导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!

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高考中利用导数证明不等式的一些策略

1与lnx分开来考虑，即将f(x)分解为两个函数的和：

f(x)=lnx+2ex-1.然后分别对这两个函数求导，得到

f'(x)=1/x+2ex>0，说明f(x)在定义域上单调递增，且f(0)=1，

因此f(x)>1成立。

评注：对于这种需要分离成两个函数的不等式，可以先观察不等式的特征，尝试将其分解为两个函数的和或差，然后分别对这些函数求导来证明不等式。

类型三、需要构造辅助函数的不等式

1.利用辅助函数构造上下界

例3（2016年全国卷1第23题改编）已知a,b,c>0，证明：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9

分析：将(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)展开，得到

a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b+3≥9.观察不等式中的每一项，可以发

现这些项都可以表示为三个数的和，因此可以构造辅助函数

f(x)=ln(x)+1/x-1，然后对f(x)求导，得到f'(x)=1/x^2-1，f'(x)>0

当且仅当x1，因此f(x)在(0,1)和(1,∞)上分别是减函数和增函

数。接着，将a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b分别表示为

f(ab)+f(ac)+f(bc)+3，然后应用均值不等式，得到

f(ab)+f(ac)+f(bc)≥3f((abc)^(2/3))=3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)-3.将此

式代入原不等式中，得到3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)≥6，即

ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)≥2/3.再次利用辅助函数，构造

导数与构造函数证明不等式的技巧

导数与构造函数是数学中非常重要的两个概念，它们可以帮助我们证明不等式，优化函数等问题。接下来将分别介绍导数与构造函数在证明不等式时的技巧。

一、导数在证明不等式中的应用

导数是函数的重要特征之一，它可以表示函数在某个点的变化率。在证明不等式时，我们可以使用导数的性质来帮助我们证明某个不等式是否成立。

1. 利用导数判断函数在某个区间的单调性

假设函数f(x)在区间[a,b]上具有一阶导数，则f(x)在区间[a,b]上为单调递增的条件是：f'(x)>0，而在区间[a,b]上为单调递减的条件则是：f'(x)<0。如果我们需要证明某个不等式在某个区间上成立，可以通过证明函数的导数在该区间上的符号，从而得出原函数在该区间上的单调性，从而得出结论。

例如：证明当x>0时，e^x>x+1

证明：考虑函数f(x)=e^x-x-1

如果x>0，则f'(x)>0，因此函数f(x)在(0,∞)上单调递增。

又f(0)=e^0-0-1=0，因此当x>0时，f(x)>f(0)=0

即e^x-x-1>0，即e^x>x+1。

2. 利用导数求函数的极值

导数可以帮助我们求出函数的极值，例如函数的最大值和最小值。如果我们需要证明某个不等式的最大值或最小值，可以通过推导函数的导数，找出函数的极值，从而得出结论。

f'(x)=2x-2/x^3，因此f(x)在x=1处取得极小值。

又因为当x>0时，x^2+1/x^2≥2 |x=1，因此当x>0时，x^2+1/x^2≥2。

微专题12 导数解答题之证明不等式问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分(原卷版

微专题12 导数解答题之证明不等式问题

【秒杀总结】

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或

()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典型例题】

例1．（2024·高三·北京·开学考试）已知()()1e ,0kx

f x x k =+≠.

(1)若1k =，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；

(3)求证：当0k >时，()()()(),0,,1m n f m n f m f n ∞∀∈+++>+.

例2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln 1ln e ax

f x x =+．

(1)讨论()f x 的单调性；

(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．

例3．（2024·高三·北京·阶段练习）设函数()ln(1),R f x ax x a =+-∈，曲线()y f x =在原点处的切线为x 轴，

(1)求a 的值；

高中数学解题方法与技巧---构造函数法证明导数不等式的六种方法

高中数学解题方法与技巧

构造函数法证明不等式的六种方法

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

以下介绍构造函数法证明不等式的六种方法：

一、移项法构造函数

【例1】已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有

x x x ≤+≤+−)1ln(1

11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

1)1ln()(−++

+=x x x g ，从其导数入手即可证明。【解】1111)(+−=−+=′x x x x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数

当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数

故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞

于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证），现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ， 2

2)1()1(111)(+=+−+=′x x x x x g 则当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时，

用导数证明函数不等式的四种常用方法

本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.

