高等数学：第11章无穷级数自测题答案
高等数学无穷级数11-1
n0aqn当 当qq
1时, 收敛 1时, 发散
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数 k 0, 则 un与kun
有相同的敛散性.
n1 n1
证 令un与kun 的部分和分别为 sn 及n .
n1 n1
则 n k1u k2u kn u
k(u 1u 2 u n) ksn
n1
若 u n , v n 均发散,
n1 n1
则 (un vn) 敛散性不确定.
n1
例 111,
都发散.
( 1)( 1)( 1) ,
但 [1(1)][1(1)]
0 0 0 收敛.
0
性质3
注
添加或去掉有限项不影响一个级数 的敛散性. 级数的和一般会改变.
n1n(n51)21n
n1
5 n(n1)
n1
1 2n
n 1n(n 51)5n 1 n 1n1 1
令gn5kn1k1k11
5(1
1 ), n1
ln im gn5ln i (m 1n1 1)5,
n1
n1
n1
n
n
n
证 级数的部分和 (ui vi ) u i v i
i1
高等数学无穷级数上课习题与答案
高等数学无穷级数上课
习题与答案
标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
第一次作业
1.写出级数√1
2+12?4+1√12?4?6+12
2?4?6?8
+?的一般项 。
解：一般项为u 1=
(112)
1(21)!!
2.已知级数∑2n n !n
n ∞
n =1
收敛，试求极限lim n →∞2n n !
n n 。
解：由级数收敛必要条件可知
lim n →∞2n n !
n
=0 3.根据级数性质，判定级数∑(1
1+21)∞
1=1
的敛散性。
解：因为级数∑(1
5
n )∞
n =1收敛，级数∑(2n )发散，∞
n =1
所以由性质可推导出级数∑(1
5
1+21)发散。∞
1=1
4.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n −1−√n )的敛散性，∞
n =1
若收敛，求其和。
解：设u 1=√n −1−√n ,11
=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n −1−√n =√1+1−1
=
1
111
因为lim 1→∞
11=lim
1→∞1
1
11
=∞ ,所以所求级数发散。
5.判定级数∑√n +1
n
∞
n =1
的敛散性。
解：因为lim
1→∞11=lim
1→∞
√n+1
n
=1≠0，
所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n+1 n
∞
n=1
发散。
6.
1
√2−1
−
1
√2+1
+
1
√3−1
−
1
√3+1
的敛散性。
解：原式=(
1
√2−1
−
1
√2+1
)+(
1
√3−1
−
1
√3+1
)+?
=
1
2
(1+
1
2
+
1
3
+?
1
1
+?)=
1
2
∑
1
1
∞
1=1
第二次作业
1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑
21+1
(1+1)2(1+2)2
∞
1=1
的敛散性。
大学高数下册试题及答案,第11章
该函数延拓为偶函数，再延拓为周期的周期函数展开得余弦级数，；
切入点很棒！
的构思挺奇异！
高等数学〔Ⅱ〕期末参考答案
一、填空题〔每题3分，共30分〕
1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，则a b 1
i j1 1
k
2(0,2,1) .
22.点(1,1,1)到平面3x6y2z140的距离为 3.
3.过点(3,0,1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程为
3x7y5z40 . 4.已知z f(xy,2x e2y)，则 t
4
z x
yf12f2 .
5.曲线x
14
4
13
,y
t
3
3
12
,z
t
2
2
在相应于t1处的法平面方程为
(x)(y
)(z
)0 .
10
y0
6.交换积分dx f(x,y)dy的积分次序为 x dy
f(x,y)dy.
223
7.设：z x y
22
(0z1)，则zdS x y 1
2
x y
2
22
2dxdy.
8.设向量A(x2yz)i(y2zx)j(z2xy)k，则divA
P x
Q y
R z
2(x y z).
9.设函数f(x)以2为周期，且f(x)x(x)，其Fourier 级数为
a02
n 1
(ancosnx bnsinnx)，则b2
2
1
xsin2xdx 1 .
