极坐标与参数方程专题复习

合集下载

专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)

在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
y
1
t
t
2
为极轴建立坐标系．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)若点
M,
N
为曲线
C
上的两点，且满足 MON
π 4
，求
1 OM 2
1 ON 2
的最大值．
【题型三】参数方程难点 2：“1”的代换消参型
【典例分析】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
1 sin 3cos 2 cos 3sin
（
为参数），以坐标原点为极点，x
轴正
半轴为极轴建立的极坐标系中，直线
l
的方程是
cos
3
1 2
．
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
(2)若点 A 的坐标为（1，0），直线 l 与曲线 C
C1
的参数方程为
x
y
1 3
1 1 2
（
1
为参数，且
1 ）.以坐标原点
O
为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 12 cos 32 0 .

极坐标系与参数方程一轮复习(你值得拥有)

极坐标系与参数方程

◆ 知识梳理一、极坐标

1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对

(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。

2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或2

tan (0)x

y y

x x

ρθ⎧=+⎪

⎨

=≠⎪⎩

，θ的象限由点(,)x y 所在

象限确定.

二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程

（1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是；

（2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是；（3）圆心在点)2,(π

a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是。

2、直线的极坐标方程

（1）过极点且倾斜角为α的直线的极坐标方程是；（2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是；三、常见曲线的参数方程

第一节平面直角坐标系中的伸缩、平移变换

【知识点】

定义1：设(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换'(0)

:'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩的作用下，

点(,)P x y 的对应点为'(',')P x y 。称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。定义2：在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为

图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a

平移．

在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =

极坐标与参数方程专题复习

例1．在直角坐标系中,直线的参数方程为 ( 为参数)，以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为．
（1)写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；
（2)点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.
例２．在直角坐标系中，直线的方程为 ,曲线的参数方程为（为参数）．
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离ｄ表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。
例4.以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ,将曲线 : （为参数),经过伸缩变换后得到曲线 .
（1)求曲线的参数方程;
极坐标与参数方程专题复习
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
极坐标与参数方程专题复习
学校:＿______＿___姓名：____＿__＿___班级:___________考号：___＿＿______
（2)椭圆（为参数)
椭圆（为参数)
3.极坐标
(1)极坐标与直角坐标互换。
(2)过原点倾斜角为的直线的极坐标方程:
（３)圆心在原点,半径为的圆极坐标方程:
二、例题示范
题型一、坐标的互化。(略）

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．

(1) 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向( 通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．

(2) 极坐标( ρ，θ) 的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线O M为终边所成的角．那么，有序数对( ρ，θ) 称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对( ρ，θ) ，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间

的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对( ρ，θ) ，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．

(3) 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上的任意一点的极坐标满足方程f( ρ，θ) ＝0，并且坐标适合方程f( ρ，θ) ＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程f( ρ，θ) ＝0 叫做曲线 C 的极坐标方程．

2. 直线的极坐标方程．

(1)过极点且与极轴成φ0 角的直线方程是θ＝φ0 和θ＝π－φ0，如下图所示．

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0) 的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．

(3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为 a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．

3. 圆的极坐标方程．

(1)以极点为圆心，半径为r 的圆的方程为ρ＝r ，如图 1 所示．

高三数学《极坐标与参数方程》复习专题含答案

极坐标与参数方程专题复习题

方法总结

1.点M (ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z).如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应.

2.极坐标和直角坐标的互化公式是⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或⎩

⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2

tan θ＝y

x （x ≠0）.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x 轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn

时，方程增了一个n 重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解. 3.极坐标方程的应用及求法

(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单.

(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题.

(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝. (4)极坐标系内点的对称关系：①点P (ρ，θ)关于极点的对称点P ′(ρ，θ±π)；②点P (ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P ′(ρ，－θ)；③点P (ρ，θ)关于直线θ＝π

的对称点为P ′(ρ，π－θ)；④点

P (ρ，θ)关于直线θ＝π

4的对称点为P ′⎝

⎛⎭

⎪⎫ρ，π2

－θ.

4.极坐标系下A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)间的距离公式|AB |＝ρ2

1＋ρ2

2－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）

极坐标与参数方程专题复习-(含答案)

极坐标与参数方程专题复习

一、解答题

1. 已知直线l ：{x =5+√32t y =√3+12t

(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cosθ．

(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M 的直角坐标为(5,√3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|⋅|MB|的值．

2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cos αy =sin α

(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．

(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；

(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．

3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1+12t y =√32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为{x =cosθy =2sinθ

(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．

4. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，

在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，曲线C 3：ρ=2√3cosθ．

(Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标；

(Ⅱ)若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，求|AB|的最大值．

5. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =a cos t y =1+a sin t (t 为参数，

高三数学专题复习--极坐标与参数方程

2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程；（2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化；（3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
化为直角坐标形式是________；

(2)把点 M 的直角坐标( 6，－ 2)化成极坐标(ρ ≥0，0≤θ ＜2
∵π点)是M__在__第__四__象．限，ρ＞0，
∴最小正角 θ＝116π.
因此，点 M 的极坐标是2

2，116π.
答案：(1)(－4，4
3)

(2)2

2，116π

关系的式子： x = f (t)

y
=
g (t)
注意：1、方法不唯一，参数可取几何参数或物理参数； 2、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y
的取值范围保持一致.
三、（3）几种常见的极坐标方程 1、直线的极坐标方程
2、圆的极坐标方程
三、（4）极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任

（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）

极坐标与参数⽅程知识点、题型总结

⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换

),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').