例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （.

证明设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数.

而这用导数易证：

1()10(0)1

f x x x '=-

>>+ 所以欲证结论成立. 注欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥).

设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥).

若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥).

接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决.

例2 证明不等式：)1ln(+≥x x .

证明设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-.

显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证：

1()1(1)11

x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得

(完整版)构造函数法证明导数不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：

一、移项法构造函数

【例1】

已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时,恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1

分析:本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

111

)1ln()(-++

+=x x x g ,从其导数入手即可证明。【解】1111)(+-

=-+='x x

x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数

当0>x

时，0)(<'x f ,即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数

故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞

于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当

1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即

0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( (右面得证）,

现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 2

2)1()1(111)(+=

+-+='x x x x x g 则

当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，

证明导数不等式常见八法

A
在x 2处的导数值
f (x) x1

f
'(x)

x 11

1 x2
B
x的变化量:由分子" f (?)"
中的"?"确定, 不能由分母定.
原式

1 2
lim h0
fBiblioteka Baidu
(3
(h)) (h)

f
(3)
D
lim 3lim lim 原式
[ f (x0 x) f (x0)][ f (x0 3x) f (x0)]
ln(1 m) ln(1 n) 原不等式成立
m
n
(3) y ln(1 2x )
(4) y ln
e2x e2x
; 1
(5) y x ln( x2 x 2)
(6) y

ex x2

ln
3;
（3）y'
1 1 2x
2x
ln
2

2x ln 2 1 2x
(4) y x 1 ln(e2x 1) 2

y'

1 e2x 1
f '(x)g(x) f (x)g'(x) g 2 (x)
子导乘母减去子乘母导 ,除以母方

掌握四种函数构造法,破解导数解决不等式问题

掌握四种函数构造法，破解导数解决不等式问题

利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型•利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，

然后以导数为工具来研究该函数的单调性、

极值、

最值(值域),从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决•题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧.

当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)= x 3, g(x)= In x ,进而证明在某个取值范围内不等式f(x)> g(x)成立时，可以类比作差法，构造函数

h(x)= f(x)- g(x)或$(x)= g(x)-

f(x),进而证明h(x)min > 0或奴X )max W 0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具. 此

［典例］(2018广州模拟)已知函数f(x) = e x -ax(e 为自然对数的底数，a 为常数)的图象

在点(0,1)处的切线斜率为一1.

(1)求a 的值及函数f(x)的极值； ⑵证明：当x > 0时，x 2v e x . ［方法演示］

解：(1)由 f(x)= e x - ax ,得 f ' (x)= e x - a. 因为 f ' (0) = 1 — a =- 1,所以 a = 2, 所以 f(x)= e x -2x , f ' (x)= e x - 2, 令 f ' (x)= 0，得 x = In 2,

当 x v In 2 时，f ' (x)v 0, f(x)单调递减；当 x > In 2 时，f ' (x)>0, f(x)单调递增. 所以当x = In 2时，f(x)取得极小值，且极小值为 f(ln 2) = e ln 2- 2ln 2 = 2 - In 4 , f(x)无

