列举法求概率
计算概率常用的方法
计算概率的常用方法
掌握概率的求法是这一章节的重点，那么求概率有哪些方法呢？下面以中考题为例说明求概率的常用方法。
1、列举法
（2009年广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别。现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球。
（1）请用树状图或其他适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能的情况。
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率。
解析：（1）3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况有：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红，共6种。
（3）由（1）可知，红球恰好放入②号盒子的情况有白红蓝、蓝红白，共2种，所以红球恰好放入②号盒子的概率P=2／6=1／3。
评注：在一次实验中，如果可能出现的结果只是有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
2、列表法
（2009年成都）有一个均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有3张背面完全相同，正面上分别写有数字-2、-1、1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值。
（1）用树状图或表格表示出的所有可能的情况。
（2）分别求出当S=0和S＜2的概率。
解析：（1）列表法分析如下：
（2）由表格可知，所有可能出现的情况共有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种。
P（S=0）=2／12=1／6；P（S＜2）=5／12。
用列举法求概率
用列举法求概率
列举法是一种基于所有可能性的方法，用于求解概率。对于一个随机试验，可以通过列举出所有可能的结果，然后计算感兴趣事件发生的次数，再除以总的可能性数目来计算概率。
以下是使用列举法求解概率的步骤：
1.确定随机试验的所有可能结果。这些结果应该是互不相同
且穷尽的。
2.计算感兴趣事件发生的次数。根据实际情况，确定符合感
兴趣条件的结果个数。
3.计算总的可能性数目。确定随机试验的总结果数目。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) 计算概率。其中，P(A)表示感兴
趣事件发生的概率，n(A)表示感兴趣事件发生的次数，n(S)表示总的可能性数目。
例如，考虑一枚标准硬币的抛掷，求得正面向上的概率。
1.所有可能的结果是正面向上和反面向上。
2.感兴趣事件是正面向上。
3.总的可能性数目是2。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) ，其中 n(A) = 1（因为正面向上
只有一种可能），n(S) = 2。
P(正面向上) = 1 / 2 = 0.5
因此，得到正面向上的概率为0.5或50%。
使用列举法求解概率可以简单直观地计算概率，尤其适用于样
本空间较小且结果可列举的情况。然而，对于复杂的问题或较大的样本空间，列举法可能不切实际，此时可以选择其他概率计算方法，如频率法或概率模型。
25.2列表法求概率
如果把例1中的“同时掷两个骰子”改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化 吗?
没有变化
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数 目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采 用列表法. 列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况 另一个 因素所 两个因素所组合的 包含的 所有可能情况,即n 可能情 况 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个 数m,最后代入公式计算.
m P ( A) = n
事件A发生的 可能种数
试验的总共 可能种数
例1、掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上
（2）两枚硬币全部反面朝上 （3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面 朝上
解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举 出来，它们是：正正、正反、反正、反反。所有 的结果共有4个，并且这四个结果出现的可能性相 等。
1 P ( A) = 6
5、如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字 “1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者每次从袋中 随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相 等的三个扇形).
1
2 3
游戏规则是: 如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和小于 4,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.
