2020年天津市高中必修一数学上期末试题及答案

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2020年天津市和平区高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)

，，
，，则，
因此， .
【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了利用图象变换求函数解析式以及利用两角和的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
∴|log2019b|＝|log2019c|，即：﹣log2019b＝log2019c．∴log2019b+log2019c＝0．
∴log2019bc＝0，即bc＝1．∴abc＝a．∵﹣2＜a≤0，∴﹣2＜abc≤0．
故选C．
【点睛】本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质，属于中档题．
【解析】
【分析】
先利用指数函数的单调性得，再解一元二次不等式即可．
【详解】．
故答案为
【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．
14.化简 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质和换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】由对数的运算性质得，原式 .
故答案为： .
【点睛】本题考查对数的运算，涉及对数运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11.命题：“ ， ”的否定为_____．
【答案】， .
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.
【详解】命题“ ， ”为特称命题，其否定为：“ ， ”.
故答案：， .
【点睛】本题考查特称命题否定的改写，属于基础题.
12.若，，且，则的最小值是_____．
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

2020-2021学年天津市部分区高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，0，1，2}，B＝{﹣1，0，则集合A∪（∁U B）＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，0，1，2} 2．（4分）命题“∃x∈（0，+∞），lnx＝2x”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），lnx＝2x B．∀x∈（0，+∞），lnx≠2xC．∃x∉（0，+∞），lnx＝2x D．∃x∈（0，+∞），lnx≠2x3．（4分）已知角α的终边过点P（12，﹣5），则sin（π+α）＝（）A．B．C．D．4．（4分）设α∈R，则“a＜﹣1”是“a2﹣5a﹣6＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知a＝20.3，b＝log0.32，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b6．（4分）为了得到函数的图象，只需把函数（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．（4分）已知，且，则cosα的值为（）A．B．C．D．8．（4分）已知扇形的圆心角为150°，其弧长为πcm，则这个扇形的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）为偶函数，当﹣1＜x＜0时，f（x）3（1+x）﹣log3（1﹣x），则的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．210．（4分）已知函数f（x）＝，若关于x方程f（x）＝m恰有三个不同的实数解（）A．（0，3）B．[2，3）C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11．（4分）函数，的最小正周期为．12．（4分）已知e为自然对数的底数．计算：＝．13．（4分）的值是．14．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示（x）＝．15．（4分）有下列命题：①当a＞0，且a≠1时，函数f（x）x﹣1﹣1的图象恒过定点（1，0）；②cos2•tan3＜0；③幂函数f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减；④已知a＞0，b＞0，则的最大值为．其中正确命题的序号为.（把正确的答案都填上）三、解答题：本大题共4小题，共60分。

天津市高一上学期期末数学试题(解析版)

数学试卷一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，那么是（） cos tan 0θθ⋅>θA. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角【答案】A【解析】【分析】化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.cos tan =sin θθθ⋅【详解】由可知同号，即，cos tan 0θθ⋅>cos ,tan θθcos tan =sin 0θθθ⋅>从而为第一、二象限角，故选A .θ故选：A【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.2.（） 253364a a a ÷=A .B. C. D. 43a 127a 712a 34a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】. 235734612253364a aa a a +-==÷故选：C.3. 函数的零点是（） ()sin 1f x x =+A.B. ()π2πZ 2k k +∈()3π2πZ 2k k +∈C. D.()ππZ 2k k +∈()πZ k k ∈【答案】B【解析】【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.()sin 10f x x =+=【详解】令，则，()sin 10f x x =+=sin 1x =-所以， ()3π2πZ 2x k k =+∈所以函数的零点是. ()sin 1f x x =+()3π2πZ 2k k +∈故选：B.4. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（）120mm 144mm A. 12B. 1.2C. 16D. 1.6【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为，α则，解得.120144α= 1.2α=故选：B . 5. 设，，，则（）． 13log 2a =121log 3b =0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. D. a b c <<b<c<a a c b <<b a c <<【答案】C 【解析】【分析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c 的范围即得解. 【详解】由题得， 1133log 2log 10a =<=， 112211log log 132b =>=， 0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a cb <<故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）()sin 21y x =+()sin 21y x =-A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，()()sin 21=sin 211y x x ⎡⎤=++-⎣⎦只需将函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度即可.()sin 21y x =-故选：C .7. 设，，都是正数，且，那么（）a b c 346a b c ==A. B. C. D. 111c a b =+221c a b =+122c a b =+212c a b=+【答案】B【解析】【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算346a b c M ===法则计算可得.【详解】解：由，，都是正数，令，则，，a b c 346a b c M ===()1M >3log a M =4log b M =，6log c M =所以，，， 1log 3M a =1log 4M b =1log 6M c=对于A ：，故A 错误； 111log 4log 3log 12log 6M M M M a b c+=+=>=对于B ：，22log 6log 36M M c ==()22212log 3log 4log 3log 4log 34log 36M M M M M M a b +=+=+=⨯=，所以，故B 正确； 221c a b=+对于C ：， ()222222log 32log 4log 3log 4log 34log 1442M M M M M M a b+=+=+=⨯=所以，故C 错误； 122c a b≠+对于D ：， ()221log 32log 4log 3log 4log 3824log 4M M M M M M a b +=+=+=⨯=所以，故D 错误； 212c a b≠+故选：B ．8. 函数的图象大致为 2sin ()1||x f x x =-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，D ，取特殊值排除C ，即可得到答案.【详解】的定义域为关于原点对称 2sin ()1||x f x x =-(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ ()()2sin 2sin ()()1||1||x x f x f x x x --==-=----所以函数是奇函数，故排除B ，D()f x 因为，所以排除C 2sin 4(041||4f πππ==>-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.9. 下述四条性质：①最小正周期是，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，④在ππ3x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（） ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B. πsin +26x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. D. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据条件判断选项中函数的周期性，单调性以及图像的对称性，从而得到结论.【详解】条件① ：的周期为，排除A ； πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π4π12=条件② ：当代入B ，函数取得最大值，满足关于对称；代入C ，函数取得最小值，满足关于π3x =π3x =对称；代入D ，函数值不是最大值也不是最小值，排除D ； π3x =条件③ ：代入B ，函数值为0，满足；代入C ，函数值为0，满足； π12x =条件④ ：在上，代入B ，是增函数；代入C ，单调ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ2622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]π20π3x +∈，递减，不满足，排除C ；故选：B二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.log (0a y x a =>1a ≠(4,2)=a 【答案】2【解析】【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点代入得，解得 (4,2)log ay=2log 4a =2a =故答案为：2.11. 已知角的终边经过点那么的值是_______.θ1(2tan θ【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点 θ1(),2所以为第二象限角，，θtan 0θ∴<由三角函数的定义可得，故答案为tan θ==【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 12. 函数的定义域为_________.y =【答案】 3{|1}4x x <≤【解析】【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域. 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩【详解】由函数解析式知：，解得， 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩314x <≤故答案为：. 3{|1}4x x <≤13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. ()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ϕ=【答案】π6【解析】【分析】根据图象可求得，再利用待定系数法求解即可.,A ωϕ【详解】由图可知， 3,π2T A ==所以，所以，2π2πT ω==1ω=所以，()()3sin f x x ϕ=+则，即， ππ3sin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， π2π,Z 6k k ϕ-+=∈π2π,Z 6k k ϕ=+∈又因，所以. π2ϕ<π6ϕ=故答案为：. π614. 函数在的值域是___________. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】[]2,1-【解析】【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】因为，所以， π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以， π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在的值域是. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1-故答案为：.[]2,1-15. 已知函数的零点个数为___________. ()4223,0274ln ,0x x f x x x x x +⎧-≤=⎨-+->⎩【答案】3【解析】【分析】分和两种情况讨论，时，函数零点的个数，即为函数0x ≤0x >0x >()2274ln f x x x x =-+-图象交点的个数，作出函数的图象，根据函数图象即2274,ln y x x y x =-+=2274,ln y x x y x =-+=可得解.【详解】当时，由，得， 0x ≤()4023x f x +=-=2log 34x =-当时，由，得，0x >()2274ln 0f x x x x =-+-=2274ln x x x -+=则时，函数零点的个数， 0x >()2274ln f x x x x =-+-即为函数图象交点的个数，2274,ln y x x y x =-+=如图，作出函数的图象，2274,ln y x x y x =-+=由图可知，两函数的图象有个交点，2即当时，函数有个零点， 0x >()2274ln f x x x x =-+-2综上所述，函数有个零点.()f x 3故答案为：.3三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算：（1）已知，求的值； 1sin 3α=-()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. 5551log 35log log 1450+--【答案】（1）19（2）2【解析】【分析】（1）根据诱导公式计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】 ()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2sin 1sin cos sin cos 9ααααα=⋅⋅==【小问2详解】5551log 35log log 1450+-. 51log 3550131214⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭17. 已知为第二象限角，为第一象限角，. α3sin ,5αβ=5cos 13β=（1）求的值；()sin αβ+（2）求的值.()tan 2αβ-【答案】（1） 3365-（2） 204253【解析】【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解； cos ,sin αβ（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.tan 2α【小问1详解】因为为第二象限角，为第一象限角，， α3sin ,5αβ=5cos 13β=所以， 412cos ,sin 513αβ=-=所以. ()3541233sin 51351365αβ⎛⎫+=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭【小问2详解】， sin 3sin 12tan ,tan cos 4cos 5αβαβαβ==-==所以， 232tan 242tan 291tan 7116ααα-===---所以. ()241220475tan 22412253175αβ---==⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭18. 已知函数 ()()2πcos 2cos2R 3f x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求的单调递增区间.()f x 【答案】（1） πT =（2） π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性即可得解；（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【小问1详解】()2πcos 2cos23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13πcos 22cos 22cos 22223x x x x x x ⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭所以；πT =【小问2详解】令， πππ2π22π232k x k -+≤-≤+得， π5πππ1212k x k -+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦。

