平面向量基本定理-PPT课件
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《平面向量基本定理》PPT课件
3．M 为△ABC 的重心，点 D，E，F 分别为三边 BC，AB，AC 的中点，则M→A＋M→B
＋M→C等于( )
A．6M→E
B．－6M→F
C．0
D．6M→D
解析：M→A＋M→B＋M→C＝M→A＋2M→D＝M→A＋A→M＝0.
答案：C
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4．如图，M、N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点，若A→B ＝a，A→C＝b，则M→N＝________.
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探究三 平面向量基本定理与数量积的综合应用
[例 3] 在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，且满足 BC＝3MC，
DC＝4NC，若 AB＝4，AD＝3，则△AMN 的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
[典例 1] 如图，已知△OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将O→B分 成 2∶1 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝a，O→B＝ b. (1)用 a 和 b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
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[解析] (1)由题意知，A 是 BC 的中点， 且O→D＝23O→B，由平行四边形法则， 得O→B＋O→C＝2O→A， 所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
[答案] (1)B (2)λ≠12
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对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作 基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底表示出 来．设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则yx11＝＝yx22.， 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
高中新教材数学人课件必修第二册第章平面向量基本定理
设向量$vec{a}$和$vec{b}$不共线， 则向量$vec{a} + vec{b}$可以表示为 以$vec{a}$和$vec{b}$为邻边的平行 四边形的对角线。根据平行四边形对 角线性质，该对角线被两条邻边平分 ，因此$vec{a} + vec{b}$可以表示为 两个相等的向量之和，即$vec{a} + vec{b} = vec{OC}$，其中$O$为平 行四边形的一个顶点，$C$为对角线 与另一条边的交点。
例题2
已知向量$vec{OA} = (1,2), vec{OB} = (3,4)$，求 $angle AOB$的余弦值。
• 解题思路
首先利用向量的坐标表示法求出$vec{OA}$和$vec{OB}$ 的模，然后利用向量的数量积公式求出$cosangle AOB$ 。
学生自主练习与互动交流环节
练习1
预习下节课内容做好学习准备
1 2
预习向量数量积的定义及性质
了解向量数量积的定义，理解其性质，如交换律 、分配律等。
预习向量数量积的坐标运算
了解向量数量积的坐标运算方法，并尝试进行简 单的计算。
3
思考向量数量积的应用
思考向量数量积在解决实际问题中的应用，如力 学、物理等领域。
谢谢聆听
证明四边形为矩形
通过计算两向量的点积，若点积为零 ，则两向量垂直。
利用向量垂直定理，证明四边形两组 对边分别垂直。
求解垂直向量的坐标
已知一向量的坐标，可设另一向量为 垂直向量，通过解方程组求得垂直向 量的坐标。
向量加减运算应用
01
02
03
向量的合成与分解
通过向量的加减运算，实 现向量的合成与分解，解 决物理中的力的合成与分 解等问题。
例题2
已知向量$vec{OA} = (1,2), vec{OB} = (3,4)$，求 $angle AOB$的余弦值。
• 解题思路
首先利用向量的坐标表示法求出$vec{OA}$和$vec{OB}$ 的模，然后利用向量的数量积公式求出$cosangle AOB$ 。
学生自主练习与互动交流环节
练习1
预习下节课内容做好学习准备
1 2
预习向量数量积的定义及性质
了解向量数量积的定义，理解其性质，如交换律 、分配律等。
预习向量数量积的坐标运算
了解向量数量积的坐标运算方法，并尝试进行简 单的计算。
3
思考向量数量积的应用
思考向量数量积在解决实际问题中的应用，如力 学、物理等领域。
谢谢聆听
证明四边形为矩形
通过计算两向量的点积，若点积为零 ，则两向量垂直。
利用向量垂直定理，证明四边形两组 对边分别垂直。
求解垂直向量的坐标
已知一向量的坐标，可设另一向量为 垂直向量，通过解方程组求得垂直向 量的坐标。
向量加减运算应用
01
02
03
向量的合成与分解
通过向量的加减运算，实 现向量的合成与分解，解 决物理中的力的合成与分 解等问题。
平面向量基本定理PPT课件
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解
决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向
量向基底化归，使问题得以解决.