利用导数证明不等式的四种常用方法

利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性

如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的

x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。

举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。

我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，

则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。即e^x＞

1+x。

方法二：使用函数的极值点

如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。

举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。

我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。我们先考虑x ∈ (-∞, -

1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。

方法三：使用函数的凹凸性

如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也

有相应的性质。

举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2

导数综合应用——巧用构造技巧证明不等式

可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采
因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）巧妙构造函数：根据不等式的结构特征，构造函数，
用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：
利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注
意积累经验。
导数的综合应用
——巧妙构造函数证明不等式
一．温故知新，经典再现——操千曲而后晓声，观千剑而后识器。
一．温故知新，经典再现——操千曲而后晓声，观千剑而后识器。
一．温故知新，经典再现——操千曲而后晓声，观千剑而后识器。
一．温故知新，经典再现——操千曲而后晓声，观千剑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后识器。
二．剖析经典，提炼方法——技可进乎道，艺可通乎神。
想一想：通过对这些经典题的构造技巧和变形方法的再认识。请同学们说说为什么要这样构造？
三．实战应用，亲身感受——纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
三．实战应用，亲身感受——纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
四．回首反思，思想升华——会当凌绝顶，一览众山小。
（1）重视前问结论:如函数的单调性、最值等，服务于后一问要证明的不等式. （2）树立目标意识:紧盯要证的目标选择恰当的变形方向。（3）强化变形技巧:对于给出的不等式直接证明无法下手，

利用导数证明不等式

例1．已知x>0，求证：x>ln(1+x)

分析：设f(x)=x －ln （1+x ）。x ∈[0,+∞)。考虑到f(0)=0，

要证不等式变为：x>0时，f(x)>f(0)，这只要证明：

f(x)在区间),0[+∞是增函数。

证明：令：f(x)=x －lnx ，容易看出，f(x)在区间),0[+∞上可导。

且)0(0)(lim 0

f x f x ==+→ 由1

111)('+=+-=x x x x f 可得：当),0(+∞∈x 时，0)0()('=>f x f 即x －lnx>0，所以：x>0时，x>lnx

评注：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个

函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利

用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要

证的不等式。

例2：当()π,0∈x 时，证明不等式x x <sin 成立。

证明：设,sin )(x x x f -=则.1cos )('-=x x f

∵),,0(π∈x ∴.0)('<x f ∴x x x f -=sin )(在),0(π∈x 内单调递减，而.0)0(=f

∴,0)0(sin )(=<-=f x x x f 故当),0(π∈x 时，x x <sin 成立。

点评：一般地，证明),,(),()(b a x x g x f ∈<可以构造函数),()()(x g x f x F -=

如果,0)('<x F ，则)(x F 在),(b a 上是减函数，同时若,0)(≤a F 由减函数的定义可知，),(b a x ∈时，有,0)(<x F 即证明了)()(x g x f <。

【秒杀大招】高中数学导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔! (1)

x 【解析】（1） a b 1 ；
（2） g(x)
e ex
1 x
x
，
f
x
g(x)
2 x
1
ln x x
e ex
1 x
x
0
，
令 h x f x g (x) 2 x 1 ，则
x
hx
1
ln x x
e ex
1 x
x
，
hx
1 ln x2
x
e ex
1 x2
1
ln x x2
e ex
1
，
因为
x
-6-
慧学上进
又以 F 为圆心作半径为 r 的圆与 y ex 相切，切点是 P x,ex ，此时的公切线与半径垂直， ex ex 1 ， x 1 即 x 0 ，所以 PF min 2 ，故 Dmin 2 1 .正确答案为 C.
ln2
n 1 n
n
1
n 1
，
所以对数列
an ,
ln 2
n
n
1
,
bn
分别求前
n
项的和，得
n 2n
4
ln2
2
ln2
3 2
ln2
n
1 n
n
n 1
.
【思路总结】待证数列不等式的一端是 n 项之和（或积）的结构，另一端含有变量 n 时，可以将它们

