高中数学竞赛数列问题
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
高中数学竞赛试题
高中数学竞赛试题第一节：选择题1. 设函数$f(x)=3x^2-2x+1$，则$f(2)$的值是多少？A. 5B. 7C. 9D. 112. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为3，公差为4，求$a_{10}$的值是多少？3. 已知函数$g(x)=\frac{x-1}{x+2}$，则$g(0)$的值是多少？A. -1/2B. -1/3C. 0D. 1/24. 若数列$\{b_n\}$满足$b_1=2$，$b_2=4$，且$b_n=b_{n-1}+b_{n-2}$，则$b_3$的值是多少？5. 在等腰梯形$ABCD$中，底边$AB$平行于$CD$，且$AB=2CD$。
若$BC=3$，则$AD$的长度等于多少？第二节：计算题1. 计算$C(8,3)$的值。
2. 已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$，求$f(-3)$的值。
3. 若$\triangle ABC$为等边三角形，且边长为2，求$\sin(A+B)$的值。
4. 已知函数$g(x)=\sqrt{x+1}$，求$g(3)-g(1)$的值。
5. 已知函数$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$h(2)$的值。
第三节：证明题证明：一切直角三角形的斜边上的正弦值等于斜边长与直角边长之比。
提示：根据正弦定理，$\sin(\angle C)=\frac{AB}{AC}$，其中$\angle C$为直角的对角，$AB$为直角边，$AC$为斜边。
证明过程略。
第四节：解答题1. 解方程组：$\begin{cases}2x+y=5 \\3x-2y=12 \\\end{cases}$2. 解不等式$2x-3>5$。
3. 求函数$f(x)=2x^3-3x^2+1$的极值点。
4. 已知函数$g(x)=\sqrt{x}$，求满足条件$g(x)=3$的解。
5. 某球队进行了10场比赛，胜利了7场。
求这个球队的胜率。
第五节：填空题1. $2\times (3+4)=$ ________2. 若$a+b=7$，$a-b=3$，则$a$的值为_______，$b$的值为_______。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题（实用版）目录1.高中数学竞赛数列专题的重要性2.数列的基本概念和分类3.数列的性质和特点4.数列的解题方法与技巧5.典型例题解析6.参加高中数学竞赛的建议正文【高中数学竞赛数列专题的重要性】高中数学竞赛数列专题作为数学竞赛中的一个重要组成部分，对于提高学生的数学素养、培养学生的逻辑思维能力和解题技巧具有重要意义。
数列是数学中一个基本的研究对象，它与函数、极限、微积分等领域有着密切的联系，因此，掌握数列相关的知识对于高中生来说是十分必要的。
【数列的基本概念和分类】数列是一组按照一定顺序排列的数，其中每一个数称为这个数列的项。
数列可以按照项之间的关系分类，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列中任意两项的差都相等的数列；等比数列是指数列中任意两项的比都相等的数列；斐波那契数列则是指数列的前两项为 1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
【数列的性质和特点】数列具有许多重要的性质和特点，如公比、公差、首项、末项等。
这些性质和特点对于数列的求和、求通项、证明数学结论等方面有着重要的应用。
在解决数列问题时，我们需要灵活运用数列的性质和特点，以便快速准确地解决问题。
【数列的解题方法与技巧】解决数列问题有许多方法与技巧，如列举法、通项公式法、错位相减法、等比数列求和公式等。
在实际解题过程中，我们需要根据题目的特点选择合适的方法与技巧，以便迅速找到解题思路。
同时，我们还需要积累大量的解题经验，以便在遇到类似问题时迅速找到突破口。
【典型例题解析】例题：已知等差数列的前三项分别为 1, 3, 5，求该数列的第 10 项。
解：根据等差数列的性质，可知该数列的公差为 3-1=2。
利用等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
将已知条件代入公式，得到 a10=1+(10-1)×2=19。
因此，该数列的第 10 项为 19。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要：一、引言1.高中数学竞赛的重要性2.数列专题在竞赛中的地位二、数列基本概念与性质1.等差数列2.等比数列3.斐波那契数列4.数列的极限与连续三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式2.等比数列求和公式3.求和公式的应用实例四、数列与函数的关系1.数列的通项公式与函数2.数列的前n项和与函数五、数列题型分类与解题策略1.判断数列性质题2.数列求和题3.数列递推式题4.数列与函数综合题5.解题策略总结六、高中数学竞赛数列真题解析1.真题举例2.解题过程与思路分析七、数列专题强化训练与建议1.推荐练习资料2.强化训练方法与时间安排3.提高数列能力的建议八、总结1.数列专题在高中数学竞赛中的重要性2.掌握数列基本概念与性质3.熟练运用求和公式和解题策略4.结合实际训练，提高数列水平正文：一、引言随着教育制度的不断发展，高中数学竞赛日益受到广泛关注。
在众多竞赛专题中，数列专题具有举足轻重的地位。
本文将从以下几个方面展开讨论，以帮助同学们更好地掌握数列知识，提高在数学竞赛中的竞争力。
二、数列基本概念与性质1.等差数列：等差数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之差相等。
这一常量称为公差。
2.等比数列：等比数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之比相等。
这一常量称为公比。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是指这样一个数列：第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项等于前两项之和。
4.数列的极限与连续：数列极限是指当项数趋向无穷时，数列值的极限值。
数列连续性是指数列在某一区间内，任意两项之间的差值趋于0。