2020-2021学年天津一中高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年天津一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 设p ：log 2x <0，q ：2x−1<1，则p 是q 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 三个数a =0.32，b =log 20.3，c =20.3之间的大小关系是( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c <a3. 已知tanA =2tanB ，sin(A +B)=14，则sin(A −B)=( )A. 13B. 14C. 112D. −1124. 函数y =x +a 与y =a x ，其中a >0，且a ≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是( )A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=tan(ωx +φ)(0<|φ|<π2,ω>0)的最小正周期为π2，且f(x)的图象过点(π3,0)，则方程f(x)=sin(2x +π3)(x ∈[0,π])所有解的和为( )A. 7π6B. 5π6C. 2πD. π36. 已知f(x)={(3a −1)x +4a,x ≤1log a x,x >1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A. (0,1)B. (0,13)C. [17,13)D. [17,1)7. 若函数f(x)=cos 2x +asinx +b ，在区间[0,π2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M −m 的值为( )A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，但与b 有关D. 与a 无关，且与b 无关8. 已知函数y =Asin(ωx +φ)+b(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为(2π9,3)，(π18,0)，则函数f(x)的单调增区间为( )A. (2kπ3−π9,2kπ3+2π9)，k ∈Z B. (2kπ3−4π9,2kπ3−π9)，k ∈Z C. (2kπ3+π18,2kπ3+7π18)，k ∈ZD. (2kπ3−7π18,2kπ3−π18)，k ∈Z9. 将函数f(x)=sin(3x +φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，若直线x =π6是g(x)的图象的一条对称轴，则( )A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数C. f(x)在[π12,π3]上单调递减D. g(x)在[−π15,π9]上单调递增10. 已知函数f(x)=2x−2,g(x)={asinx +2,x ≥0x 2+2a,x <0(a ∈R)，若对任意x 1∈[1,+∞)，总存在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,12) B. (−∞,14)∪[32,2] C. (−∞,12)∪[1,2]D. (1,32]∪[74,2]二、填空题（本大题共5小题，共20.0分） 11.1sin250∘+√3cos290°= ______ ．12. 已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是______ ．13. 已知函数f(x)=b−2x2x +1为定义在区间[−2a,3a −1]上的奇函数，则a = ______ ，b = ______ ．14. 若函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，则实数m 的取值范围为______ ． 15. 若将函数f(x)=cos(2x +π12)的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是______ ．①g(x)的最小正周期为π； ②g(x)在区间[0,π2]上单调递减； ③x =π12不是函数g(x)图象的对称轴；④g(x)在[−π6,π6]上的最小值为−12．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 16. 已知函数f(x)=a −12x −14x ．(1)若a =1时，求满足f(x)=−11的实数x 的值；(2)若存在x ∈[0,1]，使f(x)>0成立，求实数a 的取值范围．17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．18.已知函数f(x)=12cos2x+sinx⋅(1−2sin2x2)，其中x∈R．(1)求使得f(x)≥12的x的取值范围；(2)若函数g(x)=√22sin(2x+3π4)且对任意的x1，x2∈[0,t]，当x1<x2时，均有f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)成立，求正实数t的最大值．19.已知函数f(x)=lg2xax+b ，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)−f(1x)=lgx．(1)求f(x)的表达式及定义域；(2)若方程f(x)=lgt有解，求实数t的取值范围；(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀，求实数m的取值范围．四、多空题（本大题共1小题，共4.0分）20.设函数f(x)={e x , x≤0,−x2+x+14 ,x>0,则f[f(0)]=(1)；若方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是(2)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由log2x<0，得0<x<1，则x−1<0，∴2x−1<1；反之，由2x−1<1，得x−1<0，则x<1，当x≤0时，log2x<0不成立．∴log2x<0⇒2x−1<1，反之不成立．即p是q的充分而不必要条件．故选：A．由log2x<0，得0<x<1，得2x−1<1，反之不成立，再由充分、必要条件的判定得结论．本题考查指数不等式和对数不等式，考查充分、必要条件的判定方法，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．综上即可得出结论．【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3<0，由指数函数的性质可知：0<a<1，c>1，∴b<a<c，故选：C．3.【答案】C【解析】解：由tanA=2tanB得sinAcosA =2sinBcosB，即sinAcosB=2cosAsinB，∵sin(A+B)=14，∴sinAcosB+cosAsinB=14，得sinAcosB=16，cosAsinB=112，则sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB=16−112=112，故选：C．根据同角的三角函数关系，结合两角和差的三角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】D【解析】解：①0<a<1，则，y=a x为减函数，y=x+a为增函数且与y轴交点位于y正半轴交点纵坐标小于1，所以A、B、C错；②a>1则，y=a x为增函数，y=x+a与y轴交点位于y正半轴，D正确；故选：D．分0<a<1和a>1两种情况进而求解．考查指数函数，一次函数的图象的增减性，与坐标轴的关系．5.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=tan(ωx+φ)(0<|φ|<π2,ω>0)的最小正周期为πω=π2，∴ω=2，且f(x)的图象过点(π3,0)，故tan(2⋅π3+φ)=0，∴φ=π3，f(x)=tan(2x+π3).则方程f(x)=sin(2x+π3)(x∈[0,π])，即tan(2x+π3)=sin(2x+π3)，x∈[0,π]．∴sin(2x+π3)=0，∴2x+π3=kπ，k∈Z，∴x=kπ2−π6，∴x=π3，5π6，∴所有解的和为π3+5π6=7π6，故选：A．由题意利用三角函数的周期性求得ω，把点(π3,0)代入取得φ，可得f(x)的解析式，再利用同角三角函数的基本关系，方程即sin(2x+π3)=0，∴2x+π3=kπ，k∈Z，由此求得方程的根，可得结论．本题主要考查三角函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．由f(x)在R上单调减，确定a，以及3a−1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．【解答】解：依题意，有0<a<1且3a−1<0，解得0<a<13，又∵f(x)在R上单调递减，∴当x<1时，(3a−1)x+4a>7a−1，当x>1时，log a x<0，∴7a−1≥0，解得a≥17，综上：17≤a<13．故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．设sinx=t，则0≤t≤1，则y=−t2+at+b+1，结合二次函数的图象和性质，其最大值和最小值均在端点或对称轴处取值，比较这些值即可得到答案．【解答】解：设sinx=t，则0≤t≤1，∴y=1−t2+at+b=−t2+at+b+1=−(t−a2)2+a24+b+1，t=a2时，y=a24+b+1;t=0时，y=b+1；t=1时，y=a+b；当a变化时，最大值M和最小值m均在这三个函数值中取值，而这三个函数值之间的差均与b无关，与a有关，∴与a有关，但与b无关，故选：B．8.【答案】A【解析】解：由题意，对称中心为(π18,0)，可得b=0．图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为(2π9,3)，(π18,0)，∴14T=2π9−π18，即T=2π3，∴ω=2πT=3．∴A=3．故得f(x)=3sin(3x+φ).将对称中心代入可得：sin(π6+φ)=0．得：π6+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π6．∴得f(x)=3sin(3x−π6)，令−π2+2kπ≤3x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得：−π9+23kπ≤x≤2π9+23kπ，(k∈Z)．故选：A．根据图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为(2π9,3)，(π18,0)，即可求解A，ω，φ的值，可得解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的单调区间上，解不等式得函数的单调区间；本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，利用已知条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(3x+3π4+φ)的图象，由于直线x=π6是g(x)的图象的一条对称轴，故3×π6+3π4+φ=kπ+π2(k∈Z)，整理得φ=kπ−3π4(k∈Z)，当k=1时，φ=π4，所以f(x)=sin(3x+π4).g(x)=sin(3x+π)=−sin3x．故选项A、B错误．对于选项C：π2+2kπ≤3x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得：π12+23kπ≤x≤23kπ+5π12(k∈Z)，当k=0时，函数的单调递减区间为[π12,5π12]，由于[π12,π3]⊂[π12,5π12]，故选项C正确．对于选项D：令π2+2kπ≤3x≤2kπ+3π2(k∈Z)，当k=0时，函数的单调增区间为：[π6,π2]，故选项D错误．故选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数关系式的平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：对任意x ∈[1,+∞)，f(x)=2x−2≥2−1=12，即函数f(x)的值域为[12,+∞)，若对任意x 1∈[1,+∞)，总存在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，设函数g(x)的值域为A ，则满足[12,+∞)⊆A 即可．当x <0时，函数g(x)=x 2+2a 为减函数，则此时g(x)>2a ，当x ≥0时，g(x)=asinx +2∈[2−|a|,2+|a|]， ①当2a <1时，即a <12时，要使[12,+∞)⊆A 成立，则此时2a <12，所以a <14；②当a ≥12时，此时2a ≥1，要使[12,+∞)⊆A 成立，则此时当x ≥0时，g(x)=asinx +2∈[2−a,2+a]，此时满足{2−a ≤122a ≤2+a ，即{a ≥32a ≤2，得32≤a ≤2，综上a <14或32≤a ≤2，故选：B ．求出两个函数的值域，结合对任意x 1∈[1,+∞)，总存在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，将问题转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键，属中档题．11.【答案】4【解析】解：∵1sin250∘+√3cos290°=1−sin70∘+√3cos70°=√3sin70°−cos70°sin70°cos70°=2sin(70°−30°)12sin140∘=2sin40°12sin40∘=4，故答案为：4．由题意利用三角恒等变换，求得要求式子的值．本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．12.【答案】1或4【解析】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =12，S =12lr =8， ∴解得r =2，l =8或r =4，l =4，可得α=lr =1或4．故答案为：1或4．设扇形的半径为r ，弧长为l ，然后，建立等式，求解l 、r ，最后，求解圆心角即可．本题重点考查了扇形的周长公式、扇形的面积公式等知识，属于基础题．13.【答案】1 1【解析】解：因为函数f(x)=b−2x2x +1为定义在区间[−2a,3a −1]上的奇函数，所以−2a +3a −1=0，解得a =1，因为f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f(1)，即b−2−12−1+1=−b−22+1，解得b =1．故答案为：1；1．根据奇函数定义域的特点求出a 的值，然后利用奇函数的定义建立方程求出b ，即可得到答案．本题考查了函数奇偶性的应用，涉及了函数奇偶性性质的应用，解题的关键是由f(0)=0解出a 的值．14.【答案】[43,2)【解析】解：先保证对数有意义−x 2+4x +5>0，解得−1<x <5，又可得二次函数y =−x 2+4x +5的对称轴为x =−42×(−1)=2，由复合函数单调性可得函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)的单调递增区间为(2,5)，要使函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，只需{3m −2≥2m +2≤53m −2<m +2，即{m ≥43m ≤3m <2，解关于m 的不等式组得43≤m <2，故答案为：[43,2)．由对数函数和二次函数的性质易得函数的单调递增区间，只需让(3m −2,m +2)是其子区间即可，由此可得m 的不等式组，解不等式组可得．本题考查对数函数的性质，涉及复合函数的单调性和不等式组的解法，属中档题．15.【答案】①③④【解析】【解析】本题主要考查函数y =cos(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．由题意利用函数y =cos(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵将函数f(x)=cos(2x +π12)的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)=cos(2x +π4+π12)=cos(2x +π3)的图象，故g(x)的最小正周期为2π2=π，故①正确；当x ∈[0,π2]，2x +π3∈[π3,4π3]，函数g(x)没有单调性，故②错误；令x =π12，求得g(x)=0，故x =π12不是函数g(x)图象的对称轴，故③正确；当x ∈[−π6,π6]，2x +π3∈[0,2π3]，当2x +π3=2π3时，g(x)取得最小值为−12，故④正确．故答案为：①③④． 16.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=1−12x −14x =−11，令t =12x (t >0)，则t 2+t −12=0，解得t =3(−4舍去)，此时x =log 123； (2)由f(x)>0，有a >12x +14x ．令12x =t ，由x ∈[0,1]，可得t ∈[12,1]．令ℎ(t)=t 2+t ，可得ℎ(t)在[12,1]递增，可得ℎ(t)min =ℎ(12)=34，所以a >34，即a 的取值范围是(34,+∞)．【解析】(1)由题意可得1−12x −14x =−11，令t =12x (t >0)，转化为二次方程的求解，计算可得所求值；(2)由题意可得a >12x +14x 在x ∈[0,1]有解，运用换元法和指数函数及二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查指数函数的单调性和运用，以及不等式存在性问题解法，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由函数的图象可得A =3，34T =34⋅2πω=4π−π4，解得ω=25．再根据五点法作图可得25×π4+φ=0，求得φ=−π10，∴f(x)=3sin(25x −π10).(2)令2kπ−π2≤25x −π10≤2kπ+π2，k ∈z ，求得5kπ−π≤x ≤5kπ+3π2，故函数的增区间为[5kπ−π,5kπ+3π2]，k ∈z ．函数的最大值为3，此时，25x −π10=2kπ+π2，即x =5kπ+3π2，k ∈z ，即f(x)的最大值为3，及取到最大值时x 的集合为{x|x =5kπ+3π2,k ∈z}． (3)设把f(x)=3sin(25x −π10)的图象向左至少平移m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即y =3sin(25x +π2)]．则由25(x +m)−π10=25x +π2，求得m =32π，把函数f(x)=3sin(25x −π10)的图象向左平移32π个单位，可得y =3sin(25x +π2)=3cos 25x 的图象．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．(2)根据正弦函数的单调性和最大值，求得f(x)的最大值及取到最大值时x 的集合．(3)由条件利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和最值，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=12cos2x +sinx ⋅(1−2sin 2x 2)=12cos2x +sinx ⋅cosx =12cos2x +12sin2x =√22sin(2x +π4)，因为f(x)≥12，所以√22sin(2x +π4)≥12，即sin(2x +π4)≥√22，所以2kπ+π4≤2x +π4≤2kπ+3π4，k ∈Z ，解得kπ≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ，所以使得f(x)≥12的x 的取值范围是[kπ,kπ+π4]，k ∈Z ．(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=√22sin(2x +π4)−√22sin(2x +3π4)=√22sin(2x +π4)−√22cos(2x +π4)=sin(2x +π4−π4)=sin2x ，因为对任意的x 1，x 2∈[0,t]，当x 1<x 2时，均有f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)成立，即对任意的x 1，x 2∈[0,t]，当x 1<x 2时，均有f(x 1)−g(x 1)<f(x 2)−g(x 2)成立，即对任意的x 1，x 2∈[0,t]，当x 1<x 2时，均有ℎ(x 1)<ℎ(x 2)成立，所以ℎ(x)=sin2x 在x ∈[0,t]上单调递增，所以0<2t≤π2，解得0<t≤π4，所以正实数t的最大值为π4．【解析】(1)由三角恒等变换化简f(x)，再由正弦函数的性质即可求解不等式；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，由诱导公式及辅助角公式进行化简，由题意分析可得ℎ(x)=sin2x在x∈[0,t]上单调递增，由正弦喊得性质即可求得t的取值范围，从而可求得t的最大值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵当x>0时，f(x)−f(1x)=lgx．lg2xax+b −lg2xax+b=lgx，即lg−lg=lgx，即lg(2xax+b ⋅a+bx2)=lgx，2x ax+b ⋅a+bx2=x．整理得(a−b)x2−(a−b)x=0恒成立，∴a=b，又f(1)=0，即a+b=2，从而a=b=1．∴f(x)=lg2xx+1，∵2xx+1>0，∴x<−1，或x>0，∴f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞) (2)方程f(x)=lgt有解，即lg2xx+1=lgt，∴t=2xx+1，∴x(2−t)=t，∴x=t2−t，∴t2−t <−1，或t2−t>0，解得t>2，或0<t<2，∴实数t的取值范围(0,2)∪(2,+∞)，(3)方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀，∴lg 2x x+1=lg(8x +m)，∴2x x+1=8x +m ，∴8x 2+(6+m)x +m =0，方程的解集为⌀，故有两种情况：①方程8x 2+(6+m)x +m =0无解，即△<0，得2<m <18，②方程8x 2+(6+m)x +m =0有解，两根均在[−1,0]内，g(x)=8x 2+(6+m)x +m则{△≥0g(−1)≥0g(0)≥0−1≤−6−m 16≤0解得0≤m ≤2(17分) 综合①②得实数m 的取值范围是0≤m <18．【解析】(1)由已知中函数，以构造一个关于a ，b 方程组，解方程组求出a ，b 值，进而得到f(x)的表达式；(2)由(1)中函数f(x)的表达式，转化为一个方程，分离参数，根据f(x)的定义域即可求出．(3)根据对数的运算性质，可将方程f(x)=lg(8x +m)，转化为一个关于x 的分式方程组，进而根据方程f(x)=lg(8x +m)的解集为⌀，则方程组至少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，属于中档题．20.【答案】14(14,12)【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b 的范围；【解答】解：函数f(x)={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0则f[f(0)]=f(e 0)=f(1)=14． x ≤0时，f(x)≤1，x >0，f(x)=−x 2+x +14，对称轴为：x =12，开口向下，函数的最大值为：f(12)=−14+12+14=12，x →0时，f(0)→14，方程f(x)=b 有且仅有3个不同的实数根，则实数b 的取值范围是：(14,12). 故答案为：14；(14,12).。

