概率方法在不等式证明中的应用

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用概率的方法证明不等式

ＺＣＺＤ４。Ｃ＝／，求：（）ＡＡＢ＝ＢＣ＝５，Ｄ，３１Ｂ的长；
（）四边形ＡＣ的面积．２ＢＤ
ＡＲ
内容（专题整理），带动他们一起进行有针对性的、高效的学习，是我们高三教师应该而且也是必须去做的一个重要工作．
所以
ＰＡ）（Ｃ＋（Ａ（Ｂ＋ＰＢ）ＰＣ、
＝
Ｐ（ＡＢ＋Ｃ＋ＣＡ１），
即日６ｃ１６＋ｃ＋ａ，问题得证．
例３若正数ａ，ｂ，Ｃ小于或等于１均，则
６＋６ｃ＋ｃａ一２ａｃ１．ｂ
证明设，Ｂ是两个相互独立的事件，且
ＰＡ＝ａ，（）Ｂ＝ｂ，ＰＣ＝Ｃ，）（）
由于ＡＣ，ＡＣ，ＡＣ，ＡＣ这四个事件是ＢＢＢＢ彼此互斥的，从而有
ＰＡＣ＋（Ｂ）ＰＡＣ＋ＰＡＣ（Ｂ）ＰＡＣ＋（Ｂ）（Ｂ）
＝
则尸）ＰＢ＝ｂ，ＰＣ＝ｃ，（＝ａ，（）（）
是某些事件的概率，这样就可以把不等式问题转化成概率问题．下面举几个例子说明这种方法的应用．例１若０＜ａ，ｂ，证明：ａｂａ１＜１＋ — ｂ＜．
ＰＡ）（Ｃ＋（Ａ，（Ｂ＋ＰＢ）ＰＣ）
因为Ａ，Ｃ，ＣＢＢＡ这三个事件是彼此互斥的，
于是
口６＋６ａｃ＋ｃ
＝
ＰＡＣ＋ＡＣ＋ＢＡＣ ≤ 。（ＢＢＡＣ＋Ｂ）１

概率方法用于不等式证明中的应用

概率方法用于不等式证明中的应用
概率方法在不等式证明中的应用通常包括两个方面：
1. 概率不等式：通过引入概率模型和概率不等式，来证明所需
的不等式。

例如，在证明柯西不等式时，可以考虑两个随机变量 $X$ 和
$Y$，它们的期望值分别为 $E(X)$ 和 $E(Y)$，于是有 $E((X-
Y)^2)=E(X^2)+E(Y^2)-2E(XY)\\geq 0$。

通过对 $E(X^2)$ 和
$E(Y^2)$ 进行柯西-施瓦茨不等式的分解，就可以得到柯西不等式。

在证明马尔可夫不等式时，可以通过引入一个非负随机变量
$X$ 和一个正实数 $a$，然后运用马尔可夫不等式来得到所需结果。

2. 随机选择法：通过随机选择一些元素，然后对它们进行概率
分析来得到所需的不等式。

例如，在证明拉格朗日中值定理时，可以随机选择两个实数
$x_1$ 和 $x_2$ 并计算它们的平均值 $c=\\frac{x_1+x_2}{2}$。

接着，使用函数的导数来分析原函数在 $x_1$ ， $x_2$ 和 $c$ 处
的值，并运用中值定理来得到所需结果。

总之，概率方法可以为证明不等式提供一种新的思路和技巧，
特别是对于某些复杂的不等式问题，概率方法可以帮助我们通过随
机选择的方法，在简化问题的同时得到更精确的结果。

不等式的秘密与应用技巧

不等式的秘密与应用技巧不等式是数学中的常见问题之一，它涉及到数值之间的大小比较和关系，并用于解决各种实际问题。

然而，不等式能够提供更多的信息，其背后的秘密和应用技巧也是需要探究的。

一、基本概念不等式是指两个数之间的大小关系，其中使用不等于号、大于号和小于号来表示。

例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≠ b表示 a 不等于 b。

不等式还可分为线性和非线性不等式，线性不等式的表达式为 ax +b <c 或 ax + b > c，a、b、c 为实数，x为变量，而非线性不等式的表达式则不满足线性函数的形式。

二、求解不等式在解“a < b”这样的简单不等式时，我们只需要将 a 和 b 放入数轴上，并在它们之间画一个小圆点表示。

当我们需要解决一个由一系列不等式组成的方程组时，我们可以使用代数方法。

例如，已知 a + 2 > 5 和 2a - 1 < 7，我们可以将其转换为 a > 3 和 a < 4 中两个不等式的交集。

当存在一个或多个不等式的变量无法求解时，我们可以使用图像方法。

使用图像方法时，我们需要把不等式和对应的数轴画在一起，比较两个不等式的交集或并集。

三、应用技巧不等式在许多数学和实际应用中都有重要的作用，以下是一些有用的应用技巧：1. 用于确定数列的最小和最大值：在计算数列中某个元素的最小或最大值时，不等式非常有用。

例如，我们可以使用 C-S 不等式来证明：(a+b)^2 ≤ 2(a^2+b^2)。

2. 用于优化：在优化问题中，不等式可用于确定某些目标数值的最大或最小值。

例如，在最小二乘法中，我们可以使用不等式来寻找最好的拟合曲线。

3. 用于预测和估算：某些不等式可用于预测未来数值。

例如，马尔科夫不等式可用于计算随机变量的概率分布，从而用于预测未来事件的可能性。

4. 用于安全机制：不等式在安全机制中也发挥着重要作用。

用概率方法证明不等式

2020年10期New Generation用概率方法证明不等式阳州彭文宇谢思彭莉莉（湖南科技学院湖南永州4253000）摘要：构造适当的概率模型，利用概率论的基本性质、均值、方差、函数的凹凸性等来证明不等式。

关键词：不等式；概率模型；期望；方差；凹凸性一直以来，不等式的证明题型是各类数学考试中的高频考点，由于不等式的证明具有一定的复杂性与灵活性，对一些中高考生来说，一些复杂的不等式证明题目会让他们头疼，难以提起解答的兴趣，因此寻求一种新的证明不等式的方法已经迫在眉睫。

我们通过查阅相关资料并对用概率的方法来证明不等式的某些题目加以分析，发现用到概率论的方法主要涉及概率的性质、期望、方差等内容。

用概率论的方法来证明不等式可以先根据不等式的结构来构造相应的概率模型，利用概率论的相关性质、定理来证明，用这种方法可以使得不等式的证明简单化，减少解题的难度，有利于提升学生的学习兴趣。

