知函数31221,1()3log ,1xx f x x x -⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，则((4))f f =（ ）A.3B.4C.5D.144．已知二项式51()ax x-的展开式中含x 的项的系数为270，则实数a =（ ）A.3B.－3C.2D.－25．某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”,推进了人才引入落户政策，随着人口增多,对住房要求也随之而来,而选择购买商品房时,住户对商品房的户型结构越来越重视,因此某商品房调查机构随机抽取n 名市民,针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户,所占比例为13,二居室住户占16，如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中,抽取10%的调查结果绘制成的统计图,则下列说法正确的是（ ） A. 样本容量为70B. 样本中三居室住户共抽取了25户C. 根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D. 样本中对三居室满意的有15户6．函数()3sin 2cos 2(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法不正确的是（ ）A.函数()12y f x π=+是奇函数 B.函数()f x 的图象关于直线56x π=对称 C.在原点左侧，函数()f x 的图象离原点最近的一个对称中心为5(,0)12π- D.函数()f x 在[,]62ππ-上单调递增 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.213π+ B.123π+C.213π+D.21π+8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”，该问题可用如图所示的程序框图来求解，则输入的x 的值为（ ）A.34 B.78 C.1516D.4 9．已知5sin 26cos()0,(0,),2παπαα+-=∈则2cos ()24απ+=（ ） A.45 B.15－ C. 35D.1510．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别为12F F ，，直线:l y kx =与C 交于,A B 两点，若123||||2AB F F =， 则k =（ ）A.1B. －1C.±1D.311．如图，正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，线段1DD 上有两动点E ，F ，且=2EF .点M N 、分别在棱1111C D B C 、上运动，且2MN =，若线段MN 的中点为P ，则四面体B EFP —的体积最大值为（ ）A. 5B. 4C.43D. 53212．若存在斜率为3(0)a a >的直线l 与曲线21()222f x x ax b =+-与2()3ln g x a x =都相切，则实数b 的取值范围为（ ）A.233)4e ∞（-, B.234(,]3e -∞ C.343[,)2e +∞ D.342[,)3e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省重点中学协作体高三第二次联考理科数学试题参考答案
江西省重点中学协作体高三第二次联考理科数学试题&参考答案考时：120分 全卷满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集，集合，集合，则=（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D .4. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且满足，，则（ ） A ．－1 B ．C ．1 D5.将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后2(1)1i z i+=-i U R =2{|560}A x x x =--≤2{|log (3)1}B x x =-≤()U A C B [1,3](5,6]-[1,3)(5,6]-(5,6]∅1y x =tan y x =1lg 1x y x+=-2x y ={}n a {}n b 20172018a a π+=2204b =24033139tana ab b +=2x y cos =再将所得图象向左平移个单位长度，则最后所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D.6. 若双曲线的渐近线将圆平分，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．7．如图,一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为,则圆锥底面圆的半径等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9. 给出下列四个命题： ①若样本数据的方差为16，则数据的方差为64；②“平面向量夹角为锐角，则＞0”的逆命题为真命题；③命题“，均有”的否定是“，使得≤”；4πcos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 2y x =x y 2sin -=22221(0,0)x y a b a b-=>>222440x y x y +--+=35323m P P 33m 1m 32m 43m 2m 0x =x 3478151641210,,,x x x 121021,21,,21x x x ---,a b a b ⋅(,0)x ∀∈-∞1x e x >+0(,0)x ∃∈-∞0xe 01x +④是直线与直线平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.11．记“点满足（）”为事件，记“满足”为事件，若，则实数的最大值为（ ） A ． B ． C ．1 D ．1312．定义在上的函数满足,，其中是函数的导函数，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ） A ． （） B ． （）C ． （）D ． （） 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）1a =-10x ay -+=210x a y +-=28π32π112π336π(,)M x y 22x y a +≤0a >A (,)M x y 105240220x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩B (|)1P B A =a 1245[0,)+∞()f x 2()()xxf x f x e '+=1()222f e=)(x f '()f x a b 22211(sin )64abf a e b θ≤++θ7[2,2]66k k ππππ-+k Z ∈5[2,2][2,2]66k k k k πππππππ+++k Z ∈[2,2]62k k ππππ++k Z ∈5[2,2]66k k ππππ++k Z ∈本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．13.设，则的展开式中的常数项为 . 14．在边长为1的正三角形中，设，，则__________．15．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则__________． 