三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2.等比数列求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数，a1为首项，q为公比。
3.求和公式的应用实例：利用求和公式计算等差数列或等比数列的前n项和。
高中数学竞赛题库及答案解析
高中数学竞赛题库及答案解析在高中数学的学习中，参加数学竞赛是提高自己数学水平的一个很好的途径。
为了帮助广大高中生更好地备战数学竞赛，我们整理了一套高中数学竞赛题库，并提供了相应的答案解析。
下面是题库的详细内容和解析。
第一部分：选择题1. 题目：已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，其中$a_1=3$，$d=-2$，求该等差数列的第21项$a_{21}$的值。
解析：根据已知条件，代入公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，得到$S_{21}=\frac{21}{2}(2\cdot3+(21-1)\cdot(-2))$，计算可得$S_{21}=-105$。
由等差数列的前$n$项和公式可知$S_{21}=a_1+19d$，代入已知$a_1=3$和$d=-2$，解方程可得$a_{21}=-37$。
答案：$a_{21}=-37$。
2. 题目：已知函数$f(x)=x^3-2x^2+3x-4$，求$f(-1)$的值。
解析：将$x$的值代入函数$f(x)$中，得到$f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2+3(-1)-4$，计算可得$f(-1)=-5$。
答案：$f(-1)=-5$。
第二部分：填空题1. 题目：已知$\sqrt{x^2+16}+x=4$，求$x$的值。
解析：移项得到$\sqrt{x^2+16}=4-x$，两边平方得到$x^2+16=(4-x)^2$。
展开计算可得$x^2+16=16-8x+x^2$，整理得到$8x=0$，解方程可得$x=0$。
答案：$x=0$。
2. 题目：已知函数$g(x)=\log_{10}(5x-2)$，求$g(3)$的值。
解析：将$x$的值代入函数$g(x)$中，得到$g(3)=\log_{10}(5\cdot3-2)$，计算可得$g(3)=\log_{10}13$。
答案：$g(3)=\log_{10}13$。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型，掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。
本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论，包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。
数列的第一项记作$a_1$，第二项记作$a_2$，第$n$项记作$a_n$。
数列中的数字称为项，项之间的关系由递推关系式表示。
数列的性质包括有界性、单调性以及极限。
有界性是指数列的所有项都满足某个范围，可以是有上界、下界或者同时有上下界。
单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。
而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。
二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等，记作$a_n=a_1+(n-1)d$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。
等差数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。
等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等，记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$q$表示公比。
等比数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
其中，$a_n$表示第$n$项，$a_{n-1}$表示前一项，$a_{n-2}$表示前两项。
斐波那契数列的性质包括：递推关系式、通项公式、性质应用等。
三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。
通过解递推公式，可以确定数列中任意一项的值。
在数学竞赛中，递推公式的应用非常重要。
解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
2022全国高中数学竞赛真题及答案详解
2022全国高中数学竞赛真题及答案详解高中数学竞赛一直以来都是对学生数学能力的高难度挑战，2022 年的全国高中数学竞赛也不例外。
接下来，让我们一起深入剖析这次竞赛的真题及详细答案。
首先来看第一道题，这是一道关于函数性质的题目。
已知函数 f(x)＝ x³ 3x ＋ 1，求其在区间-2, 2上的最大值和最小值。
对于这道题，我们先对函数求导，f'（x) ＝ 3x² 3，令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ ±1。
然后分别计算函数在端点和极值点处的值，f(－2) ＝－1，f(－1) ＝ 3，f(1) ＝－1，f(2) ＝ 3。
所以，函数在区间-2, 2上的最大值为 3，最小值为-1。
再看第二道题，它是一道几何证明题。
在三角形 ABC 中，AD 是角A 的平分线，且 BD ： DC ＝ 2 ： 1。
求证：AB ： AC ＝ 2 ： 1。
这道题我们可以利用角平分线定理来解决。
因为 AD 是角 A 的平分线，所以根据角平分线定理，AB/AC ＝ BD/DC ＝ 2/1，从而得证。
接下来是第三道题，是一个数列问题。
已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，求数列{aₙ}的通项公式。
我们可以通过构造等比数列来求解。
将等式两边同时加 1，得到aₙ₊₁＋ 1 ＝ 2(aₙ ＋ 1)，所以数列{aₙ ＋ 1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。
根据等比数列通项公式可得 aₙ ＋ 1 ＝2ⁿ，所以 aₙ ＝2ⁿ 1。
然后是第四道题，这是一道关于复数的题目。
已知复数z ＝1 ＋i，求 z 的模和辐角。
复数 z ＝ 1 ＋ i 的模为｜z| ＝√（1²＋ 1²) ＝√2，辐角为 arctan(1/1) ＝π/4。