一、方差的性质例1．设a,b,c 均为正数，且a+b+c=1，证明：.解构造离散型随机变量由方差的性质可知，即。

例2.若正数x,y 满足x+3y=5xy，求3x+4y 的最小值。

解由于，构造离散型随机变量由方差的性质可知，代入数值可得。

例3.设，求证证明构造离散型随机变量X,X 的分布列为，由方望的性质可得二、概率的性质例4.试证明。

证明构造连续型随机变量，设X～N(0,1)，密度函数,且。

由概率的性质有由Chebyshev 不等式，得三、利用Jensen 不等式设X 是一随机变量，取值于区间，(1)若y=g(x),x∈(a,b)是连续的凸函数，EX 和Eg(X)存在，则Eg(X)≥g(EX)；(2)若y=g(x),x∈(a,b)是连续的凹函数,EX 和Eg(X)存在，则Eg(X)≤g(EX).例5.证明不等式证明构造离散型随机变量P(X=x)=P(X=y)=1/2，令Y=g(X),g (x)=x n (x＞0)是凸函数,由Jensen 不等式Eg(X)≥g(EX)可得。

概率论中几个不等式的推广及应用

概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。

（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。

（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。

（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。

（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。

2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。

（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。

（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。

（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。

（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。

利用概率方法巧妙证明不等式

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利用概率方法巧妙证明不等式
作者：成春华
来源：《考试周刊》2013年第64期
摘要：本文利用概率方法的简单性质证明某些不等式，旨在把概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力，显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性，体现出数学的统一性.
关键词：不等式概率方法概率模型
概率论是研究随机现象规律的数学分支，它有自己独特的概念、定理、性质、公式和结论，形成一套完整的数学体系.一般将用概率论的相关知识解决问题的方法统称为概率方法.
无论在初等数学还是在高等数学中，不等式的证明始终是难点.如果考虑将一些不等式，
特别是那些变量在0和1之间取值的不等式，可以将这些变量建模成某些事件的概率，这样就可以把不等式问题转化成概率问题.用概率论方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而
且可以将概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力.
本文主要利用事件发生的概率取值范围，互斥事件与独立事件同时发生的概率性质，以及概率公式等概率论中最基础最基本的知识，为不等式的证明提供一种新的思路.这些最基础的
知识在证明某些不等式时能发挥不同寻常的作用，使得证明思路自然，运算简单，不需再为不等式如何变形而冥思苦想、绞尽脑汁.
下面举例说明概率论方法在一些不等式中的应用，为证明不等式提供一种新的思路.
参考文献：
[1]王梓坤.概率论基础及其应用.北京：科学出版社，1986.
[2]复旦大学.概率论.北京：高等教育出版社，1984.
[3]费荣昌.概率统计解题分析.江苏科学技术出版社，1984.
[4]匡继昌.常用不等式（第三版）.济南：山东科学技术出版社，2004.。

利用概率方法证明不等式

利用概率方法证明不等式引言在数学中，不等式是一种常见的数学结论，在证明和解决问题的过程中起着重要的作用。

在本文中，我们将介绍一种利用概率方法证明不等式的思路，并结合具体的例子介绍如何应用这种方法。

概率方法的基本思路在概率方法中，我们将某个事件的概率定义为其发生的次数除以总的试验次数。

例如，假设我们投掷一枚硬币，并且我们希望得到正面的概率。

如果我们进行了100次投掷实验，其中有60次出现正面，那么正面出现的概率就是60/100，即0.6。

概率方法证明不等式的基本思路是，将不等式中的变量看作某个随机事件发生的次数，并计算该事件发生的概率。

例如，在证明柯西-施瓦茨不等式时，我们将两个向量中的每个元素看作随机变量，并计算它们的内积的期望值。

通过这种方式，我们可以将不等式中的变量转化为随机事件发生的次数，从而可以应用概率论中的相关定理证明不等式。

例子: 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种用于计算向量内积的方法。

具体来说，假设我们有两个向量a和b，它们的长度都是n。

那么它们的内积可以表示为:$$\\langle a,b \\rangle=\\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$$柯西-施瓦茨不等式可以表示为：$$\\langle a,b \\rangle\\leq \\|a\\|\\|b\\|$$其中，$\\|a\\|$表示a向量的长度，$\\|b\\|$表示b向量的长度。

接下来，我们将介绍如何用概率方法证明柯西-施瓦茨不等式。

步骤1: 将向量元素看做随机变量我们将向量a和b中的每个元素看作随机变量，记为$a_1,a_2,\\ldots,a_n$和$b_1,b_2,\\ldots,b_n$。

假设这些随机变量都是独立同分布的，且它们的期望值为0。

同时，我们定义指示函数X i(a,b)如下：$$ X_i(a,b)=\\left\\{ \\begin{aligned} 1, \\ a_i b_i\\geq 0\\\\ 0, \\ a_i b_i<0 \\end{aligned} \\right. $$步骤2: 计算内积的期望值我们将$\\langle a,b \\rangle$看作是将向量a和b中的元素相乘之后的求和。

不等式与概率的联系

不等式与概率的联系在数学领域中，不等式和概率是两个重要的概念。

不等式是用来描述数值大小关系的数学工具，而概率则是用来描述事件发生可能性的度量。

本文将探讨不等式与概率之间的联系，以及它们在实际问题中的应用。

一、不等式的基本概念不等式是数学中描述数值大小关系的一种工具。

常见的不等式符号包括“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于）。

在解不等式的过程中，我们通常需要确定未知数的取值范围。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以通过移项和化简得到x > 2，表示未知数x的取值范围大于2。

二、概率的基本概念概率是度量事件发生可能性的一种工具。

概率的取值通常介于0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

对于某一事件A的概率，我们用P(A)来表示。

例如，对于一枚均匀的硬币来说，正面朝上的概率和反面朝上的概率均为0.5。

三、不等式与概率的联系不等式和概率之间存在着密切的联系。

首先，我们可以利用概率的性质来解决一些不等式问题。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将其转化为一个概率问题，即求解事件2x + 3 > 7的概率。