16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量，，设函数，若函数的图象关于直线对称且．(Ⅰ) 求函数的单调递减区间；(Ⅱ) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，求的最大值．121(3sin )m x x dx -=+⎰6()m x x-ABC 2BC BD =2CE EA =AD BE ⋅=2:2(0)C y px p = >F A B ||5||AF BF =O ||||AF OF ={}n a 1a t =n n S 212n n S S n n ++=+n N +∀∈1n n a a +<t (3sin cos ,1)m x x ωω=-1(cos ,)2n x ω=()f x m n =⋅()f x 3x π=[]0,2ω∈()f x a =()1f A =b c +18．（本小题满分12分）高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A 市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B ，从学生群体B 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下：（Ⅰ）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（Ⅱ）从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）将频率视为概率，现从学生群体B 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“”的概率．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，2Y得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若AD ＝2，直线CA 与平面ABD 所成角的正弦值为，求二面角E －AD －C 的余弦值．20．（本小题满分12分）已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ），分别为椭圆的左右顶点，，，是椭圆上非顶点的三点，若∥， ∥，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．631F 22(3)27x y ++=2F 22(3)3x y -+=1F 2F C 22221(0)x y a b a b+= >>C A B C M N P C OM AP ON BP OMN ∆图2ABDCE 图1y NPAOxB M21．（本小题满分12分）已知，函数． （Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个相异零点，，求证：．(其中e 为自然对数的底数)请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的参数方程为a R ∈2()2ln(2)(2)f x x a x =---()f x ()f x 1x 2x 121242()x x x x e +>++122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为． （Ⅰ）求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）若a ＝2时，解不等式：；（Ⅱ）对任意实数x ，不等式恒成立，求实数a 的取值范围．12cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩θ2)3π()243f x x a x =-++()22f x >()34f x a ≥+江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考数学（理）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1—5 BACCD 6—10 BABBC 11—12 A D 12．【解析】由可得，即，令，则，且， 所以， 所以， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，，即在上单调递减。
江西省重点中学协作体2020届高三年级第二次联考数学(理科)试卷文字版含答案
江西省重点中学协作体2020届高三年级第二次联考数学试卷（理科）2020.6满分： 150分 时间： 120 分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}0,,2a a A =，{}2,1=B ，若{}1=B A I ,则实数a 的值为（ ） A ．1± B ．0 C ． 1 D ． -12．设复数ii z 213+-=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i 57- B ．i 57 C ．57- D ．57 3．已知7log 6log 3232.0===-c b a ，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． b ＜a ＜cB ． a ＜c ＜bC ． a ＜b ＜cD ． b ＜c ＜a4．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，3B ．0，4C ．2，3D ．2，45．在△ABC 中， D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3=+，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ）A ．41B ．31C ．32D ．61 6．某几何体的三视图如图所示（网格中的每个网格小正方形的边长为单位1），则该几何体的体积为（ ）A ．316B ．6C ．320D ．322 7．已知数列{}n a 满足)(13,111++∈+==N n a a a a n n n ，则数列{}1+n n a a 的前10项和=10S （ ） A ．289 B ．2827 C ．3110 D ．3130 8．已知平面四边形ABCD 是菱形，3π=∠BAD ，32=AB ，将△ABD 沿对角线BD 翻折至BD A '∆的位置，且二面角C BD A --'的平面角为32π，则三棱锥BCD A -'的外接球的表面积为（ ） A ．π16 B ．π24 C ．π28 D ．π329．已知直线l 与双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于),(),,(2211y x B y x A 两点，且021>x x ，若4-=⋅OB OA ，且△AOB 的面积为32，则E 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．510．已知函数x x f cos )(=，函数g （x ）的图象可以由函数f （x ）的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的)0(1>ωω倍得到，若函数g （x ）在)23,2(ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．]94,0( B ．]98,94[ C ．]98,94( D ．]98,0( 11．已知函数11)1sin()(----=x x e x e x f ，若1)(2020)2021()2018()2019(22++=++-+-b a f f f Λ,R b a ∈，．则22+-b a 的最大值为( )A ．222+B ．22+C ．122+D ．222-12．已知函数13)(ln 2)(---=x m e x m x x x f ，当e x ≥时， f （x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为A ．]4,(e -∞B ．]3,(e -∞C ．]2,(e -∞D ．]23,(e -∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=26，则3a 9－2a 10= ．14．已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪+-<⎩，则22x y z xy +=的取值范围为 ． 15．已知1218(12)n x x dx π-=-⎰，则(1n x x的展开式中的常数项为 ． 16．在平面四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠C=75°，6，则AB 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共70分，17-21题每题12分，选做题10分。
