等比数列基本量运算

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等差数列、等比数列的基本运算

等差数列、等比数列的基本运算
[高考预测]——运筹帷幄 1．一般数列通项与递推关系的应用和计算． 2．等差(比)数列的通项公式、求和公式及性质的应用．
[速解必备]——决胜千里 1．等差、等比数列的性质等差数列等比数列
(1)若 m，n，p，q∈N*， (1)若 m，n，p，q∈N*，且 m 且 m＋n＝p＋q，则 am ＋n＝p＋q，则 am· an＝ap· aq；性＋an＝ap＋aq； (2)an＝amqn－m；质 (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„ (3)Sm，S2m－Sm，S3m－仍成等比数列(Sn≠0) S2m，„仍成等差数列
2．前 n 项和公式变形 (1)前 n 项和公式法： Sn＝An2＋Bn(A， B 为常数)⇔{an}是等差数列； Sn＝mqn－m(m 为常数，m≠0，q≠0)⇔{an}是等比数列． na1＋an 2Sn (2)等差数列中 Sn 和 an 的关系：Sn＝，即 an＝ n －a1，等 2 a1－anq 比数列中 Sn 与 an 的关系为 Sn＝，即 anq＝a1－(1－q)Sn. 1－q
1 1．已知等比数列{an}满足 a1＝4，a3a5＝4(a4－1)，则 a2＝( A．2 1 C.2 B．1 1 D.8
)
解析：基本法：∵a3＝a1· q2，a4＝a1· q3，a5＝a1· q4 ， ∴a2 q6＝4(a1· q3－1) 1· 1 ∵a1＝， 4 1 ∴q －16q ＋64＝0，∴q ＝8，∴q＝2，∴a2＝a1· q＝ . 2

等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算

知识点：

一．等差数列 1．等差数列基本概念

⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．

⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即

x y

A +=

． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)

n n n a a n n S na d An Bn +-=

=+=+． 1．等差数列通项公式的推导：

2132121n n n n a a d a a d

a a d a a d

----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：

1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．

由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：

1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++

++-，

把项的顺序反过来，可将n S 写成：

()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+

+--，

将这两式相加得：

11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++

++=+，

从而得到等差数列的前n 项和公式1()

n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)

第37讲等比数列的概念及基本运算

1．理解等比数列的概念．

2．掌握等比数列的通项公式，前n 项和公式及其性质．

3．能运用等比数列的概念、公式及性质解决相关问题．

知识梳理

1．等比数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，首项记作a 1，公比记作q .

(2)表示形式： a n ＋1a n

＝q (n ∈N *) . (3)等比中项：如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a ，b 的等比中项，即 G 2＝ab .

(4)通项公式：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝ a 1·q n －1 .

2．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m · q n －m (m ，n ∈N *)．

(2)在等比数列{a n }中，若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝ a p ·a q .

(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n b n 仍是等比数列．

3．等比数列前n 项和公式

(1)等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和公式为S n ，

当q ＝1时，S n ＝ na 1 ；

当q ≠1时，S n ＝ a 1(1－q n )1－q ＝ a 1－a n q 1－q

. (2)等比数列前n 项和公式的性质：若{a n }是公比为q (q ≠－1)的等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等比数列，且公比为 q n .

2023年新高考数学大一轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：

第1讲等差数列与等比数列

[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点．考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼

等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *

) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1

(3)等差数列的求和公式：S n ＝

n a 1＋a n

＝na 1＋

n n －1

d ；

(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

a 11－q n

1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，

na 1，q ＝1.

