复数的四则运算公开课完整ppt课件
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《复数的四则运算》课件
$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
练习
1 计算 $(2+3i)+(4+5i)$ 3 计算 $(2+3i) \times (4+5i)$
2 计算 $(2+3i)-(4+5i)$ 4 计算 $\frac{2+3i}{4+5i}$
《复数的四则运算》PPT 课件
本课件将带你了解复数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。通过简 洁明了的内容和丰富多样的排版，希望能够使你轻松理解和掌握这些运算。
复数概述
定义
形如 $a+bi$ 的数称为复 数，其中 $a$ 和 $b$ 是实 数，且 $i^2=-1$
实部和虚部
$a$ 为实部，$b$ 为虚部
复共轭
$a-bi$ 称为 $a+bi$ 的共 轭复数
复数的加法和减法
加法
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
减法
$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
复数的乘法
乘法
$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
复数的除法
除法
总结
1 复数的四则运算包
括加法、减法、乘
法和除法
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算时需要注意
$i^2=-1$，并进行
配方法化简
3 复数的共轭复数是
重要的概念，应该
掌握
练习
1 计算 $(2+3i)+(4+5i)$ 3 计算 $(2+3i) \times (4+5i)$
2 计算 $(2+3i)-(4+5i)$ 4 计算 $\frac{2+3i}{4+5i}$
《复数的四则运算》PPT 课件
本课件将带你了解复数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。通过简 洁明了的内容和丰富多样的排版，希望能够使你轻松理解和掌握这些运算。
复数概述
定义
形如 $a+bi$ 的数称为复 数，其中 $a$ 和 $b$ 是实 数，且 $i^2=-1$
实部和虚部
$a$ 为实部，$b$ 为虚部
复共轭
$a-bi$ 称为 $a+bi$ 的共 轭复数
复数的加法和减法
加法
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
减法
$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
复数的乘法
乘法
$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
复数的除法
除法
总结
1 复数的四则运算包
括加法、减法、乘
法和除法
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算时需要注意
$i^2=-1$，并进行
配方法化简
3 复数的共轭复数是
重要的概念，应该
掌握
《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03
优质课《复数代数形式的四则运算》 ppt课件
通过本节课的学习，你有什么收获？ 请从知识、技能、数学思想方法、 解决问题的经验等方面谈谈你的感想.
优质课《复数代数形式的四则运算》
优质课《复数代数形式的四则运算》
1.复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加. 说明: （1）当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致; （2）两个复数的和仍然是一个复数.
复数的乘法运算律
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
ห้องสมุดไป่ตู้
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
优质课《复数代数形式的四则运算》
例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
例题讲解：
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i
课堂检测：
计算：
（1）(2+4i)+(3-4i)
（2）5-(3+2i)
（3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)（4）(2-i)-(2+3i)+4i 优质课《复数代数形式的四则运算》
优质课《复数代数形式的四则运算》
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1.复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加. 说明: （1）当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致; （2）两个复数的和仍然是一个复数.
复数的乘法运算律
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
ห้องสมุดไป่ตู้
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
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例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
例题讲解：
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i
课堂检测：
计算：
（1）(2+4i)+(3-4i)
（2）5-(3+2i)
（3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)（4）(2-i)-(2+3i)+4i 优质课《复数代数形式的四则运算》
复数的四则运算市公开课 PPT
复数减法运算得几何意义?
复数z2－z1
向量Z1Z2
符合 向量
y
Z2(c,d)
减法
得三 角形
Z1(a,b)
法则、
x
o
结论:复数得差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数得向量对应、
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
复数得加(减)法法则就就是: 实部 与实部,虚部与虚部分别相加(减)、
i.
例题选讲
1、计算:
①
1 i 1i
①
i
②
1 1
i i
②
-
i
③ (1+2i)÷(3-4i);
③ (- 1＋2i)/5
④ ( 2 )2008
1 i
④1
⑤ i 2002+( 2 + 2 i)8 ( 2 )50
1i
⑤ －1＋256 i
例2、
⑴、已知复数z得平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;
例4:设 1 3,i求证:
22
(1) 2 ;
(2) 1(1 0)
(3) 1 2 0; (4) 3 1
证明：(4（) 113）(
1 2
2
13i()3 2
1 2
3 i) ( 1
2
2
3 i)2 2
12(2312i (2312i))22(21212
33 22
ii
)
(
3 i)2 2
3、复数加法运算得几何意义?
