导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!

导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。

本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用命题角度1 构造函数【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x=-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值；（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x+≥． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =-++，()2ln 1()10x x e f x g x x x x e x+≥⇔---+≥， 令()()()2()1h x f x g x x x=+-≥，则 ()ln 11x x e h x x x e x=---+， ()2221ln 1ln 11x x x e x eh x x e x x e-'=-+++=++， 因为1x ≥，所以()2ln 10xx eh x x e '=++>， 所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 110x x e x x e x---+≥， 所以当1x ≥时，()2()f x g x x+≥． 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.命题角度2 放缩法【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. 【解析】（1）1a =，1b =；（2）由（1）可知()(1)(1)x f x x e =+-，()(0)0,10f f =-=， 由0m ≤，可得2x mx x ≥+， 令()()()11x g x x e x =+--，则()()22x g x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-，则()()30x h x x e '=+>， 故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 故()(0)0g x g ≥=，即()()211x x e x mx x +-≥≥+. 故2()f x mx x ≥+.【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++ 【解析】（1）[)1,-+∞；（2）设数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,241n n n n S T n n ==++，则 由于()()111,2,n nn S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，解得()()112n a n n =++；同理，()11n b n n =+，所以只需证明()()()2111ln 121n n n a b n n n n n +=<<=+++. 由（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x-≥. 令11n x n +=>，则11ln 1n n n +>+， 所以()()()2211111ln 12121n n n n n n n +>>=-+++++， 所以2223111ln 2ln ln 22224n nn n n ++++>-=++； 再证明()211ln1n n n n +<+，亦即1ln n n +，因为1lnnn +=，所以只需证， 现证明()12ln 1x x x x<->. 令()()12ln 1h x x x x x=-+>，则()()22212110x h x x x x -'=--=-<， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=， 所以当1x >时，12ln x x x<-恒成立，令1x =，则， 综上，()()()2111ln 121n n n n n n +<<+++，所以对数列{}{}21,ln ,n n n a b n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭分别求前n 项的和，得 22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++. 【思路总结】待证数列不等式的一端是n 项之和（或积）的结构，另一端含有变量n 时，可以将它们分别视为两个数列的前n 项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.【典例4】（安徽省安庆市2018届重点中学联考）已知函数()2ln 2xx f x e +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e +'+<+. 【解析】（1）()()21ln xx x x f x xe --'=，令()1ln g x x x x =--，则()10g =，当01x <<时，10,ln 0x x x ->->，所以()()0,0g x f x '>>， 当1x >时，10,ln 0x x x -<-<，所以()()0,0g x f x '<<， 所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； （2）要证明()()222ln 1x x f x x e e +'+<+，即证()()211ln ln 11x x x x x e ⎫⎛--+<+ ⎪⎝⎭， 令()1ln g x x x x =--，则()()1ln 12ln g x x x '=--+=--， 当210x e <<时，()0g x '>，当21x e>时，()0g x '<， 所以函数()g x 在210,e ⎫⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,e ⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()22212111g x e e e ≤-+=+， 所以211ln 1x x x e --≤+. 要证()()211ln ln 11x x x x x e ⎫⎛--+<+ ⎪⎝⎭，只需再证()ln 1x x +<即可.易证ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号（证明略），所以()0ln 1x x <+<， 综上所述，当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e +'+<+. 【思路点睛】对于含有ln x 与x e 型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式ln 11x x x e x ≤-⇔≥+的合理代换.命题角度3 切线法【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； （2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-，当ln2x <时，()0g x '<，当ln2x >时，()0g x '>，所以函数()()g x f x '=在(),ln2-∞上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增， ()()()min ln2ln222ln20g x g f '===->，所以函数()2x f x e x =-在()0,+∞上单调递增，由于曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，()11f e =-，可猜测函数()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方.先证明当0x >时，()()21f x e x ≥-+.设()()()()210h x f x e x x =--->，则()()()22,2x x h x e x e h x e '''=---=-， 当ln2x <时，()0h x ''<，当ln2x >时，()0h x ''>， 所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增， 由()()030,10,0ln21h e h ''=->=<<，所以()ln20h '<， 所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=， 所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x >时，()221x e x e x -≥-+， 变形可得()21x e e x x x+--≥，又由于ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号（证明略）， 所以()21ln 1x e e x x x+--≥+，当且仅当1x =时取等号.