25.2. 用列举法求概率（1）
温故知新:
等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的 可能性大小相等的事件。 试验具有两个共同特征：
用列举法求概率
1
是2．
名 校校 讲讲 坛坛
类型二 用列表法求概率 【例2】（教材P136例2变式）同时抛掷两枚大小形状都相同、质地均匀的骰子，计算下列事 件的概率：（1）点数之和4的概率； 解：列表如下：
由表可以看出，可能出现的结果有36种，并且它们 出现的可能性相等． 两枚骰子的点数之和为4（记为事件A）的结果有3 种，即（1，3），（2，2），（3，1）， 所以P（A）= 3 1 ．
5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，3．这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每
4
个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为 5 ．
巩固训 练
4．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方每次做“石头” “剪刀” “布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负继续比赛．假定甲、乙、丙三人每次都是等可能地做这三种 手势，求下列事件的概率：
（1）一次比赛中三人不分胜负；
（2）一次比赛中一人胜，两人负．
解：分别用1，2，3表示“石头” “剪刀”
“布”三种手势，画树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有27种，并且它们出现的可能性相等．
（1）一次比赛中三人不分胜负（记为事件A）的结果有3种，即（1，1，1），
（2，2，2），（3，3，3），所以P（A）= 3 1 ． 27 9
列表法求概率1
用列举法求概率
复习 例题5 例题5 思考一 例题6 例题6 思考二
课堂小结 中考点击
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较 为不重复不遗漏地列出所有可能的结果， 多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用
1、什么时候用“列表法”方便？ 、什么时候用“列表法”方便？
列表法。 列表法。
第 第 一次 二次
蓝 黄
蓝 绿 黄
6.在盒子中有三张卡片，随机抽取两张，可能拼 在盒子中有三张卡片，随机抽取两张， 在盒子中有三张卡片 出菱形(两张三角形 也可能拼出房子(一张三角 两张三角形)也可能拼出房子 出菱形 两张三角形 也可能拼出房子 一张三角 形和一张正方形)。游戏规则是： 形和一张正方形 。游戏规则是： 拼成菱形，甲胜； 拼成房子，乙胜。 若拼成菱形，甲胜；若拼成房子，乙胜。 你认为这个游戏公平吗？ 你认为这个游戏公平吗？
一个袋子中装有2个红球和 个绿球， 例3.一个袋子中装有 个红球和 个绿球，任意摸出一个 一个袋子中装有 个红球和2个绿球 记录颜色后放回，再任意摸出一个球， 球，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两 次都摸到红球的概率。 次都摸到红球的概率。
若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？ 若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？ “放回”与“不放回”的区别： 放回” 放回 不放回”的区别： (1)“放回”可以看作两次相同的试验； 放回”可以看作两次相同的试验； 放回 (2)“不放回”则看作两次不同的试验。 不放回”则看作两次不同的试验。 不放回
列举法求概率市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
【教案】列举法求概率
一、教学目标：
1. 了解和理解列举法求解概率问题的基本概念和原理；
2. 能够运用列举法解决简单的概率问题；
3. 培养学生的观察力、思维能力和解决问题的能力；
二、教学重点和难点：
1. 重点：列举法求解概率的基本原理；
2. 难点：运用列举法解决复杂的概率问题；
三、教学准备：
1. 教学课件或板书；
2. 小黑板或白板笔；
四、教学过程：
Step 1：导入（5分钟）
教师通过提问和引入，引发学生对概率问题的思考和兴趣，激发学生的学习热情。
教师可以用以下问题进行导入：
- 如果我有一个骰子，一共有六个面，每个面上的数字是1-6，
那么如果我扔一次骰子，得到1的概率是多少？
- 如果我有一个扑克牌，一共有52张牌，其中有4张Ace，那
么如果我从扑克牌中随机抽取一张牌，抽到Ace的概率又是多少呢？
Step 2：概念解释（15分钟）
为了让学生对列举法有一个基本的了解，教师简要介绍列举法
的定义和基本原理。
列举法求解概率，指的是通过逐一列举所有可能的事件，然后
求出符合特定条件的事件出现的概率。列举法适用于事件的样本空
间有限且具有较简单的结构的情况下。
Step 3：列举法求概率的步骤（15分钟）
教师向学生讲解列举法求解概率的基本步骤：
1. 明确问题：确定要求解的事件和样本空间；
2. 列出样本空间中的所有可能结果；
3. 根据问题的条件，筛选出符合要求的事件；
4. 计算符合要求的事件出现的概率，即符合要求的事件数目与
样本空间中事件总数的比值。
Step 4：例题演练（20分钟）
教师通过一些简单的例题，引导学生运用列举法解决概率问题。
用列举法表示概率
由上表可得,第二次取出的数字能够整除第 一次取出的数字的结果有14个,即 (1,1),(1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2),(2,4),(2,6), (3,3),(3,6), (4,4),(5,5),(6,6). ∴第二次取出的数字能够整除第一次取出的
数字的概率 P(A)= 14 7
2 （1,2） （2,2） （3,2） （4,2） （5,2） （6,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3） （4,3） （5,3） （6,3）
4 （1,4） （2,4） （3,4） （4,4） （5,4） （6,4）
5 （1,5） （2,5） （3,5） （4,5） （5,5） （6,5）
6 （1,6） （2,6） （3,6） （4,6） （5,6） （6,6）
小结：有的随机事件发生的概率可以转化成 与之发生概率相同的随机事件进行研究
１、同时抛掷两枚普通的正六面体骰子，
得到点数之和为2的概率为（ C ）
A、 1
6百度文库
C、 1
36
B、 1
12
D、 1
72
2、有一个骰子,小明和小亮各掷一次,约定
和为6小明赢,和为7小亮赢,则（ B ）
A、小明赢的概率大
B、小亮赢的概率大
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球的
概率，P(A)= 1
人教版九年级数学上册《用列举法求概率》概率初步PPT精品教学课件
提问2：所有结果中，两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果有几个？
提问3：所有结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件B）
的结果有几个？如何利用概率公式计算？
提出问题
提问1：请同学们将掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来.