例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺B ．12.5尺C ．10.5尺D ．9.5尺答案 A

解析从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7

＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＋3d ＝12.5，

a 1＋11d ＝4.5，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝15.5，

d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺．

(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1

等比数列的概念与计算

实际问题中模型构建
几何级数模型
等比数列在实际问题中常以几何级数的形式出现，如银行复利计算、人口增长模型等。通过构建几何级数模型，可以方便地求解这些问题。
递归关系模型
在一些实际问题中，数列的递归关系可能呈现出等比数列的特点。通过识别这些递归关系并构建相应的模型，可以简化问题的求解过程。
05
等比数列在实际问题中应用
常见计算错误类型及原因分析
公式运用错误
如对等比数列求和公式、通项公式等运用不当，导致计算结果错误。
计算过程失误
如在计算过程中出现笔误、口算错误等，导致最终结果偏差。
忽略等比数列性质
如未注意到等比数列公比不能为0、首项不能为0等性质，导致解题方向错误。
提高计算准确性和效率策略
熟练掌握公式
通过反复练习，熟练掌握等比数列的相关公式，提高计算准确性。
表示方法
等比数列通常用首项$a_1$和公比$q$来表示，其中$a_n=a_1 times q^{(n-1)}$，$n$为项数。
公比与首项关系
公比定义
公比$q$是等比数列中任意两个相邻项的比值，即$q=a_{n+1}/a_n$。
首项与公比关系
首项$a_1$和公比$q$共同决定了等比数列的所有项，其中$a_n=a_1 times q^{(n-1)}$。
性质区别

等比数列基本量运算

2018年7月29日高中数学作业

1.已知等比数列｛%｝满足a】+ 32=3刁2 + 4 = 6,则a8=（

A. 243

B. 128 C81 D. 61

2,已知数列0」是公比为正数的等比数列，若5=1, 则数列心丿的前7项和为（A. 63 B. 64 C 127 D. 128

屯5

3・正项等比数列b丿中，*3 = 2, a4・a6 = 64,则a^ + a?的值是（

A. 4

B. 8 C 16 D. 64

4,已知等比数列｛%｝的前n项和为Sn,若5“力6 = 3$3.则a©

A. 2

B. & C4 D. 1

5.已知等比数列b丿中，6=16,则a，

A.4

B. -4

C. ±4

D.16 6-在等比数列｛%｝中，己知*3 = 3, 33 + % +巧=21，则a5 A. 6 B. 9 C 12 D・ 18 7-数列｛和为等比数列，若S = 3, 34 =弋则％为（

A. -24

B. 12 C 18 D. 24

&已知等比数列｛%｝中，第％ = 54,则％=（

A. 54

B. -81

C. -729 D, 729 9.已知等比数列｛%｝的公比q = ・2,幷前n项的和为Sq

A. 7

B.3 C・ 2 D・ 4

若6$3 = 7$2,则公比为（

10.已知各项均为正数的等比数列°丿的前n项和为Sq

A. -2

B. 2 c・ 2 D・ 2 11.等比数列厲）的前n项和为Sq已知S3",$6 = 9,则Sg等于（

A. 81

B. 17

C. 24

D. 73 12-等比数列中2=3, dii=24r 则as+d；+G=(

A. 33

02教学课件_5.3.1 等比数列基本量的计算

再见
（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)基本量的计算
已知量用基本量表
设等比数列{an}的公比为 q，示出来
由已知得a1q＝－13
，解得a1＝－19 或a1＝19
a1q5＝－27
q＝3
q＝－3
∴{an}的通项公式是 an＝－19·3n-1或 an＝91·(－3)n-1.
即 an＝－3n－3 或 an＝(－1)n－1·3n－3.
则应有 G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a21q10 ＝962×1210＝9.
所以 a5，a7 的等比中项是±3. 方法总结：
只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数;异号的两数没有等比中项．
总结感悟
1.等比数列的基本量是首项和公比，利用通项公式把已知条件用基本量表示出来，通过解方程组确定基本量. 注意等比数列的各项及公比均不为零 2.等比中项：同号的两项才有等比中项，且有两个，互为相反数.
即 26－n＝20，所以 n＝6.
方法总结：
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来.
典型例题
例2:等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
解设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，
因为 a2－a5＝42，所以 q≠1，由已知，得