天津市2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析) (2)

高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题1.下列运算正确的是（） A. 2332a a a =B. 2332a a a ÷=C. 1220a a -=D.212a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据指数幂的运算公式，逐个检验，即可求出结果. 【详解】对于A ，22313333262a a a a +==，故A 错误；对于B ，3123221a a a a --÷==，故B 错误；对于C ，11322222=a a a a ---=，故C 错误；对于D ，211222a a a ⨯⎛⎫= ⎝⎭=⎪，故D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，属于基础题.2.已知幂函数()y f x =的图象过点2（，则函数()f x 的解析式为（） A. 2()f x x =B. 12()f x x =C. 12()f x x -=D.2()f x x -=【答案】B 【解析】【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，构造方程求出指数a 的值，即可得到函数的解析式．【详解】解：设幂函数的解析式为y ＝x a ，∵幂函数y ＝f （x）的图象过点(2，=2a，解得a 12=∴12()f x x = 故选B ．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法，属于基础题．3.函数()()()log 120,1a f x x a a =-+>≠恒过定点（） A. ()2,2 B. ()2,3C. ()1,0D. ()2,1【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠必过定点()10，，即可求出结果. 【详解】由对数函数的性质可知，当2x =时，函数()()()log 120,1a f x x a a =-+>≠恒过定点()2,2.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，熟练掌握对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠必过定点()10，是解决本题的关键. 4.函数2x y -=-与2xy =的图象（） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】【分析】令()2x f x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2x f x =，则()2xf x ---=-()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 5.已知α是锐角,那么2α是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180︒的正角 D. 不大于直角的正角【答案】C 【解析】【分析】根据α是锐角，得出2α的取值范围是()0,π，再判定2α的终边位置即可．【详解】∵α是锐角，即090α<<︒，∴02180α<<︒. 所以2α是小于180︒的正角．故选：C ．【点睛】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出2α的取值范围是关键． 6.已知tan 2α=,则sin cos 2cos ααα-的值为（）A. 2B. 12C. -2D. 12-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，对sin cos 2cos ααα-分子和分母同时除以cos α，利用sin tan cos ααα=，可将原式化简成tan 12α-，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知，sin cos tan 112cos 22αααα--==，故选：B. 【点睛】本题主要考查了同角的基本关系的应用，熟练掌握和应用sin tan cos ααα=是解题关键，属于基础题.7.已知2log 3a =,3log 2b =,13log 9c =,则a ,b,c 的大小关系为（）A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】A 【解析】【分析】利用对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩，可知10a b c >>>>，据此即可求出结果.【详解】因为22log 3log 2=1a =>，3330log 1log 2log 31=<<=，所以1a >，01b <<,0c <，所以c b a <<.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数的大小比较以及对数函数单调性的应用，属于基础题.8.为了得到函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将函数2sin 2y x =图象上所有的点（）A. 向左平行移动4π个单位 B. 向右平行移动4π个单位 C. 向左平行移动8π个单位 D. 向右平行移动8π个单位【答案】C 【解析】【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，可得结论．【详解】因为2sin 22sin 248y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故要得到2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度即可；故选：C ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题． 9.在ABC ∆中,tan tan tan A B A B ++=,则角C 等于( )A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】【分析】由两角和公式可得()tan tan tan ,1tan tan A BA B A B++=- 以及诱导公式可知()()tan tan tan A B C C π+=-=- ，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，据此即可求出结果.【详解】由两角和公式可得()tan tan tan ,1tan tan A BA B A B++=-由诱导公式可知()()tan tan tan A B C C π+=-=- ，所以tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，又tan tan tan A B A B ++=，所以tan C ()0,C π∈，所以3=C π.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的正切公式以及诱导公式的应用，属于基础题. 二､填空题10.求值:()2log lg10=______. 【答案】0 【解析】【分析】利用对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩，即可求出结果.【详解】()22log lg10log 10==. 故答案为: 0.【点睛】本题主要考查了对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩的应用，属于基础题.11.求值:2cos 3π=______. 【答案】12- 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式()cos cos παα-=-，即可求出结果. 【详解】21coscos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式()cos cos παα-=-的用法，属于基础题. 12.求值:sin72cos18cos72sin18︒︒+︒︒=______. 【答案】1 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】()sin72cos18cos72sin18sin 7218=sin90=1︒︒+︒︒=︒+︒︒. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，属于基础题. 13.函数()3sin 5πα+=,3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos α=______.【答案】45- 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式()sin +=sin παα-，可得3sin 5α=-，再根据3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】因为()3sin 5πα+=， ()sin +=sin παα-，所以3sin 5α=-，又3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-. 故答案为：45-. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式以及同角的基本关系，属于基础题.14.1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．【答案】2 【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .【答案】32- 【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质. 【此处有视频，请去附件查看】三､解答题 16.已知4sin 5α,且α是第二象限角. (1)求sin 2α的值; (2)求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2425-（2）10- 【解析】分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知3cos 5α=-，再利用二倍角公式即可求出结果；（2）根据（1）的结果利用两角和余弦公式，即可求出结果. 【详解】(1)∵4sin 5α,α是第二象限角,∴3cos 5α==-,∴4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.(2)∴cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭43525210=-⨯-⨯=-. 【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系和两角和的余弦公式，属于基础题.17.已知函数()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 取得最大值时的x 集合.【答案】（1）5114,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）5|4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最大值，以及此时的自变量x 的值．【详解】(1)()f x 在R 上的增区间满足:1222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴1522626k x k ππππ-+≤≤+,解得:54433k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 所以单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 单调递增区间为5114,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.(2)()max 12sin 223x f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，令：12232x k πππ-=+,k Z ∈，解得：543x k ππ=+,k Z ∈，函数()f x 取得最大值的x 集合为:5|4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 18.已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+.(1)求函数的()f x 定义域;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并用定义证明你的结论. 【答案】（1）()1,1-（2）()f x 是奇函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断．【详解】(1)由1010x x ->⎧⎨+>⎩,解得11x x >-⎧⎨<⎩,∴11x -<<,∴函数()f x 的定义域()1,1-.(2)函数()f x 是奇函数.证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+. ∵()()()()lg 1lg 1f x x x f x -=+--=-，所以函数()f x 是奇函数.【点睛】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键． 19.已知函数()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.【答案】（1）π（2）最小值-1 【解析】【分析】（1）利用三角函数的同角基本关系、二倍角公式和辅角公式，对解析式化简，可得()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出结果；（2）根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．利用正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最小值和最大值．【详解】(1)()44cos sin 2sin cos x x x x x f =-+()()2222cos sin cos sin 2sin cos x x x x x x =+-+cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∴()f x 的最小正周期22T ππ==;(2)在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,故当242x ππ+=时,函数()f x 取得最大值,当244x ππ+=-时,函数()f x 取得最小值为-1.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．1、在最软入的时候，你会想起谁。