10.函数f(x)
12x
的麦克劳林级数为
2
(1)2
n
n
x .
n
n0
二、〔8分〕求函数f(x,y)x xy y x y1的极值，并指出是极大值还是微小值.解：fx(x,y)2x y1，fy(x,y)2y x 1，
2
2fx(x,y)02x y10令，得驻点(1,1).由于 , 即
f(x,y)02y x10y
A fxx(x,y)2，
B fxy(x,y)1，
高等数学(三)第11章 无穷级数
无穷级数是高等数学的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，它是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具，在数学理论以及工程技术中都有广泛的应用．
11.1 数项级数的概念及性质
11.1.1 数项级数的概念 实例1 小球运动的时间
小球从1米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球运动的总时间． 解 由自由落体运动方程221gt s =知g s t 2=．设k t 表示第k 次小球落地的时间, 则小
球运动的总时间为
+++++=k t t t t T 222321.
这里出现了无穷多个数依次相加的式子.在物理、化学等许多学科中，也常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上称之为无穷级数．
上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义.
令n n u u u S +++= 21，称n S 为级数(11.1.1)的部分和．当n 依次为1,2,3,…,时，得到一个数列1S ，2S ，…，n S ，…，称为级数(11.1.1)
的部分和数列．从形式上不难知道
∑∞
=1
n n u =n n S ∞
→lim ，所以我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性. 当级数∑∞
=1
n n u 收敛于S 时，常用其部分和S n 作为和S 的近似值，其差
∑∑∑∞
+==∞==
-=-1
1
1
n k k
n
k k k k n u u u S S
叫做该级数的余项，记为n r ．用部分和S n 近似代替和S 所产生的绝对误差为| r n |．
无穷级数题(含答案)
无穷级数自测题简解与答案
一、 填空题
1， k >1; 2, 发散；3，0<p≤1; 4, a < 1,b任意；或a = ±1,b > 1;或a = −1, 0 < b ≤ 1;
5，发散； 6，绝对收敛；发散； 7， 8；[−2,2)；8，（－2，2）；
9， 2 ; π2 ；10， 3 。
3
4
n
⎛ (3) sin ⎜⎜⎝
⎛
1 n2
⎞ +1 −1⎟⎟⎠
=
⎜ sin ⎜
⎜ ⎜⎝
1⎞
n2
⎟ ⎟∼
1 n2
+1
+1
⎟ ⎟⎠
1 2n2
(n → ∞) ,
级数收敛。
(4) 用比值判别法， lim un+1 = 1 < 1 ， 级数收敛。
u n→∞ n
e
n+1
（5）
lim
n→∞
n (n +
n
1)n
= lim n n n→∞ (1+ 1 )n
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ， 级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ， 原级数与级数 ∞
第十二章无穷级数自测题(含答案)
第十一章练习题
一、 填空题
1．级数
)21)1(1(1
n
n n n -+∑∞
=的和为（ ）
． 2．若∑∞
=1
n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞
=1
n n u 收敛的充要条件是（ ）．
3.级数∑∞
=1
22
sin
2n n
n π
的敛散性为（ ）．
4.幂级数n n x n )3
2(11
-∑
∞
=的收敛区间为（
）．
5.幂级数∑∞
=-1
22)
1(n n
n
n
x
的收敛域为（ ）．
6.将函数
2
)
1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．
7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0
x f S f x +→=-=则=（ ）
． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．
二、 单项选择题
1. 若级数∑∞
=1
n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.
A. 交换律成立；
B.结合律成立；
C.分配律成立；
D.以上都不成立。
2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．
A.
∑
∞
=+1121n n ； Ｂ．n
n n
)2
3()1(1
∑∞
=-；
Ｃ．
3
1
1)
1(n
n n
∑
∞
=-； Ｄ．n
n n n
1)
1(1
--∑∞
=．
3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.