→
→
设AB＝a，AD＝b，
→ → → → 1→ 1
则AE＝AD＋DE＝AD＋2AB＝2a＋b，
1
→ → → → 1→
AF＝AB＋BF＝AB＋2AD＝a＋2b，
→
所以BF＝BA＋AF＝BA＋λAC＝a＋λ(c－a)＝
(1－λ)a＋λc.
4
→ 1 4
又BF＝5a＋5c，所以 λ＝5，
→ 4→
所以AF＝5AC，所以 AF∶CF＝4∶1.
反思感悟
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量
都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解
是唯一的.
任一向量a ，有且只有一对实数1、2，可使
a 1 e1 +2 e2
若e1，不共线，我们把
e2
e1，
e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
谢谢
人教2019A版必修 第二册
6.3.1 平面向量基本定理
回顾：向量共线定理:
a(a 0)与b共线 有且只有唯一一个实数， 使b a.
位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示。
思考：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个
不共线向量表示呢？
创设问题情境
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，练习2 如图，在△OAB中源自OC为中线，点D为线段OB靠近O点
1
的三等分点，AD交OC于点M，若 OM OA xOB ，求x的值.
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
平面向量的基本定理PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
人教版高中数学1平面向量基本定理(共15张PPT)教育课件
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
即 a1e1+2e2
思考4：若向量a与e1或e2共线，
a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
平面向量的基本定理
如果 e 1 ，e 2 是同一平面内的两个不共线的
向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,
有且只有一对实数 １、２使
a ＝ １e 1 ＋２e 2
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
2022-2023学年人教A版必修第二册 6-3-1 平面向量基本定理 课件(70张)
课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 基底概念的理解 [典例 1] (多选)如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的 是( BC ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量 B．对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2 的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量 λ1e1＋μ1e2 与 λ2e1＋μ2e2 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1 ＋μ2e2) D．若实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0 [思路点拨] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基底向量 e1 与 e2 不共线和平面内 向量 a 用基底 e1，e2 表示的唯一性求解．
第六章 平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
新课程标准
新学法解读
平面向量基本定理是本节的重点又是难点．为了
更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向 理解平面向量基
量的方向及模的大小作图观察 λ1，λ2 取不同值时 本定理及其意义.
的图形特征，得到平面上任意一个向量都可以由
[练习 1] 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1； ③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是___③_____．(写出所有满足条件的序 号)
解析：①设 e1＋e2＝λe1，无解， ∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底； ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则12＋ ＋2λ＝λ＝00，， 无解， ∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线， 即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为一组基底； ③∵e1－2e2＝－21(4e2－2e1)，
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
人教版高中数学必修第二册： 6.3.1平面向量基本定理【课件】
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ B ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解： ①与不共线；② = − ，则与共线； ③ 与不共
线； ④ = −，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不
共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
于是∆是直角三角形.
1. 在∆中， = ，
Ԧ
= ，若 ，分别在 ， 边上，
2
1
A）
且 = 2， = 2.则向量 + 表示（
Ԧ
3
A.
B.
3
C.
D.
解：如图所示， = + ，
2
因为 = 2，所以 = 3 .
Ԧ 1 ， 2 的方向分解，能
发现什么？
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，
则 = + . 由与1 共线，与2 共线可得，存在实数
1 ，2 ，使得 = 1 1 ， = 2 2 ，所以Ԧ = 1 1 + 2 2 .
也就是说，与1 ， 2 都不共线的向量都可以表示成
Ԧ
1 1 + 2 2
的形式.