2020年天津市河东区高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)

14.已知函数的图象关于轴对称,则在区 , 上的最大值为__.
三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程，
15.（1）已知，，求；
（2）化简： .
16.已知
（1）求函数的对称轴方程；
（2）求函数在，上的单调递增区间.
17.已知满足
(1)求的取值范围；
.
(2)由（1）得，
.
令，则，其中 .
∵函数的图象开口向上，且对称轴为，
函数在上单调递增，
当时，取得最大值，为；当时，取得最小值，为 .
函数的值域为 .
18.已知函数，其相邻两条对称轴间的距离为 .
（1）求的值；
（2）若，且，求值.
【答案】（1）3；（2）
【解析】
而y=log0.5t为减函数，
若函数y=log0.5（9-x2）为减函数，则必有x∈（-3，0）；
故答案为（-3，0）．
【点睛】本题考查复合函数的单调性，关键是掌握复合函数的单调性的判断方法，属于基础题．
12.若，则 =_____
【答案】
【解析】
【分析】
由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．
【详解】由题可得，
【详解】由题意可得，所以且，即定义域为，
故选B
【点睛】本题主要考查函数的定义域，由已知解析式的函数求其定义域，只需求使解析式有意义的的范围，属于基础题型.
3.已知点是角终边上的一点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可．
19.已知某海滨浴场海浪的高度（米是时刻，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：

天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析) (2)

高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共9小题）1.记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（）A. [)4,+∞B. (]1,4C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】【分析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥，集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥，所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，其中a R ∈，则“1a =-”是“12l l ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由12l l ⊥时，得到(2)1(2)0a a a -⨯+-=，解得1a =-或2a =，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，当12l l ⊥时，可得(2)1(2)(2)(1)0a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =，所以“1a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知3log 2a =，5log 6b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b <<B. c a b <<C. a b c <<D.c b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的图象与性质，求得(0,1)a c <∈，(1,)b ∈+∞，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得3log 2(0,1)a =∈，5log 6(1,)b =∈+∞，又由321log 2log 3a ==，21ln 2log c e==，因为3e >，所以22log 3log 1e >>，可得1a c <<，所以a c b <<. 故选：A .【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，3a =2b =，则ABC ∆的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 3【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理化简得222b c a bc +-=，再由余弦定理得1cos 2A =，进而得到3sin A =，利用余弦定理，列出方程求得4c =，最后结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理，可得()22b c a bc -=-，即222b c a bc +-=，又由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得23sin 1cos A A =-=，因为3a =2b =，由余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，即222(23)22c c =+-，即2280c c --=，解得4c =，所以三角形的面积为113sin 2423222S bc A ==⨯⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【解析】分析】由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到229a c b -=，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ，即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=22554()b bca b ==+-，所以4b =，又由2222549a c b =-=-=，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（） A. 4天 B. 5天C. 6天D. 7天【答案】B 【解析】【分析】由蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为318()2n n S -=-，又由莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为21n n T =-，根据4n n T S =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为314[1()]128()1212n n n S -⨯-==--，又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为1[12]2112nn n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2n n --=⨯-，解得5n =.故选：B .【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数()sin 3f x x x ωω=（0>ω，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的命题中正确的是（） A. 函数()g x 是奇函数 B. ()g x 的图象关于直线6x π=对称C. ()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]0,2 【答案】C 【解析】【分析】由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到()4sin(2)3g x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 32sin()3f x x x x πωωω==-，因为函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，可得22T π=，即T π=，所以2ω=，即()2sin(2)3f x x π=-，把函数()f x 沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，可得函数()4sin[2()]4sin(2)333g x x x πππ=+-=+，可得函数()4sin(2)3g x x π=+为非奇非偶函数，所以A 不正确；由()4sin(2)23663g πππ=⨯+=6x π=不是函数的对称轴，所以B 不正确；由,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，可得函数()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以C 正确；由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当203x π+=时，即6x π=-，函数取得最小值，最小值为()06g π-=，当232x ππ+=时，即12x π=，函数取得最大值，最大值为()412g π=，所以函数的值域为[]0,4，所以D 不正确. 故选：C .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8.在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2CN NB =，若AM AC AN λμ=+，则11λμ+=（）A.1312B.6413 C. 3512-D. 4013-【答案】D 【解析】【分析】根据向量的运算法则，化简得到131124AM AC AN =-，得到131,124λμ==-，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：11()66AM AC CM AC AB AC AC CB =+=-=-+ 515151131()666464124AC CB AC CN AC AN AC AC AN =-=-=--=-，又因为AM AC AN λμ=+，所以131,124λμ==-，所以11124041313λμ+=-=-. 故选：D .【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.已知函数()23323xxf x x -=++-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,+∞C. 373,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.373,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求得函数()f x 为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数()g x 在区间[]1,1-上有4个不同的零点，转化为()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()23323xxf x x -=++-，[]1,1x ∈-可得()()22332()33323xxxxf x x x f x ---=++--=++-=，所以函数()f x 为[]1,1-上的偶函数，当[]0,1x ∈时，()ln3ln34ln3()43333xxxxf x x x --'=-=⋅-++，可得()0f x '>，所以函数在[]0,1上单调递增，所以在[]1,0-单调递减，又由()()701,13f f =-=，所以函数()y f x =的图象，如图所示，要使得函数()()()log 2a g x f x x =-+在区间[]1,1-上有4个不同的零点，即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点，则满足0log 12a <<，解得2a >，即实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（共6小题） 10.已知复数21iz i+=-，则复数z 的虚部为______. 【答案】32【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简得1322z i =+，进而求得复数的虚部，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()2121311122i i i z i i i i +++===+--+，所以复数z 的虚部为32. 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.二项式1022x x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______. 【答案】180 【解析】【分析】求得二项展开式的通项10521102r rrr TC x-+=⋅，令2r ，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式1022x x ⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()()2rrrr r rr T C x C x x--+==⋅，令2r，可得223102180T C ==，即展开式的常数项是180.故答案为：180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知圆C ：222260x y x y +---=.直线l 过点()0,3，且与圆C 交于A 、B 两点，AB 4=，则直线l 的方程______.【答案】3y =或4390x y -+= 【解析】【分析】由圆C 得到圆心(1,1)C ，半径为22R =2d =，再由圆心到直线的距离，列出方程，求得k 的值，即可求得直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆C ：222260x y x y +---=，可化为22(1)(1)8x y ，可得圆心(1,1)C ，半径为22R =设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，又由圆的弦长公式，可得222AB R d =-，即2428d =-2d =，根据圆心到直线的距离为22132(1)k d k -+==+-，解得0k =或43k =，所以直线l 的方程3y =或4390x y -+=.【点睛】本题主要考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】1694π【解析】【分析】根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在SAC ∆中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正四棱锥S ABCD -，设正方形ABCD 的底面边长a ，因为四棱锥S ABCD -的体积为12，即221121233a SO a ⨯⨯=⨯⨯=，解得32a =，再正方形ABCD 中，可得6AC =，在直角SAO ∆中，2,3SO AO ==，可得222313SA +=，在直角SOC ∆中，2,3SO OC ==，可得222313SC =+=在SAC ∆中，由余弦定理可得222(13)(13)5cos 1321313ASC ∠==-⨯⨯，所以212sin 1cos 13ASC ASC ∠=-∠=，则SAC ∆外接圆的直径为132sin 2AC R ASC ==∠，解得134R =，即四棱锥S ABCD -外接球的半径为134R =，所以外接球的表面积为221316944()44S R πππ==⨯=，故答案为：1694π.【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.14.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种. 【答案】36 【解析】【分析】根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.【详解】根据题意可分2种情况讨论：（1）若小张或小赵入选，则有11322324C C A =种不同的选法；（2）若小张，小赵都入选，则有222312A A =种不同的选法，综上可得，共有241236+=种不同的选法. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是______.【答案】23【解析】【分析】将2222282xy xyx y x y +++化简、变形为43()42()4x y y xx yx y y x y x++++，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.【详解】由题意，33222242242243()2312821016()16()10x y xy xy x y xy y xx y x y x y x x y y y x+++==++++++2443()3()442()2()4x y x yy x y x x y x y x y y x y x y x++==+++++，设4x y t y x =+，则4424x y x y t y x y x=+≥⋅=，当且仅当4x y y x =，即2x y =取等号，又由2y t t=+在[4,)+∞上单调递增，所以2y t t =+的最小值为92，即292t t +≥，所以43()324223()4x yy xx yt x y y x t y x+≤=++++，所以2222242xy xy x y x y +++的最大值是23.故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（共5小题）16.某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[]100,150内，其中语文成绩分组区间是：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150.其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：分组区间[)100,110[)110,120[)120130, [)130140, []140,150:x y1:22:13:53:4语文人数x 24 3 数学人数y124（1）求图中a 的值及数学成绩在[)130140,的人数；（2）语文成绩在[]140,150的3名学生均是女生，数学成绩在[]140,150的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M 发生的概率；（3）若从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[]140,150的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .【答案】（1）数学成绩在[)130140,的人数为8人（2）3135（3）详见解析【解析】【分析】（1）由根据频率分布直方图的性质，求得0.030a =，再根据频率分布直方图数据，即可求解；（2）由事件M 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生三种情况，即可求解相应的概率；（3）由题意，得到X 可能取值有0,1,2，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图的性质，可得()0.0050.0200.0400.005101a ++++⨯=，解得0.030a =.则语文成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别为3,24,18,12,3，则数学成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别为6,12,30,8,4，所以数学成绩在[)130140,的人数为8人. （2）从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生，三种情况：所以事件M 发生的概率()2234434341743135C C C C C P M C ++==. （3）由题意可知X 可能取值有0，1，2.()208421214033C C P X C ===，()118421216133C C P X C ===，()02842123123311C C P X C ====， X 的分布列为 X12P1433 1633 111所以()1416120123333113E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S nn N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a+，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈;2n nb=，*n N ∈（2）21nn + 【解析】【分析】（1）由数列的通项n a 和n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列{}n b 的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项公式，得到答案.（2）由（1）可得()()()12122121nn c n n n =-+-+，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列{}n c 的前n 项和，得到答案.【详解】（1）由题意，数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，当1n =时，11a =当2n ≥时∴121n n n a S S n -=-=-，当1n =时也满足上式所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N=-∈.设数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，则22124311418a b b q a b b q +===⎧⎨+===⎩，∴12b =，2q，∴2n n b =，*n N ∈.（2）由（1）可得11n n n n n c a b a a +=+，所以()()()12122121nnc n n n =-+-+设(){}212nn -前n 项和为成n A ，()()12121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭前n 项和为n B ，()23123252212n n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ()23412123252212n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯∴()2312222222212nn n A n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()11822221212n n n ++-⨯=+---()16322n n -=-+-∴()16232n n A n +=+-⨯，*n N ∈∵()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴111111123352121n B n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ ∴()1623221n n nT n n +=+-⨯++ 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前n 项和，其中解答中熟记数列的通项n a 和n S 的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（225（3）存在,13CM CA =或523CM CA =.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；（3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，根据CM CA λ=，得到EM 的坐标，结合平面11A B E 的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴13BC又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A ，()13,0B -，13,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2A -，设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =()13,2AB =--，1322AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴11111132013202x z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，令13y =11x =，∴()1,3,1n = 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，133,22A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2033202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，∴()1,3,0m =， 2m =，5n =，4m n ⋅=，∴25cos ,25m n m n m n⋅===. 设二面角11A EB A --为α，则25cos cos ,m n α==∴设二面角11A EB A --25. （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，∵CM CA λ=，[]0,1λ∈， ∴()()1,,1,0,2x y z λ-=-，∴()1,0,2M λλ-∴13,22EM λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11A B E 的一个法向量为()1,3,0m =，∴22132112211132424λλλ--=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=.即()()312350λλ--=，∴13λ=或523λ=，∴13CM CA =或523CM CA =.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F 21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-（3）存在，()2,0P【解析】【分析】（1）由椭圆C 的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F 21，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；（3）设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C 的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F 21，可得2222221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得211a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211kk kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BPy x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 20.已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性；（2）当0m =且1a e ≥-时，()()1g x af x x=-+，求函数()g x 在(]0,e 上的最小值；（3）当0m =时，()()1(2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>. 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增（2）()min 1g x a e=-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数()()1cos 1f x x x'=--+，结合导数的符号，即可求得函数的单调性；（2）由()1ln g x a x x=-，求得()21ax g x x +'=-，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.（3）由()1ln 2h x x b x =+-，根据题意，得到111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=，两式相减，1212122ln x x x x x x -=，令()120,1x t x =∈，得到函数()12ln l t t t t =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()()sin 1ln f x x x =-+，则()()1cos 1f x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()cos 11x -<，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增. （2）由()()11ln g x af x a x x x =-+=-，则()2211a ax g x x x x+'=--=-，（1）当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0g x '<，此时图数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，∴函数()g x 在x e =处取得最小值，即()()min 1(g x g e a e==-；（2）当0a <时，令()10g x x a'=⇒=-，当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0g x '<，此时函数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()g x 在x e =处取得最小值，即()()min 1g x g e a e==-；综上所得()()min1g x g e a e==-.（3）证明：根据题意，()()1ln 02h x x b x x=+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点， ∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=.又∵()0,1t ∈，∴()0l t '≥恒成立，故()()1l t l <，即12ln 0t t t--<.可得112ln t t t->，∴121x x +>.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．1、在最软入的时候，你会想起谁。