通过化简不等式和确定未知数的取值范围，我们可以求得x的取值范围。

其次，概率理论也可以应用于不等式证明中。

例如，我们可以使用概率的思想来证明某些不等式的成立。

通过构建适当的概率空间和事件，我们可以推导出不等式的正确性。

这种方法在一些高级数学领域中得到广泛应用，例如概率论与数理统计中的各种不等式定理的证明。

四、不等式与概率的应用举例不等式和概率的联系在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 统计学中的不等式应用：在统计学中，不等式常常应用于描述数据的变异性。

例如，切比雪夫不等式可以用来估计一个随机变量落在一定距离区间内的概率。

2. 金融风险评估：金融风险评估是另一个应用领域。

不等式可以用来描述投资组合的回报和风险之间的关系。

用概率方法证明不等式

ｌ４
绍兴殳学院学报（门然科学）
第３卷１
Ｉ３利用随机变量的方差性质．
例口Ｒ＝２ｎ耋ｓ … 手３设ｔ…且。，譬＋譬＋＋等三． ∈ ，，，：则，
分析由随机变量方差公式Ｄ（＝ＥＸ）一Ｅ（Ｘ）（２）２０即Ｅ（ＥＸ）．）（．证明设随机变量的概率分布列为尸＝（（。＝ｎ且＝ｌ２ … ，，，则
摘
要：通过构造适当的随机变量，利用概率论中的相关性质和某些概率不等式，为系统地论述了不等式证明的概率方较
法，示了概率应用的巧妙、显简捷和有效．
关键词：等式；率；机变量不概随
中图分类号：２１３Ｏ１．
文献标识码：Ａ
文章编号：０８— ９Ｘ（０１００１０１０２３２１）７— ０３— ３
Ｏ引言
著名数学家王梓坤院士曾指出“ 概率的方法来证明一些关系式或解决其他数学分析中的问题，用是
概率论的重要研究方向之一 ” 无论在初等数学还是高等数学中，．不等式的证明始终是难点．者用概率笔思想，据所证不等式的特点，造适当的随机变量，用概率论中的相关性质和某些概率不等式，根构利较为系统地论述了不等式证明的概率方法与技巧，不等式证明提供了一定概率背景的思路．为

概率论思想在一些不等式中的应用

设Ｙ＝） ∈（，）连续的凸函数。若ｌｆ，ａｂ是
作者简介：聂世谦（９４一），１８男硕士研究生，主要研究方向为计算流体力学及工程应用。
第３２卷第６期和）在，存则
聂世谦，：等概率论思想在一些不等式中的应用）Ｅ（（）－＜ｆ）．
数学上一些常见的不等式的证明，若运用代数方法较难得到解决，而运用概率方法就可以较方便地得到
证明。这种证明方法沟通了不同学科之间的联系。应用概率方法证明不等式，个很有用的方法，立是建适当概率模型，使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不
方法很难解决，以考虑用概率论的方法来解决不可
数，Ｆｘ＝Ｊ（）ｔ ∈ ．且（）Ｐｄ，Ｒ
定义３若广义积分ｆｌｌＦｘ＋（）＜ ∞ ｄ
Ｊ一∞
（或广义积分绝对收敛）则称数学期望或均值存在，（称为可积的随机变量）记作：Ｘ，Ｅ或，Ｅ且Ｘ＝
等式和相关理论的应用。
关键词：随机变量；不等式；数学期望；积分；方差
中图分类号：２１０１文献标志码：Ａ
概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，
从而，

利用概率方法证明不等式

利用概率方法证明不等式随着概率论的发展, 概率方法日益广泛地应用于其它数学学科. 无论在初等数学还是在高等数学中, 不等式的证明始终是难点, 如果用概率论方法来证明一些不等式, 不但可以简化证明, 而且可以为学习高等数学提供概率论背景, 有机结合不同学科之间的关系. 本节通过列举几个实例阐述概率方法在不等式证明中的应用. 应用的思路是: 根据实际问题, 构造适当概率模型, 再利用有关结论解决实际问题.1 随机试验中, 必然事件的概率为1, 利用这一结论证明一些不等式定义3.8[7] 随机现象: 在一定的条件下, 并不总是出现相同的结果的现象;随机事件: 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件, 简称事件; 随机变量: 用来表示随机现象结果的变量.定义3.9[7] 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间, 由样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件, 而样本空间的最大子集称为必然事件.例3.10[6]证明111(1)(1)n Nn nk n k k -=<Γ++Γ+∑.分析: 此不等式等价于11(1)1(1)n Nn nk k n k -=Γ+<Γ++∑, 进而等价于111()(1)(1)n Nn nk n k n k k -=<++-+∑L .据此可仿上例构造广义贝努利模型来求证. 证明设随机试验E 只有两个基本事件A 和A , 将E 独立地重复做若干次, 在第n 次试验中, A 出现的概率设为n nP =n + k, 不出现的概率则为k 1P = n + k n －.n f 表示n 次试验中A 首次出现的概率, 则有12n- 1n = (1P ) (1P ) (1P ) P n f －－－121(1)(1)(1)121n nk k n k n k-=---++-++. 记NNN n n= 1n= 1P =,Q = (1 - P )N nf∑∏.则N N P + Q = 1.从而nn= 1= 1f ∞∑的充要条件为n n= 1(1 P ) = 0∞∏－.而n 111(1 P ) (1) (1) 011n n n n n n n ∞∞∞======++∏∏∏－－－. n n= 1n= 1121 (1)(1)(1)121n nf k k n k n k∞∞-=++-++∑∑－－－ 1n= 1(1)(2)()n nk k k n k +∞=+++∑11(1)1(1)n n nk k n k -∞=Γ+==Γ++∑. 11(1)1(1)(1)n Nn nk k n k k -=Γ+<Γ++Γ+∑.2 利用随机变量的数学期望定义3.10[7] 设离散随机变量X 的分布列为()P(X=),1,2,,,.i i p x x i n ==L L (3.9)如果()1p iii x x +∞=<+∞∑ (3.10)则称()1E(X)=p i i i x x +∞=∑ (3.11)为随机变量X 的数学期望, 或称为该分布的数学期望, 简称期望或均值. 定义3.11[7] 设连续随机变量X 的密度函数为()p x ．如果()d x p x x +∞-∞<+∞⎰(3.12)则称()E(X)=d xp x x +∞-∞⎰ (3.13)为随机变量X 的数学期望, 或称为该分布()p x 的数学期望, 简称期望或均值. 若()d x p x x +∞-∞⎰不收敛, 则称X 的数学期望不存在.例3.11 设 , 0 , 1 ,2 , , .k k a b k n >=L 则222221111.n n n nk k k k k k k k a b n a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 证明设随机变量ξ与η相互独立, ξ与η的概率分布分别为:()()()11P ,P ,1,2,,k k a b k n n nξη=====L则()()()()222211111111,,,nnnnkkkkk k k k k k k k E a E b E a E bn n n n ξηξη========∑∑∑∑.由数字特征的关系可得:()()()()2222E E E E ξηξη≤.从而2222211111n n n n k k k k k k k k a b a b n ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.。