接着看第五道题，是一个概率问题。
从 1，2，3，4，5 这五个数字中随机抽取三个数字，求这三个数字能构成等差数列的概率。
总的组合数为 C₅³＝ 10 种。
全国高中生数学竞赛试题
全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5，那么x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且有a>0，b>0，c>0，那么a+b+c的值是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm，圆心位于坐标系的原点，那么圆上一点（3，4）到圆心的距离是：A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列，且abc=8，a+b+c=6，那么b的值是：A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26，首项为2，公差为3，求该等差数列的第四项。
7. 已知一个圆的周长为4πcm，求该圆的面积（π取3.14）。
8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点，求该零点的值。
9. 一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。
10. 一个等比数列的前三项分别是2，6和18，求该数列的公比。
三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35，且第五项是首项的三倍。
求该等差数列的首项和公差。
12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A，且圆心到直线的距离为2√2cm。
若圆的半径为5cm，求圆心的坐标。
13. 证明：若n是正整数，且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数，则n 也是正整数。
14. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为x，且周长为30cm。
求x的值。
15. 一个等比数列的前五项之和为31，首项为2，求该等比数列的公比和最后一项的值。
请注意，以上题目仅供参考，实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。
在解答时，考生需要仔细审题，合理运用数学知识和解题技巧，力求准确、高效地完成题目。
高中数学竞赛试题汇编六《数列》
高中数学竞赛试题汇编六《数列》1.【2010全国】{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =， 533a b =，则n a = ，n b =答案：d=6,q=92.【2013山东】数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n S a =-，则n a =答案：12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.【2010河南】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59S S =，则35:a a = A.9:5 B. 5:9 C. 3:5 D. 5:34.【2010河北】从满足12211,(1)n n n a a a a a n ++===+≥的数列{}n a 中，依次抽出能被3整除的项组成数列{}n b ，则100b = A.100a B.200a C.300a D.400a 答案：易知4k a 能被3整除，故选D5.【2010山西】数列{}n a 满足2111,n n a a a n +=+=-，则15a =答案：15104a =-6.【2013福建】数列{}n a 满足1132,2n n a a a n +=+=，则na n的最小值为 答案：累加法，(1)32n a n n =-+，321n a n n n =+-，n=6 最小313.7.【2010福建】数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=，则满足10n a >的最小正数n=答案：11122n nn na a ++-=，3n =. 8.【2010江西】数列{}n a ，{}nb 满足1,1,2,3,k k a b k ⋅==L ，已知数列{}n a 前n 项和为1n nA n =+，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n B = 答案：9.【2010湖北】数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===-，前n 项和为n S ，100S =答案：9k k a a +=，故100991001210111()89S S a a a a a =+=++++=L 10.【2010江苏】数列{}n a ，{}n b 满足235212312,log ()n n n n a b a a a a n+==L ，则n b = 答案：2(123)5(4)5512322n nn n n a a a a ++++++==L L ，1(4)(4)55n n n n b n ++==11.【2013湖北】数列{}n a 满足0120,1,n n a a a a ===，211n n a a +=+，2013a = 答案：912.【2010江苏】数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，123n n T a a a a =L ，则2010T = 答案：1234112,3,,23a a a a ==-=-=，123441,n n a a a a a a +==， 2010200820092010126T T a a a a =⨯⨯==-13.【2010浙江】数列{}n a {}n b 分别为等差数列和等比数列，且11444,1a b a b ====，则 A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b >答案：A14.【2013江苏】数列{}n a 满足()()4+1+19,130n n n n a a a a a =---=，满足条件的1a 的所有可能值之积是答案：49a =，33a =，21a =，10a =；015.【2013安徽】数列{}n a满足12121,(3)n n n a a a a n --===-≥，则2013a =答案：116.