2020届江西省高三上学期第二次大联考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省高三上学期第二次大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，则A B =I （ ）A ．{}1,1,3-B ．{}1,1-C ．{}5,3,1,1,3---D ．{}3,1,1--【答案】A【解析】化简集合A ，按照交集定义，即可求解. 【详解】因为{}5|3A x x =-≤≤，{}|21,B x x n n N ==-∈， 所以{}1,1,3A B ⋂=-. 故选;A. 【点睛】本题考查集合的运算，要注意集合元素表示的意义，属于基础题. 2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +C ．32i --D ．32i -【答案】B【解析】由题意得,13i23iz =+,求解即可. 【详解】因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 3932i 23i (23i)(23i)49z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.3．已知函数()()21log ,04,0x f x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则()2f -=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】根据解析式特征，将自变量2-转化为2，即可得出结论.由题意可得()()2122log 12f f ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查分段函数求函数值，理解解析式是解题的关键，属于基础题.4．若1a =r ，2b =r ，则a b +r r的取值范围是（ ）A ．[]1,9B ．()1,9C ．[]1,3D ．()1,3【答案】C【解析】设向量a r ，b r的夹角为θ，由向量数量积运算律将2a b +r r 表示为cos θ关系式，利用cos θ有界性，即可求解. 【详解】设向量a r ，b r的夹角为θ，因为1a =r ，2b =r ，()[]222254cos 1,9a b a a b b θ+=+⋅+=+∈v v v v v v ，则[]1,3a b +=v v .故选:C. 【点睛】本题考查向量模长取值范围，考查向量的数量积运算，属于基础题.5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D【解析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则(π)f =（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】B【解析】结合图象,可求出,T ω的值,由π123f ⎛⎫=⎪⎝⎭,可求得sin A ϕ的值,再由(π)sin f A ϕ=可求出答案.【详解】由图象知，5π3ππ4884T =-=，即2ππT ω==，则2ω=±，从而()sin(2)f x A x ϕ=±+. 因为πsin(π)2f A ϕ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭13=,所以1sin 3A ϕ=-,则1(π)sin(2π)sin 3f A A ϕϕ=±+==-.故选:B.本题考查三角函数求值,考查三角函数的图象性质的应用,考查学生的推理能力与运算求解能力,属于中档题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．3π1633【答案】D【解析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=3故该几何体的体积1243π33V V V =+=+故选:D. 【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A【解析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出 1.180.3log 0.2log 42、、的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在()0,+?上是减函数.因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=， 1.122>，所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题. 9．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos B -<<,即可得到cos B <即充分性成立;必要性:ABC V 中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 10．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围.【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈,所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.11．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A． B ．84πC ．252πD ．126π【答案】C【解析】先确定球心位置，球心为过ABE ∆的中心1O 且垂直于平面ABE 的直线，与过矩形BCDE 的中心2O 且垂直于平面BCDE 的直线的交点，由已知通过解直角三角形，求出外接球的半径，即可求解. 【详解】设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ， 过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ， 过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O ， 即几何体ABCDE 外接球的球心..取BE 的中点F ， 连接1O F ，2O F ，由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒.连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =.连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径.