概率方法证明不等式

概率方法证明不等式2020-12-21概率方法证明不等式摘要在分析数学中有些不等式的证明往往比较复杂，若运用代数方法较难得到解决，而且具体的直观含义也比较抽象。

因此，为了简化这些不等式的证明过程，通过阅读大量的相关资料，本文从数学的基本概念入手，运用了1种巧妙的方法——概率方法，即根据不等式的主要特征，结合概率论的1些基本概念和公式，通过建立1个适当的概率模型，赋以1些随机事件或随机变量的'具体含义，再利用概率论的理论加以证明，讨论了柯西（Cauchy）不等式，级数不等式，詹森(Jensen)不等式和几个1般不等式的证明。

本文通过对利用概率方法证明不等式进行了分析，从而得出：概率方法可以为抽象的数学问题提供具体的概率背景，同时还沟通了各数学分支之间的联系；显示了概率应用的巧妙性和优越性，大大简化了不等式的证明过程。

关键词：随机变量；概率方法；数学不等式AbstractIn analysis mathematics，some identifications of inequalities are often more complicated，It will be difficult to prove that if using algebra method，and concrete ocular meaning is more abstract．Therefore，in order to simplify the proving process of these inequalities．Though reading a lot of relevant resource，we begin with the basic concept of math，and use an ingenious way――probabilistic method, which means that according to the main features of inequality theory，combining the basic concepts and formulas of probability，through creating one suitable probability model，giving some concrete meanings of random events or random variables，proving through probability theory，we discuss the Cauchy inequality，Classinequality，Jensen inequality，and several common inequality’s proofs．We analyze the inequalities which is proved by probabilistic method，and at last we obtain that probability method can provide a concrete probability background for abstract mathematics branch，and greatly simplify the proving process of inequalities．Keywords: random variable; probability methob; mathematical inequalities。

不等式的几种证明方法及其应用

不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立．解令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数．由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ．故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ．证明令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数．因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ，即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ．因为0)1(1)(2'>+=x x f ，所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212．因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤．所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性例５求证221xx x <-)0(≠x ．证明设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ，所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ．由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ．即当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ．注意由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+，即得所要证明的不等式．注该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++．证明如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++，即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长，从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++．化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边，夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ，所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+．分析可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121，所以OC OB k k <，即<+1n n S S 21++n n S S ．所以212++<⋅n n n S S S ．此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ．因为2)(2t y yt t y t y +=++<+，所以t y t y +<+，即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率．证明设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,，则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη，则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12．证明函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ．而b bx b <+<+2211ξ，故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ．将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=．相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+．取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ．当2ln >x 时，0)(''>x f ．所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）．推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+．即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ．证明由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++，故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可．而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ．（1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ．（2）把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式．定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ．应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。

概率方法在不等式证明中的若干应用

本科毕业论文题目：概率方法在不等式证明中的若干应用学生：学号：学院：数学与计算科科学学院专业：数学与应用数学入学时间： 2009 年 09 月指导教师：职称：完成日期： 2013 年 4 月 15诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《概率方法在不等式证明中的若干应用》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。

承诺人（签名）：2013 年 4 月 15 日概率方法在不等式证明中的若干应用摘要:概率论是数学的重要分支之一。

利用概率方法研究解决非概率问题，是概率论的一个重要研究方向。

本文通过建立适当的概率模型将一些数学不等式问题转化成为了概率问题，利用概率论中概率的加法公式、方差公式、Jensen不等式等相关理论知识，证明了一些代数、三角函数、积分等数学不等式。

利用概率方法证明数学不等式，不但简单巧妙而且易于理解，体现了不同学科之间的交叉渗透，更是体现了概率论的广泛应用性。

关键词：概率方法；概率模型；不等式Probability Method in inequality proof of some applicationAbstract: Probability theory is one of the important branch of mathematics. Using the probability method to solve the probability problem, is one of the important research direction of probability theory. This article through the establishment of the appropriate probability model to some mathematical inequality problem into the problem of probability, and the probability formula of probability addition, the variance in the formula, the Jensen inequality related theory knowledge, proved that some algebraic, trigonometric functions and integral inequality. Mathematical inequality is proved using probability method, not only ingeniously simple and easy to understand, embodies the cross-fertilization between different disciplines, but also embodies the probability theory is widely applied.Key words:probability method;probability model;ineualities目录1引言 (3)2利用概率的加法公式 (3)3 利用方差公式 (5)4利用J en se n不等式 (8)小结 (10)参考文献 (11)1.引言概率方法可以解决数学中的其他非概率问题，它在级数求和、求积分、求极限、组合恒等式证明等问题中效果显著（参见文献[1][2]）。

用概率论方法证明数学分析中的一些不等式

用概率论方法证明数学分析中的一些不等式概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,随机现象的普遍性使得概率论具有极其广泛的应用。

不等式的证明是数学中常见的问题,也始终是数学中的难点。

本课题主要探讨用概率论方法证明数学分析中的一些不等式的问题,从而使得证明过程大大简化,另外还讨论了概率论方法的其他应用,如求数列极限、级数和、广义积分的问题。

一、基础理论设Rn为n维空间,D为Rn内的非空子集。

定义1.1 若连接D内任意两点x与y的任意线段{αx+(1-α)y/0≤α≤1}都含于D,则称D为Rn内的凸区域。

定义1.2设实值函数f(x)定义于Rn的凸区域内,若对任意的x,y∈D及λ∈[0,1],恒有:≤ (1)则称f(x)为D内的凹函数;反之,若将式(1)中的“≤”换为“≥”,则称f(x)为D内的凸函数。

