四边形的证明和计算
四边形不等式 证明
四边形不等式证明
四边形不等式是一种数学不等式，用于描述四个向量所形成的任意四边形的边长之和。
该不等式可用于证明向量空间中的各种数学定理，包括三角形不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
四边形不等式的表述为：对于任意四个向量a、b、c、d，它们所形成的四边形的边长之和不超过对角线的长度之和，即：
||a + b + c + d|| ≤ ||a + c|| + ||b + d||
证明过程如下：
定义向量e = b + c，f = d + c，则有：
a +
b = a + e - c，
b + d = e + f - c，
a +
b +
c +
d = a +
e + f
将上述式子代入四边形不等式原式，得到：
||(a + e + f) - c|| ≤ ||a + e - c|| + ||e + f - c|| 由三角形不等式可得：
||a + e - c|| + ||e + f - c|| ≥ ||a + f||
将其代入上式，得到：
||(a + e + f) - c|| ≤ ||a + f||
再由柯西-施瓦茨不等式可得：
||a + f|| ≤ ||a|| + ||f||
将其代入上式，得到：
||(a + e + f) - c|| ≤ ||a|| + ||f||
再回代原来的定义，得到：
||a + b + c + d|| ≤ ||a + c|| + ||b + d|| 证毕。
特殊的四边形有关的计算与证明.doc
特殊的四边形有关的计算与证明：学习目标：1．掌握矩形，菱形，正方形的判定及性质；2．综合运用菱形，矩形知识解决实际问题能力；热身训练 1. . 如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8 ㎝，D B=6 ㎝，D H⊥AB与H. 求D H的长.DCAOHBA模拟练习2．（2017 海淀一模）如图，在□ABCD中，过D点A作AE ⊥BCF 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE AF ．（1）求证：四边形ABCD是菱形；B CE（2）若EAF 60°，CF 2，求AF 的长．3．如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF//AB，与AD相交于点 F. 求证: 四边形ABEF是菱形.拓展提高：4.（西城2017 一模）如图，在□ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，过点 A 作AE∥BD，交CD 的延长线于点E，过点 E 作EF⊥BC，交BC 延长线于点 F.（1）求证：四边形ABCD 是菱形；E （2）若∠ABC=45°，BC= 2，求EF 的长.A DB FC1. 如图，已知AD平分∠BAC，DE// AC ，DF// AB ，试说明EF与AD互相垂直平分AEFB CD2. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点 E 是AD 的中点；过点 A 作AF∥BC 交A FBE 的延长线于F，连接CF．E （1）求证：四边形ADCF 是平行四边形；D C（2）填空：B①如果AB =AC，四边形ADCF 是形；②如果∠BAC =90°，四边形ADCF 是形；．3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点 D 出发向点 A 运动，同时点Q 从点B 出发向点 C 运动，点P、Q 的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？（2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．。
任意四边形面积公式证明
任意四边形面积公式证明设四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，以A、B为对角线，连接AC、BD，设交点为E。
由于对角线互相平分，所以AE=EC，BE=ED。
连接AB，通过直线AB可以将四边形分为两个三角形，即△ABC和△ABD。
设△ABC的高为h1，底边AB的长度为a，△ABD的高为h2，底边AB的长度为b。
那么△ABC的面积为S1 = (1/2) * a * h1。
△ABD的面积为S2 = (1/2) * b * h2。
根据题意，我们需要证明S1 + S2 = S，其中S为四边形的面积。
由于三角形ABC和三角形ABD共有一条边AB，所以△ABC和△ABD的底边AB相同。
设四边形的高为h，所以h1 + h2 = h。
将h1代入S1的面积公式中，得到S1 = (1/2) * a * (h - h2)。
将h2代入S2的面积公式中，得到S2 = (1/2) * b * (h - h1)。
将S1 + S2进行展开，得到S1 + S2 = (1/2) * a * (h - h2) + (1/2) * b * (h - h1)= (1/2) * (a * h - a * h2 + b * h - b * h1)= (1/2) * (a * h + b * h - a * h2 - b * h1)= (1/2) * (a * h + b * h) - (1/2) * (a * h2 + b * h1)= (1/2) * (a + b) * h - (1/2) * (a * h2 + b * h1).由于AE=EC，BE=ED，所以△AED和△BEC的面积相等。
设△AED的面积为S3，则△AED的面积为S3 = S - S1 - S2= S - ((1/2) * (a + b) * h - (1/2) * (a * h2 + b * h1))= (1/2) * (a * h2 + b * h1) - (1/2) * ((a + b) * h - S).由于△ABC和△ABD的底边相同，所以h、h1、h2是△ABD 的高，而S是四边形的面积。
证明四边形内角和为360度的5种方法初中
证明四边形内角和为360度的5种方法初中四边形是平面几何中常见的图形之一，由四条边和四个角组成。
而四边形内角和为360度是一个基本的定理，被广泛应用于数学领域中。
接下来将从五个角度来证明四边形内角和为360度的五种方法。
1.我们可以通过画出四边形的对角线来证明四边形内角和为360度。
对角线将四边形分割为两个三角形，根据三角形内角和定理可得，每个三角形的内角和为180度。
因此，整个四边形的内角和为360度。
2.我们可以通过将四边形分解为两个三角形来证明四边形内角和为360度。
将四边形的一条对角线作为分割线，从而将四边形分解为两个三角形。
根据三角形内角和定理，每个三角形的内角和为180度，因此整个四边形的内角和为360度。
3.利用四边形的一个角作为顶点，将其它三个角分解成两个三角形来证明四边形内角和为360度。
通过这种方法，我们可以将四边形分解成两个三角形，每个三角形的内角和也可以得出为180度，因此整个四边形的内角和为360度。
4.利用四边形的对角线互相垂直的性质来证明四边形内角和为360度。
由于四边形的对角线互相垂直，我们可以得出四个内角互相补角，即相加为180度。
因此，整个四边形的内角和为360度。
5.通过利用四边形中的角平分线性质来证明四边形内角和为360度。
当四边形中存在角平分线时，我们可以将角平分线作为分割线，将四边形分割为两个三角形。
根据三角形内角和定理，每个三角形的内角和为180度，因此整个四边形的内角和为360度。
总的来说，通过以上五种不同的方法，我们可以证明四边形内角和为360度这一定理。
这些方法不仅帮助我们理解四边形内角和为360度的原因，同时也能够锻炼我们的逻辑推理能力和几何图形分解能力。
在学习数学时，我们应该注重多种角度去理解和证明定理，以便更好地掌握知识。
四边形蝴蝶定理证明过程
四边形蝴蝶定理证明过程四边形蝴蝶定理是几何学中的一条重要定理，它以其独特的证明方法而闻名。
这个定理的全称是“对于任意一个四边形，如果它的对角线交叉点与四边形的边平分线共线，则这个四边形是蝴蝶形状的”。
首先，我们来研究四边形蝴蝶定理的证明过程。
假设我们有一个四边形ABCD，其中对角线AC和BD交于点O，同时交于边AB和CD的平分线于点E。
我们需要证明的是O、E和M共线，其中M是对角线AC的中点。
首先，我们可以使用反证法来证明这个定理。
假设O、E和M不共线，即O、E和M三点不在一条直线上。
由于M是对角线AC的中点，所以ME是AB的中线，BM是AD的中线。
根据中线定理可知，ME和BM分别等于AB和AD的二分之一。
然后，我们来考虑四边形ABCD的对角线交叉点O。
由于O、E和M不共线，所以我们可以得出结论：OE ≠ ME。
此外，我们还可以得到OB ≠ MB，并且OD ≠ MD。
由此可知，四边形ABOD和四边形BCDM的对角线不平分彼此。
接下来，让我们重新审视四边形ABCD。
根据四边形蝴蝶定理的假设，我们得知O、E和M共线，即OE和EM两条线段是重合的。
这意味着AB和CD的平分线上的点E同时也是对角线AC上的点M。
因此，我们可以得出结论：OE = ME，AB平分线上的点E同时也是对角线AC的中点M。
由此可见，我们之前的推论与定理的假设相矛盾。
因此，我们的假设是错误的，也就是说O、E和M必定共线。
这样就证明了四边形蝴蝶定理。
通过上述证明过程，我们不仅验证了四边形蝴蝶定理的正确性，还揭示了定理背后的几何关系。