又16O A =，则22211273663OA OO O A =+=+=，故所得几何体外接球的表面积等于252π. 故选:C.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，应用球的几何性质确定球心是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.12．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞【答案】A【解析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)x g x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可. 【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>. 设ln ()(0)x h x x x =>,则21ln ()(0)xh x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减,从而max 1()(e)e h x h ==，故1em >. 故选:A. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】3【解析】作出可行域,可得当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,z 取得最大值,求解即可. 【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020x y x y --=⎧⎨+-=⎩,可求得点()1,1A ,当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,max 1213z =+⨯=. 故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.14．若函数22()21x ax f x x =++为奇函数，则a =_______.【答案】-2【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数,可知对任意的x ,()()f x f x -=-都成立,代入函数式可求得a 的值. 【详解】由题意,()f x 的定义域为R ,222()12121x x ax a f x x x ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭, ()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-,即对任意的x ,()22112121x xa a x x -⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭都成立, 故112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭,整理得20a +=,解得2a =-. 故答案为:2-. 【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 15．记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则57a b =______. 【答案】85【解析】根据题意设()35n S kn n =+，()7n T kn n =+，利用等差数列的性质(若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+)可得959S a =，13713Tb =，从而求得比值. 【详解】 因为357n n S n T n +=+，所以可设()35n S kn n =+，()7n T kn n =+， 912959S a a a a =+++=Q L ，95329S a k ∴==， 131213713S b b b a =+++=Q L ，1372013T b k ∴==，故5785a b =.故答案为：85【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 16．已知函数()()()224f x x xax b =-++的图象关于1x =对称，记函数()f x 的所有极值点之和与积分别为m ，n ，则()f m n +=______. 【答案】15-【解析】根据()f x 图象关于1x =对称必要条件，有()()()()0224f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，求出,a b ，并验证函数关于1x =对称，求出()f x '，进而求出极值点，即可得出结论. 【详解】因为()f x 的图象关于1x =对称，所以()()()()0224f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即()()()0401641640b a b ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得40a b =-⎧⎨=⎩，所以()()()2244f x x xx =--，此时()222[(2)4)[])4(2)(2f x x x x -----=-22(4)(4)(),()x x x f x f x =--=∴关于直线1x =对称，()2232'2(4)(4)(24)412816f x x x x x x x x x =-+--=--+()()32224[()2(2)]4124x x x x x x x =--+-=---.令()'0f x =，得1x =或2240x x --=， 从而123m =+=，()144n =⨯-=-， 故()()13515f m n f +=-=-⨯=-. 故答案为:15-. 【点睛】本题考查函数的对称性求参数，要注意必要条件应用，减少计算量，但要验证，考查函数的极值，以及根与系数的关系的运用，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求C 的取值范围； （2）若cos C =，求c a 的值.【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2【解析】（1）由正弦定理将条件等式中的角化为边，再由余弦定理和基本不等式，求出cos C 的范围，即可得出结论；（2）根据所求为,c a 比值，利用（1）中边的关系，将b 用,a c 表示，由已知结合余弦定理，得到,a c 齐次关系式，即可求解. 【详解】（1）因为()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-， 所以()()22a b c a b c c ab -+--=-，整理得2222a b c +=，即2221122c a b =+. 由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=，则2211122cos 222a bab C ab ab +=≥=， 因为0C π<<，所以C 的取值范围为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.（2）由（1）可得2222b c a =-，即b =，则2222cos 23a b c C ab +-===，整理得4224384c a c a =-，即()()22223220c a ca --=，则c a =c a=因为22220b c a =->，所以2212c a >，则c a的值为3. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意基本不等式在解题的运用，属于中档题.18．