提问2：所有结果中，两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果有几个？
据绘制了如下不完整的统计图.
达标检测
（1）通过计算补全条形统计图；
（2）该校九年级有30百度文库名男生，请估计其中成绩未达到良好和优秀的有多少.
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会
1000 m跑步比赛，预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，甲、乙
两人恰好分在同一组的概率是多少？请通过画树状图或列表加以说明.
板书设计
2.如图所示的扇形图给出的是地球上海洋、陆地的表面积约占地球表面积的
百分比. 若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在海洋中的概率是
%.
达标检测
1.“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为
（
）
1
A.
3
11
B.
36
5
C.
12
1
D.
4
2.不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，这些球除颜色外无
用列举法求概率优质课件
总共有8种结果，每种结果出现的可能性相同，而三次正面朝上 的结果有1种，因此三次正面朝上的概率为1/8。
探索新知
例4、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母
A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字 母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写 有字母H和I，从3个口袋中各随机地取出1个小球．
变式练习
如果小王在游戏开始时踩中的第一 格上出现了标号1,则下一步踩在哪 一区域比较安全?
1
探索新知
例2、掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上
（2）两枚硬币全部反面朝上
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面 朝上
解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举 出来，它们是：正正、正反、反正、反反。所有 的结果共有4个，并且这四个结果出现的可能性相 等。
直 直直 左 左左 左 直右
直 直 直 直直 直 直 直 直 右右 右 左 直 右 左直 右
右 右右 左 左左 左 直右
右 右右 直 直直 左 直右
右右 右 右右 右 左直 右
解: P（三辆车全部继续直行）=
P（两辆车向右转，一辆车向左转）= =
P（至少有两辆车向左转）=
同步练习
生男孩与生女孩的可能性相同．如果一对夫 妻准备生3胎。 (1)求3个孩子都是男孩的概率； (2)求有2个男孩和1个女孩的概率； (3)求至少有一个男孩的概率．
用列举法求概率
（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个（表只中的阴影 部分），即 （3，6），（4，5），（5，4），（6，3）， 所以P（B）=
（蓝3色）方满框足部至分少）有，一所个以3骰4P6子（=的C19）点=数为2（记为事件C）的结果有11个（表中
11 36
例6：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋 中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个 相同的小球，它们分别写有字母H和I。从3个口袋中各随机地取出1个 小球。
用列举法求概率
不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试验。求频率 得概率，这是上一节课的内容，它具有普遍性，但求起来确实很 麻烦，是否有比较简单的方法，这种方法就是我们今天要介绍的 方法—列举法。
复习：
1.从分别标有1、2、3、4、5号的5根纸签中随机地抽取一根，抽出 的签上的号码有5种可能的结果，即1、2、3、4、5，每一根签抽到的 可能性相等，都是 。
③利用公式
计算事件概率。 P(A) = m
n
P(A) = m n
知识要点
1.用列举法求概率的条件是: (1)实验的结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等.