这个定理告诉我们，对于任意一个四边形，如果它的对角线交叉点与四边形的边平分线共线，那么这个四边形将呈现出独特的蝴蝶形状。
在实际应用中，四边形蝴蝶定理为我们解决几何问题提供了一种新的思路。
通过寻找四边形对角线交叉点和边平分线的共线关系，我们可以判断四边形是否具有蝴蝶形状，从而简化问题的分析和求解过程。
总之，四边形蝴蝶定理不仅是几何学中重要的一条定理，而且其证明过程也展示了几何证明中常用的思维方法。
四边形相似证明
四边形相似证明
证明两个四边形相似，需要满足以下两个条件之一：
1. 对应角相等：如果两个四边形的对应角相等，则它们相似。
2. 对应边成比例：如果两个四边形的对应边成比例，则它们相似。
下面以对应角相等为例进行证明：
假设四边形ABCD和EFGH是相似的，且对应角相等。
首先，由于四边形的内角和为360度，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360度，∠E+∠F+∠G+∠H=360度。
因为对应角相等，所以有∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H。
将对应角相等的关系代入四边形的内角和公式中，得到∠A+∠B+∠C+∠D=∠E+∠F+∠G+∠H。
因此，两个四边形的内角和相等，即它们的内角和成比例。
如果两个四边形的对应角相等，则它们相似。
同理，如果两个四边形的对应边成比例，则它们相似。
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案2
DSE 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一. 解答题1．（1）如图①, ▱ABCD的对角线AC, BD交于点O, 直线EF过点O, 分别交AD, BC于点E, F．求证: AE=CF.（2）如图②, 将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠, 点A落在点A1处, 点B落在点B1处, 设FB1交CD于点G, A1B1分别交CD, DE于点H, I．求证：EI=FG.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）. 718351分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形, 可得AD∥BC, OA=OC, 又由平行线的性质, 可得∠1=∠2, 继而利用ASA, 即可证得△AOE≌△COF, 则可证得AE=CF.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质, 易得A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 继而可证得△A1IE≌△CGF, 即可证得EI=FG．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明: （1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, OA=OC,∴∠1=∠2,在△AOE和△COF中,, ∴△AOE≌△COF（ASA）, ∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C, ∠B=∠D, 由（1）得AE=CF,由折叠的性质可得: AE=A1E, ∠A1=∠A, ∠B1=∠B,∴A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 又∵∠1=∠2, ∴∠3=∠4, ∵∠5=∠3, ∠4=∠6, ∴∠5=∠6, 在△A1IE与△CGF中,, ∴△A1IE≌△CGF（AAS）, ∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中, 注意掌握折叠前后图形的对应关系, 注意数形结合思想的应用．2. 在△ABC中, AB=AC, 点P为△ABC所在平面内一点, 过点P分别作PE∥AC交AB于点E, PF∥AB交BC于点D, 交AC于点F. 若点P在BC边上（如图1）, 此时PD=0, 可得结论: PD+PE+PF=AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内（如图2）, △ABC外（如图3）时, 上述结论是否成立？若成立, 请给予证明；若不成立, PD, PE, PF与AB之间又有怎样的数量关系, 请写出你的猜想, 不需要证明．考点：平行四边形的性质. 718351专题：探究型.分析：在图2中, 因为四边形PEAF为平行四边形, 所以PE=AF, 又三角形FDC为等腰三角形, 所以FD=PF+PD=FC, 即PE+PD+PF=AC=AB, 在图3中, PE=AF可证, FD=PF﹣PD=CF, 即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解: 图2结论: PD+PE+PF=AB.证明: 过点P作MN∥BC分别交AB, AC于M, N两点,∵PE∥AC, PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∵MN∥BC, PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形,∴AE=PF, ∠EPM=∠ANM=∠C,∵AB=AC,∴∠EMP=∠B,∴∠EMP=∠EPM,∴PE=EM,∴PE+PF=AE+EM=AM.∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB=PD.∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.图3结论：PE+PF﹣PD=AB.图3结论: PE+PF﹣PD=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质, 难易程度适中, 读懂信息, 把握规律是解题的关键．3. 如图, △ABC是等边三角形, 点D是边BC上的一点, 以AD为边作等边△ADE, 过点C作CF∥DE交AB于点F.（1）若点D是BC边的中点（如图①）, 求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B.C外如图②）, 那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立, 请给出证明；若不成立, 请说明理由.考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质. 718351专题：证明题.分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形, D是BC的中点, ED∥CF, 求证△ABD≌△CAF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC, 结合∠ACB=60°, 得出∠ACF=∠BAD, 求证△ABD≌△CAF, 得出ED=CF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形, 即可证明EF=DC．（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC.（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明: ∵△ABC是等边三角形, D是BC的中点,∴AD⊥BC, 且∠BAD= ∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE, ∠ADE=60°,∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°, ∵∠ACB=60°, ∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°,∴∠ACF=∠BAD=30°, 在△ABD和△CAF中,，∴△ABD≌△CAF（ASA）, ∴AD=CF, ∵AD=ED,∴ED=CF, 又∵ED∥CF, ∴四边形EDCF是平行四边形, ∴EF=CD．（2）解: △AEF和△ABC的面积比为: 1: 4；（3）解: 成立.理由如下: ∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF, ∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA,在△ABD和△CAF中,∴△ABD≌△CAF（AAS）,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多, 综合性较强, 难度较大．4. 如图, 在菱形ABCD中, AB=10, ∠BAD=60度. 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）.（1）点N为BC边上任意一点, 在点M移动过程中, 线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 在什么时刻, 梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动, 过点M作MP∥AB, 交BC于点P．