A. ∑∞
=+-1
1
)
1(n n
n n ；Ｂ．∑∞
=-1
1)
1(n n
n
；Ｃ．∑∞
=-1
2
1)
1(n n
n
；Ｄ．∑∞
=+-1
)
1(1)1(n n
n n
4. 已知级数∑∑∞
(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十一章无穷级数
一、选择题
1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）
（A）∑∞
=+
11
2
1
n n(B)
()()2311n
n
n
∑∞
=
-
(C)
()
∑--
n
n
3
11
1
(D)
()
n
n
n
n1
1
1
-
-
∑∞
=
2.
()
∑∞
=
-
2
!
1
n
n
n
n
x
在-∞
x
f（A ）（A）e x2-(B) e x2
(C) e x
-
-2(D) e x2
-
3.下列级数中收敛的是（ B ）
（A）∑
+
∞
=11
n n
n
(B)
∑
+
∞
=11
1
n n
n
(C)
()
∑
+
∞
=11
2
1
n n(D)
()
∑
+
∞
=1
2
1
1
1
n n
4.
lim=
∞
→
u n
n是级数
∑∞
=1
n
n
u
收敛的（ B ）
（A）充分条件(B) 必要条件
(C) 充要条件(D) 无关条件
5.级数∑∞
=1
n
n
u
收敛的充分必要条件是（ C ）
（A）
lim=
∞
→
u n
n(B)
1
lim1<
=
+
∞
→
r
u
u
n
n
n
(C)
s n
n∞
→
lim
存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) n
u n
2
1
≤
6.下列级数中，发散的级数是（ B ）
（A）∑∞
=1
2
1
n n(B)
∑∞
=1
1
cos
n
n
(C)
()∑∞
=1
3
1
n
n
(D)
()∑∞
=
-
1
1
3
2
n
n
7.级数
()()
n
x n
n
n
5
1
1
1
1
-
∑-
∞
=
-
的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)
(]2,0 (C)
[)2,0
(D) [0，2]
8.
()
+∞
<
<
∞
-
∑∞
=
x
n
n
n
x
1
!的和函数是（ B ）
（A）e x(B) 1
-
e x
(C) 1
+
e x(D) x
-
1
1
9.下列级数中发散的是（ A ）
（A）∑∞
=12
sin
n
nπ
(B)
()
∑-
∞
=
-
1
1
1
1
n
n
n
(C) ∑⎪
考研数学专题—无穷级数自测题(3套)
考研数学专题-无穷级数自测题（1）
一、 选择题：
1．下列级数中，收敛的是( )。
A ． ∑∞
=11n n B ． ∑∞
=11
n n n C ． ∑∞=1321n n D ． ∑∞=-1
)1(n n
2．下列级数中，收敛的是( )。
A ． 11)45(-∞
=∑n n B ． 11)54(-∞=∑n n C ． 1
1
1)45()1(-∞=-∑-n n n D ． ∑∞
=-+11)5445(n n
3．下列级数中，收敛的是( )。
A ． ∑∞
=1222)!(n n n B ． ∑∞=1!3n n n n n C ． 21sin ππ∞
=∑n
n n D ． ∑∞=++1)
2(1n n n n 4．部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞
=1
n n u 收敛的( )。
A ． 充分条件
B ． 必要条件
C ． 充要条件
D ． 既非充分又非必要条件 5．设a 为非零常数,则当( )时,级数∑
∞
=1n n
r
a
收敛 。 A ． 1<r B ． 1≤r C ． a r < D ． 1>r
06.(3)1,
6.
....n n n a x x x A B C D ∞
=-=-=∑若级数在处收敛则此级数在处（
）绝对收敛发散条件收敛
敛散性不定
二、 填空题：
1．设级数∑∞=-12)1(n n
n n
a 收敛，则级数∑∞
=1
n n a 。
2．设级数∑∞
=12
n n u ，∑∞=1
2
n n v 收敛， 则级数∑∞
=1
n n n v u 。
3．若级数∑∞
=1n n u 的前n 项和)12(21
21+-=n s n ，则=n u ，∑∞
高等数学 无穷级数 11-1【VIP专享】
性质1 设常数 k 0, 则 un与 kun
有相同的敛散性.
n1 n1
证 令 un与 kun 的部分和分别为 sn 及n .
n1 n1
则 n ku1 ku2 kun
k( u1 u2 un ) ksn 于是 当sn s, n ksn ks;
当sn不存在极限且k 0时,
n1
un 称为一般项(通项).