天津市2020年高一上学期期末考试数学试题

第一学期期末考试高一年级数学学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第I 卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1.105sin 15cos 75cos 15sin +等于A. 0B. 1C.23 D. 212. 把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图象对应的函数解析式为 A. )421cos(πx y += B. )42cos(πx y +=C. )821cos(πx y +=D. )22cos(πx y +=3. 7.03=a ,37.0=b ,7.0log 3=c ,则c b a ,,的大小关系是A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. c a b <<4．设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 在ABC ∆中，若tan tan tan A B A B ++=⋅，且sin cos B B ⋅=，则ABC ∆的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等边三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形7．若02πα<<，02πβ<<-，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB． CD．- 8.已知函数22()4sin sin ()2sin 24x f x x x ωπωω=⋅+-()0ω>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是A ．(]0,1B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题共60分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．． 9. 求值：=-+-ππππ313cos 4tan 713cos )623sin( . 10．化简：7sin(2)cos()cos()cos()225cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα+--------++= . 11．函数21()21x x f x -=+的值域为 .12．已知奇函数()x f 的定义域为R ，且对任意实数x 满足()()2f x f x =-，当()1,0∈x 时，()21xf x =+，则121log 15f ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________. 13．已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是 .14.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-.则ϕ= ，0x = .15. 给出下列命题：（1）函数)32sin(4)(πx x f +=的图象关于点)0,6(π-对称；（2）函数)32sin(3)(πx x g --=在区间)125,12(ππ-内是增函数；（3）函数)2732sin()(πx x h -=是偶函数；（4）存在实数x ，使3cos sin πx x =+；（5）如果函数()3cos(2)f x x ϕ=+的图象关于点403π⎛⎫⎪⎝⎭，中心对称，那么ϕ的最小值为3π.其中正确的命题的序号是 .三．解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．． 16. （本小题满分10分）设函数()cos(2)22,(,)3f x x x m x R m R π=+++∈∈，（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值．17．（本小题满分10分）已知]2,0[,cos sin sin )(2πx x x x x f ∈+= （1）求)(x f 的值域；（2）若65)(=αf ，求α2sin 的值。

天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析) (3)