当△MPN≌△ABC时, 设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S, 求出用t表示S的关系式, 井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质. 718351专题：压轴题.分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分, 那么分成的两个梯形的面积相等, 而两个梯形的高相等, 只需上下底的和相等即可.（2）易得菱形的高, 那么用t表示出梯形的面积, 用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半, 求得不重合部分的面积, 让菱形面积的一半减去即可．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可.（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．解答：解: （1）设: BN=a, CN=10﹣a（0≤a≤10）因为, 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动, 点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以, AM=1×t=t（0≤t≤10）, MD=10﹣t（0≤t≤10）.所以, 梯形AMNB的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时,即t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）所以, 当t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）时, 可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 设点N移动的时间为t, 可知0≤t≤5,因为AB=10, ∠BAD=60°, 所以菱形高=5 ,AM=1×t=t, BN=2×t=2t．所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5 ×= t（0≤t≤5）.所以当t=5时, 梯形ABNM的面积最大, 其数值为．（3）当△MPN≌△ABC时,则△ABC的面积=△MPN的面积, 则△MPN的面积为菱形面积的一半为25 ；因为要全等必有MN∥AC,∴N在C点外, 所以不重合处面积为×（at﹣10）2×∴重合处为S=25 ﹣,当S=0时, 即PM在CD上,∴a=2.∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质, 注意使用两条平行线间的距离相等等条件．5. 如图, 在下列矩形ABCD中, 已知: AB=a, BC=b（a＜b）, 假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形, 现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题:命题（Ⅰ）: 图①中, 若AH=BG=AB, 则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）: 图②中, 若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点, 则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中, 若EF垂直平分对角线AC, 变BC于点E, 交AD于点F, 交AC于点O, 则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．请解决下列问题:（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个, 并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的, 但不全等的内接菱形）.（3）试探究比较图①, ②, ③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理. 718351分析：（1）①先证明是平行四边形, 再根据一组邻边相等证明；②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形, 再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线, 在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交, 连接四个交点即可．（3）分别表示出三个菱形的面积, 根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系, 分a＞2b, a=2b和a＜2b三种情况讨论．（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论.（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．解答：解: （1）都是真命题；若选（Ⅰ）证明如下:∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∵AH=BG,∴四边形ABGH是平行四边形,∴AB=HG,∴AB=HG=AH=BG,∴四边形ABGH是菱形；若选（Ⅱ）, 证明如下:∵矩形ABCD,∴AB=CD, AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∵E、F、G、H是中点,∴AE=BE=CG=DG, AH=HD=BF=FC,∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形；若选（Ⅲ）, 证明如下∵EF垂直平分AC,∴FA=FC, EA=EC,又∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA,在△AOF和△COE中,，∴△ADF≌△COE（SAS）∴AF=CE,∴AF=FC=CE=EA,∴四边形AECF是菱形；（2）如图4所示: AH=CF, EG垂直平分对角线FH, 四边形HEFG是菱形；（3）SABGH=a2 ,SEFGH= ab,S菱形AECF= ,∵﹣a2==＞0（b＞a）∴S菱形AECF＞SABGH.∵﹣ab= = = ＞0,∴S菱形AECF＞SEFGH.∵a2 ﹣ab=a（a﹣b）∴当a＞b, 即0＜b＜2a时, S菱形ABGH＞S菱形EFGH；当a= b, 即b=2a时, S菱形ABGH=S菱形EFGH；当a＜b, 即b＞a时, S菱形ABGH＜S菱形EFGH．综上所述:当O＜b＜2a时, SEFGH＜SABGH＜S菱形AECF.当b=2a时, SEFGH=SABGH＜S菱形AECF．当b＞2a时SABGH＜SEFGH＜S菱形AECF.点评：本题主要考查了菱形的判定与性质, 三角形中位线定理, 全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论, 以防错解．6. 在平行四边形ABCD中, ∠BAD的平分线交直线BC于点E, 交直线DC的延长线于点F, 以EC.CF为邻边作平行四边形ECFG.（1）如图1, 证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2, 若∠ABC=90°, M是EF的中点, 求∠BDM的度数；（3）如图3, 若∠ABC=120°, 请直接写出∠BDG的度数．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质. 718351分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC, AB∥CD, 再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE, 根据等角对等边可得CE=CF, 再有条件四边形ECFG是平行四边形, 可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形, 再证明△BME≌△DMC可得DM=BM, ∠DMC=∠BME, 再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；（3）分别连接GB、GC, 求证四边形CEGF是平行四边形, 再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB, 求证△BEG≌△DCG, 然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形. 由AD ∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.