一般项
如
3 10
3 100
3 10n
;
1 1 1 1 (1)n1 1 ;
234
n
1 1 1 1 (1)n1 .
均为（常）数项级数
无穷级数定义式的含义是什么? 按通常的加法运算一项一项的加下去,
没有穷尽，如何计算？
部分和定义 un 前n项的和 n1 Sn u1 u2 u3 un
③ 必要条件不充分.
如 调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0
但级数是否收敛？
例 讨论调和级数 1 1 1 1 敛散性.
发散
性质5 (级数收敛的必要条件)
定理 若级数
un 收敛, 则
lim
n
un
0
n1
证 因为 s un 则 un sn sn1
n1
所以
lim
n
un
无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十一章无穷级数
一、选择题
1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）
（A）∑∞
=+
11
2
1
n n(B)
()()2311n
n
n
∑∞
=
-
(C)
()
∑--
n
n
3
11
1
(D)
()
n
n
n
n1
1
1
-
-
∑∞
=
2.
()
∑∞
=
-
2
!
1
n
n
n
n
x
在-∞
x
f（A ）（A）e x2
-(B) e x2
(C) e x
-
-2(D) e x2
-
3.下列级数中收敛的是（ B ）
（A）∑
+
∞
=11
n n
n
(B)
∑
+
∞
=11
1
n n
n
(C)
()
∑
+
∞
=11
2
1
n n(D)
()
∑
+
∞
=1
2
1
1
1
n n
4.
lim=
∞
→
u n
n是级数
∑
∞
=1
n
n
u
收敛的（ B ）
（A）充分条件(B) 必要条件
(C) 充要条件(D) 无关条件
5.级数∑∞
=1
n
n
u
收敛的充分必要条件是（ C ）
（A）
lim=
∞
→
u n
n(B)
1
lim1<
=
+
∞
→
r
u
u
n
n
n
(C)
s n
n∞
→
lim
存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) n
u n
2
1
≤
6.下列级数中，发散的级数是（ B ）
（A）∑∞
=1
2
1
n n(B)
∑∞
=1
1
cos
n
n
(C)
()
∑∞
=1
3
1
n
n
(D)
()
∑∞
=
-
1
1
3
2
n
n
7.级数
()
()
n
x n
n
n
5
1
1
1
1
-
∑-
∞
=
-
的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)
(]2,0 (C)
[)2,0
(D) [0，2]
8.
()
+∞
<
<
∞
-
∑∞
=
x
n
n
n
x
1
!的和函数是（ B ）
（A）e x(B) 1
-
e x
(C) 1
+
e x(D) x
-
1
1
9.下列级数中发散的是（ A ）
（A）∑
∞
=12
sin
n
nπ
(B)
()
∑-
∞
=
-
1
1
1
1
n
n
n
(C) ∑⎪
柴俊,丁大公,陈咸平 等 编 科学出版社 华东师范大学 高等数学 上下册 答案Ch_11_Infinite_series
第11章 无穷级数
参考解答
1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性： （1）
()
11
1n n n ∞
=+∑ 解：()()1
11
1111n
n k S n k k n ==
=-→→∞++∑，故原级数收敛。 （2
）
1
n ∞
=
解
：()1n
n k S n ==
=→∞→∞，故原级数发散。
2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性： （1
）
1
n ∞
= 解
：3
2
lim 1n n →∞==<，而级数312
1n n ∞
=∑收敛，故原级数收敛。
（2）2
3
111n n n
∞
=++∑ 解：2
311lim 11n n n n
→∞++==，而级数11n n
∞=∑发散，故原级数发散。
（3）
1
12sin
5
n n n ∞
=∑ 解：1
2sin
5lim 125n n n n →∞
==⎛⎫
⎪⎝⎭
，而级数125n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故原级数收敛。
（4）22
11ln n n n ∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∑ 解：222
1ln lim 11n n n n →∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=
=，而级数211n n
∞
=∑收敛，故原级数收敛。 （利用极限1lim 1n
n e n →∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，或()0ln 1lim
1x x x →+=） （5）
()
11
ln 1n n ∞
=+∑ 解：
()11ln 1n n >+，而级数11
n n
∞
=∑发散，故原级数发散。 3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性： （1）
1
21n
n n
∞
=-∑ 解：111121121lim lim 121221
n n n n n n
n n n n ++→∞→∞++--==<--，故原级数收敛。 （2）15!