引理1.1 设函数y=f(x)在某区域内的二阶导数f ″(x)>0,则y=f(x)在此区间内是下凸的;若f ″(x)<0,则函数y=f(x)在此区间内是上凸的。

引理1.2 设ξ为随机变量,若f(x)为连续下凸的函数,则有f(Eξ)≤Ef(ξ);若f(x)为连续的上凸函数,则f(Eξ)≥Ef(ξ)。

引理 1.3 (Cauchy-Schwarz不等式)若(ξ,η)是一个二维随机变量,又Eξ2<∞,Eη2<∞,则有|E(ξη)|2≤Eξ2Eη2。

引理1.4 设ξ为随机变量,g(x)为一元可测函数,则Eg(x)=g(x)dfξ(x)。

特别地,若ξ是连续型随机变量,其概率密度为f(x),则Eg(x)=g(x)f(x)dx;若是离散型随机变量,其分布为,则Eg。

二、若干不等式的证明例1 求证:设≥,则≤(2)证明:建立随机模型,设随机变量ξ的分布为P(ξ=ai)对于至少有一个的情形,式(2)显然成立;对于所有的情形,定义函数,显然f(x)为上凸函数,故由引理1.2,有/nb=E[f(x)]≤,两边同时取e为底的指数,即得式(2)。

不等式证明中的概率思想方法。

为素材可构造出“ 房问题 ”的概率模型，实数运算转化为概率运算，由概率的性质便可分将再
得出结论。
证明设有ｉ人，个每个人都能可能被分配到Ｊ个房间中的任意一问去住（Ｎ）记事７、ｒ ≤ 。件Ａ为晗好有个房间，中每个房住一个人９易得Ｐ（）＝Ａ其９。ＡＮ＇
。
当、ｍ，Ａ：，Ⅳ ｎ，Ａ：。Ｊ时Ｐ）笔当：时Ｐ）冬７ｒ：（（
ｍ，
显然，间的数量越多（ Ⅳ越大）每个人住单间的可能性（房即，即概率）越大。
（ｅａｍｎｔｅｔｓＳａｙｎｏｅｅＳａｙｎ，２００Ｄｐｒｅｔｆｈｍａｃ，ｈｏａｇＣｌｇ，ｈｏａｇ４２０）ｔｏＭａｉｌ
ＡｂｔａｔＩｅｕｌｙｉｆｎｍＯ＇ｅｍｐｉａｅｓｒｃｎｑａｉｓｏｅＩｏｌｔｄ，ａｄｓｍｅｉｓｔｅｉｔｉｖａｉｇｉｒｌｔｅｙａｓｒｃ，ａｇｂａｃｔｔＣｅｎｏｔｍｅｈｕｔｅｍｅｎｎｅａｉｌｂｔａｔｌｅｒｉｎｉｓｖ
ｍｅｈｄｒｉｉｕｔｔｌｙａｒｌ．Ｉａｌｓａｌｈａｐｒｐａｅｐｏａｉｔｄｅ．ｅｄｗｐｃｆａｉｇｆｒｔｏｓａｅｄｆｃｌｏｐａｏｅｆｗｅｃｌｅｔｂｉｎａｐｏｒｔｒｂｂｌｍｏ１ｎｏｓｅｉｃｍｅｎｎｓｉｉｙｉｏｓｎｏｒｎｏｅｅｔｏｎｏｖｒｌｓ，ｘｒｐｏａｉｔｅｒｒｖ，ｔｅｈｒｏｒｃｓ明ｏｔｎｂｉｌｏ＇ａｄｍｖｎｓｒａｄｍａｉｅｅｅｔｒｂｌｔｏｙｔｐｏｅｈｎｔｅｐｏｆｐｏｅｓｃｌｒｂａｂｉｈｙｏｆｅｓｍｐ — ｅｉｌｆｄ，Ｃｌｕｐｙｓｅｉｃｐｏａｉｔａｋｒｕｄｆｒａｓｒｃｔｅｔａｒｂｅｅｎａａｓｓｐｌｐｃｉｒｂｂｌｙｂｃｇｏｎｏｔｔｍａｍａｉｌｐｏｌｍ．Ｉｉｐｐｒｏｆｉｂａｈｃｎｔｓａｅ，ｗｅｉｕｔｔｈｌｓｒｅｌａ

等式或不等式的概率方法证明

等式或不等式的概率方法证明
概率方法证明（probabilistic proof）是一种特殊类型的数学证明，主要用来证明等式或不等式的结果。

这种方法有利于证明原本复杂的问题，尤其是隐藏在许多条件之下的问题。

这种方法是将证明困难的问题转化为概率模型来描述，然后用分析概率模型来证明这一问题，确定某一条件下该问题是成立的。

概率方法证明由统计学家和数学家Thomas Bayes发明，其工作与现代概率论有莫大关系，也是数理逻辑学和数学基础理论的重要组成部分。

应用于等式或不等式的证明，概率方法就是通过对相关概率模型的分析，确定某种条件下结果的可能性，又因此证明了结果的真实性。

首先，概率方法证明是与广义的概率论联系在一起的，概率论是衡量不确定性的一种科学办法，不涉及任何物理现象。

然而，实际问题往往存在不确定性，有很多不可预见的因素，这种不确定性就需要采用概率方法来弥补因素不可预测带来的语言困难。

其次，在证明等式或不等式时，我们需要从一系列条件下证明结果，同时需要考虑每个条件下结果的可能性，而概率方法就可以用来计算这一可能性，如果可能性较低则可以认定结果不存在，反之可以认定结果存在，所以，用概率方法证明等式或不等式的任务就容易许多。

最后，概率方法存在一定的内在风险，比如误报或false positive，这种事件都是难以避免的，因为概率方法在描述某一物理现象时，往往只能给出有限的结果，而这种结果不一定可以帮助我们得出精确的结论，从而可能会发生失误。