符合 向量 加法 得平 行四 边形 法则、
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
y
复数的四则运算公开课课件
应用：信号分析
复数和傅里叶变换有重要关系。通过将信号化简为一系列复数，就可以方便地进行处理，找到其 中的周期性和规律。
应用：频域滤波
傅里叶变换后，一个信号就可以变成频域上的一条曲线。可以通过对这条曲线进行复数运算，如 旋转或拉伸等，来实现对信号的改变和优化。
应用：图像处理
图像可以看成由一个个像素点构成的矩阵。通过将颜色信息表示成复数的形式，就可以对图像进 行各种复数运算，并在频域上进行过滤和优化。
应用：量子力学中的波函数
波函数用来描述粒子的运动状态。可以将某个物理量关联到一个复函数，然 后通过对这个函数进行一系列复数运算，来求出这个粒子的各种物理性质和 概率分布。
复数的模
复数的模长的平方为实部的平方加上虚部的平方。
复数的幂
复数的幂满足和实数的幂的规则完全一样。可以把复数映射成一个向量，然 后旋转向量并拉伸长度。
球面坐标系下的复数
可以通过将复平面旋转，将复平面变成球面上的一个维度，从而建立球面坐标系下的复数，并且 可以通过这种方式增加复数属性。
极坐标系下的复数
复数相除等于在复 平面上旋转和缩小
相当于把一个向量在复 平面上旋转一个角度， 同时将其长度缩小了。
复数的倒数
一个非零复数的倒数为其共轭复数除以模长的平方。
实部和虚部
复数z= a+bi，a为实数部分，b为虚数部分。实数可以看作虚数部分为0的复数。
共轭复数
复数z= a+bi的共轭复数为a-bi。共轭复数实部相等，虚部相反，通过把这个复 数映射成平面上的一个向量，共轭复数就相当于把这个向量垂直反转了。
无理数加减法规则
有理数
有理数是可以表示成两个整 数的比值的数，如3/4 、12/5 等。
《复数的四则运算》复数PPT(复数的加、减运算及其几何意义)
手抄报：www.1ppt.c om /shouc ha oba o/
P P T课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
(1)两个虚数的和或差可能是实数．(√ PPT模板：/moban/
P P T素材：www.1ppt.c om /suc a i/
P P T背景：www.1ppt.c om /be ij ing/
P P T图表：www.1ppt.c om /tubia o/
P P T下载：www.1ppt.c om /xia za i/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/dili/
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
问题导学
预习教材 P75－P77 的内容，思考以下问题： 1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？
试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
教案下载：www.1ppt.c om /j ia oa n/
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《复数的四则运算》优质课PPT课件
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
2．(1)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)复数 z＝3－14－i1i＋4 i2(其中 i 是虚数单位)，则 z·－z 的值为
___________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)由已知得 4a＋(a2－4)i＝－4i，
(3)复数相等的充要条件：
a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且___b_＝__d___(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝___0_ (a，b∈R)．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．复数的几何意义
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复 数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复 数乘、除等基本运算．
(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算 把复数化为 a＋bi 的形式，然后从定义出发，把复数问题 转化为实数问题来处理．
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)表示－z 的点与表示 z 的点关于实轴对称， 所以表示－z 的点为 B. (2)根据题意，画出示意图：
①因为 AD ＝ BC ＝ AC － AB ，所以 AD 对应的复数为 (－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i. ②因为 OD － OA ＝ AD ，所以 OD ＝ OA ＋ AD ， 所以 D 对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = ,
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
3.2《复数的四则运算》苏教版选修PPT优质课件
43;2i) • (2) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (3) (a+bi)(a-bi)
zz| z|2| z|2 特别地 ,当| z|1时, zz1
例6 、 计算:(1+2i)2
例7、当nN*时,计算in (i)n 所有可能的.取值
练习: 1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i
例4、 下 列 命 题 中 的 真 命为题： (A)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。 (B)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。 (C)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。 (D)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di)
两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
复数的四则运算
一、复数的加、减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)
两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的和，它的虚部是原来的两个复数虚部的和
zz| z|2| z|2 特别地 ,当| z|1时, zz1
例6 、 计算:(1+2i)2
例7、当nN*时,计算in (i)n 所有可能的.取值
练习: 1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i
例4、 下 列 命 题 中 的 真 命为题： (A)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。 (B)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。 (C)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。 (D)若Z1 Z2 0,则Z1与Z2互 为 共 轭 复 数 。
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di)
两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的差，它的虚部是原来的两个复数虚部的差
例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
复数的四则运算
一、复数的加、减法
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)
两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来的两个 复数实部的和，它的虚部是原来的两个复数虚部的和
《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)
＝(1－i)(1＋i)－12＋
3
2
i
＝(1－i2)－12＋
3
2
i
＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
第七章 复 数
栏目 导引
第七章 复 数
(2)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋a－2bb＝＝43，，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
栏目 导引
第七章 复 数
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
(2)
1＋i 1－i
2
019
＝
（1＋i）（1＋i） （1－i）（1＋i）
2
9
＝
2i
2
2
019
＝
i2
019 ＝
(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
栏目 导引
第七章 复 数
(1)i 的周期性要记熟，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i. ③1i ＝－i.