【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+-的最小值为.A .18B .1C .19D -【解析】由于,a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，所以动点(),P a b 到定点()2,3C -的距离为定值1，亦即动点(),P a b 的轨迹是以 ()2,3C -为圆心，半径1r =的圆，(),P a b 与动点(),ln Q x x 的距离，而(),ln Q x x 的轨迹是曲线ln y x =，如图，1PQ CQ PC CQ ≥-=-，当且仅当,,C P Q 共线，且点P 在线段CQ 上时取等号，以C 为圆心作半径为r 的圆 与ln y x =相切，切点是(),ln Q x x ，此时的公切线与半径 垂直，ln 3112x x x-⋅=-+，即()()ln 13x x x =--+，结合函数 ln y x =与()()13y x x =--+的图象可知()1,0Q ，所以11PQ CQ PC CQ ≥-=-≥，故()()22ln x a x b -+-的最小值为()2119=-.正确答案为D .【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设2D a +，其中 2.71828e ≈，则D的最小值为.A .B .1C .1A【解析】表示点(),x P x e 与点(Q a 之间的距离PQ ，而点(),x P x e 的轨迹是曲线x y e =，点(Q a 的轨迹是曲线()240y x y =≥，如图所示，又点(Q a 到直线0x =的距离为a ， 自然想到转化为动点Q 到抛物线准线1x =-的距离，结合抛物线的概念可得2D a =+11PQ QH PQ QF =++=++，所以11D PQ QF PF =++≥+，当且仅当,,P Q F 共线，又以F 为圆心作半径为r 的圆与xy e =相切，切点是(),xP x e ，此时的公切线与半径垂直，11xx e e x ⋅=--，即0x =，所以min PF =min 1D .正确答案为C .【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为.A .2B .C e .3A 【答案】B .命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =.（1）求实数,a b 的值；（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x的两个零点，求证：0F '<.【解析】（1）1,1a b ==-；（2）()2ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x'=+-， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11221ln 1ln m x x m x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-，1212ln ln 1x x F m x x -'=+=-，要证明0F '<，只需证1212ln ln x x x x -<-. 思路一：因为120x x <<，只需证1122ln ln ln 0xx x x ->>.令()0,1t =，即证12ln 0t t t-+>. 令()()12ln 01h t t t t t=-+<<，则()()22212110t h t t t t -'=--=-<，所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证12ln 0t t t-+>.由上述分析可知0F '<.【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形为齐次式，设12111222,ln ,,x x x xt t t x x t e x x -===-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x <<，只需证12ln ln 0x x -->， 设())22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 ()22110Q x xx '===，所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()()20Q x Q x >=，即证2ln lnx x -由上述分析可知0F '<.【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法.思路三：要证明0F '<，只需证1212ln ln x x xx -<-即证1212ln ln x x x x --.【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.【知识拓展】对于0,0,a b a b >>≠，则2ln ln a b b a b a +->-，其中ln ln b ab a--称之为对数平均数.简证如下：不妨设()1b ax x =>，只需证明112ln x xx +->>()21ln 1x x x -<<+（下略）. 【典例8】（A 10联盟2018年高考最后一卷）已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，证明：()12ln 22x x a +<. 【解析】（1）因为()()0f x g x +=，所以20xe ax +=，即2xe a x-=，设()()20xe h x x x =>，则()()32xx e h x x -'=， 所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()()224e h x h ≥=，当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，要使方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，则24e a ->，解得24e a <-，故a 的取值范围是2,4e ⎫⎛-∞-⎪ ⎝⎭；【一题多解】本题也可以变形为x e ax x =-，转化为过原点的直线y ax =与函数xe y x=-图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.（2）由题意，()2x F x e ax ax =--，()2x F x e ax a '=--， 因为12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，不妨设12x x <，()()120,0F x F x ''==，即121220,20x x e ax a e ax a --=--=，两式相减得12122x x e e a x x -=-.要证()12ln 22x x a +<，即证明1222x x e a +<，只需证1212212x x x x e e e x x +-<-，即12122121x x x x e e x x ---<-，亦即()121221210x x x x x x e e ----+>. 令1202x x t -=<，只需证当0t <时，不等式2210t t te e -+>恒成立， 设()()2210t t Q t te e t =-+<，则()()()221221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-，易证()10t t e t +<<，所以()0Q t '<，所以()Q t 在(),0-∞上单调递减，()()00Q t Q >=，即2210t t te e -+>. 综上所述，()12ln 22x x a +<成立. 【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题.【典例9】（2018届合肥三模）已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (e 为自然对数的底数).（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>.解析：（1）由于()212x f x e x ax =--，则()x f x e x a '=--，设()()x g x f x e x a '==--，则()1x g x e '=-.令()10x g x e '=-=，解得0x =.所以当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>.所以()()min 01g x g a ==-.错误！未找到引用源。