2.用列举法求概率的的公式是:
PA = m
n
课堂小结
1. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发
求概率的三种方法
求概率的方法
在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考察，体现了“学以致用”这一理念． 计算简单事件发生的概率是重点，常用的方法有:列举法、列表法、画树状图法，这三种方法应该熟练掌握，先就有关问题加以分析． 一、列举法 例1：（05济南）如图1所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个
蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认
为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ．
分析：这个游戏不公平，因为抽取两张纸片，所有机会均等的结果为：半圆半圆，半圆正方形，正方形半圆，正方形正方形．所以取出的两张纸片都画有半圆形的概率为4
1
． 取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形的概率为
2
142=，因为二者概率不等，所以游戏不公平． 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对不确定事件发生概率值的计算．本题用列举方法，也可以用画树状图，列表法． 二、画树状图法 例2：（06临安市）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12
．
（1）试求袋中蓝球的个数．
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
解析：⑴设蓝球个数为x 个，则由题意得
列举法求概率
列举法求概率
概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。列举法是求解概率的一种常用方法，下面将详细介绍列举法求概率的
步骤和应用。
一、列举法求解概率的基本步骤
1. 定义事件
首先需要明确所要研究的事件，例如掷一枚硬币出现正面或反面、从
一副扑克牌中抽出一张红桃牌等。
2. 构建样本空间
样本空间是指所有可能结果组成的集合。对于掷硬币这个例子，样本
空间为{正面，反面}；对于抽扑克牌这个例子，样本空间为{红桃A、
红桃2、……、红桃K、方块A、方块2、……、方块K、黑桃A、黑桃2、……、黑桃K、草花A、草花2、……、草花K}。
3. 确定事件发生的可能性
在构建好样本空间后，需要确定所关注事件发生的可能性。例如掷硬
币出现正面和反面的概率相等，则P(正面)=P(反面)=1/2；抽到一张
红桃牌的概率为P(红桃)=13/52=1/4。
4. 计算事件发生的概率
最后，根据所得到的可能性，计算事件发生的概率。例如掷硬币出现
正面的概率为P(正面)=1/2；抽到一张红桃牌的概率为P(红桃)=1/4。
二、列举法求解概率的应用
1. 掷骰子
掷骰子是一个常见的游戏，我们可以使用列举法求解掷出某个点数的
概率。样本空间为{1,2,3,4,5,6}，而掷出某个点数的事件可以表示为{1}、{2}、{3}、{4}、{5}或{6}。因此，每个点数出现的概率均为1/6。
2. 抽扑克牌
抽扑克牌也是一个常见的游戏，我们可以使用列举法求解抽到某种牌
型（如顺子或同花顺）的概率。样本空间为52张牌组成的集合，而顺子和同花顺分别有10种可能性（以A2345、23456、34567……10JQKJQKA等序列为例），因此它们出现的概率均为
252_1用列举法求概率(1)
引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面朝上； (2)两枚硬币全部反面朝上； (3wk.baidu.com一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
“掷两枚硬币”共有几种结果？
正正
正反 反正 反反
为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？
掷两枚硬币，不妨设其中一枚为A，另一枚为B， 用列表法列举所有可能出现的结果:
解:设有A1,A2，B1, B2四把钥匙,其中钥匙A1,A2可以
打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙.列出所有可能的结
果如下:
钥匙1 A1
A2
B1
B2
钥匙2 A2 B1B2A1 B1 B2 A1 A2 B2 A1 A2 B1
82
P(能打开甲、乙两锁)= 12 = 3
7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。 连续投10次，谁得分高，谁就获胜。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由； (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。
列出所有可能的结果：
1
2
3
4
5
6
1
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
用列举法求概率(树形图法)
列举法适用于较简单的情况，而树形 图法则适用于较复杂的情况，特别是 涉及多个事件相互独立或相互影响的 情况。
对未来研究的展望
随着概率论和统计学的不断发展， 列举法和树形图法也需要在理论 上和实践上进行不断的完善和改
进。
对于更复杂的事件和数据结构， 需要探索更加有效的概率计算方 法，以更好地处理现实生活中的
析。
缺点
对于非常复杂的事件，树形图 可能会变得难以绘制和整理。
列举法与树形图法的应用场景