0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实

ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)

2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x x

ρθ?=+??=≠?

3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M

(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0

⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的

坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?

==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

极坐标与参数方程(知识点+综合训练题)

极坐标与参数方程

【考纲知识梳理】

一、极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:

(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是

()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.

二、参数方程 3．圆的参数设M ()y x ,，则()为参数θθ

⎩⎨

⎧==sin cos r y r x 。

圆的普通方程是

()()22

2r b y a x =-+-，它的参数方程为：

()为参数θθ

⎩⎨

⎧+=+=sin cos r b y r a x 。 4．椭圆的参数方程

()为参数ϕϕϕ

⎩

⎨

⎧==sin cos b y a x ，其中参数ϕ称为离心角； 5．双曲线的参数方程

()为参数ϕϕ

ϕ⎩⎨

⎧==tan sec b y a x ，其中[)23,22,0π

ϕπϕπϕ≠≠∈且。

抛物线()022

>=p px y 的参数方程为()为参数t pt

y pt x ⎩⎨⎧==222

7．直线的参数方程

经过点()000,y x M ，倾斜角为⎪⎭

⎫

⎝

⎛≠

2παα的直线l 的普通方程是()00tan x x y y -=-α而过()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：

()为参数t t y y t x x ⎩

⎨

⎧+=+=αα

sin cos 00。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为()为参数t t y y t x x ⎩⎨

高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．

(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．

(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．

(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程．

(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．

(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．

3．圆的极坐标方程．

(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．

(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．

极坐标与参数方程专题复习

坐标系与参数方程

极坐标与直角坐标的互化：

直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θ

ρcos a

-= ⑷θρsin a =

⑸θ

ρsin a

-= ⑹)cos(ϕθρ-=a

对应图形如下：

θ=

ρcos a

ρcos a -

ρsin a

图4

ρsin a -

=图5

)

cos(ϕθρ-=

圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ：

⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a

对应图形如下：

2．常见曲线的参数方程如下：

（1）过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：

αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）

其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．

（2）中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）

（3）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

θcos a x =

cos b x =θ

ρcos 2a =图2

ρsin 2a =图4

ρsin 2a -=M

图5θ

ρcos 2a -=a

=ρ图1

)

cos(2ϕθρ-=a 图6

（4）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：

y pt x 222== （t 为参数，p ＞0）

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、极坐标系

在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.

二、极坐标与直角坐标的互化

设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:

cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222

tan (0)

x y y

x x ρθ⎧=+⎪

⎨=≠⎪⎩

（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义

r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；

0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；

2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.

(可化直角坐标: 2

2cos a ρρθ=2

2x y ax ⇒+=2

()x a y a ⇒-+=.)

四、直线的参数方程

直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为

00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:

00sin ()()cos 2

y y x x απ

αα-=

-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα

极坐标与参数方程专题复习课件

00或xy
3 2. 3 2
例1.三种形式方程间的互化
2.在直角坐标系xOy中，C1：xy
t t
c s
os in
(t为参数,t 0)，
其中，0 ,曲线C2： 2sin ,曲线C3： 2 3 cos.
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
小结：考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化套路：极坐标系中求交点易丢根，化极为直更保
，所以|AB|＝2，所以
S
△PAB
＝1×2×2 2
3sin(π＋π)＝2
36
3.
作业：汕尾市二模
答案：a 1 ，发现问
题并解决问题。
2 2
极坐标与参数方程
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
2 2
t (t为参数). 2t
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;
分析：高考在22题第一问都是考查三种形式方程的互化。
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
险；如果三种方程共存在，直角普通是中转。
例2.
解：（1）方法3
顺便把C参数方程，l的极坐标方程转化出来
解：（1）方法4
小结：

极坐标与参数方程考前复习

图 3 极坐标与参数方程考前复习

课前测验：

1，将参数方程12cos 2sin x y θ

θ=+⎧⎨

=⎩（θ为参数）化为普通方程所表示的曲线为。

2，直线(⎩

⎨⎧+=--=t y t

x 4231t 为参数)化为普通方程为。

3.抛物线 ⎩

⎨⎧=+-=t y t x 41

42(t 为参数)化为普通方程为。

4.直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是1

cos 41

22-=

θρ,求它的直角坐标方程。

5.曲线的直角坐标方程。

6.(2014·课标全国)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣

⎦

.（Ⅰ）求C 的参数方程；

（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，

根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

一、知识复习 1，直线的参数方程为00cos t sin x x t y y α

=+⎧⎨

=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，

动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图3所示). 2. 若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为

3. 00cos (02)sin x x r y y r θ

θπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩

3.几种常见曲线的参数方程

(1) ⎩

⎨⎧==ϕϕsin cos r y r x (ϕ为参数)的普通方程为

⎩

⎨

⎧+=+=ϕϕ