已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）()()21log 12n n n S n +=++【解析】（1）根据等差数列的定义，将已知递推公式整理为2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的结构形式，即可得证；（2）由（1）求出数列{}n a 的通项公式，进而求出{}n b 的通项公式，并根据其通项特征，即可求出前n 项和. 【详解】（1）证明：因为11221n n n na a n +++=+，所以()11122n n n n a na +++=+，所以()111122n n n nn a na -++=+，所以()111122n nn nn a na +++-=.因为14a =，所以122a =. 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列. （2）解：由（1）可知12n n na n =+，则12nn n a n+=⋅. 因为2log n n b a =，所以2222111log 2log log 2log n n n n n n b n n n n +++⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭， 则123n nS b b b b =+++⋅⋅⋅+()2222341log 21log 2log 3log 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222341log 2log log log 12323n n n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()21log 12n n n +=++.【点睛】本题考查用定义证明等差数列，以及求数列的前n 项和，合理利用辅助数列是解题的关键，属于中档题.19．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）470sin 35θ=【解析】（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF 和DBF 的法向量,m n u r r ,然后由cos ,||||m nm n m n ⋅〈〉=u r ru r r u r r ,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =, 因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD ︒∠=,所以(0,3,0),(1,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(1,0,2)A B ED F ----,则(1,3,0),(2,0,2),(3,3,0)AB BF BD ==-=-u u u r u u u r u u u r,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =u r,则111130220m AB x y m BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ,不妨取11y =-,则(3,1,3)m =-u r ,设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =r,则2222330220n BD x y n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u uv v ,不妨取21x =,则(1,3,1)n =r , 故3105cos ,||||75m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r ru r r ur r . 记二面角A BF D --的大小为θ,故3470sin 135θ=-=.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.20．已知函数()31sin 3cos 22f x a b x a b x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）已知()223g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）[]1,3- 【解析】（1）将已知点坐标代入()f x ，用待定系数法求出参数,a b ，再由辅助角公式求出()f x ；（2）求出()f x 在[]0,π的值域，所求的问题等价为()f x 在[]0,π的值域，是()g x 在[]2,m -值域的子集，根据二次函数图像和性质求出()g x 在[]2,m -的最值，即可求解.【详解】（1）因为()01f =-，13f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以()101211132222f a f a b a π⎧==-⎪⎪⎨⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1a =，b =. ()13sin cos 2222f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]1,2f x ∈-. ()g x 的图象的对称轴是1x =.①当21m -<<时，()()2min 3g x g m m m ==--，()()max 25g x g m =-=+，则2213152m m m m -<<⎧⎪--≤-⎨⎪+≥⎩，解得11m -≤<，符合题意； ②当14m ≤≤时，()()min 14g x g m ==-，()()max 25g x g m =-=+，则144152m m m ≤≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得13m ≤≤，符合题意； ③当4m >时，()()min 14g x g m ==-，()()2max 3g x g m m m ==--， 则244132m m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪--≥⎩，不等式组无解. 综上，m 的取值范围是[]1,3-. 【点睛】本题考查三角恒等变换化简函数式，考查正弦函数的性质，解题的关键是“任意”“存在”的等式关系等价转化为函数值域关系，属于中档题. 21．已知函数()e 2x f x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2x f x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ②当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意. 综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题. 22．已知函数()252ln f x x x x =-+.（1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：313x x -<. 