（3）分别连接GB.GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC 及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解答：解: （1）证明: ∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF, ∠BAF=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,又∵四边形ECFG是平行四边形,∴四边形ECFG为菱形.（2）如图, 连接BM, MC,∵∠ABC=90°, 四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形,又由（1）可知四边形ECFG为菱形,∠ECF=90°,∴四边形ECFG为正方形.∵∠BAF=∠DAF,∴BE=AB=DC,∵M为EF中点,∴∠CEM=∠ECM=45°,∴∠BEM=∠DCM=135°,在△BME和△DMC中,∵，∴△BME≌△DMC（SAS）,∴MB=MD,∠DMC=∠BME.∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,∴△BMD是等腰直角三角形,∴∠BDM=45°；（3）∠BDG=60°,延长AB.FG交于H, 连接HD.∵AD∥GF, AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形,∵∠ABC=120°, AF平分∠BAD,∴∠DAF=30°, ∠ADC=120°, ∠DFA=30°,∴△DAF为等腰三角形,∴AD=DF,∴平行四边形AHFD为菱形,∴△ADH, △DHF为全等的等边三角形,∴DH=DF, ∠BHD=∠GFD=60°,∵FG=CE, CE=CF, CF=BH,∴BH=GF,在△BHD与△GFD中,∵，∴△BHD≌△GFD（SAS）,∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.点评：此题主要考查平行四边形的判定方法, 全等三角形的判定与性质, 等边三角形的判定与性质, 菱形的判定与性质等知识点, 应用时要认真领会它们之间的联系与区别, 同时要根据条件合理、灵活地选择方法．7. 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 若点D在线段BC上, 以AD为边长作正方形ADEF, 如图1, 易证: ∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上, 其他条件不变, 写出∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系, 并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上, 其他条件不变, 直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351专题：几何综合题.分析：（1）∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系为: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, 理由为: 由四边形ADEF为正方形, 得到AD=AF, 且∠FAD为直角, 得到∠BAC=∠FAD, 等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF, 再由AB=AC, AD=AF, 利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等, 根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 又∠ACB为三角形ACD的外角, 利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC, 变形后等量代换即可得证；（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°, 可以根据∠DAF=∠BAC=90°, 等号两边都减去∠BAF, 可得出∠DAB=∠FAC, 再由AD=AF, AB=AC, 利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等, 由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 根据三角形ADC的内角和为180°, 等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC 的内角和为180°，等量代换可得证.（2）∠AFC、∠ACB.∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC.∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．解答：解: （1）关系: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, …（2分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴AD=AF, ∠FAD=90°,∵∠BAC=90°, ∠FAD=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD, 即∠BAD=∠CAF, …（3分）在△ABD和△ACF中,，∴△ABD≌△ACF（SAS）, …（4分）∴∠AFC=∠ADB,∵∠ACB是△ACD的一个外角,∴∠ACB=∠ADB+∠DAC, …（5分）∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC,∵∠ADB=∠AFC,∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC；…（6分）（2）∠AFC.∠ACB.∠DAC满足的关系式为: ∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°, …（8分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴∠DAF=90°, AD=AF,又∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF, 即∠DAB=∠FAC,在△ABD和△ACF中,∴△ABD≌△ACF（SAS）,∴∠ADB=∠AFC,在△ADC中, ∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°,则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°.则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．点评：此题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定与性质, 三角形的内角和定理, 以及三角形的外角性质, 熟练掌握判定及性质是解本题的关键．8. 已知四边形ABCD是正方形, O为正方形对角线的交点, 一动点P从B开始, 沿射线BC运动, 连接DP, 作CN⊥DP于点M, 且交直线AB于点N, 连接OP, ON. （当P在线段BC上时, 如图1: 当P在BC的延长线上时, 如图2）（1）请从图1, 图2中任选一图证明下面结论: ①BN=CP；②OP=ON, 且OP⊥ON；（2）设AB=4, BP=x, 试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质. 718351专题：代数几何综合题.分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC, ∠DCB=∠CBN=90°, 求出∠CPD=∠DCN=∠CNB, 证△DCP ≌△CBN, 求出CP=BN, 证△OBN≌△OCP, 推出ON=OP, ∠BON=∠COP, 求出∠PON=∠COB即可；（2）同法可证图2时, OP=ON, OP⊥ON, 图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP, 代入求出即可；图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN, 代入求出即可．（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可.（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．解答：（1）证明: 如图1,∵正方形ABCD,∴OC=OB, DC=BC, ∠DCB=∠CBA=90°, ∠OCB=∠OBA=45°, ∠DOC=90°, DC∥AB,∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°,∴∠BCN+∠CPD=90°, ∠PCN+∠DCN=90°,∴∠CPD=∠CNB,∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD,∵在△DCP和△CBN中∴△DCP≌△CBN,∴CP=BN,∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP,∴ON=OP, ∠BON=∠COP,∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°,∴ON⊥OP,即ON=OP, ON⊥OP．