复数的四则运算_课件
1.（1）5； （2）2-2i； （3）-2+2i
（4）0.
2.如图，向量OZ 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果 对应的向量：（1）z+1； （2）z-i； （3）z+（-2+i）
解: 由图可知点Z坐标为（-2,3），所以复数x=-2+3i （1）z+1=-2+3i+1=-1+3i 综上所述，结论是：-1+3i （2）z-i=-2+3i-1=-2+2i 综上所述，结论是：-2+2i （1）z+（-2+i）=-2+3i-2+i=-4+4i 综上所述，结论是：-4+4i
在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式，再
把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。这里分
∴ z3,z4对应的两点之间的距离为：
|z3-z4|=|4+3i|=
=5
3.复数的乘法
设z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它 们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd =(ac-bd）+(ad+bc )i.
很明显，两个复数的积是一个确定的复数。特别地，当z1，z2 都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积
复数的四则运算
复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意 两个复数，那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d） 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z1，x2都是实数时 ，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
（4）0.
2.如图，向量OZ 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果 对应的向量：（1）z+1； （2）z-i； （3）z+（-2+i）
解: 由图可知点Z坐标为（-2,3），所以复数x=-2+3i （1）z+1=-2+3i+1=-1+3i 综上所述，结论是：-1+3i （2）z-i=-2+3i-1=-2+2i 综上所述，结论是：-2+2i （1）z+（-2+i）=-2+3i-2+i=-4+4i 综上所述，结论是：-4+4i
在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式，再
把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。这里分
∴ z3,z4对应的两点之间的距离为：
|z3-z4|=|4+3i|=
=5
3.复数的乘法
设z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它 们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd =(ac-bd）+(ad+bc )i.
很明显，两个复数的积是一个确定的复数。特别地，当z1，z2 都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积
复数的四则运算
复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意 两个复数，那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d） 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z1，x2都是实数时 ，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的加、减运算及其几何意义)
解析：如图，
A→C对应复数 z3－z1，A→B对应复数 z2－z1，A→D对应复数 z4－z1.
必修第二册·人教数学A版
由复数加、减运算的几何意义，得A→D＝A→B＋A→C， ∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)． ∴z4＝z2＋z3－z1 ＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i. 故 AD 的长为|A→D|＝|z4－z1| ＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 10.
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知识点三 复数减法的几何意义 预习教材，思考问题 (1)平面向量O→Z1－O→Z2的几何意义是什么？ [提示] O→Z1－O→Z2的几何意义是从向量O→Z2的终点指向向量O→Z1的终点的向量Z→2Z1.
(2)我们知道复数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系，按照平面向 量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ [提示] 能．复数 z1－z2 的几何意义就是向量O→Z1－O→Z2对应的复数．
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1．设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. 解析：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴x2＋ －3y＝＝－5，6， 解得xy＝＝82，， ∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
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复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把 实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左 到右依次进行计算．
A→C对应复数 z3－z1，A→B对应复数 z2－z1，A→D对应复数 z4－z1.
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由复数加、减运算的几何意义，得A→D＝A→B＋A→C， ∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)． ∴z4＝z2＋z3－z1 ＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i. 故 AD 的长为|A→D|＝|z4－z1| ＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 10.