高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题）1.设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（）A. {}2B. {}3C. {}4D. {}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是（）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“3542S S S +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据前n 项和n S 与通项之间的关系化简判断即可. 【详解】等差数列{}n a 的公差为d ,3542S S S +>,345344S S a S a S ∴++>++,540a a d ∴-=>则“0d >”是“3542S S S +>”的充要条件, 故选：C ．【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和n S 的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.5.设0.231012143a b og c lg =-==，，，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】【分析】判断每个数的大致范围再分析即可. 【详解】0.20221,0a >=∴<,331031,13log log b >=∴>, 1410,01lg lg lg c <<∴<<,a cb ∴<<,故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.6.过点A （-1，0），斜率为k 的直线，被圆（x-1）2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（）A. 3±B.3 C. 3± D. 3【答案】A 【解析】试题分析：设直线为,根据弦长公式,可得：,,解得：,故选A.考点：直线与圆的位置关系 7.函数ππ30966x xy sin cos x =≤≤（）的最大值与最小值之和为（）A. 13--B. 1-C. 0D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析【详解】函数1332662626xxx xy sincossin cos ππππ==-（）263x sin ππ=-（）,由09x ≤≤,得73636x ππππ-≤-≤,所以163x sin ππ≤-≤（）, 所以y的最大值为2,最小值为所以y 的最大值与最小值之和为2-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了辅助角公式应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（） A. 2 B. 1:2C. 1:D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ，又F （0，1），A （2，0），∴直线FA 为：x +2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN∴==， :FM MN =9.四边形ABCD 中，129090BC AC ABC ADC ∠∠====，，，，则AC BD ⋅的取值范围是（）A. []13-，B. 31--（，）C. ()31-， D.33⎡⎤-⎣⎦，【答案】C 【解析】【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为90,90ABC ADC ∠∠=︒=︒,故,,,A B C D 四点共圆.又1,2BC AC ==,易得3,60,30AB ACB CAB =∠=︒∠=︒.AC BD ⋅()32332AC BA AD AC BA AC AD AC AD AC AD ⎛⎫=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.易得当D 在A 时3AC AD -+⋅取最小值3-,当D 在C 时3AC AD -+⋅取最大值2321-+=.故AC BD ⋅的取值范围是()31-，.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D 的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型. 二、填空题（本大题共6小题） 10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.曲线21xy x =-在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】20x y +-= 【解析】()()2221212121x x y x x --⋅-=--'=，故切线方程的斜率()211211k -==-⨯-又()111211f ==⨯- ，故曲线21x y x =-在点处的切线方程为()111y x -=--整理得20x y +-= 即答案为20x y +-=12.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，2AB =，则此球的表面积等于______．【答案】17π 【解析】【分析】根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可. 【详解】因为四边形ABCD 是正方形,且PA ⊥平面ABCD , 所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积212433V h h =⨯⨯=⇒=. 则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3, 它们的外接球是同一个,设外接球直径为D ,所以222222317D =++=,所以表面积为22417S R D πππ===．故答案为：17π【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.13.设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为；渐近线方程为 . 【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______．【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y y x y y y y -∴+=+=--,令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111133455241999t t t t x y t t t t t t++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+⋅=（）（）, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案为：1(1)2(2)1【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.对于实数a和b，定义运算“*”：33*a ab a ba bb b a a b⎧-≤=⎨->⎩（），（），，设21*1f x x x=--（）（）（），若函数2g x f x mx m R=-∈（）（）（）恰有三个零点123x x x，，，则m的取值范围是______；123x x x的取值范围是______．【答案】 (1).14（，） (2).13-（，）【解析】【分析】分析21x-与1x-的大小关系,再化简2f x mx-（）画图分析求解即可.【详解】当211x x-≤-时,即30,21x f x x x≤=-（）（）,当211x x->-时,即30,1x f x x x>=--（）（）,所以3321,01,0x x xf xx x x⎧-≤=⎨-->⎩（）（）（）,因为g x（）有三个零点,所以f x（）与2y mx=的图象有三个交点,即21,010x x xk xx x x-≤⎧=⎨-->⎩（）（）（）与函数y m=有三个交点,作出k x（）的图象,如图,其中0x>时，函数()k x最大值为111(1)224--⨯=.所以14m<<,不妨设123x x x<<,易知2x>,且231x x+=,所以22323124x xx x+<<=（）由12140x x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩（）解得x =,所以1104x <<1230x x x <<．且当m 无限接近14时123x x x当m 无限接近0时123x x x 趋近于0. 故答案为：10,4（）；.）【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析123x x x 随m 的变化情况,属于中等题型. 三、解答题（本大题共5小题）16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为（Ⅰ）求a 及sinC 的值；（Ⅱ）求π26cos A -（）的值．【答案】（Ⅰ）3a =， 9sinC =（Ⅱ 【解析】【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==ABC的面积为16,3,22233bc bc sinA bc b c ⋅=⋅===∴==, 3a ∴===．再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,9223sinCsinC=∴=．（Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA∴==⨯⨯=）272219cos A cos A=-=-,故734214273 222666992cos A cos Acos sin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，已知直三棱柱111ABC A B C-的底面是直角三角形，1190223ACB AA AB BC DC CD∠=︒====，，．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的余弦值；（Ⅲ）求点1B到平面1A BD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ6）（Ⅲ2）【解析】【分析】(Ⅰ)根据直三棱柱中90ACB∠=︒可以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面1A BD 的法向量m并证明1//AB m即可.(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面1A BD的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点1B 到平面1A BD 的距离为112AB ,再求解即可. 【详解】依题意,以C 为原点,CB 为x 轴,1CC 为y 轴,CA 为z 轴,建立空间直角坐标系,则1110,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,3,3C B C B A A （）（）（）（）（）（）, 13DC CD =，10,,02D∴（）, （Ⅰ）证明：1111,2,3,1,2,3,1,,02AB A B BD =-=--=-（）（）（）, 设平面1A BD 的一个法向量为,,m x y z =（）,则123012m A B x y z m BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3z =则1,3m =--（）, 1AB m ∴=-,即1//AB m ,1AB ∴⊥平面1A BD ；（Ⅱ11,0,3,1,,02AB BD =-=-）（）（）, 设平面ABD 的一个法向量为,,n a b c =（）,则3012n AB a c n BD a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3c =,则3,6,3n =（）, 又平面1A BD 的一个法向量为1,3m =--（）,,14m n cos m n m n ⋅∴<>==+⋅,即二面角1A BD A --的余弦值为4（Ⅲ）设点1B 到平面1A BD 的距离为d ,则易知112B d A =,而11AB =+=∴点1B 到平面1A BD ．【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明空间中的垂直问题以及二面角的计算方法等.需要根据题意找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再利用对应的公式求解即可.属于中等题型.18.已知椭圆C 的一个顶点为01A -（，），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ．i （）当00k m >≠，时，射线OE 交直线3x =-于点3D n O -（，）（为坐标原点），求22k n +的最小值；ii （）当0k ≠，且AM AN =时，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）（i ）2；（ii ）()0,2.【解析】【分析】（Ⅰ）利用点到线的距离公式与222a b c =+求解即可.（Ⅱ）i （）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M ,N 的二次方程与韦达定理,继而得出点E 的坐标,再化简求得22n k +的解析式,利用,n k 的关系换元求最值即可.ii （）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,再表达出斜率的关系式化简利用,n k 的关系求m 的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）,设椭圆的右焦点,0,0c c >（）,由题意得：2221,3b a b c ===+,解得：223,1a b ==,所以椭圆的方程：2213x y +=；（Ⅱ）（i ）设()11,M x y ,()22,N x y ,将直线与椭圆联立整理得：2222222136330,36413330k x kmx m k m k m +++-==-+->（）（）（）,即2213m k <+,且122631km x x k +=-+，()121222231my y k x x m k ∴+=++=+, 所以MN 的中点223,1313km m E k k -++（）, 所以射线OE ：13y x k =-,与直线3x =-的交点13,k -（）,所以1n k =, 所以222212n k k k+=+≥,当且仅当21,0k k =>,所以1k =时22n k +有最小值2．（ii ）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,所以1AE MNk k =-,即22221113,213,2313mk m k m m km kk++=-∴=+∴>-+,解得02m <<, 所以m 取值范围,2（0）．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.19.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且122538433a b a b a b a ===+=，，，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令23nn a c log =，证明：233411111*2n n n N n c c c c c c +++⋯+<∈≥（，）；（Ⅲ）求1*ni n N =∈）．【答案】（Ⅰ132n n a -=⋅）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ323223nn +-⋅）【解析】【分析】(Ⅰ) 设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.(Ⅱ)先求得n c ,再利用裂项相消求和证明即可. (Ⅲ)代入n b ,再利用错位相减求解即可.【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,由12253843,,3,a b a b a b a ===+=,可得231113,433,73b d q b d q b d q +=+=++=,解得12,3,3q d b ===,则132,3313n n n a b n n -=⋅=+-=（）；（Ⅱ）证明：122213n nn a c log log n -===-, 23341111111111111111122312231n n c c c c c c n n n n n+++⋯+=++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯⨯--；（Ⅲ）23n n==,可设1246239273nn n i nT ===+++⋯+, 1124623927813n n nT +=+++⋯+, 相减可得12222223392733n n n n T +=+++⋯+-11111223332113313n n n n n ++-+=⋅-=--（）,化简可得1323223nn i n =+=-⋅．【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.20.已知函数f x lnx ax a R =-∈（）（）．（Ⅰ）讨论f x （）的单调性；（Ⅱ）若2f x x ≤（）对0x ∞∈+（，）恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当1a =时，设1f x g x xe x e -=--（）（）（为自然对数的底.）若正实数12λλ，满足12121210x x x x λλ∞+=∈+≠，，（，）（），证明：11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ[1∞-+），）（Ⅲ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）求导后讨论a 的取值范围进行分析即可（Ⅱ）参变量分离后有lnxa x x≥-恒成立,再设函数求导分析最大值即可. （Ⅲ）先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可. 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为{}10,'x x f x a x=-（）, ①当0a ≤时,'0f x >（）,函数f x （）在0,∞（+）上单调递增； ②当0a >时,令'0f x >（）解得10x a <<,令'0f x <（）解得1x a>,故此时函数f x （）在10,a （）上单调递增,在1,a∞+（）上单调递减；（Ⅱ2f x x ≤）（）对0,x ∈+∞（）恒成立,即为对任意的0,x ∈+∞（）,都有lnxa x x≥-, 设0lnx F x x x x =->（）（）,则22211'1lnx lnx x F x x x ---=-=（）,令210G x lnx x x =-->（）（）,则1'20G x x x =--<（）, G x ∴（）在0,∞（+）上单调递减,且10G =（）,∴当0,1x ∈（）时,0,'0,G x F x F x >>（）（）（）单调递增；当1,,0,'0,x G x F x F x ∞∈+<<（）（）（）（）单调递减,11max F x F∴==-（）（）, ∴实数a 的取值范围为[1,-+∞）．（Ⅲ）证明：当1a =时,111,'100lnx x x lnx x x g x xe x xe x e x g x e x ---=--=--=--=->>（）（）（）（）,不妨设120x x <<,下先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 构造函数211121g x g x Hx g x g x x x x x -=----（）（）（）（）（）（）,显然12H x H x =（）（）,且2121''g x g x H x g x x x -=--（）（）（）（）,则由导数的几何意义可知,存在12,x x ξ∈（）,使得2121''0g x g x H g x x ξξ-=-=-（）（）（）（）,即存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 又'1xg x e =-（）为增函数, 2121121''g x g x g x x g x x x ξ∴-=->-（）（）（）（）（）（）,即21121'g x g x g x x x >+-（）（）（）（）,设31122121x x x λλλλ=++=（）,则1311222322111,1x x x x x x x x λλλλ-=---=--（）（）, []133********''1g x g x g x x x g x g x x x λλ∴>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）①, []23323332211''1g x g x g x x x g x g x x x λλ>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）②,由12λλ⨯+⨯①②得,112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+（）（）（）（）, 即11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（）【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.。

2020年天津市南开区高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)

（4）图的建议是：支出不变，提高票价；
上面说法中正确的是（）
A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（2）（3）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.
【详解】根据题意和图知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，收入是但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
【详解】取，，成立，但不成立，则“ ” “ ”.
当，则，由不等式的性质得，，
即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.
5. 等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
A. 个B. 个C. 个D. 个
二．填空题（共5小题）
11.已知幂函数的图象过点，则 ____________．
12.设，使不等式成立的的取值范围为___________.
13.若函数的值域是，则实数的取值范围是______．
14.△ABC中，，，则 =_____．
15.已知，，且，则的最大值是_______．
由图看出，当乘客量为时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.
9.已知三个函数，，的零点依次为、、，则（）

2020-2021学年天津市部分区高一数学上学期期末考试练习试题含解析

〖解析〗
〖分析〗
由于函数，，进而根据函数平移变换即可得答案.
〖详解〗解：由于，，
故为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得 .
故选：C.
〖点睛〗易错点点睛：本题考查三角函数平移变换，解题时需要注意时，到平移的单位为个单位.
7.已知，且，则的值为（）
天津市部分区2020-2021学年高一数学上学期期末考试练习试题（含解析）
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则集合（）
A. B.
C. D.
〖答案〗D
〖解析〗
〖分析〗
首先求出，再根据并集的定义计算可得；
8.已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（）
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗
〖分析〗
先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.
〖详解〗设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即
所以弧长为，则
这个扇形的面积为
故选：B
9.已知函数为偶函数，当时，，则的值为（）
〖详解〗解：因为，解得或，
因为
“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：．
5.已知，，，，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗
〖分析〗
根据指对数函数的单调性，借助中间量比较大小即可得答案.
〖详解〗解：因为指数函数在定义域内是增函数，所以；
由于对数函数在定义域内是减函数，所以；

天津市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

考生务必将答案涂写在答题纸的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．已知20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是（）A．a c b<<B．a b c<<C．b a c<<D．b c a <<3．已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（）A．13B．14C．112D．112-4．函数y x a =+与xy a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是()A．B．C．D．5．已知函数()tan()(0||,0)2f x x πωϕϕω=+<<>的最小正周期为2π，且()f x 的图象过点(,0)3π，则方程()sin(2)([0,])3f x x x ππ=+∈所有解的和为（）A.76πB.56πC.2π D.3π天津一中２０２０－２０２１学年高一上学期期末考试　数学试题6．已知f (x )＝(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是()A．(0,1)B．[17，13)C．(0，13)D．(19，13)7．若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值．A．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，且与b 无关（）C．与a 无关，且与b 有关D．与a 无关，且与b 无关8．已知函数sin()(0,0,2y A x b A πωϕωϕ=++>><的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（）A.222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B.242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈C.227,318318k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈ D.272,-318318k k ππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈9．将函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若直线6x π=是()g x 的图象的一条对称轴，则（）A.()f x 为奇函数B.()g x 为偶函数C.()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D.()g x 在,159ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10．已知函数2()2x f x -=，2sin 2,0()()2,a x x g x a R x a x +≥⎧=∈⎨+<⎩，若对任意x 1∈[1，+∞），总存在x 2∈R，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A．1(,)2-∞B．13(,[,2]42-∞ C．1(,[1,2]2-∞ D．37(1,][,2]24第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.1sin 250cos 290+=︒︒______．12．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是13．已知函数f (x )＝221xx b -+为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝____，b ＝____.14．若函数212()log (45)f x x x =-++在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为15．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是①()g x 的最小正周期为π②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-16．设函数()2,01,04x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩则()0f f ⎡⎤=⎣⎦_______；若方程()f x b =有且仅有1个实数根，则实数b 的取值范围是_______．三．解答题：本大题共4小题共46分。

2020年天津市静海一中高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)

【详解】（1）令，则，
所以
，
又，而，故，
所以，所以
.
（2）（i），
因为，所以，
所以，所以 .
（ii）因为，，故，
所以， .
而
.
【点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
16.已知函数．
（1）求的最小正周期及增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．
【答案】(1)最小正周期为，增区间为；(2) 时，；时， .
【解析】
【分析】
（1）利用三角变换公式可将化为，利用周期公式和复合函数的单调性的处理方法可求的最小正周期及增区间.
2020年天津市静海一中高一数学必修一上学期期末考试（含答案和解析）第I卷基础题（共105分）
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
2.已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.已知：，，则是成立的（）
（3）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围（为自然对数的底数）．
2020年天津市静海一中高一数学必修一上学期期末考试（含答案和解析）第I卷基础题（共105分）
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】

