(经典)高考立体几何题型与方法全归纳文科(精典配套练习)

2019高考立体几何题型与方法全归纳文科

配套练习

1、四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==,3ACB ACD π

∠=∠=.

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ；

(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积。

【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ∆为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.

因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直， 故BD ⊥平面PAC 。

(Ⅱ)解：33

2sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233

131=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1,

故：4

132813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F 4

7412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ︒∠=，

平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．

（Ⅰ）证明：EF 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】

（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点．

又E 是PC 的中点，EF AP

∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，

所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥

又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD

又PA ⊂平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥，

因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =，

所以，PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高．

由2AD =得1PO =．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积1233

V PO AB AD =⋅⋅= 考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，

45DAC ∠=，AC =

（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面； （Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积

【答案】（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面

PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥

AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面

∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =

∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点，

∴EF 为CPA ∆的中位线.

∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面

∴PA ∥BDE 平面.

(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ∆∆+=222322122221=⨯⨯+⨯⨯=

． 的中点，为线段点PC E

111122232323

E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=． 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.

4、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点．

(1) 求证：AD PQB ⊥平面；

(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥

M ABCD -的体积． 【答案】

（1）PA PD =，Q 为中点，AD PQ ∴⊥

连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，60BAD ︒∠=，

ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，

AD BQ ∴⊥,

PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ,

∴AD ⊥平面PQB .

（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .

H

A

B C

D P

M

Q PQ AD ⊥,PQ ⊂平面PAD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,平面PAD ⊥平面ABCD ，

PQ ABCD ∴⊥平面 , QC ⊂ABCD 平面 ,

PQ QC ∴⊥

//PQ MH ∴.

∴MH ABCD ⊥平面, 又12PM PC =

,1122222

MH PQ ∴==⨯=. 在菱形ABCD 中，2BD =,

01sin 602

ABD S AB AD Λ=⨯⨯

⨯1=2222⨯⨯⨯

∴2ABD ABCD S S ∆==菱形

M ABCD V -13

ABCD S MH =⨯⨯

菱形132=⨯1=． 5、如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，243

AB AE AD ==

=，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE . ⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ；