高等数学：第11章无穷级数自测题答案

《高等数学》单元自测题答案

第十一章 无穷级数

一．选择题：

1.B ；

2. D ；

3.A ；

4.B ；

5.B ；

6.B ；

7. C ；

8.C .

二．填空题：

1. ()

∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2

k . 三．判断题：

1. 解 因为02121lim ≠=+∞

→n n n ，故级数发散. 2. 解 因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n

发散，故原级数发散. 3. 解 设n n n n u )13(

+=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解 因为()∑∞=-+1

212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n

收敛. 四．判断题：

1. 解

()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n

n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=⋅+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛.

2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1

212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n

n n

n n ，而级数∑∞=11n n

发散，故绝对值级数∑∞=-+-121

1

)1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1

)1(11,01lim

222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，

所给级数收敛，且为条件收敛.

五．求幂级数的收敛半径和收敛域

1. 解 3313lim lim 11=⋅+=+∞→+∞→n n n n

n n n n a a ，故收敛半径为31R =, 当31=x 时，幂级数化为∑∞=1

1n n ，该级数发散.当31-=x 时，幂级数化为∑∞=-11)1(n n

n

，其为交错级数，据莱布尼兹判别法知，该级数收敛.故所给幂级数的收敛域为⎪⎭

⎫⎢⎣⎡-3131，. 2. 解 n n n n n n n n n n a a n n n n n n n n n

n n n

n n 1)1(lim 1)1(lim )1(lim 1)1(1

lim lim 111111⋅+=⋅+=+=+=+∞→++∞→+∞→+∞→+∞→ 001lim )1

11(lim 11=⋅=⋅+-=-∞→+∞→e n n n n n ， 故收敛半径为∞=R ,收敛域为()∞+∞-，

. 3. 解 ∞=+=+=∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim lim 1n n n a a n n n

n n ，故收敛半径为0R =,收敛域为0=x . 六. 解：由于()x x f 2-=是奇函数，故0=n a ， ,2,1,0=n ()⎰--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---==πππ

πππx n nx x n ntdt t b n sin 1cos 12sin 21 ()n

n 41-= ∴()()nx n

x f n n sin 141∑∞=-=。 七． 解：1）正弦级数，注意到()00=f ，作奇延拓()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡，()l l x ,-∈，计算付氏系数如下：

0=n a ，( ,2,1,0=n )

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰20sin sin 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l b ππ 2sin 42

2ππn n l

=, ,2,1=n ∴()∑∞

==12

2sin 2sin 14n l x n n n l x f πππ,()l x ≤≤0. 2)余弦函数

作偶延拓设()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡，()l l x ,-∈，计算付氏系数如下：

()x

l dx x l xdx l a l l l =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰22002 ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰20cos cos 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l a ππ ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---=22222222212cos 22ππππn l n l n n l l n , ,2,1=n 0=n b

∴()()∑∞=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---+=122cos 112cos 2124n n l x n n n l l x f πππ,()l x ≤≤0.