（2）解: ∵AB=4, 四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2,图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP,= ×（4﹣x）×2+ ×x×2,=4（0＜x＜4）,图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x= x2﹣x（x＞4）,即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：.即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是: ．即以O、P、B.N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．点评：本题考查了正方形性质, 全等三角形的性质和判定, 分段函数等知识点的应用, 解（1）小题的关键是能运用性质进行推理, 解（2）的关键是求出符合条件的所有情况, 本题具有一定的代表性, 是一道比较好的题目, 注意：证明过程类似．9. 如图, 四边形ABCD是正方形, 点E, K分别在BC, AB上, 点G在BA的延长线上, 且CE=BK=AG. （1）求证: ①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图: 以线段DE, DG为边作出正方形DEFG（要求: 只保留作图痕迹, 不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF, 猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形, 并证明你的猜想:（4）当时, 请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图. 718351分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等, 再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F, 得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形, 然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值.（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明: ∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA, ∠DCE=∠DAG=90°.又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴DE=DG,∠EDC=∠GDA,又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG.（2）解: 如图.（3）解: 四边形CEFK为平行四边形.证明: 设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD, AB=CD, EF=DG, EF∥DG,∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD是平行四边形,∴CK=DG=EF, CK∥DG,∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°,∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CEFK为平行四边形.（4）解: ∵,∴设CE=x, CB=nx,∴CD=nx,∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2,点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图, 解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论, 此题较复杂．10. 如图, 点P是正方形ABCD对角线AC上一动点, 点E在射线BC上, 且PB=PE, 连接PD, O为AC中点. （1）如图1, 当点P在线段AO上时, 试猜想PE与PD的数量关系和位置关系, 不用说明理由；（2）如图2, 当点P在线段OC上时, （1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3, 当点P在AC的延长线上时, 请你在图3中画出相应的图形（尺规作图, 保留作图痕迹, 不写作法）, 并判断（1）中的猜想是否成立？若成立, 请直接写出结论；若不成立, 请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351分析：（1）根据点P在线段AO上时, 利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD, PE=PD；（2）利用三角形全等得出, BP=PD, 由PB=PE, 得出PE=PD, 要证PE⊥PD；从三方面分析, 当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时, 当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 当点E在BC的延长线上时, 分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上, 利用垂直平分线的性质只要以P为圆心, PB为半径画弧即可得出E点位置, 利用（2）中证明思路即可得出答案．（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案.（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．解答：解: （1）当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中,∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,过点P做PM⊥CD, 于点M, 作PN⊥BC, 于点N,∵PB=PE, PN⊥BE,∴DM=NE,在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE, NE=DM,∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EPN,∵∠MPN=90°,∴∠DPE=90°,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD, PE⊥PD；（2）∵四边形ABCD是正方形, AC为对角线,∴BA=DA, ∠BAP=∠DAP=45°,∵PA=PA,∴△BAP≌△DAP（SAS）,∴PB=PD,又∵PB=PE,∴PE=PD.（i）当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 此时, PE⊥PD.（ii）当点E在BC的延长线上时, 如图．∵△ADP≌△ABP,∴∠ABP=∠ADP,∴∠CDP=∠CBP,∵BP=PE,∴∠CBP=∠PEC,∴∠PEC=∠PDC,∵∠1=∠2,∴∠DPE=∠DCE=90°,∴PE⊥PD.综合（i）（ii）, PE⊥PD；（3）同理即可得出: PE⊥PD, PD=PE.点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识, 此题涉及到分类讨论思想, 这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．巩固训练:1．如图, 矩形ABCD的对角线交于点O, AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为E, F, 连接AF, CE．（1）求证: 四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G, 则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质. 718351专题：证明题；几何综合题；探究型.分析：（1）根据矩形的性质可知: AB=CD, ∠ABE=∠CDF, ∠AEB=∠CFD=90°, 得到△ABE≌△CDF, 所以AE∥CF, AE=CF, 可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG, 得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD, 得到∠BAG=∠DAG, 从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G, 可得△CAG是等腰三角形．