天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{|13}A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则集合()RA B =（）A. {}1,0-B. ()1,1(2,3]-⋃C. (0,1)(1,2)(2,3]⋃⋃D. {}0,3【答案】D 【解析】【分析】根据集合{|13}A x Z x =∈-<≤，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可. 【详解】解：{}{|13}=0,1,2,3A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，{}|12R B=x x x ≠≠且，则()RAB ={}0,3.故选：D.【点睛】本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题. 2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（）A. -10B. 15C. 10D. 9【答案】D 【解析】【分析】根据条件分析，可知()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，进而可以求出()()63f f +-的值.【详解】解：()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，即()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，所以()()639f f +-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A. 22230x y x +--= B. 2240x y x ++= C. 22230x y x ++-= D. 2240x y x +-=【答案】D 【解析】【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=．故选D ．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5.设0.22a =，3log 0.9b =，0.11log 4c =+，则,,a b c 的大小关系是（） A. a c b >>B. b c a >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算可以化简0.14og .l 0c =，所以可得01c <<.同理可知12a <<，10b -<<，由此可以比较,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.22a =，则12a <<，333log 0.9log 9log 10b ==-，10b -<<，0.10.11log 4.log 04c =+=，所以01c <<，所以a c b >>.故选：A.【点睛】本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题. 6.将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（） A. 34π-B. 4π-C.4π D. 54π【答案】B 【解析】【分析】先根据题意化简sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()1sin 22y x ϕ=+，再沿x 轴向左平移8π，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据得到的函数为偶函数，所以可知,42k k Z ππϕπ+=+∈，由此解出,4k k Z πϕπ=+∈，逐一判断选项即可得出结果.【详解】解：()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，沿x 轴向左平移8π个单位后，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，解得：,4k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的取值不可能是4π-. 故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7.抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（）C. 2【答案】C 【解析】【分析】由直线AF 与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，||8AF =，所以利用抛物线的定义，可求出A 点坐标，从而求出直线AF 的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率ba=. 【详解】解：()(),0A m n n >，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行. ||8AF =，F 为抛物线的焦点，所以6m =，代入28n m =，则n =即(6,A ，AF k ==，所以b a =，所以该双曲线的离心率为2e ==.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8.某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（） A.136B.112C.16D.13【答案】C 【解析】【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可. 【详解】解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9.已知函数21)110()20x x f x x x x x ++-<≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩.若方程()1f x kx =+有两个实根，则实数k 的取值范围是（）A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 2(1,]ln 2C. (1,2]D.12,2ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】逐段分析函数()f x 的单调性和最值，)x ∈+∞时，22()x x f x x++=，以1y x =+为渐近线，所以1k >时，与22()x x f x x++=，)x ∈+∞有一个交点.当1y kx =+与()1)1f x x =++相切时，即2ln 2k <时，1y kx =+与()1)1f x x =++有一个交点，由此，可求出k 的取值范围.【详解】解：当10x -<≤时，()1)1f x x =++，在(]1,0-上单调递增，在0x =处有最大值1．当0x >时，22()x x f x x++=，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，在x处取得最小值1．以1y x =+为渐近线，直线1y kx =+与()1)1f x x =++必有一个交点，若方程()1f x kx =+有两个实根，则令一根在)+∞上，所以斜率1k >，且不能与()1)1f x x =++相交，'()f x =，'2(0)ln 2f ==.所以斜率k 的取值范围是2(1,]ln 2. 【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 10.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ＝3．故答案为3【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.已知a ＞0，62(?)a x x 的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为（用数字作答）．【答案】1 【解析】试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x的展开式中各项系数和为1 考点：二项式定理.12.设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望EX =__________．X1 2 3 4P13m14 16【答案】94【解析】【分析】利用分布列中概率和为1可求出14m =，然后通过求期望的公式即可求出期望值.【详解】解：1111346m +++=，所以14m =.所以11119123434464EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：94. 【点睛】本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于______．【答案】8π 【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 6032AA ⨯⨯⨯⨯=，∴12AA =， ∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴3BC =，设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于24(2)8ππ=. 考点：1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.14.如图，在ABC 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =，AQ nAC =，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=__________．【答案】 (1). 35 (2). 25【解析】【分析】(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，根据平行线等分线段成比例，求出13BN AQ =，12NB CQ =，进而得出1123CQ QA =，从而推导出,AQ AC 之间的关系. (2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出||AP ，||AQ 的长，又45BAC ∠=︒，由向量的数量积公式即可计算结果.【详解】解：(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，32AP AB =，则13BN AQ = .又2CM MB =，则12NB CQ =，∴ 1123CQ QA =，35AQ AC =. (2). 32AP AB =，所以39||322AP =⨯=，35AQ AC =，312||455AQ =⨯=，AP AQ ⋅=9122272||||cos 452525AP AQ ⋅=⨯⨯=. 故答案为：35，2725.【点睛】本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15.已知正实数,x y 满足22412x y xy +=+，则当x =__________时，121x y xy++的最小值是__________．【答案】 (1). 12(2). 6 【解析】【分析】利用基本不等式可知12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号.而121x y xy ++运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122y x ==时取得最小值，由此得解.【详解】解：由题意可知：224124x y xy xy +=+≥=，即12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号，2121112x y xy xy xy ++≥=+=-∴226≥-=，当且仅当“122y x ==”时取等号. 故答案为：12，6. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共1421516275⨯++⨯=分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值；（2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）cos C =（2【解析】【分析】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值. （2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又cos C =，进而可求出sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果.【详解】解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =,又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=, 解得25cos C =. （2）由（1）知5sin C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+ 3314433525-=-⋅+⋅=【点睛】本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π．（3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅．由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1M 作直线1l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O :2224a x y +=于另一点N .若ABN 的面积为3，求直线1l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12±【解析】【分析】（1）由题意可知：当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解出,,a b c 的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l 的方程为1y kx =+，直线2l 的方程为11y x k=-+，分别与椭圆和圆联立，用K 表示出线段AB 的长和点N 到直线1l 的距离，表示出ABN 的面积，即可求出斜率的值. 【详解】解：（1）∵椭圆C离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时， 12PF F △.∴22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C的方程为：22143x y +=.（2）若1l 的斜率为0，则||3AB =，||2MN =， ∴ABN 的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2234880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B xy ，则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+， ∴||AB ==直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=， ∴||MN ==.∴ABN 的面积211||||32234S AB MN k =⋅=⋅=+，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±.【点睛】本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a 、5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较()()11211nk k k k a a a =++--∑与12的大小，并说明理由；（3）若数列{}n b 满足()*21log n n b a n N+=∈，在每两个kb与1k b +之间都插入()1*2k k N -∈个2，使得数列{}n b 变成了一个新的数列{}p c ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p c 的前m 项和2019=m S ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）12n n a （2）111112212n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,详见解析（3）存在992m =，使得2019=m S【解析】【分析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：()()1211k k k a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，对通项裂项可得：()()1112111221212121k k k k k -++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由（2）可知：212log log 2nn n b a n +===数列{}p c 中含有12,,,n b b b 含有个2，所以数列{}pc 中，kb 的前所有项之和为()0122(123)22222k S k -=+++++++++，求出S ，代入k 的具体值，可知当10k =时，1077S =，当11k =时，2112S =，所以在10k =的基础之上加上471个2可得2019S =，把前面所有项的个数加起来即可得到m 的值.【详解】解：（1）由42a +是3a ，5a 的等差中项，得35424a a a +=+， ∴34543428a a a a ++=+=,解得48a =. ∴3520a a +=，从而1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵1q >，∴解得2q . ∴11a =，从而12n na .（2）由（1）知()()()()11112211111221212121k k k k k k k k a a a -++++⎛⎫==- ⎪------⎝⎭. ∴()()11211nkk k k a a a =++--∑12231111111111221212212122121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ （3）212log log 2nn n b a n +===.根据题意，数列{}p c 中，k b （含k b 项）前的所有项的和为：()0122(1)(123)22222222k k k k S k -+=+++++++++=+-. 当10k =时，10552210772019S =+-=<，当11k =时，11662221122019S =+-=>，又∵201910779424712-==⨯, ∴()28101222471992m =++++++=时，2019=m S ，∴存992m =，使得2019=m S .【点睛】本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及学生分析问题的能力，属于难题.20.设函数()xf x ae =，()lng x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数.（1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切；（3）当22a e≥时，证明：()[()]f x x g x b >-. 【答案】（1）最小值2e --（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()F x 的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切，及()y f x =与()y g x =永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当22a e ≥时，ln 0x ae x x->.令()ln (0)x ae G x x x x =->，求导求令()G x 的最小值大于0即可.【详解】解：（1）1()x F x xe-=，1()(1)x F x x e'-=+，当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，故1x =-时，()F x 取得最小值()21F e --=-.（2）∵()1x f x e -'=，∴()1x f x e -=在点()1,m m e-处的切线方程为11(1)m m y ex m e --=+-；∵()1g x x'=， ∴()ln g x x b =+在点(),ln n n b +处的切线方程为1ln 1y x n b n=++-. 由题意得111(1)ln 1m m e nm e n b --⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，则1(1)e 0m m m b ---+=. 令1()(1)n h m m em b -=--+，则1()1m h m me '-=-，由（1）得1m <-时，()h m '单调递增，又()10h '=，1m <时，0h m ，∴当1m <时，0h m ，()h m 单调递减；当1m 时，0h m，()h m 单调递增.由（1）得21(1)(2)110b h b b ee--=-+-+>，又2233(3)(2)23(2)(3)23024bh b b eb b b b b -⎛⎫-=-+->--+-=-+> ⎪⎝⎭，()110h b =-<，所以函数()h m 在()1,1b -和()1,3b -内各有一个零点，故当1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（3）()[()]ln 0xae f x x g x b x x>-⇔->.令()ln (0)xae G x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()G x 的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()x x a x e a x e xG x x x x '---=-=. ①当01x <≤时，()0G x '<，()(1)0G x G ae =>；②当1x >时，2(1)()(1)x a x x G x e x a x '⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦，令()(1)xx H x e a x =--，21()0(1)xH x e a x '=+>-，又2222(2)0ae H e a a -=-=，取()1,2t ∈且使2(1)t e a t >-，即2211ae t ae <<-，则22()0(1)ttH t e e e a t =-<-=-，∵()()20H t H <,故()H x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()G x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae G x x x =-，且()()000001xx H x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1G x x x =--， ∵()()0201101G x x x '=-<-，故()0G x 是()1,2上的减函数. ∴()0(2)1ln 20G x G >=->,所以()0G x >. 综上，当22a e≥时，()[()]f x x g x b >- 【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.1、在最软入的时候，你会想起谁。