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知识点三 复数减法的几何意义 预习教材，思考问题 (1)平面向量O→Z1－O→Z2的几何意义是什么？ [提示] O→Z1－O→Z2的几何意义是从向量O→Z2的终点指向向量O→Z1的终点的向量Z→2Z1.
(2)我们知道复数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系，按照平面向 量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ [提示] 能．复数 z1－z2 的几何意义就是向量O→Z1－O→Z2对应的复数．
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1．设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. 解析：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴x2＋ －3y＝＝－5，6， 解得xy＝＝82，， ∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
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复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把 实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左 到右依次进行计算．
7.2复数的四则运算课件(人教版)
z2+ z1=（a2+b2i）+（a1+b1i）
=（a2+a1）+（b2+b1）i
又因为a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1，所以
z1+ z2=z2+ z1
（3） i(2-i)(1-2i）
答案：（1）-5 （2）-2i （3）5
3.计算
（1） （2）
（3） （4）
=4-（-9）
=13
（2） = 1+2i+
=1+2i-1
=2i
4.复数的除法
计算 (1+2i)÷(3-4i).
解：
(1+2i)÷(3-4i)=
= =
= =
这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数（a+c）+（b+d）i 对应的向量。因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如下图），这就是复数加法的几何意义
2.复数的减法
我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个确定的复数。可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z，x都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
复数的四则运算
复数的加法满足交换律、结合律吗？
容易得到，对任意z1，z2，z3∈C，有
z1+z2=z2+z1，
（a+bi）-(c+di)=（a-c）+（b-d）i
=（a2+a1）+（b2+b1）i
又因为a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1，所以
z1+ z2=z2+ z1
（3） i(2-i)(1-2i）
答案：（1）-5 （2）-2i （3）5
3.计算
（1） （2）
（3） （4）
=4-（-9）
=13
（2） = 1+2i+
=1+2i-1
=2i
4.复数的除法
计算 (1+2i)÷(3-4i).
解：
(1+2i)÷(3-4i)=
= =
= =
这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数（a+c）+（b+d）i 对应的向量。因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如下图），这就是复数加法的几何意义
2.复数的减法
我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个确定的复数。可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z，x都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
复数的四则运算
复数的加法满足交换律、结合律吗？
容易得到，对任意z1，z2，z3∈C，有
z1+z2=z2+z1，
（a+bi）-(c+di)=（a-c）+（b-d）i
《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的乘、除运算)
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课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
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[教材提炼] 知识点一 复数的乘法法则及其运算律 预习教材，思考问题 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复 数相乘？
[提示] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2 换成－1， 并且把实部与虚部分别合并即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac －bd)＋(bc＋ad)i.
D．b<2
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解析：(1)(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. (2)因为(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(1＋2b)i，又因为在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i 是虚数 单位，b 是实数)表示的点在第四象限，所以21－＋b2>b<0，0， 即 b<－12.
解析：(1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.
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探究一 复数代数表示式的乘法运算
[例 1] (1)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i
B．3＋2i
C．－3－2i
D．－3＋2i
(2)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数 a 等于( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
[解析] 因为 i2 020＝i4×505＝i4＝1，所以其共轭复数为 1，故选 C.
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z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
例 3.计算 (1 2i) (3 4i)
解: (1 2i) (3 4i)
先写成分式形式
1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i
1
2 i
25
55
然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的 共轭复数)
i 4 n 1 , i 4 n 1 i , i 4 n 2 1 , i 4 n 3 i
i 2018 i50442i21
.
16
.
17
课堂练习
❖ 课本P63,A组
❖
练习1，2，3
.
18
小结：
四则运算
1、复数的加(减）法： z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
一复习引入
2. 由于i2= (-i)2 = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i ;
一般地，a(a>0)的平方根为 a、
- a (a>0)的平方根为 ai。
实数 数 (b0) 3.复数a+bi虚数 数 (b0)非 纯纯 虚 纯 虚a(a虚 数 虚 数 a(a00， 数 ， 数 00b， b， bb00)00)
记为 (abi)(cdi)或abi. cdi
除法法则: ab icdi
abi (abi)(cdi) (abi)(cdi)
cdi (cdi)(cdi) acbdc2(bdc2ad)i acc2bdd2 bcc2add2 i
分母实数化
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
四、例题应用：
复数的四则运算
复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做
虚数单位，并且规定: i2 -1 ；
形如a+bi(a,b∈R1 )的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
复习：
1、复数的代数形 通常用字母 z 表示，即 式：
zab(iaR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
cdi (cdi)(cdi)
acbd(bcad)i acbd bcad
c2 d2
c2d2 c2d2 i
4. 共轭复数：
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即zabi
(2)共轭复数的性质:
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z ?
zz? zz2a； z-z2b.i
再见！
.