【2013浙江】等比数列{}n a 满足13a =且第1项至第8项的几何平均数为9，则3a = A.B.C.D.答案：B，2733,q a ==16.【2012天津】数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则317a a +=A. 36B. 35C. 34D. 33 答案：C16.【201河南】已知n a n =，则数列11321n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数的前2n 项和2T n = 答案：2122T 222n n n n +=++-3.【2012山西】设等差数列的前n 项和n S ，若10a >，311S S =，则当n S 取得最大值时n = 答案：7n =.3.【2012山东】等差数列{}n a 中，201a a =，2011a b =，20121a c=，则 199********ac bc ab --=答案：0.3.【2012湖北】已知数列{}n a 满足：1a 为正整数，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩偶为数为奇数，① 若12a =，则4a = ；② 若12329a a a ++=，则1a = ； 答案：5.3.【2012四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2(1)4n n a S +=，则20S =答案：0.3.【2012黑龙江】数列{}n a 满足11a =，212a =，1111()2n n n n n a a a a a -+-++=⋅，则2012a = 答案：C3.【2012江苏】在等差数列{}n a 中，44S ≤，515S ≥，则4a 的最小值是199********ac bc ab --= 答案：0.1.【2011天津】正实数1239,,,a a a a L 构成等比数列，且1234a a +=，345615a a a a +++=， 则789a a a ++= 答案：()1314a q +=①，()2231115a q q q q +++=②；②/①得2q =，114a =，789112a a a ++=2.【2011辽宁】设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n C ，且满足1n n b c +=，则1na = 答案：1,n n n cbc -=1112b c ==，11n n n c c c -+=，所以1111n n c c --=，易得1,11n n n c b n n ==++ 11(1)n n n a b b n n -=-=+3.【2011福建】已知,n n S T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2142n n S n T n +=-， 则1011318615a ab b b b +=++答案：1010101112020111131861512012012012020a a a a a a S a ab b b b b b b b b b b b T +++=+===++++++4.【2011湖北】数列{}n a 满足12a =，21a =，1212n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，则122011a a a +++=L答案：40225.【2011四川】设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若103010,70S S ==，则40S = 答案：150.6.【2011浙江】已知等差数列{}n a 的前15项和1530S =，则1815a a a ++= 答案：150.。
数列竞赛习题及解答
高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分．（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ B ）12343. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p，p，…，p)，P的“蔡查罗和”定义为s、s、…12n12s、的算术平均值，其中s=p+p+…p(1≤k≤n)，若数列(p，p，…，p)的“蔡查罗和”为2007，那nk12k122006么数列(1，p，p，…，p)的“蔡查罗和”为（ A ） 122006 A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a}满足3a+a=4(n≥1)，且a=9，其前n项之和为S。
则满足不等式nn+1n1n1|S-n-6|<的最小整数n是（） n125 B．6 C．7 D．8 A．5 1解：由递推式得：3(a-1)=-(a-1)，则{a-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，n+1nn31n3nnn-1∴S-n=(a-1)+(a-1)+…+(a-1)==6-6×(-)，∴|S-n-6|=6×()<，得：3>250，n12nn3∴满足条件的最小整数n=7，故选C。
n x5．(集训试题)给定数列{x}，x=1，且x=，则= （）n1n+1n33 A．1 B．-1 C．2+ D．-2+ n333解：x=，令x=tanα，∴x=tan(α+), ∴x=x, x=1，x=2+, x=-2-, x=-1,n+1nnn+1nn+6n123432005-2+, x=2-, x=1，……，∴有。
故选A。
、b{}6、（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记则数列{}的前10项和为1010101010102f(n)7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如，f(2006)则＝。
记，，20061(D) 145. （ D ）记做，于是有解：将从16开始，是周期为8的周期数列。
高中数学竞赛专题讲座 数列