问题3 当是与
Ԧ
Ԧ
1 或 2 共线的非零向量时， 是否也可以表
示成1 1 + 2 2 的形式？当是零向量呢？
Ԧ
平面内任一向量都可以按
Ԧ
1 ， 2 的方向分解，表示成1 1 + 2 2
存在唯一一个实数，使 = .
Ԧ
思考 根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于
这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
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必修4
平面向量基本定理
（1）uu小ur 明u从uurA到uBu，ur 再从B到C，则他两次的位移之和是：
AB BC AC 三角形法则
D
C
首尾相接，由首至尾
uuur uuur uuur
AB AD AC 平行四边形法则 A
B
共起点
（2）向量共线定理：
如果有一个实数，使b a(a 0), 那么b与a是共线向量；
解法一：PQ PA AD DQ PQ PC CB BQ
2PQ AD CB a b PQ 1 a 1 b
22
D P
A
C Q
B
②.当
90o时向量 a 、b
垂直;
记作：
a
b
注意：找两个向量的 夹角时，这两个向量
③.当 180o时向量a、b 反向
的起点必须相同！
④.当0o 180o时向量a、b 不共线
辨析2
你能在等边ABC中找到AB与BC、BC与AC、的夹角吗？
A
B
C
1、平面向量基本定理 2、对基本定理的理解
(1)基底不唯一，关键是不共线 (2)实数对 1、2 的存在性和唯一性 ３、应用定理的关键是掌握向量的加 法法则和向量共线定理 4、夹角的判断
2e2 ,
b
1.5e1
e2
e1
e2
A
1.5Ae1
a
e1
b
B
o
2e2
B
e2
思 （1）根据已知向量 e1、e2能否作出所有形如 1e1 2e2的向量？ 考
思考（点击进入课件）
（2）任意一个向量a能够表示成形如1e1 2e2？ 探究（点击进入课件）
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 的向量，那么对于这一平面内的任一 向量a有且只有一对实数 1 、2 使
试一试
在□ABCD中，BP 2 BC 若AB a, BC b, 3
试用a, b表示向量PD
D
C
P
b
PD a 1 b 3
A
a
B
试一试
在□ABCD中，BP 2 BC
D
若AB a, BC b, 3
试用a, b表示向量PD
解: PD PC CD
A
a
PC 1 BC 1 b,
3
3
5、重要推论：AD mAB nAC, 且m n 1 B、C、D共线
1、若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，
则下面的四组向量中不能作为基底的是 (2)
(1)e1 e2和e1 e2；
(2)3e1 2e2和4e2 6e1；
(3)e1 3e2和e2 3e1； (4)e2和e1 e2；
a
a
2e1
3e1
3e2和b e1
5e2和b 6e1Fra bibliotek3 2 e2
10e2
D.
a
e1
2e2和b
5e1
7e2
例题（点击进入课件）
平面向量的夹角
已知a和b是任意两个非零向量
b
a
如图：作OA a
OB b
我们称AOB 为向量a、b的夹角
其中0 180
B
B
B
┐
O
B A
①.当 0o时向量a、b同向
a 1e1 2 e2
我们把不共线 的向量e1、e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底。
已知平行四边形ABCD中，那些向量能够作 为基底？
D
C
A
B
判断标准：这两个向量不共线
辨析1
若e1与e2是不共线的两个向量，则下列各组向量中
能够作为平面基底的是
( D)
A.
a
0和b
e1
2e2
B. C.
CD DC AB a
PD 1 b a 3
C P
b
B
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD 的中点，BC a, DA b, 并且a,b不是共线向量， 试用基底a, b表示向量PQ.
C D
P
Q
A
E
B
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD 的中点，BC a, DA b, 并且a,b不是共线向量， 试用基底a, b表示向量PQ.