【答案】（1）极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；()f x 的极小值为()262ln 2f =-+；（2）见解析【解析】（1）求导求出()f x '，求出单调区间，进而求出极值；（2）由（1）1231022x x x <<<<<，结合极值点考虑111,22x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭与2x 的大小关系，()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，只需比较1(1)f x -与2()f x 大小关系，而21()()f x f x =，转化为比较1(1)f x -与1()f x 比较大小，构造函数()()()11,0,2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，1()02F =，通过求导求出1(),(0,)2F x x ∈的单调性，即可得出12,x x 的不等量关系，同理构造函数()()(),1,224x G x f x f x ⎪=∈-⎛⎫⎝⎭-，得出23,x x 的不等量关系，即可证明结论.【详解】 （1）解：因为()252ln f x x x x =-+，所以()()()()2122'250x x f x x x x x--=-+=>， 所以当()10,2,2x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0f x <， 则()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故()f x 的极大值为192ln 224f ⎛⎫=--⎪⎝⎭； ()f x 的极小值为()262ln 2f =-+.（2）证明：由（1）知1231022x x x <<<<<. 设函数()()()1F x f x f x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()()'''1F x f x f x =+-()()()()()()221221122111x x x x x x x x x ---+-=+=--，则()'0F x >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()102F x F ⎛⎫<=⎪⎝⎭，即()()1f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立. 因为110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()2111f x f x f x =<-. 因为211,1,22x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以211x x >-，即121x x +>.① 设函数()()()4G x f x f x =--，1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()()()'''4G x f x f x =+-()()()()()()22122722244x x x x x x x x x -----=+=--，则()'0G x >在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即()G x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故()()20G x G <=，即()()4f x f x <-在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.因为21,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()()()3224f x f x f x =<-. 因为3x ，()242,x -∈+∞，且()f x 在()2,+∞上单调递增， 所以324x x <-，即234x x +<.② 结合①②，可得313x x -<. 【点睛】本题考查导数是综合应用，涉及到单调性、极值、最值、证明不等式，构造函数是解题的关键点和难点，属于较难题.。
江西省重点中学协作体2020届高三数学第二次联考 理
江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考数学试题（理）时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若Rii m ∈+2)3(，则实数m 的值为（ ） A. 32± B. 23±C. 3±D. 33±2. 设集合A={15+=k x x ，k ∈N}，B={Q x x x ∈≤,6}，则A ∩B 等于( ) A ．{1，4} B ．{1，6} C ．{4，6} D ．{1，4，6} 3．若20π<<x ，则“x x sin 1<”是的“x>1”（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D 4. 右图给出了一个程序框图，其作用 是输入x 的值，输出相应的y 值．若输 出的y 值为2，则所有这样的x 值之和 为（ ） A.21 B. 25 C. 21或25D. 35．在△ABC 1==（A ）1. （B ）3 （C ）5 （D ）96．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=)2(,0)23(,4)3(,1)(2x x x x x f ，则dx x x f ])([21+⎰-的值为（ ）A.3332++πB.2353++πC. 2333++πD. 3352++π7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ， 若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，1122Ax By C Ax By C ++>++，则（ ） A ． 直线l 与直线P 1P 2不相交 B ．直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 C ．直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交 D ．直线l 与线段P 1P 2相交 8.如图在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，棱AB,BC,BB 1两两垂直且长度相等，点P 在线段A 1C 1上运动，异面直线BP 与B 1C 所成的角为θ，则θ的取值范围是（ ）A 1C 1B 1PA ．23πθπ≤≤B ．20πθ≤< C ．23πθπ<≤D ．30πθ≤<9．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,L 为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2020项与5的差，即2012a －5=（ ）A. 2020×2020B. 2020×2020C. 1009×2020D. 1009×202010．已知集合{|,110,2n A x x n n ==≤≤∈N }，{(,)|5,}B x y y x x A ==-∈，在集合B中随机取两个点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）A.91 B.454 C.457 D.52二、填空题（每小题5分，共25分）11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n S S =，则0m n S +=.类比上述结论，设正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n T T =，则m n T += .12.设以向量)1,2(=a 为方向向量的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 .13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 .25514．