高等数学单元自测题
《高等数学》单元自测题
第七章 空间解析几何自测题
专业 班级 姓名 学号
一、填空题：
1. 已知a
与b
垂直，且a
=5，b
=12，则=+b a
，b a
-= 。 2．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k = 。 3．若直线
531123-=++=-z k y k x 与2
2
531-+=
+=-k z y x 垂直，则k= 。 4．已知)1,3,2(A ，)1,4,5(-B ，)3,2,6(-C ，)1,2,5(-D ，则通过点A 且垂直于B 、C 、D 所
确定的平面的直线方程是 。
5．母线平行于oz 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++2222
221
4z
y x z y x 的柱面方程是 。
二、选择题：
1．下列命题，正确的是 。
（A ）、k j i
++是单位向量。 （B ）、j -非单位向量
（C ）
、2
= （D ）、b b a a
⋅=⋅2
)(
1．设},,{},,{z y x z y x b b b b a a a a ==、。则b a ⊥的充分必要条件是 。 （A ）、z z y y x x b a b a b a ===,, （B ）、0=++z z y y x x b a b a b a （C ）、z
z y
y x
x b a b a b a == （D ）、z y x z y x b b b a a a ++=++
2．设三向量c b a ,,的模分别为3，6，7；且满足a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅=++则,0
= 。
（Ａ）、45 （Ｂ）、－47 （Ｃ）、42 （Ｄ）、－43
高等数学第十一章：无穷级数-1常数项级数的概念和性质
n1
敛， 且其和为 ks 。
性质2 如果级数 un、 vn 分别收敛于 s和 t则
n1
n1
级数 (un vn )也收敛， 且其和为 s t.
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级 数
的收敛性。
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例 无穷级数 aqn a aq aq2 aqn n0 叫做等比级数（又称几何级数），其中 a 0 , q 叫做级数的公比。试讨论此级数的收敛性。
例 证明级数 1 2 3 n
是发散的。
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例1 判定无穷级数
1 1 1
12 23
n(n 1)
的收敛性。
解
un
1 n(n 1)
1 n
1 n1
,
sn
1 1 2
1 23
1 n(n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n1
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高等数学7-11章单元自测题与综合训练
《高等数学》单元自测题
第七章 空间解析几何
专业 班级 姓名 学号
一、填空题：
1． 已知向量a 与b 垂直,且5||=a ，12||=b ，则=+||b a ,=-||b a .
2．设向量{}{}1,1,2,1,2,1--==OB OA ,则=⋅OB OA ,=⨯OB OA ,
=∠AOB cos .
3．已知点)3,1,2(),5,0,4(B A ,则与AB 同向的单位向量为 . 4．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直,则k = . 5．过点)1,2,3(--和点)5,4,5(的直线方程为 . 6．点)2,3,1(到平面0322=+-+z y x 的距离为 .
7．母线平行于z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++2222221
4z
y x z y x 的柱面方程是 .
8．球面0422
22=+-++y x z y x 的球心为 ,半径为 . 二、单项选择题： 1．若两直线
634123-=+=-z y x 与2
2251-+=
+=-k z y x 平行,则k= . (A)2； (B)3； (C)4； (D)5.
2．设平面方程为0=++D Cz Bx ,且0≠BCD ,则平面 . (Ａ)平行于x 轴； (Ｂ)平行于y 轴； (Ｃ)经过y 轴； (Ｄ)垂直于y 轴.