引入（点击进入课件）
运用三角形法则作出形 如1e1 2e2的向量
已知同一平面内向量e1、e2 , 作出向量a
e1
2e2 ,
b
1.5e1
e2
e1
e2
e2
A
B 2e2 1.5Ae1
B
a
e1
b
o
运用平行四边形法则作 出形如1e1 2e2的向量
已知同一平面内向量e1、e2 , 作出向量a
e1
平面向量基本定理
（1）uu小ur 明u从uurA到uBu，ur 再从B到C，则他两次的位移之和是：
AB BC AC 三角形法则
D
C
首尾相接，由首至尾
uuur uuur uuur
AB AD AC 平行四边形法则 A
B
共起点
（2）向量共线定理：
如果有一个实数，使b a(a 0), 那么b与a是共线向量；
解法一：PQ PA AD DQ PQ PC CB BQ
2PQ AD CB a b PQ 1 a 1 b
22
D P
A
C Q
B
②.当
90o时向量 a 、b
垂直;
记作：
a
b
注意：找两个向量的 夹角时，这两个向量
③.当 180o时向量a、b 反向
的起点必须相同！
④.当0o 180o时向量a、b 不共线
辨析2
你能在等边ABC中找到AB与BC、BC与AC、的夹角吗？
A
B
C
1、平面向量基本定理 2、对基本定理的理解
(1)基底不唯一，关键是不共线 (2)实数对 1、2 的存在性和唯一性 ３、应用定理的关键是掌握向量的加 法法则和向量共线定理 4、夹角的判断
2e2 ,
b
1.5e1
e2
e1
e2
A
1.5Ae1
a
e1
b
B
o
2e2
B
e2
思 （1）根据已知向量 e1、e2能否作出所有形如 1e1 2e2的向量？ 考
思考（点击进入课件）
（2）任意一个向量a能够表示成形如1e1 2e2？ 探究（点击进入课件）
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 的向量，那么对于这一平面内的任一 向量a有且只有一对实数 1 、2 使
试一试
在□ABCD中，BP 2 BC 若AB a, BC b, 3
试用a, b表示向量PD
D
C
P
b
PD a 1 b 3
A
a
B
试一试
在□ABCD中，BP 2 BC
D
若AB a, BC b, 3
试用a, b表示向量PD
解: PD PC CD
A
a
PC 1 BC 1 b,
3
3
5、重要推论：AD mAB nAC, 且m n 1 B、C、D共线
1、若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，
则下面的四组向量中不能作为基底的是 (2)
(1)e1 e2和e1 e2；
(2)3e1 2e2和4e2 6e1；
(3)e1 3e2和e2 3e1； (4)e2和e1 e2；
a
a
2e1
3e1
3e2和b e1
5e2和b 6e1Fra bibliotek3 2 e2
10e2
D.
a
e1
2e2和b
5e1
7e2
例题（点击进入课件）
平面向量的夹角
已知a和b是任意两个非零向量
b
a
如图：作OA a
OB b
我们称AOB 为向量a、b的夹角
其中0 180
B
B
B
┐
O
B A
①.当 0o时向量a、b同向
a 1e1 2 e2
我们把不共线 的向量e1、e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底。
已知平行四边形ABCD中，那些向量能够作 为基底？
D
C
A
B
判断标准：这两个向量不共线
辨析1
若e1与e2是不共线的两个向量，则下列各组向量中
能够作为平面基底的是
( D)
A.
a
0和b
e1
2e2
B. C.
CD DC AB a
PD 1 b a 3
C P
b
B
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD 的中点，BC a, DA b, 并且a,b不是共线向量， 试用基底a, b表示向量PQ.
C D
P
Q
A
E
B
设P, Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD 的中点，BC a, DA b, 并且a,b不是共线向量， 试用基底a, b表示向量PQ.
引入（点击进入课件）
运用三角形法则作出形 如1e1 2e2的向量
已知同一平面内向量e1、e2 , 作出向量a
e1
2e2 ,
b
1.5e1
e2
e1
e2
e2
A
B 2e2 1.5Ae1
B
a
e1
b
o
运用平行四边形法则作 出形如1e1 2e2的向量
已知同一平面内向量e1、e2 , 作出向量a
e1