总的来说，概率方法证明等式或不等式的结果是一种有用的工具，可以在复杂的条件下证明结果，只要谨慎使用，可以得到准确的结果。

但同时也要防止误报的出现，以避免影响结论的正确性。

妙用概率方法证明不等式

妙用概率方法证明不等式作者：张为民来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第11期湖南师范大学数学与计算机科学学院 410081摘要：某些不等式运用常规数学方法进行证明比较困难，但运用概率方法进行证明则较为简单. 如通过构造随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量的概率分布，并运用概率加法公式、数学期望、方差等概率知识对某些不等式加以证明.关键词：概率思想; 不等式; 构造法不等式的证明方法灵活多样，常规方法有: 比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等. 某些不等式用这些常规方法证明很困难，本文介绍一种证明不等式的新方法——概率方法，旨在拓宽解题思路、提高创新思维能力、追求最简捷的解决问题的方法. 下面举例说明如何利用概率论中的概念、定理、性质、结论等来证明不等式.[⇩]类比联想，概率合情概率的取值范围和概率加法公式是概率论中最基础的知识，它们在证明某些不等式时发挥着不同寻常的作用，使得证明思路自然，运算简单，且不需为这些不等式该如何变形而冥思苦想，绞尽脑汁.例1 已知0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1. 求证：ab+bc+ca≤a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca.证明由a，b，c的取值范围可联想到随机事件概率的取值范围，且发现待证不等式符合概率加法公式的基本形式.设随机事件A，B，C相互独立，且P（A）=a，P（B）=b，P（C）=c. 由概率的加法公式有：P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（CA）＋P （ABC）.因为P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）·P（C），P（CA）=P（C）P（A），P （ABC）=P（A）·P（B）P（C），所以P（A＋B＋C）＝a＋b＋c－ab－bc－ca＋abc.又因为0≤P（A＋B＋C）≤1，所以0≤a+b+c－ab－bc－ca+abc≤1，即ab+bc+ca≤a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca.点评利用概率加法公式证明不等式的关键在于合理地构造随机事件发生的概率，本题中构造了P（A）=a， P（B）=b，P（C）=c.例2 证明：若0≤ai≤1（i=1，2，3），则a1a2a3≥a1+a2+a3－2.证明设事件A1，A2，A3相互独立，且P（A1）=a1，P（A2）=a2，P（A3）=a3.因为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）－P（A1A2）≤1，所以P（A1A2）≥P（A1）+P（A2）－1.又因为P（A1A2+A3）=P（A1A2）+P（A3）－P（A1A2A3）≤1，所以P（A1A2A3）≥P（A1A2）+P（A3）－1，故P（A1A2A3）≥P（A1）+P（A2）+P（A3）－2.由于P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3），因此a1a2a3≥a1+a2+a3－2.点评类似可证明命题：若0≤ai≤1（i=1，2，…，n），则a1a2…an≥a1+a2+…+an－（n－1）.[⇩]式子生动，模型精彩含有排列数、组合数的式子很容易让人联想到摸彩票、掷骰子之类的随机试验，这时构造一个概率模型的思路就显得自然而然，水到渠成.例3 已知：k，m，n是正整数，且1证明从对称的角度把待证不等式转化为设有k个不同的球，每个球都能等可能地被放到N个不同的盒子中的任意一个里面（k≤N）. 记事件A为“恰好每个球单独放在一个盒子里”，则事件A发生的概率PN（A）=.当N=m时， Pm（A）=；当N=n时，Pn（A）=.显然，当k>1时，盒子的数量越多（即N越大），每个球单独放在一个盒子里的可能性（即概率）越大.即当1点评（1）当k=1时，Pm（A）=Pn（A）=1.（2）通过构造概率模型，可以将抽象的、枯燥的数学问题转化为具体的、有趣的生活常识，将无具体含义的实数运算转化为具有概率背景的概率运算.[⇩]观察先行，方差助力一提到随机变量的方差，脑海里立刻能涌现出它的最基本特征，即方差非负，这孕育着一个重要的不等式. 根据随机变量方差的公式Dξ=E（ξ－Eξ）2=Eξ2－（Eξ）2及Dξ≥0可得（Eξ）2≤Eξ2，当且仅当ξ=Eξ，即ξ的取值必须且只须为某个常数时等号成立. 利用（Eξ）2≤Eξ2证明不等式的关键在于构造恰当的离散型随机变量的概率分布.例4 已知≤x≤5. 求证：2++证明设随机变量ξ的概率分布为：P（ξ=）=，P（ξ=）=，P（ξ=）=. 则Eξ2=（x+1）×+（2x－3）×+（15－3x）×=，Eξ=×+×+×.由（Eξ）2≤Eξ2得，×+×+×≤≤，即2++≤2.因为==无实数解，即ξ的取值不能为常数，所以上式等号不成立. 故2++点评上述解法通过计算Eξ2去掉了根号，再利用（Eξ）2≤Eξ2使得复杂的无理不等式的证明问题得以简捷解决.例5 已知：a1，a2，a3＞0. 求证：++≥.证明设随机变量ξ的概率分布为Pξ==，Pξ==，Pξ==, 其中s=a1+a2+a3，则Eξ=.Eξ2=++=+++.由（Eξ）2≤Eξ2并整理得++≥.点评类似可证明该结论的推广形式：如果ai＞0，i=1，2，…，n，n≥2，s=ai，那么≥.[⇩]分析结论，期望恰当离散型随机变量的数学期望是该随机变量取值的平均数，这一基本特征使得有关数学期望的一些性质变得形象起来，很容易被接受，它用于证明不等式时也很方便.例6 已知：向量ai的模ai=1（i=1，2）. 求证：存在εi=±1使得ε1a1+ε2a2≤.证明因为Eξ是ξ取值的平均数，所以必然存在ξ的某个取值使得ξ≤Eξ，也存在ξ的某个取值使得ξ≥Eξ.设εi可独立地依次从集合｛-1，1｝中取值，且P（εi=-1）=P（εi=1）=，则E（εi）=－1×+1×=0，E（ε）=E（ε）=1，E（ε1ε2）=E（ε1）E（ε2）=0.再令ξ=ε1a1+ε2a22，则ξ=2ε1ε2a1a2+εa+εa. 因此Eξ=2a1a2E（ε1ε2）+aE（ε）+aE（ε）=0+1+1=2.所以，存在ξ的某个取值使得ξ≤Eξ=2，即存在εi=±1使得ε1a1+ε2a2≤.点评类似可证明该命题的推广形式：若向量ai的模ai=1（i=1，2，…，n），则存在εi=±1，使得ε1a1+ε2a2+…+εnan≤.例7 证明：若a1，a2，…，an为n个正数，则≤≤≤.证明设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=ai）=（i=1，2，…，n）.由（Eξ）2≤Eξ2得≤. 又因为E（lnξ）≤ln（Eξ），所以lnai≤ln，即≤.再令随机变量η的概率分布为Pη=述，≤≤≤.点评（1）因为函数y=lnx是上凸函数，所以其函数值的平均数小于或等于自变量平均数的函数值. 将数学期望理解成随机变量取值的平均数，便可得E（lnξ）≤ln（Eξ），当且仅当ξ的取值为（0，+∞）中的某个常数时等号成立.（2）类似可证明该命题的推广形式：如果ai＞0， pi∈［0，1］， i=1，2，…，n，pi=1，那么≤a≤piai≤.从以上七道例题可见，我们可以根据已知条件和待证不等式的特征，巧妙构造随机事件、古典概型或离散型随机变量的概率分布，并且恰当选择概率的取值范围、概率加法公式、（Eξ）2≤Eξ2、E（lnξ）≤ln（Eξ）等概率知识来证明不等式. 需要特别指出，除本文涉及的以外，还有很多概率知识可用于证明不等式，例如：若f（x）是下凸函数，则E（f（ξ））≥f （Eξ），2EξEη≤Eξ2+Eη2（ξ，η独立），（EξEη）2≤Eξ2Eη2（ξ，η独立）等.。

经典证明：几个利用概率法进行证明的例子

经典证明：几个利用概率法进行证明的例子概率论并不仅仅是用来算算概率的。

有些时候，概率论远比我们想象中的更强大。

考虑这样一个问题。

考虑集合X上的一个集合族，集合族中的所有集合大小均为d。

我们说这个集合族是可以二染色的，如果对X的元素进行适当的红蓝二着色之后，每个集合里面都包含了两种颜色的元素。

例如，当d=3时，{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,5}就是可二染色的，把1、2染成红色，把3、4、5染成蓝色，则每个集合里都含有两种颜色。

是否存在d=3的不可二染色集族呢？这样的集族当然是存在的，例如取集合{1,2,3,4,5}的全部C(5,3)个元素个数为3的子集，则无论如何染色，总会有一个集合里面的元素全是一种颜色。

上述推理立即告诉我们，对于一个给定的d，一定存在一个集合个数为C(2d-1, d)的不可二染色集族。

这个数目还能再少吗？我们想知道，不可二染色集族中的集合个数最少可以少到什么地步。

一个极其简单的证明给出了一个下界：集族的大小一定大于2^(d-1)。

当d=3时，你一辈子也不能构造一个不可二染色集族，里面只含4个集合。

为了证明这一点，不妨对X中的所有元素进行随机着色，每个元素取成红色和蓝色的概率均等。

那么，一个元素个数为d的集合中，所有元素均为一种颜色的概率就应该是1/2^(d-1)。

如果集族内的集合个数只有不到2^(d-1)个，那么即使“集合中是否只有一种颜色”是互相独立的，这些事件的并（至少有一个集合内只有一种颜色）的概率也不超过2^(d-1) * 1/2^(d-1) = 1，何况这些事件还不是独立的，因此存在单色集合的概率必然小于1。

这个概率值小于1说明什么？这说明，“至少有一个单色集合”并不是必然事件，一定有一种染色方案使得每个元素里都含两种颜色，换句话说该集族可以被二染色。

这种证明方法奇就奇在，利用概率论进行推理得到的结果居然是一个确定的结论。

Wikipedia上给出了另一个经典的概率法证明，问题仍然与染色有关。

概率方法在计算与证明中的应用

１ａ２．ｎａｌ￣．＝ａｎ
ｎ
第２期
荆江雁：概率方法在计算与证明中的应用
１ｎ
ｎａｌ２ ’ ａ
・ｃ＝耋ｎｘ・ｎＥ
由蝴望的性顷：Ｘ）（）Ｅ（ｎＸ）Ｅ（２≥ Ｘ，Ｉ ≤ ＩＸ）：ｎＥ（得
Ｊ善ｅ去ｅ一一２一
２级数求和
通过建立适当概率模型，应用概率的结论可
求一些特殊级数的和。
，
设＝ｌｘ，Ｅ）＝ｌｙ）＝，服 ∑ 则（，Ｄ（＾ｎ，
从参数为ｎ的泊尔松分布。设ａＰ（ ≤ｎ由林德贝格一勒维中心极＝）
ＡｂｔａｔＢｙｍｅｎｆｔｅｐｏａｌｙｍｅｏｓｍｅｍａｅｔｃｌｐｏｌｍｓｉａｃｌｔｎｎｒｏｆｓｒｃ：ａｓｏｈｒｂｂｉｔｔｄ，ｏｔｍａｉａｒｂｅｎｃｕａｉａｄｐｏｉｈｈｌｏｃｎｂｏｖｅｓｃｓｃｃｌｔｉｉ，ａｃｌｔｎｅｓａｅｓｌｄ，ｕｈａａｕａｉｌｔｃｕａｇｔｕｍｆｓｒｅｐｏｉｇｉｅｕｉｙａｄｅｕｔｌｎｇｍｌｉｈｏｅｉｓ，ｒｖｎｎｑａｔｑ￣ｉｙ．ｌｎ
Ｅ１）＝ｎｌ（ｎｙｉ
，■ 一１
［］明刚．率方法的应用［］廊坊师范学院学报，ｌ，Ｏ２车概Ｊ．２ＯｌＯ
（）２２：２—２．３
责任编辑：秀兰张