等比数列基本量运算

A.8B.16C.32D.64
22．己知数列为正项等比数列，且，则（）
A.1B.2C.3D.4
23．已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则的值为__________．
24．已知等比数列的前项和为，若，则 __________．
25．已知正项等比数列的前项和为，.若，且．则 =________．
故选：C．
点睛：等比数列中，若，则；
等差数列中，若，则 .
9．D
【解析】分析：用基本量表示可得，代入的值即得所求结果 .
详解：因为，故选D.
点睛：处理数列问题一般有两个角度：（1）基本量法，就是把问题归结为基本量的方程组，解这个方程组即可；（2）利用等比数列或等差数列的性质，此时需要找出题设中数列各项的下标或数列的和的特征，根据特征运用相应的性质来处理.
详解：∵等比数列中，，，
∴ ，∴ ，解得或，故选B．
点睛：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．
20．C
【解析】分析：等比数列的公比设为，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由求和公式计算即可得到所求和．
详解：等比数列的公比设为，
，
可得解得
则
或
故选：C．
详解：：∵等比数列的通项公式为，

等比数列(公开课课件)

设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列， ∴S6－S3 S3＝SS96－－SS63，
又由已知得S6＝3S3， ∴S9－S6＝4S3， ∴S9＝7S3， ∴SS96＝73.
2.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝__2___.
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
(2)若 a1＝21，a2＝23，求{an}的通项公式.
由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝ 12×3n－1.
教材改编题
1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝12，则公比 q 等于
A.－21
B.－2
C.2
√D.±12
设等比数列的公比为q， ∵{an}是等比数列，a2＝2，a4＝12，∴a4＝a2q2， ∴q2＝aa42＝14，∴q＝±21.
2.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a6 ＋a8＝_5__.
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外).

6.等比数列的基本运算

等比数列的基本运算

教学目标:

理解等比数列的概念/掌握等比数列的通项公式/掌握等比数列的前n 项和公式知识点归纳:

1. 等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠. （注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）表示为

1n n

a q

a +=()n N

∈ 或

n n a q

a -=(),2n N

n *

∈≥

2. 等比数列的通项公式:

如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11n n a a q -=⋅ 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1q =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则

m n

a q

a -=

3. 等比数列的前n 项和:

一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，q

q a S n

n --=

1)1(1 或11n n a a q S q

-；当q =1时，1na S n =

即:()

11(1)

1(1)

1n n na q S a q q q

=⎧⎪

=-⎨≠⎪

-⎩

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q ,不要混淆；（3）特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解.

§6[1].3等差数列、等比数列的基本量运算

20.等差数列、等比数列的基本量运算

【复习目标】

1.熟练运用等差与等比的通项公式，求和公式进行相关运算（知三求二）

2.利用等差与等比的通项与和的特征解决相关问题。

【复习过程】

活动一（考点梳理和基础训练）

（一）考点梳理

1.等差数列的通项公式：

2.等差数列的前n 和的求和公式：

3.等比数列通项公式为：

4.等比数列前n 项和公式：

（二）基础训练（利用方程（组）求等差、等比数列的基本量）

1.如果五个角依次成等差数列，最小的角为025，最大角为0105，则该等差数列的公差为______________.

2.在等比数列{}n a 中，已知10,542==a a ，则公比q 为___________.

3．在等差数列{}n a 中，31,10125==a a ，则n a =__________.

4.在等比数列{}n a 中，已知8,1842==a a ，则=1a _________,=q __________. 5．在等比数列{}n a 中，2

1,18,367463=

=+=+n a a a a a ，则n=_________. 6.在等差数列{}n a 中，若公差,23,21==n a d 前n 项的和2

15-=n S ，则1_______.a = 项数______.n = 小结：

活动二（等差、等比数列基本量运算）

1. 在等比数列{}n a 中，已知,64,245346==-a a a a 求8S

2. 设{}n a 为等差数列,前n 项的和为n S ,已知,75,7157==S S n T 为数列⎭

第03讲等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲等比数列及其前n 项和

(精讲）

第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：等比数列基本量的运算题型二：等比数列的判断与证明题型三：等比数列的性质及其综合应用

角度1：等比数列的性质

角度2：等比数列与等差数列的综合问题

第四部分：高考真题感悟

1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义

一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语

言表达：1

(2)n

n a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项

如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式

(1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为1

n n a a q -=；可推广为

n m n m a a q -=.