（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE. 利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO. 所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形.（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明: ∵矩形ABCD,∴AB∥CD, AB=CD.∴∠ABE=∠CDF, 又∠AEB=∠CFD=90°,∴AE∥CF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∴四边形AECF为平行四边形.（2）解: △ACG是等腰三角形.理由如下: ∵AE∥FG,∴∠G=∠GAE.∵AG平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG.又OA= AC= BD=OD,∴∠ODA=∠DAO.∵∠BAE与∠ABE互余, ∠ADB与∠ABD互余,∴∠BAE=∠ADE.∴∠BAE=∠DAO,∴∠EAG=∠CAG, ∴∠CAG=∠G,∴△CAG是等腰三角形.∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定, 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等, 先根据已知条件或求证的结论确定三角形, 然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件, 再去证什么条件．2. 如图, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, E, F分别是BC, AC的中点, 延长BA到点D, 使AD= AB. 连接DE, DF. （1）求证: AF与DE互相平分；（2）若BC=4, 求DF的长．考点：平行四边形的判定. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）连接EF、AE, 证四边形AEFD是平行四边形即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等, 求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质: 平行四边形的对边相等，求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明: 连接EF, AE.∵点E, F分别为BC, AC的中点,∴EF∥AB, EF= AB.又∵AD= AB,∴EF=AD.又∵EF∥AD,∴四边形AEFD是平行四边形.∴AF与DE互相平分.（2）解: 在Rt△ABC中,∵E为BC的中点, BC=4,∴AE= BC=2.又∵四边形AEFD是平行四边形,∴DF=AE=2.点评：本题考查了平行四边形的判定, 有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3. 如图, 以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD.△BCE、△ACF.请回答下列问题:（1）求证: 四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时, 四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定. 718351专题：证明题；探究型.分析：1.本题可根据三角形全等证得DE=AF, AD=EF, 即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形, 必须让∠FAD=90°, 则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2.要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明: （1）∵等边△ABD.△BCE、△ACF,∴DB=AB, BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA, ∠ABC=60°﹣∠EBA,∴∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△CBA. ∴DE=AC.又∵AC=AF, ∴AF=DE．同理可证: △ABC≌△FCE, 证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形.（2）假设四边形ABCD是矩形, ∵四边形ADEF是矩形, ∴∠DAF=90°.又∵等边△ABD.△BCE、△ACF, ∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°.当△ABC满足∠BAC=150°时, 四边形ADEF是矩形．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形.当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.4. 已知: 如图, 矩形ABCD中, AB=2, AD=3, E、F分别是AB.CD的中点.（1）在边AD上取一点M, 使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上. 设BM与EF相交于点N, 求证: 四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点, ∠PFB=3∠FBC, 求线段AP的长．考点：菱形的判定；矩形的性质. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）设AG交MN于O, 由题意易得AO=GO, AG⊥MN, 要证四边形ANGM是菱形, 还需证明OM=ON, 又可证明AD∥EF∥BC. ∴MO: ON=AO: OG=1: 1, ∴MO=NO；（2）连接AF, 由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF, ∴PA=PF, ∴PA= , 求得PA= ．（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA= ，求得PA= .（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=．解答：（1）证明: 设AG交MN于O, 则∵A.G关于BM对称,∴AO=GO, AG⊥MN.∵E、F分别是矩形ABCD中AB.CD的中点,∴AE=BE, AE∥DF且AE=DF, AD∥EF∥BC．∴MO: ON=AO: OG=1: 1.∴MO=NO.∴AG与MN互相平分且互相垂直.∴四边形ANGM是菱形.（2）解: 连接AF,∵AD∥EF∥BC,∴∠PAF=∠AFE, ∠EFB=∠FBC.又∵EF⊥AB, AE=BE,∴AF=BF,∴∠AFE=∠EFB.∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC.∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC. ∴∠PFA=∠FBC=∠PAF.∴PA=PF.∴在Rt△PFD中, 根据勾股定理得: PA=PF= ,解得：PA= .。
(六)四边形有关的计算与证明(含答案)
(六)四边形有关的计算与证明(含答案)1.2017浙江宁波第24题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE CG=，BF DH=，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且45∠，求AE的长.AEH=FEB=∠°，tan2【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）易证AH=CF，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，从而得证.（2）设AE=x，则BE=x+1，由45∠可求出结果.AEH=∠°可得DH=x+1，AH=x+2,由tan2FEB=试题分析：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°又∵BF=DH∴AD+DH=BC+BF即AH=CF在RtΔAEH中，EH在RtΔCFG中，FG∵AE=CG∴EH=FG同理得：EF=HG∴四边形EFGH为平行四边形．（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1设AE=x,则BE=x+1∵在RtΔBEF中，45∠°FEB=∴BE=BF∵BF=DH∴DH=BE=x+1∴AH=AD+DH=x+2∵tan2∠AEH=∴AH=2AE∴2+x=2x∴x=2即AE=2考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.2..（2017甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．．