3．过点)1,1,2(-且与平面0132=+-+z y x 垂直的直线方程为 .
(A)
111322-+=-=-z y x ； (B)11
1322--=
+=+z y x ； (C)11312
2-+=-=
-z y x ； (D)1
高等数学第十一章 无穷级数
三 绝对收敛与条件收敛
定理1 如果级数（6）的个项的绝对值 所构成的级数（7）收敛，则级数（6）收敛。
例9
证明级数 sin n 绝对收敛。
n1 n4
第四节幂级数
一函数项级数的一般概念
如果给定一个定义在区间 I 上的函数列
它的部分和所成的数列 sn 有界。
比较审敛法 如果级数（2）收敛，并且
un vn (n 1,2,),
则级数（1）也收敛；如果级数（2）发散，
并且 un vn (n 1,2,), 则级数（1）也发散。
例1 讨论 p 级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性，其中常数 p 0.
当 n N 时，有不等式
2
l l un l l ,
2 vn
2
即
l
3
2 vn un 2 lvn ,
再根据比较审敛法的推论，即得所要证的结论。
极限审敛法
设 un 为正项级数，如果 n1
lim
n
nun
l
0
（或
有p
lim
n
nun
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《高等数学》单元自测题答案
第十一章 无穷级数
一．选择题：
1.B ；
2. D ；
3.A ；
4.B ；
5.B ；
6.B ；
7. C ；
8.C .
二．填空题：
1. ()
∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2
k . 三．判断题：
1. 解 因为02121lim ≠=+∞
→n n n ，故级数发散. 2. 解 因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n
发散，故原级数发散. 3. 解 设n n n n u )13(
+=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解 因为()∑∞=-+1
212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n
收敛. 四．判断题：
1. 解
()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n
n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=⋅+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛.
2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1
212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n
n n
n n ，而级数∑∞=11n n
发散，故绝对值级数∑∞=-+-121
1
)1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1
)1(11,01lim
222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，
所给级数收敛，且为条件收敛.
五．求幂级数的收敛半径和收敛域
1. 解 3313lim lim 11=⋅+=+∞→+∞→n n n n
n n n n a a ，故收敛半径为31R =, 当31=x 时，幂级数化为∑∞=1
1n n ，该级数发散.当31-=x 时，幂级数化为∑∞=-11)1(n n
n
，其为交错级数，据莱布尼兹判别法知，该级数收敛.故所给幂级数的收敛域为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-3131，. 2. 解 n n n n n n n n n n a a n n n n n n n n n
n n n
n n 1)1(lim 1)1(lim )1(lim 1)1(1
lim lim 111111⋅+=⋅+=+=+=+∞→++∞→+∞→+∞→+∞→ 001lim )1
11(lim 11=⋅=⋅+-=-∞→+∞→e n n n n n ， 故收敛半径为∞=R ,收敛域为()∞+∞-，
. 3. 解 ∞=+=+=∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim lim 1n n n a a n n n
n n ，故收敛半径为0R =,收敛域为0=x . 六. 解：由于()x x f 2-=是奇函数，故0=n a ， ,2,1,0=n ()⎰--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---==πππ
πππx n nx x n ntdt t b n sin 1cos 12sin 21 ()n
n 41-= ∴()()nx n
x f n n sin 141∑∞=-=。 七． 解：1）正弦级数，注意到()00=f ，作奇延拓()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡，()l l x ,-∈，计算付氏系数如下：
0=n a ，( ,2,1,0=n )
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰20sin sin 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l b ππ 2sin 42
2ππn n l
=, ,2,1=n ∴()∑∞
==12
2sin 2sin 14n l x n n n l x f πππ,()l x ≤≤0. 2)余弦函数
作偶延拓设()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡，()l l x ,-∈，计算付氏系数如下：
()x
l dx x l xdx l a l l l =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰22002 ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰20cos cos 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l a ππ ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=22222222212cos 22ππππn l n l n n l l n , ,2,1=n 0=n b
∴()()∑∞=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+=122cos 112cos 2124n n l x n n n l l x f πππ,()l x ≤≤0.