已知函数23)(2--=x x x f ，若n n n x a x a x a a b ax ++++=+K K 2210)(,且)3)(1(])[(2+-=+x x b ax f n ，则n n a a a a )1(210-+-+-ΛΛ的值为 .15．选做题（注意：请在A ，B 两题中,任选做一题作答,若多做,则按A 题记分）A ．已知不等式|2|1a x x ->-，对任意[0,2]x ∈恒成立，则a 的取值范围为 .B ．曲线x yC =:1，0:2=x C ，3C 的参数方程为⎩⎨⎧-==ty t x 1（t 为参数），那么1C ，2C ，3C 围成的图形的面积为 .三.解答题（共75分） 16．（本小题满分12分）已知：bx ax x x f ++=23)(在32-=x 与1=x 时都取得极值. （1）求b a ,的值；（2）若)(x f 在区间),(2c c -)0(>c 上不单调，求c 的取值范围. 17．（本小题满分12分）已知：12cos cos )(++=x b x a x f（1）若2cos )()(+-=x a x f x g )0(>b ，将函数)(x g y =的图像左移12π个单位得函数)(x h y =的图像，求函数)(x h y =的周期与单调增区间；（2）若0≤b ，对任意x 均有0)(≥x f 恒成立，求b a +的最大值. 18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，三条直线AE ，AC ， BC 两两互相垂直，且AC=BC=BD=2AE ， AE ∥BD,M 是线段AB 的中点. （1）求证：EM CM ⊥；（2）求直线EM 与平面CDE 所成角的余弦值. 19．（本小题满分12分）AMECBD袋中装有13个红球和n 个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，从袋中同时取两个球.(1)若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍，试求n 的值； (2) 某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，在（1）的条件下，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不中奖（也发鼓励奖金100元）．试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值. 20．（本小题满分13分） 曲线C 是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的右支，已知它的右准线方程为l ： 21=x ，一条渐近线方程是x y 3=，线段PQ 是过曲线C 右焦点F 的一条弦，R 是弦PQ 的中点. (1)求曲线C 的方程；(2)当点P 在曲线C 上运动时，求点R 到y 轴距离的最小值；(3)若在直线l 的左侧能作出直线m ：a x =，使点R 在直线m 上的射影S 满足⋅=0.当点P 在曲线C 上运动时，求a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的通项公式是12-=n n a ，数列{}n b 是等差数列，令集合A {}ΛΛ,,,,21n a a a =，B {}ΛΛ,,,,21n b b b =，*∈N n .将集合B A Y 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c .（1）若φ=B A I ，数列{}n c 的前5项成等比数列，且11=c ，89=c ，试求数列{}n b 通项公式；（2）在（1）的条件下，若022)()1(])()1(3[51d nb n b d n n n n n n nn -+-+=（*∈N n ），且对任意的正整数n 都有1->n n d d 成立，试求实数0d 的取值范围.江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考 数学试题（理）答案一、选择题（每小题5分，共50分） 1．C2.．D ∵k ∈N ，∴5k+1≥1，则A={1，6，11，4，21，26，31，6……}3．A 【解析】此时1sin 2<x x 是1sin <x x 的必要不充分条件 4．D 5．B 6．C 7. C 8. C 9．D. 21+=--n a a n n （2≥n ）， 2)1)(6(5-++=n n a n ，2012a －5=1009×202010．B 【解析】集合B 的元素分别为（12，92-），（1，－4），（32，72-），（2，－3），（52，52-），（3，－2），（72，32-），（4，－1），（92，12-），（5，0）.从这10个点中任取两个点，有45种可能取法，同一反比例函数的图象上，有4对：（12，92-）与（92，12-）；（1，－4），（4，－1）；（32，72-）与（72，32-）；（2，－3）与（3，－2），选B二、填空题（每小题5分，共25分）11．1 12．22 13．316 14．－2或5 15． A ．()(),25,-∞+∞U B ．8π三.解答题（共75分）16．解：（1）b ax x x f ++='23)(2，∵在32-=x 与1=x 时都取得极值 ∴00)1()32(=⎪⎩⎪⎨⎧='-'f f ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=221b a ……………………6′ （2）由（1）得x x x x f 221)(23--=∴)1)(23(23)(2-+=--='x x x x x f ∴)(x f 在1,32=-=x x 处分别取得极大值与极小值……………………8′ ∵)(x f 在区间),(2c c -上不单调，∴两个极值点至少有一个在区间),(2c c -内， 故232c c <-<-或21c c <<-，)0(>c 解得：32>c .……………………12′ 17．解：（1）)(x h y =3)62cos(++=πx b )0(>b …………………………1′函数)(x h y =的周期为π，单调增区间为)12,127(ππππ--k k )(Z k ∈；……………6′ （2）因为0≤b ，对任意x 恒有0)(≥x f 成立，则01cos cos 22≥-++b x a x b 令]1,1[cos -∈=x t ，b at bt t g -++=12)(2])1,1[(-∈t ………………………………7′ 当0=b 时，1)(+=at t g 有0)1(≥g 且0)1(≥-g 即11≤≤-a ，1)(max =+b a ；…9′ 当0<b 时，b at bt t g -++=12)(2])1,1[(-∈t 有：⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g即⎩⎨⎧≥-++≥-+-012012b a b b a b 即1121<+≤+≤-b b a ………………………11′综上：1)(max =+b a ………………………12′（注：本小题也可用线性规划知识解） 18．证明：（1）因为M 是线段AB 的中点，AC=BC 所以AB CM ⊥，又AE ，AC ，BC 两两互 相垂直，故AE ⊥平面ABC ，所以AE ⊥CM所以CM ⊥平面ABE ，故EM CM ⊥.…………5′（2）设M 在平面CDE 的射影为H ，令CH 交DE 于F ，连结MF ，EH 。
江西省2020八校第二次联考试卷数学(理)参考答案
由图可知， f (x) 的对称轴是 x k , k Z ； 4
所以 x 是 f (x) 图象的一条对称轴， A 正确； f (x) 的最小正周期是 ，所以 B 错误；
2
2
f
(x)
是偶函数，没有对称中心，C
错误；由图可知，
f
(x)
1 2
sin
2x
在区间
π 4
，π 2
上是单调减
函数，D 错误.故选 A.
当 x 1, 时， y 0 ，函数单调递增，
所以 x 0 时，函数的最小值 f 1 1， 作出函数 y f x 与 y 2a 的图象，
观察他们的交点情况，可知， 1 2a 1 1 或 2a 1时，即 1 a e 1 或 a 1 时有且只有 2 个
e
2
2e
2
零点满足题意，故选 B.
，则
AE
x
AC
y
AD
1 4
AC
3 4
AD
,所以
y x
an1
2 3
an
2an an1
3
，
所
以
an1 2a an an1
3(n
2)
，又因为
a1
1, a2
2,
所以数列 an+1
an 是首项为
1，
公比为
3
的等比数列.即
an+1
an
=3n1
，所以
从而可得 c 2 ，设△ ABF2 的内切圆的半径为 r ，由面积相等可得
12 2
2 2 2= 1 (2 2
23
23
2) r ，解得 r 1.故选 D.
10. 【解析】由 f (x) 2a 0 ，得 f x 2a ， y xex 1
江西省十所重点中学2020届高三数学第二次联考 理 新人教A版
江西省2020届十所重点中学第二次联考考试试卷数学理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集是实数集R ，M ={x R∈12x ≤+ },N={1,2,3,4},则（ R M ）⋂N 等于 （B ）A ．{4} B.{3, 4} C.{2, 3, 4} D.{1, 2, 3, 4} 2．设数列{}n a 是等差数列，若34512712,a a a a a ++=+++L 则a =（ C ）A ．14B ．21C ．28D ．353．已知2πθπ<<,3sin()25πθ+=-，则tan()πθ-的值为（ B ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．43-4．已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若12,,3AD DB CD CA CB λλ==+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r则（ A ）Ａ．23 Ｂ．13 Ｃ．13- Ｄ． 23-5．设变量x ，y 满足约束条件101020x x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则4z x y =+的最大值为（ C ）A ．2B ．３C ．72D ．４6．设函数)0()(2≠+=a c ax x f ,若1000()()01f x dx f x x =≤≤⎰,则0x 的值为( D )A ．21B ．43C ．23D ．337．函数()f x =2xe x +-的零点所在的一个区间是 （ C ）A ．21--（，）B ． 10-（，）C ． 01（，）D ． 12（，）8．如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ C ）A ．10B ．12C ．13D ．15 9．若θ是钝角,则满足等式22log (2)sin 3cos x x θθ-+=-的实数x 的取值范围是（D ）A ．(1,2)-B.(1,0)(1,2)-U C [0,1] D ．[1,0)(1,2]-U10.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x ，y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+恒成立.若数列{n a }满足1(0)a f =，且1()n f a +=*1()(2)n n N f a ∈--，则2010a 的值为 （D ）A.4016B.4017C.4018D.4019 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 12． 44(1)(1)x x -+的展开式2x 的系数是 －413. 已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位后与函数 ()sin 6g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则正数ω的最小值为 23214．已知正项等比数列}{n a 满足5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则n m 41+的最小值为 2315.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使()()122f x f x C +=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C 。
江西省重点中学盟校2024届高三第二次联考数学试题及答案
江西省重点中学盟校2024届高三第二次联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}ln 0M x x =<，{}0xN x e a =->，若M N ⊆，则实数a 的取值范围为A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．(],e -∞D ．(),e -∞2.已知a ，b ，c 为非零的平面向量，则“a b a c =⋅⋅ ”是“b c = ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是A ．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B ．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆C ．这六年增长率最大的为2019年至2020年D ．2020年销量高于这六年销量的平均值4.直线l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，且与C 交于A ，B 两点，若使2AB =的直线l 恰有2条，则p 的取值范围为A ．01p <<B ．02p <<C ．1p >D ．2p >5.已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1-，且2481a b ==，则数列{}n n a b A ．既有最大项又有最小项B ．只有最大项没有最小项C ．只有最小项没有最大项D ．没有最大项也没有最小项6.在平面直角坐标系内，方程22221x y xy +-=对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．57.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x f x f x +=-=-，当01x <≤时，()()2log 1f x x =+.若()()1f a f a +>，则实数a 的取值范围是A ．534,422k k ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，k Z∈B ．()14,4k k -+，k Z∈C ．114,422k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k Z∈D ．314,422k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k Z∈8.在△ABC 中，若sin 2cos cos A B C =，则22cos cos B C +的取值范围为A ．61,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．6,25⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎫⎪⎪⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。