【答案】(1)证明见解析.（2）3【解析】试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．（2）当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，设BE =x ，则 DE =x ，AE =6﹣x ， 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， ∴x 2=42+（6﹣x ）2，解得：x =3，∵BD =，∴OB =12BD ∵BD ⊥EF ，∴EO =∴EF =2EO ． 考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．3..（2017广西吴江第26题）已知，在Rt ABC ∆中，90,4,2,ACB AC BC D ∠=== 是AC 边上的一个动点，将ABD ∆沿BD 所在直线折叠，使点A 落在点P 处.（1）如图1，若点D 是AC 中点，连接PC . ①写出,BP BD 的长；②求证：四边形BCPD 是平行四边形. （2）如图2，若BD AD =，过点P 作PH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，求PH 的长.【答案】（1）①BD =，BP （2）45． 【解析】试题分析：（1）①分别在Rt △ABC ，Rt △BDC 中，求出AB 、BD 即可解决问题； ②想办法证明DP ∥BC ，DP =BC 即可；（2）如图2中，作DN ⊥AB 于N ，PE ⊥AC 于E ，延长BD 交P A 于M ．设B D =AD =x ，则CD =4﹣x ，在Rt △BDC中，可得x 2=（4﹣x ）2+22，推出x =52，推出DN =BDN ∽△BAM ，可得DN BD AM AB =，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得AM ADAE AP=，由此求出AE=165，可得EC=AC﹣AE=4﹣165=45由此即可解决问题．试题解析：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB=∵AD=CD=2，∴BD=，由翻折可知，BP=BA②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，∴四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交P A于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x =52， ∵DB =DA ，DN ⊥AB ， ∴BN =AN在Rt △BDN 中，DN2=， 由△BDN ∽△BAM ，可得DN BDAM AB=，∴52AM=∴AM =2， ∴AP =2AM =4， 由△ADM ∽△APE ，可得AM ADAE AP=， ∴5224AE =， ∴AE =165， ∴EC =AC ﹣AE =4﹣165=45， 易证四边形PECH 是矩形， ∴PH =EC =45． 考点：四边形综合题．4..（2017贵州安顺第21题）如图，DB ∥AC ，且DB =12AC ，E 是AC 的中点， （1）求证：BC =DE ；（2）连接AD 、BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则给△ABC 添加什么条件，为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=B C．【解析】试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．试题解析：（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=12A C．∵DB=12 AC，∴DB∥E C．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=B C．理由：∵DB∥AE，DB=AE∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质．5.（2017湖南怀化第19题）如图，四边形ABCD是正方形，EBC△是等边三角形.(1)求证：ABE DCE△≌△；(2)求AED∠的度数.【答案】(1)证明见解析(2) 150°． 【解析】试题分析：（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB =BE =CE =CD ，∠ABE =∠DCE =30°，由此即可证明； （2）只要证明∠EAD =∠ADE =15°，即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，△ABC 是等边三角形， ∴BA =BC =CD =BE =CE ，∠ABC =∠BCD =90°，∠EBC =∠ECB =60°， ∴∠ABE =∠ECD =30°， 在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABE DCE BE CE ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ）． （2）∵BA =BE ，∠ABE =30°， ∴∠BAE =12（180°﹣30°）=75°， ∵∠BAD =90°，∴∠EAD =90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE =15°， ∴∠AED =180°﹣15°﹣15°=150°．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．6..（2017江苏无锡第21题）已知，如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连DE 并延长交AB 的延长线于点F ，求证：AB =BF ．.【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：根据线段中点的定义可得CE =BE ，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB ∥CD ，AB =CD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB =∠FBE ，然后利用“角边角”证明△CED 和△BEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD =BF ，从而得证． 试题解析：∵E 是BC 的中点， ∴CE =BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB =CD ， ∴∠DCB =∠FBE ， 在△CED 和△BEF 中，DCA=FBE CE=BECED=BEF ⎧∠∠⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△CED ≌△BEF （ASA ）， ∴CD =BF ， ∴AB =BF ．考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．7..（2017江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD 中，∠ABD 、∠CDB 的平分线BE 、DF 分别交边AD 、BC 于点E 、F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABE =30°时，四边形BEDF 是菱形，理由见解析.试题解析：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC 、AD ∥BC ， ∴∠ABD =∠CDB ，∵BE 平分∠ABD 、DF 平分∠BDC ， ∴∠EBD =12∠ABD ，∠FDB =12∠BDC ， ∴∠EBD =∠FDB ， ∴BE ∥DF ，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．8..（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF△是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG BE∥，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若6AB=，8AD=，求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 152．【解析】试题分析:（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=12BD=5．假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△A BF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=254，即BF=254，∴FO=154，∴FG=2FO=152．考点：四边形综合题．9..