高中数学竞赛专题讲座数列高中数学竞赛专题讲座-数列高中数学竞赛专题试题讲座――数列一、选择题部分1．（2021年江苏）已知数列?an?的通项公式an?aa12n?4n?52，则?an?的最大项是（b）ba2ca3da432（2021安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,an2an?2?10ann?3?，则lg(a100)?（）?t?a、98b、99c、100d、1013.（2021吉林预赛）对于一个存有n项的数列p=(p1，p2，?，pn)，p的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为2021，那么数列(1，p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为（a）a.2021b.2021c.2021d.10044．(集训试题)未知数列{an}满足用户3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn。
则满足用户不等式|sn-n-6|<1125的最小整数n是（）b．6c．713a．5d．8的等比数列，求解：由关系式式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}就是以8领衔项，公比为-8[1?(?1)]n∴sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=1?313=6-6×(-13)n，∴|sn-n-6|=6×(13)n<1125，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选c。
5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=3xn?13?xn2021，则?xn=（）n?1a．1xn?b．-13333xnc．2+3d．-2+3求解：xn+1=1?，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+?6),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+3,2021x3=-2-3,x4=-1,x5=-2+3,x6=2-3,x7=1，??，∴有?xn?x1?1。
数学竞赛中的数列问题
高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若 ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。
性质2：若}{n a 为等差数列，且∑∑===kl l kl l j i 11，那么∑∑===kl j kl i lla a 11（脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===kl l kl l j i 11，那么llj kl i kl a a 11===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。
性质3：若}{n a 为等差数列，记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki km i m ki ki ki iaS aS aS ，那么}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记 ,,,,)1(11211k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。
性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则qa S n n -=∞→1lim 1。
例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n n T S nn ，则=∞→nn n b a lim（ ）A.1B. 36 C.32 D.94 （1995年高考）方法：例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A.130 B. 170 C. 210 D.260 （1996年高考） 方法1：方法2：特殊值法例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若331313++=n n T S nn（1）求2828a b 的值， （2）求使nn a b 为整数的所有正整数n 。
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。
答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。
答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。
答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。
答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案：证明略。
11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。
答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。
答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为0。
数列经典题目(竞赛专题)
5a2 n + 4, 求证, 对于 an 不可能有某一正整数 N , 使 a2N 能被 1998 整除. )
பைடு நூலகம்
31. 已知 x1 = 6, x2 = 4, xn+2 =
x2 n+1 − 4 , 则数列 {xn } 适合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( xn (A) 只有有限项且满足 xn+2 = 2xn+1 − xn ;
n
1, 其中 m, k ∈ N∗ , 证明, 对任意
证明, 这个数列中有无限多个非正项. 16. (英国,1980) 求所有的 a0 ∈ R, 使得由 an+1 = 2n − 3an , n ∈ N∗ 所确定的数列 a0 , a1 , · · · 是递增的. 17. (奥地利,1972; 保加利亚,1978) 证明, 由条件 a1 , a2 ∈ Z,
n→∞
1 √ , √ (n + 1) n + n n + 1
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) , n ∈ N∗ , 2 · 4 · 6 · · · 2n lim an . an−1 √ , 要么为 an−1 , 其中 n ∈ N∗ , 试问 2
4. (美国纽约,1974) 在正数列 a0 , a1 , · · · 中, 每个数 an 要么为 这个数列是否有极限属于区间 (0, 1)? 5. (美国,1980; 南斯拉夫,1981) 对给定的自然数 n 级数的最大数目.