21
化简成代数形式 就得结果.
练习 2、计算: ⑴ (7 i) (3 4i)
⑵ (1 i )2 ⑶ 1 1
1 i
3 2i 3 2i
4
1-i
-1
i 13
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等.
特殊的有：i1 i
i2 1
i3i2ii i4 i3i ii 1
一般地，如果 nN，有
3、共轭复数：实部相等而虚部互为相反数
的两个数. 复数z的共轭复数用 z 表示.
若z＝a＋bi，则 z ＝a－bi (a，b∈R)
注:实数的共轭复数是它本身.
例 已知复数 x2 x 2 (x2 3 x 2 )i
是 42i0的共轭复数，求x的值．
解：因为 42i0的共轭复数是 42i0，
根据复数相等的定义，可得
.
22
.
23
.
24
例1、计算(1)(1+3i)+(-4+2i)(2) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
例2.计算：(1) (-2-i)(3-2i) (2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i) (3) (a＋bi)(a-bi)
思考：在复数集C内，你能将x2+y2分解因式吗？ 思考：当a>0时，方程x2+a=0的解是什么?
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
例 3.计算 (1 2i) (3 4i)
解: (1 2i) (3 4i)
先写成分式形式
1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i
1
2 i
25
55
然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的 共轭复数)
i 4 n 1 , i 4 n 1 i , i 4 n 2 1 , i 4 n 3 i
i 2018 i50442i21
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课堂练习
❖ 课本P63,A组
❖
练习1，2，3
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小结：
四则运算
1、复数的加(减）法： z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
一复习引入
2. 由于i2= (-i)2 = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i ;
一般地，a(a>0)的平方根为 a、
- a (a>0)的平方根为 ai。
实数 数 (b0) 3.复数a+bi虚数 数 (b0)非 纯纯 虚 纯 虚a(a虚 数 虚 数 a(a00， 数 ， 数 00b， b， bb00)00)
记为 (abi)(cdi)或abi. cdi
除法法则: ab icdi
abi (abi)(cdi) (abi)(cdi)
cdi (cdi)(cdi) acbdc2(bdc2ad)i acc2bdd2 bcc2add2 i
分母实数化
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
四、例题应用：
复数的四则运算
复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做
虚数单位，并且规定: i2 -1 ；
形如a+bi(a,b∈R1 )的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
复习：
1、复数的代数形 通常用字母 z 表示，即 式：
zab(iaR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
cdi (cdi)(cdi)
acbd(bcad)i acbd bcad
c2 d2
c2d2 c2d2 i
4. 共轭复数：
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即zabi
(2)共轭复数的性质:
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z ?
zz? zz2a； z-z2b.i
再见！
.
21
化简成代数形式 就得结果.
练习 2、计算: ⑴ (7 i) (3 4i)
⑵ (1 i )2 ⑶ 1 1
1 i
3 2i 3 2i
4
1-i
-1
i 13
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等.
特殊的有：i1 i
i2 1
i3i2ii i4 i3i ii 1
一般地，如果 nN，有
3、共轭复数：实部相等而虚部互为相反数
的两个数. 复数z的共轭复数用 z 表示.
若z＝a＋bi，则 z ＝a－bi (a，b∈R)
注:实数的共轭复数是它本身.
例 已知复数 x2 x 2 (x2 3 x 2 )i
是 42i0的共轭复数，求x的值．
解：因为 42i0的共轭复数是 42i0，
根据复数相等的定义，可得
.
22
.
23
.
24
例1、计算(1)(1+3i)+(-4+2i)(2) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
例2.计算：(1) (-2-i)(3-2i) (2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i) (3) (a＋bi)(a-bi)
思考：在复数集C内，你能将x2+y2分解因式吗？ 思考：当a>0时，方程x2+a=0的解是什么?