2019-2020学年天津一中高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）1. 函数f(x)=ln (x +1)−2x 的零点所在的大致区间是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)2. 设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 23π，则（） A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <c <a3. 若θ∈[π4, π2]，cos 2θ=−18则sin θ＝（） A.35B.34C.√74D.454. 下列函数中，以π2为最小正周期的偶函数是（）A.y ＝sin 2x +cos 2xB.y ＝sin 2x cos 2xC.y ＝cos (4x +π2)D.y ＝sin 22x −cos 22x5. 在△ABC 中，满足tan A ⋅tan B >1，则这个三角形是（） A.正三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6. 已知tan (α+β)=25，tan (β−π4)=14，则tan (α+π4)的值等于（） A.1318 B.322C.1322D.3187. 将函数y =√3cos x +sin x(x ∈R)的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A.π6 B.π12C.π3D.5π68. 函数y ＝A sin (ωx +φ)在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（）A.y ＝2sin (2x +2π3) B.y ＝2sin (2x +π3) C.y ＝2sin (x2−π3) D.y ＝2sin (2x −π3)9. 对于函数f(x)＝sin (2x +π6)的图象，①关于直线x =−π12对称；②关于点(5π12, 0)对称；③可看作是把y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位而得到；④可看作是把y ＝sin (x +π6)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍而得到．以上叙述正确的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. 已知函数f(x)＝sin 2ωx 2+12sin ωx −12(ω>0)，x ∈R ，若f(x)在区间(π, 2π)内没有零点，则ω的取值范围是（） A.(0, 18]B.(0, 14]∪[58, 1)C.(0, 58]D.(0, 18]∪[14, 58]二.填空题（共6小题）已知点P(x, 3)是角θ终边上一点，且cos θ=−45，则x 的值为________．已知π2<α<π，且cos (α−π6)=−45，则cos α的值为________．已知一个扇形的弧长为πcm ，其圆心角为π4，则这扇形的面积为 2π cm 2．已知函数f(x)＝a sin x +b tan x −1(a, b ∈R)，若f(−2)＝2018，则f(2)＝________．定义在R上的奇函数f(x)满足：对于任意x∈R有f(x+3)＝−f(x)．若tanα＝2，则f(15sinαcosα)的值为________．己知函数f(x)={73x+3(x≤0)−x2+2x+3(x>0)，g(x)=√3sin x+cos x+4，若对任意t∈[−3, 3]，总存在s∈[0,π2]，使得f(t)+a≤g(s)(a>0)成立，则实数a的取值范围为________．三、简答题（共4小题）已知0<α<π2，sinα=45．（1）求tanα的值；（2）求cos(2α+π4)的值；（3）若0<β<π2且cos(α+β)=−12，求sinβ的值．已知−π2<x<0,sin x+cos x=15．(Ⅰ)求sin x−cos x的值．(Ⅱ)求3sin 2x2−2sin x2cos x2+cos2x2tan x+cot x的值．已知函数f(x)=4tan x sin(π2−x)cos(x−π3)−√3；（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）求f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性与最值．已知函数f(x)=m−22x+1是定义在R上的奇函数，（1）求实数m的值；（2）如果对任意x∈R，不等式f(2a+cos2x)+f(4sin x−√2a−1−7)<0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年天津一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】D二.填空题（共6小题）【答案】−4【答案】−3−4√310【答案】2π【答案】−2020 【答案】 0【答案】 (0, 2]三、简答题（共4小题）【答案】∵ 0<α<π2，sin α=45， ∴ cos α=√1−sin 2α=35，∴ tan α=sin αcos α=43， ∵ sin 2α＝2sin αcos α=2425，cos 2α＝cos 2α−sin 2α=−725∴ cos (2α+π4)=√22(cos 2α−sin 2α)=√22(−725−2425)=−31√250，∵ 0<α<π2，0<β<π2， ∴ 0<α+β<π， ∵ cos (α+β)=−12， ∴ sin (α+β)=√32， ∴ sin β＝sin [(α+β)−α]＝sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α=4+3√310【答案】（1）∵ −π2<x <0，∴ sin x <0，cos x >0，则sin x −cos x <0，又sin x +cos x =15，平方后得到 1+sin 2x =125， ∴ sin 2x =−2425∴ (sin x −cos x )2＝1−sin 2x =4925，又∵ sin x −cos x <0， ∴ sin x −cos x =−75．(2)3sin 2x 2−2sin x 2cos x 2+cos 2x2tan x +cot x =2sin 2x2−1−2sin x +21sin x cos x＝(−cos x −sin x +2)sin x cos x =(2−15)(−1225)=−108125 【答案】由tan x有意义得x≠π2+kπ，k∈Z．∴f(x)的定义域是{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，f(x)＝4tan x cos x cos(x−π3)−√3=4sin x cos(x−π3)−√3=2sin x cos x+2√3sin2x−√3＝sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)．∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z．令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z．[−π12+kπ, 5π12+kπ]∩[−π4, π4]＝[−π12, π4]，[5π12+kπ, 11π12+kπ]∩[−π4, π4]＝[−π4, −π12]，∴f(x)在[−π12,π4]上单调递增，在[−π4,−π12]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(−π12)＝−2，又f(−π4)＝−1，f(π4)＝1，∴f(x)的最大值为f(π4)＝1．【答案】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，即m−22x+1+m−22−x+1=0，即2m−2＝0，即m＝1．f(x)=1−22x+1，任取x1<x2，则f(x1)−f(x2)=21+2x2−21+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，因为x1<x2，所以2x1<2x2，所以f(x1)−f(x2)<0，所以函数f(x)在R上是增函数．因为f(2a+cos2x)+f(4sin x−√2a−1−7)<0，且f(x)是奇函数．所以f(2a+cos2x)<−f(4sin x−√2a−1−7)=f(√2a−1−4sin x+7)，因为f(x)在R上单调递增，所以2a+cos2x<√2a−1−4sin x+7，即2a−√2a−1<−cos2x−4sin x+7对任意x∈R都成立，由于−cos2x−4sin x+7＝(sin x−2)2+2，其中−1≤sin x≤1，所以(sin x−2)2+2≥3，即最小值为3．所以2a−√2a−1<3，即2a−1−√2a−1−2<0，解得−1<√2a−1<2，由0≤√2a−1<2，得12≤a<52．故实数a的取值范围12≤a<52．。

2020届天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知点落在角的终边上，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定点P所在象限，求出值．【详解】由题意，∴P点在第四象限，又，∴．故选C．【点睛】本题考查已知角终边上一点坐标，求角问题．解题关键是掌握三角函数的定义．可以先确定点所在象限（即角的象限），然后由三角函数定义求出一个三角函数值，注意角的象限结合三角函数的定义可求角．2．已知，则的值是（）A．B．C．-2 D．2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得,故.应选A.【考点】同角三角函数的关系及运用.3．已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【详解】∵cos（），则sin（）＝sin[（）-]＝-cos（），故选：A．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，关键是建立所求角与已知角的关系，属于基础题．4．已知，点为角的终边上一点，且，则角（）A．B．C．D．【答案】D5．在中，三内角的对边分别为，若的面积为，且，则（）A．B．C．D．【答案】B6．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点的（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】∵y＝cos x＝sin(x＋)，∴将y＝sin(2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象，再向左平移个单位即可得到y ＝sin(x＋)的图象．故选C.7．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】试题分析：由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.【考点】1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】C9．定义在上的函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】B10．（2016新课标全国I理科）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为A．11 B．9C．7 D．5【答案】B二、填空题11．已知，且，则的值为_____．【答案】【解析】由θ的范围，得到cosθ＜sinθ，进而得到所求式子的值为负数，然后把所求式子平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将sinθcosθ的值代入，开方即可得到值．【详解】由θ，根据函数正弦及余弦函数图象得到cosθ＜sinθ，即cosθ﹣sinθ＜0，∵sinθcosθ，∴（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ＝1﹣2sinθcosθ＝1﹣2，则cosθ﹣sinθ．故答案为.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时注意根据θ的范围判断所求式子的正负，开方得到满足题意的解．12．已知函数，若，则_____．【答案】-202013．在中，角的对边分别为，已知，，，若，则_____．【答案】14．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为_____．【答案】【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．【考点】本题考查了图象的变换及周期的运用点评：熟练掌握三角函数图象变换及性质是解决此类问题的关键，属基础题15．已知在上有两个不同的零点，则的取值范围是___．【答案】[1，2）【解析】试题分析：因为函数在区间上增，上减，根据题意结合零点存在性定理可知且，且，解得，故答案为[1，2）．【考点】函数的性质与零点存在性定理16．关于下列命题：①若是第一象限角，且，则；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在上是增函数，所有正确命题的序号是_____．【答案】②③【解析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．综上，命题②③正确．【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．三、解答题17．已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为-1【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值.试题解析：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.18．在中，角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】(1)先利用正弦定理化简得，再根据和正弦定理求出a的值.(2)因为的面积为得，由余弦定理可得,所以．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，则，因为，所以由正弦定理可得．（2）因为的面积为，所以，得，因为，所以由余弦定理可得，所以，即，因为，所以．【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．设函数的图像过点.（1）求的解析式；（2）已知，，求的值；（3）若函数的图像与的图像关于轴对称，求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）；（3）单减区间为，单增区间为.【解析】(1)将P点坐标代入求A，即得结果，(2)先代入得，利用平方关系得，再根据诱导公式化简式子，最后代入求结果，(3)先根据对称性得解析式，在根据正弦函数性质求单调区间.【详解】（1）因为，所以；（2）,所以, =;（3）因为函数的图象与图象关于轴对称，所以，由得单减区间为，由得单增区间为。

天津市2020版高一上学期数学期末考试试卷(I)卷

天津市2020版高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合A=，B=，则A∪B=（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·长春期末) 下列各对函数中，图象完全相同的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与3. （2分） (2015高一下·松原开学考) 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A .B . 4πC . 2πD .4. （2分） (2018高二上·浙江月考) 已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为 , 则下列关系正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）函数的定义域是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·郴州模拟) 已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2019高二下·临海期中) 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A .B .C .D .8. （2分）根据表格中的数据，可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）x﹣10123ex0.371 2.727.3920.09x+212345A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）9. （2分） (2018高一上·珠海期末) 对于空间两不同的直线，两不同的平面，有下列推理：⑴ ，（2），（3）⑷ ，（5）其中推理正确的序号为（）A . （1）（3）（4）B . （2）（3）（5）C . （4）（5）D . （2）（3）（4）（5）10. （2分）如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则α+β的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）点是直线上动点，PA,PB是圆C:的两条切线，A,B是切点，若四边形PABC的最小面积是2，则K的值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·白城月考) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·穆棱期末) 设函数对任意实数满足 ,且当时,,则 ________.14. （1分） (2015高一下·厦门期中) 过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程________15. （1分） (2017高二上·海淀期中) 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；② ；③三棱锥的体积是其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）16. （1分） (2018高一上·重庆期中) 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当时， =________．三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分） (2018高一上·雨花期中) 设全集U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2a＜x＜a+3}（1）当a=1时，求（CUA）∩B；（2）若（CUA）∩B=B，求实数a的取值范围．18. （15分） (2018高一上·浙江期中) 已知函数（1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数在上有两个不等的不动点，求a的取值范围；（3）若的值域为或，求实数a的值．19. （10分） (2020高二上·越秀期末) 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正切值．20. （15分） (2020高一下·苏州期末) 如图，点是圆：上一动点，过点作圆的切线与圆：交于，两点，已知当直线过圆心时，（1）求的值；（2）当线段最短时，求直线的方程；（3）问：满足条件的点有几个？请说明理由．21. （15分） (2019高一上·如东月考) 已知函数，其中 .（1）写出的单调区间；（2）是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若存在实数，使得函数的定义域是，值域是，求实数m 的范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。

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