列举法适用于简单的事件，如掷骰子、抽签等。
树形图法适用于复杂的事件，如决策树、业务流程等。
通过列举法和树形图法，我们可以清晰地看到事件的全部可能性和它们之间的相互关系，从 而更好地理解和计算概率。在实际应用中，可以根据事件的复杂程度和具体情况选择合适的 方法来解决问题。
的情况。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
当事件数量较大时，列 举法可能会变得繁琐和
复杂。
树形图法的概念
01
02
03
04
树形图法
通过画出树形图来一一列出事 件的所有可能情况，从而计算
概率的方法。
适用范围
适用于事件数量较多，但可以 通过分类和分层的方式将问题
简化的情况。
优点
能够清晰地展示事件的层次结 构和相互关系，便于理解和分
掷骰子的实例
用列举法求概率习题
10、有左、中、右三个抽屉，左边的抽屉里 放2个白球，中间和右边的抽屉里各放1个 白球和1个红球，从3个抽屉里任选1个球 是红球的概率是多少？ 11、有左、中、右三个抽屉，左边的抽屉里 放2个白球和1个红球，中间和右边的抽屉 里各放1个白球和1个红球，从3个抽屉里 任选1个球是红球的概率是多少？
数学中的概率问题：
物理中的概率问题
(2006年苏州市)
13、如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和 一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B， C，都可使小灯泡发光． （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的 概率等于____________； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或 列表的方法求出小灯泡发光的概率．
母 亲 F 基因Ff f
FF Ff
Ff ff
生活中的概率
17、在摸奖活动中，游乐场在一只黑色的口 袋里装有只有颜色不同的50只小球，其中 红球1只、黄球2只、绿球10只，其余为白 球，搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的 标准在球上（如下图）。 (1) 如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率 是多少？ (2) 如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖 品的概率是多少？
8.“手心手背”是同学们中间广为流传的游戏， 游戏时甲、乙、丙三方每次做“手心”“手背” 两种手势中的一种，规定：⑴出现三个相同手 势不分胜负须继续比赛；⑵出现一个“手心” 和或一个“手背”和两个“手心”时，则一种 手势者为胜，两种相同手势者为负。 假定甲、乙、丙三人每次都是等可能地做这 两种手势，那么，甲、乙、丙三位同学胜的 概率是否一样？这个游戏对三方是否公平？ 若公平，请说明理由，若不公平，如何修改 游戏规则才能使游戏对三方都公平？
25.2.1 用列举法求概率
小强两名男选手中选男、女选手各一名组成一对参赛，
一共能够组成哪几对？采用随机抽签的办法，恰好选
出小敏和小强参赛的概率是多少？
3、每个转盘分成相等的两个扇形。甲、乙两人 利用它们做游戏：同时转动两个转盘， 如果两个指针所停区域的颜色相同则甲获胜； 如果两个指针所停区域的颜色不同则乙获胜。 你认为这个游戏公平吗？
蓝黄
蓝 绿黄
小结
1.“列表法”的意义 2. 利用树图列举所有结果的方法. 3.随机事件“同时”与“先后”的关系
1.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同 号码的3个红球，从中摸出2个球.摸出两个黑球的 概率是多少？ 解：设三个红球分别为：红1、红2、红3
2、一次联欢晚会上，规定每个同学同时转动两个转盘(每 个转盘被分成二等分和三等分)，若停止后指针所指的数 字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之 和为偶数，则要表演其他节目。试求这个同学表演唱歌 节目的概率。你有几种方法？
3 (3，4) (3，5) (3，6) (3，7)
5
6
共有12种不同结果，每 种结果出现的可能性相 同，其中数字和为偶数 的有 6 种
∴P（数字和为偶数）
=
6 12
1 2
归纳 “列表法”的意义：
当试验涉及两个因素(例如两个转盘) 并且可能出现的结果数目较多时， 为不重不漏地列出所有的结果， 通常采用“列表法”。
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25.2 用列举法求概率(2课时)
第1课时 用列举法和列表法求概率
1．会用列举法和列表法求简单事件的概率．
2．能利用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的简单实际问题．
重点
正确理解和区分一次试验中涉及两个因素与所包含的两步试验．
难点
当可能出现的结果很多时，会用列表法列出所有可能的结果．
活动1 创设情境
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题．
下面我们来做一个小游戏，规则如下：
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢．请问：你们觉得这个游戏公平吗？
学生思考计算后回答问题：把其所能产生的结果全部列出来，应该是正正、正反、反正、反反，共有四种可能，并且每种结果出现的可能性相同．
(1)记满足两枚硬币一正一反的事件为A ，则P(A)＝24＝12
； (2)记满足两枚硬币两面一样的事件为B ，则P(B)＝24＝12
. 由此可知，双方获胜的概率一样，所以游戏是公平的．