35. 已知数列 {xn } 满足 a1 = 5, 且 an = a1 + a2 + · · · + an−1 (n 36. 数列 a, b, a, b, · · · (a ̸= b) 的通项公式 an = . .
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高中数学竞赛数列问题一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系1．因式分解降次。
例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次）2．两边取对数降次。
例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有a n =c 1x 1n +c 2x 2n，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即⎩⎨⎧+=+=222211222111x c x c a x c x c a 或由⎩⎨⎧+=+=22111210x c x c a c c a 得到。
（见训练及考试题）定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。
例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(3211≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式3，.数列}{n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。
4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列{}n a 的通项公式四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ） 定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点10--=a bx 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），进而用构造法解得。
定理2：若数列{a n }满足递推：）（01≠-+⋅+⋅=+bc ad da c ba a a n n n ，则设dcx bax x ++=，得不动点x 1，x 2， 若x 1≠x 2，则原递推化为：）（21212111x a x a c x a c x a x a x a n n n n ----=--++，再由构造法解得。
若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为：da cx a x a n n ++-=-+211001，再由构造法解得。
例如：1，在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),求该数列的通项a n2，已知.数列{}n a 满足：11381,23n n n a a a a ++==+，求该数列的通项a n 3，已知.数列{}n a 满足：1121,23n n n a a a a +--==+，求该数列的通项a n五、 递推构造法1．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2·2n ，注意构造变形为（a n+1+A ·2n+1）= k 1（a n +A ·2n ），展开后与原递推相同，求出A 得值，再化为等比数列解决。
2．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2n 2+k 3n ，注意构造变形为 （a n+1+A(n+1)2+B(n+1)+c ）= k 1（a n +An 2+Bn+c ），展开后与原递推相同而求出A ，B ，C 的值，再化为等比数列解决。
3．若数列为a n+1=-3a n +2n - n 呢？例如：1，求所有a 0∈R ，使得由a n+1=2n -3a n （n ∈N ）所确定得数列a 0，a 1，a 2，…是递增的。
2，某运动会开了n 天(1)n >，共发出m 枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的17，第二天发出2枚加上余下的17；如此持续了(1)n -天，第n 天发出n 枚. 该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌.后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。
例：若不知a 1，a 2的确定值，a n+2=2a n+1+3a n 都不可以用特征方程法。
望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。
数列训练题1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .2. ( 2006年重庆卷)在数列｛a n ｝中，若 a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项 a n =_____.3．（2006年全国卷II ）函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 4．（2006年全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．755．（2006年江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B u u u r ＝200OA a OC u u u r u u u r＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100 B. 101 C.200 D.201 6．（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 7．(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…（1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；（3） 记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1.8．（2006年上海卷）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值．9．（2006年全国卷II ）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．（只须写出即可）10. （2006年上海春卷）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能 得到什么样的结论？ 11．（2006年广东卷）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581.(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得m Sn n ∞→lim 存在且不等于零. 12．（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈13．（2006年安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅（Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式； （Ⅱ）设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n+==∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 14．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =g g g（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：132ni i T =<∑15．（2006年江西卷）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求数列｛a n ｝的通项公式；数列竞赛训练题1.数列{}n a 中，设1,01=>a a n 且6213=⋅+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式.2.已知.数列{}n a 满足)2(11,21211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式3. 已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式4. 已知.数列{}n a 满足1245,0211++==+nn n a a a a ，求数列{}n a 的通项公式5. 数列{}n a 中，设,121==a a 且)1(2212≥+-=++n a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式6. 数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(3211≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公 式7.数列{}n a 满足：)3(21≥-=--n a a a n n n ，如果前1492项的和是1985，而前1985项的和为1492，求该数列的前2001项之和.8. 已知.数列{}n a 满足1)1(1+++=n n n n a n ，求数列{}n a 的前n 项和.参考答案1. =)3(f 10，6)2)(1()(++=n n n n f2. a n =123n +-.3. C4. B 12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=。