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sin3 β sin γ
+
sin3 γ sin α
,
Εξ
= sin2 α
+ sin2 β
+ sin2 γ
= 1,
由，得 Εξ 2 ≥ (Εξ )2
sin3 α sin β
+
sin3 β sin γ
+
sin3 γ sin α
≥ 1.
由上面的例子可以看出，利用期望证明分等式时，关键在于灵活构造随机变量的概率分
. x12
+
x22
+ ...... +
xn2
≥
1 n
【例】求证： 6
1
+
1
+
ex sin
x
+
1 + 1 + cos x + x2
4
−
1
+
ex sin
x
− 1 + cos x x2
≤3
2.
【解析】因为题目中还出现超越函数和三角函数，若采用一般代数方法很难证明上式.
3
《尖子生培养系列》
因此需要另辟新径，可将不等式左边看作一个变量 t,并将其视为 ∑n xi 的形式. i =1 证明: 建立概率模型：设一组数据 x1， x2 ， x3 ，令
《尖子生培养系列》
概率方法在不等式证明中的应用
著名数学家王梓坤院士曾指出：“用概率的方法来证明一些关系式或解决其它数学分析中重的点问，题也，是是一概个率难论点的.用重概要率研论究的方思向想之、一方.法”在解中决一学些数数学学中不，等不式等的式证的明证，明思问路题别一开直生是面一，个过程简洁直观，往往会给人耳目一新之感.本文介绍几种用概率思想证明不等式的方法.
【例】设为某一实函数，若则成 10 λ > 0, f (x)
∑ ∑ +∞
λk f (k)
< +∞,
+∞
f 2 (k) λk
< +∞,
k =0
k!
k =0
k!
立不等式 ∑ ∑ +∞ (
f (k) λk )2 ≤ eλ
由概率的有界性知， P(A U B U C) ≤ 1，从而原不等式成立.
【例】已知，求证： 2
α
∈
0,
π 2
2 cos(α − π )
4 1 + sinα cosα
≤1.
【证明】证明因为，所以， :
α
∈
0,
π 2
0 ≤ sinα , cosα ≤ 1
2 co（s α - π ）
4 1 + sinα cosα
性（概率）越大.
5
《尖子生培养系列》
即当时，，所以 1 < k ≤ m < n Pm( A) < Pn( A)
nk Amk < mk Ank .
【例】设，求证： 9 0 ≤ p,q ≤ 1
(n − 1)( p2 + q2 ) + p + q ≥ 2npq.
【证明】从原不等式中，不难发现，当0 ≤ p,q ≤1时，可以构造一个二项分布概率模
一、利用概率的性质证明不等式
1.利用事件间的关系
【例】已知证明: 1
a,b, c ∈ N*
1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 + 1 ≤ 1. ab bc ac ab2c a2bc abc2 a2b2c2
【解析】设有三个完全相同的盒子，分别记为甲盒、乙盒、丙盒.每个盒子中放入了大
小相同的球.在甲盒中一共放入了ab 个球，但只有一个红球；在乙盒中一共放入了ac个球，
只有一个红球；在丙盒中一共放入了ab 个球，同样也只有一个红球.
若记事件 A:在甲盒中取出红球，则 P(A) = 1 ； ab 事件 B:在乙盒中取出红球, 则 P(B) = 1 ； ac 事件 C:在丙盒中取出红球, 则 P(C) = 1 . bc
显然，事件 A,B,C 相互独立.
现在考虑如下问题：若在甲、乙、丙三盒中随意取出一个球，求取出球是红球的概率？（假定选择甲、乙、丙三盒的机会相同）
同理 0 < 2b < 1,0 < 2c < 1.
设 A, B,C 为三个独立事件，且 P(A) = 2a, P(B) = 2b, P(C) = 2c.则
1 ≥ P(A + B + C)
= P( A) + P(B) + P(C) − P( AB) − P( AC) − P(BC) + P( ABC)
1（ n n i=1
xi2
−
1（ n n i=1
xi）2）
∑ =
1
2019
（
2019 i=1
xi2
−
1 2019
×12）
由方差的非负性：，知，即得 . s2 ≥ 0
∑2019
i =1
xi2
≥
1 2019
x12
+
x22
+ ......
+
x2 2019
≥
1 2019
本题可以推广至一般情形：若关系式 x1 + x2 + ...... + xn = 1成立，则有
xi）2）
利用方差公式证明不等式，需要将待证式子看成有限和 ∑n xi 或者有限平方和 i =1
∑n xi2 的形式，最后利用方差的非负性即可证明.
i =1
【例 4】设 x, y, z ∈ R+ ，且 x + y + z = 1, 求证： 1 + 4 + 9 ≥ 36 xyz
【证明】由题设，可设离散型随机变量 X 的概率分布列为
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ s2
=
1 n
n i =1
( xi
− x)2
=
1n (
n i=1
xi2
− nx 2 )
=
1（ n n i=1
xi2
−
1（ n n i=1
xi）2）=
1（ 3 3 i=1
xi2
− 1（ 3 3 i=1
xi）2）
=
1（（1 3
+
1
ex + sin
）+（1+ 1+ cos
x
x2
x
）+（4
1（ n n i=1xi） Nhomakorabea）=
1（b n
−
1 n
a2），由方差的非负性
s2
≥
0
，知 b
≥
1 n
a2
.
这样，当我们知道a 或者b 的值时，总能利用公式对另一个做出范围估计.例题 5 和例
题 6 就充分体现了这一点.
【例】设为锐角，且 7 α，β，γ
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1,
2.利用随机变量的数学期望与方差的性质
设 x 为一组数据 x1， x2 ，..., xn 的均值， s2 为该组数据的方差，则由方差的定义得
2
《尖子生培养系列》
∑ ∑ ∑ ∑ s2
=
1 n
n i =1
( xi
− x)2
=
1n (
n i=1
xi2
− nx 2 )
=
1（ n n i=1
xi2
−
1（ n n i=1
布列，但必须注意满足概率非负，且其和为 1 的条件.
二、构造随机概率模型证明不等式
构造概率模型就是根据问题给出的条件及所给的数量关系，构造组成新的数量关系，使问题在新关系下实现转化，且利用概率模型的数字特征解决不等式问题.当然，如何构造概率模型是我们解决问题的关键.下面主要讨论构造随机概率模型证明不等式的一些方法.
= 2(a + b + c) + 4(ab + bc + ca) − 8abc
= 2 + 2(1− a2 − b2 − c2 ) − 8abc
从而有 a2 + b2 + c2 + 4abc < 1 2
根据题意建立概率模型，设定随机变量，将不等式中的未知量用模型中的事件来替换，就可利用概率中事件之间的关系列出不等式，从而获得证明.这种思路方法也可适用解决生活当中的一些不等关系，给我们生活带来便捷.
X
1
2
3
x
y
z
P
x
y
z
则，， ∴ . Ε(x) = 6, Ε(X 2 ) = 1 + 4 + 9 Q Ε(X 2 ) ≥ [E(X )]2
1 + 4 + 9 ≥ 36
xyz
xyz
【例】若关系式成立，求证： . 5
x1 + x2 + ...... + x2019 = 1
x12
+
x22
+ ...... +
Pξ
=
sin α sin β
=
sin α
sin
β
,
Pξ
=
sin β sin γ
=
sin
β
sin γ
,
Pξ
=
sin γ sin α
=
sin
γ
sin α ,
P(ξ = 0) = 1− sinα sin β + sin β sin γ + sin γ sinα.
则 Εξ 2