(2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，

11(1)11n n n a a q a q S q q

--==--.

3.等比数列的性质

设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．

(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N *

∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N *

等差与等比数列的基本量的计算

【典例1】【2021·云南昆明市·高三二模】

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3132a a =-，且5324S S a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和n T ．【思路引导】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3132a a =-，且5324S S a -=，利用“1,a d ”求解．（2）由（1）易得(1)

32(2)2

n n n S n n n -=+⨯=+，从而11111(2)22n n n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法求解.

【典例2】【2021·江苏苏州市·高三月考】

已知数列{a n }为等比数列，且各项均为正数，12a =，23a a +是3a 与4a 的等差中项．记正项数列{b n }前n 项

之积为T n ，b 1=1，2

(1)(2)n n n T a n -=≥．

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）证明：1111

()(2)(21)2

i i i i a n N b i b i +=+-∈---∑

≥．

【思路引导】（1）由等比数列的基本量法求得通项公式n a ，由已知先求得2b ，3n ≥时，利用

2(1)21(1)(2)

2n n

n n n n n b a T T a ----==求得n b ，验证12,b b 也适用；

（2）把项11(2)(21)i i i a b i b i +----拆成两项的差，用裂项相消法求得和111

等比数列典型题

题型一等比数列的基本量的计算

例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．

(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .

探究提高等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝32

，且公比q ∈(0,1)．

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．

题型二等比数列的性质及应用

例2等比数列{a n }中(1)若已知a 2＝4，a 5＝－1

，求a n ；(2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．

(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6

等于

( )

A ．5 2

B ．7

C ．6

D ．4 2

(2)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.

题型三等比数列的判定

例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n

等比数列性质及应用

考纲传真

1.理解等比数列的概念．

2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．

3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，

并能用有关知识解决相应的问题．

4．了解等比数列与指数函数的关系.

1．等比数列

2．等比数列的性质

(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则a m·a n＝a p·a q＝a2k.

(2)通项公式的推广：a n＝a m q n－m(m，n∈N*)

(3)公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n不一定构成等比数列．

(4)若数列{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{

a n}，{a2n}，{a n·

b n}，{

a n

b n}(λ≠0)仍是等比数列．

高三

数学学案

第12期

课题：等比数列性质及应用

第12课时

第四部分数列

1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则公比q 等于( )

A ．－12

B ．－2

C ．2 D.12

『解析』由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝1

2. 『答案』 D

2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2＝( )

A ．－11

B ．－8

C ．5

D ．11

『解析』 8a 2＋a 5＝0，得8a 2＝－a 2q 3，又a 2≠0，∴q ＝－2，则S 5＝11a 1，S 2＝－a 1，∴S 5

S 2

等比数列基本量计算

4
+
5 6
5 6
7
=
= −8 ，则
= 2,
4 7
= −8,
或ቊ
=
1,
10
1
= −8,
1
+
5(
+
1+
2
+
4
7
10
−7
= _________.
= 4,
或ቊ
= −2,
= 1,
所以 1 +
=
−8,
10
1
11. [2020年全国新高考Ⅰ卷]设 { } 是等比数列，且
3 + 4 = 2 ，则 6 + 7 + 8 = ( D ).
3
2
+
12.已知数列{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,则公比 q 的
值为( C ).
1
A.-2
1
B.-2
1
C.1 或-2
D.-1 或2
1
解析由题意可得 2a3=a1+a2,∴2a1q2=a1+a1q,∴2q2=1+q,解得 q=1 或 q=-2.
13. 已知等比数列{ }为递增数列，且
(2)若
an=(-2)n-1,则
1-(-2)
Sn=

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