当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易被全部列出来；若出现结果的数目较多时，要想不重不漏地列出所有可能的结果，还有什么更好的方法呢？我们来看下面的这个问题．
活动2 探索交流
例1 为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A ，B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上的数字分别是4，5，7(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．每次选择2名同学分别拨动A ，B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次)．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由．
在这个环节里，首先可以让学生自己用列举法列出所有的情况，很多学生会发现列出所有的情况会有困难，会漏掉一些情况．这个时候可以要求学生分组讨论，探索交流，然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性
更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小．此时，首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A ，B 两个转盘，即涉及两个因素，与上节课所讲授单转盘概率问题相比，可能产生的结果数目增多了，变复杂了，列举时很容易造成重复或遗漏．怎样避免这个问题呢？
实际上，可以将这个游戏分两步进行，教师指导学生构造下列表格：
分析：首先考虑转动三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个；接着考虑转动B 盘：当A 盘指针指向1时，B 盘指针可能指向4，5，7三个数字中的任意一个．当A 盘指针指向6或8时，B 盘指针同样可能指向4，5，7三个数字中的任意一个，这样一共会产生9种不同的结果．
学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论(即列表法)．
A 盘数字的结果共有4种．
∴P(A 数较大)＝59，P(B 数较大)＝49
，∴P(A 数较大)＞P(B 数较大)，∴选择A 装置的获胜可能性较大．
在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性．
由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举．即先转动B 盘，可能出现4，5，7三种结果；第二步考虑转动A 盘，可能出现1，6，8三种情况．
活动3 例题精讲
通过上面例1的分析，学生对用列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这种方法，教师引导学生分析解决教材第136页例2.然后引导学生进行题后小结：
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．运用列表法求概率的步骤如下：
(1)列表；
(2)通过表格计数，确定公式P(A )＝m n
中的m 和n 的值； (3)利用公式P(A )＝m n
计算事件发生的概率． 活动4 过关练习
教材第138页 练习第1～2题．
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求每个学生在组内交流，派小组代表发言．
作业布置
教材第139页～140页习题第1～3题和第5题．第2课时用树状图求概率
1．理解并掌握用树状图求概率的方法，并利用它们解决问题．
2．正确认识在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用树状图法．
重点
理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率．
难点
用树状图列举各种可能的结果，求实际问题中的概率．
一、复习引入
用列举法求概率的方法．
(1)总共有几种可能，即求出n；
(2)每个事件中有几种可能的结果，即求出m，从而求出概率．
什么时候用列表法？
列举所有可能的结果的方法有哪些？
二、探索新知
画树状图求概率
例1甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机地取出1个球．
(1)取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？
(2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？
例1与上节课的例题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到三个因素．此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树状图法．
本游戏可分三步进行．分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键．
从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：
A A A A A A
B B B B B B
C C
D D
E E C C D D E E
H I H I H I H I H I H I
(幻灯片上用颜色区分)
这些结果出现的可能性相等．
(1)只有一个元音字母的结果(黄色)有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P(1