导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题

典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，

若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。求$a,b$的值，并证明：当$x\geq

1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。

典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的

切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。求$a,b$的值，并证明：若

$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。

典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。

1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，

求$a$的取值范围；

2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：

$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。

典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。

1）求函数$f(x)$的单调区间；

2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。

典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。

1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；

2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。

导数与构造函数证明不等式的技巧

证明不等式的技巧和导数有关的主要有两个方面：一是利用导数的性质来求极值，二

是利用导数的中值定理来证明不等式。

一、利用导数的性质来求极值

1. 极值的存在性：如果函数在开区间(a,b)上连续，在闭区间[a,b]上可导，并且在

区间内部有两个不同的点x1和x2使得f'(x1)和f'(x2)异号，则在(a,b)内存在至少一个

点c，使得f(c)取得极值。这个性质可以通过把函数图像在区间内部画出来来直观地理

解。

2. 极值的判定条件：设函数f在开区间(a,b)内可导，如果f'(x)在点x=c处为0或者不存在，且f'(c)在从c的左侧和右侧分别取有限不等的符号，则f(c)为极值点。如果

f'(c)在从c的左侧和右侧分别取相等的符号，则f(c)不是极值点。

3. 极值的求解方法：求解极值有两种方法，一种是使用判定条件找到可能的极值点，然后对极值点进行求导计算；另一种是直接对函数进行求导计算，然后通过对导数方程求解，找到可能的极值点。

二、利用导数的中值定理来证明不等式

导数的中值定理是数学中一个非常重要的定理，它的表述是：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。这个定理可以用来证明一些不等式的性质。

利用导数的中值定理来证明不等式的基本步骤如下：

1. 将不等式转化为两个函数的差值形式，即设函数g(x)=f(x)-h(x)，其中f(x)和

h(x)是要证明不等式的两个函数。

2. 判断g(x)在[a,b]上的连续性和在(a,b)内的可导性。

导数与构造函数证明不等式的技巧

导数与构造函数证明不等式的技巧【摘要】

本文首先介绍了导数与构造函数的基本概念，以及不等式证明的重要性。接着详细阐述了利用导数证明不等式的一般步骤和常见的技巧，包括化简不等式时的常用策略和特殊不等式的处理方法。通过实例分析，展示了如何利用导数与构造函数证明常见不等式。结尾部分强调了导数与构造函数在不等式证明中的应用价值，并总结了证明不等式的技巧。本文旨在帮助读者了解如何运用导数与构造函数来证明不等式，提高数学推理能力，以及加深对不等式证明方法的理解和掌握。

【关键词】

导数、构造函数、不等式、证明、技巧、重要性、步骤、常见、策略、特殊、实例分析、应用价值、总结。

1. 引言

1.1 导数与构造函数的基本概念

导数是微积分中非常重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。在不等式证明中，导数可以帮助我们证明某个函数在某个区间内的增减性，从而推导出不等式的情况。导数的定义是函数在某一点上的斜率，它可以用极限的概念来定义。如果一个函数在某一点的导数存在，那么这个函数在这一点是可导的，也就是说在这一点上有切

线。导数可以用符号f'(x)或\frac{dy}{dx}表示，其中y是函数f(x)的值。

构造函数是指通过一定的方法构建出符合特定性质的函数。在不等式证明中，构造函数的技巧是非常重要的，通过构造出合适的函数来推导不等式，使得证明变得更加简单。构造函数的过程需要我们对函数的性质有一定的了解，需要灵活运用函数的各种性质来构造出满足条件的函数。

导数和构造函数是不等式证明中常用的工具，它们可以帮助我们更好地理解和推导各种不等式。在接下来的正文中，我们将介绍如何利用导数和构造函数来证明不等式，以及常见的技巧和策略。

导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题

导数中的不等式证明

命题角度1 构造函数

【典例1】已知函数()ln 1

1,()x x ae f x g x bx x e x

=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．

（1）求,a b 的值；

（2）证明：当1x ≥时，()2

()f x g x x

+≥．

命题角度2 放缩法

【典例2】已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ；

（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.

【典例3】已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.

（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：222

1ln 2ln ln 242

n n n

n n n +<+++<++

【典例4】已知函数()2ln 2

x f x e +=

. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e

+'+<+.

命题角度3 切线法

【典例5】已知函数()2x f x e x =-.

（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()21

ln 1x e e x x x

+--≥+.

命题角度4 二元或多元不等式的解证思路