（2017四川自贡第21题）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．【答案】证明见解析.【解析】考点：菱形的性质.10.（2017江苏徐州第23题）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延BD EC.长线于点E连接,（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若50A ∠= ，则当BOD ∠=时，四边形BECD 是矩形. 【答案】（1）证明见解析；（2）100° 【解析】试题分析：（1）由AAS 证明△BOE ≌△COD ，得出OE =OD ，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD =∠A =50°，由三角形的外角性质求出∠ODC =∠BCD ，得出OC =OD ，证出DE =BC ，即可得出结论．试题解析:（1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥DC ，AB =CD ， ∴∠OEB =∠ODC ， 又∵O 为BC 的中点， ∴BO =CO ，在△BOE 和△COD 中，OEB ＝ODC BOE ＝COD BO ＝CO ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△BOE ≌△COD （AAS ）； ∴OE =OD ，∴四边形BECD 是平行四边形；（2）若∠A =50°，则当∠BOD =100°时，四边形BECD 是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD =∠A =50°， ∵∠BOD =∠BCD +∠ODC ， ∴∠ODC =100°-50°=50°=∠BCD ， ∴OC =OD ，∵BO =CO ，OD =OE ， ∴DE =BC ，∵四边形BECD 是平行四边形， ∴四边形BECD 是矩形；考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的判定与性质．11.. (2017北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S ∆∆∆=-+矩形，ABC EBMF S S ∆=-矩形（____________+____________）． 易知，ADC ABC S S ∆∆=，_____________=______________，______________=_____________． 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形．【答案】,,,AEF CFM ANF AEF FGC CFM S S S S S ∆∆∆∆∆；；S . 【解析】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可. 本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：(),()ADC ANF FGC ABC AEF FMC NFGD EBMF S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-+矩形矩形 ,∴,,ADC ABC ANF AEF FGC FMC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=== , ∴NFGD EBMF S S =矩形矩形 . 考点：矩形的性质，三角形面积计算.12. (2017北京第22题)如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，0//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=，E 为AD 的中点，连接BE .（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析.（2【解析】试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.本题解析：(1)证明：∵E 为AD 中点，A D =2BC ,∴BC =ED , ∵AD ∥BC , ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD =2BE , ∠ABD =90°,AE =DE ∴BE =ED , ∴四边形ABCD 是菱形.(2)∵AD ∥BC ,AC 平分∠BAD ∴∠BAC =∠DAC =∠BCA ,∴BA =BC =1, ∵AD =2BC =2，∴sin ∠ADB =12,∠ADB =30°,∴∠DAC =30°, ∠ADC =60°.在RT △ACD 中，AD =2，CD =1，AC =.考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.13..(2017天津第24题)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点)0,3(A ，点)1,0(B ，点)0,0(O .P 是边AB 上的一点（点P 不与点B A ,重合），沿着OP 折叠该纸片，得点A 的对应点'A . （1）如图①，当点'A 在第一象限，且满足OB B A ⊥'时，求点'A 的坐标； （2）如图②，当P 为AB 中点时，求B A '的长；（3）当030'=∠BPA 时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）点A ’1）；（2）1；（3）33()22或3(,22. 【解析】试题分析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，可得OA ,OB =1，根据折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP ，由全等三角形的性质可得OA ’=OA 在Rt △A ’OB 中，根据勾股定理求得'A B 的长，即可求得点A 的坐标；（2）在Rt △AOB 中，根据勾股定理求得AB =2，再证△BOP 是等边三角形，从而得∠OP A =120°.在判定四边形OP A ’B 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得B A '的长； 试题解析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，∴OA ,OB =1.根据题意，由折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP .∴OA ’=OA 由OB B A ⊥'，得∠A ’BO =90°.在Rt △A ’OB 中，'A B =∴点A ’1）.(2) 在Rt △AOB 中，OA ,OB =1,∴2AB = ∵当P 为AB 中点， ∴AP =BP =1,OP =12AB =1. ∴OP =OB =BP , ∴△BOP 是等边三角形 ∴∠BOP =∠BPO =60°， ∴∠OP A =180°-∠BPO =120°. 由（1）知，△A ’OP ≌△AOP ，∴∠OP A ’=∠OP A =120°，P ’A =P A =1，又OB =P A ’=1，∴四边形OP A ’B 是平行四边形. ∴A ’B =OP =1.(3)33()22或3(,)22.14..（2017山东青岛第21题）（本小题满分8分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别是边AB ，AC ，AD 的中点，连接CE 、CF 、OF ． （1）求证：△ BCE ≌△DCF ；（2）当AB 与BC 满足什么条件时，四边形AEOF 正方形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）四边形AEOF 是正方形 【解析】试题分析：（1）利用SAS证明△BCE≌△DCF；（2）先证明AEOF为菱形，当BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知识点：有一个角是90°的菱形是正方形。
四边形地证明和计算
四边形的证明和计算（一）一、以特殊平行四边形为背景图形1．已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG.求证：四边形 ECGD是矩形.2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．3．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．EDABGEDB OCA4． 如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E .（1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB =60°，AD =时，求tan ∠EAD 的值.5．如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形； （2）若AB =4，CF =1，∠ABC =60°，求sin DEO ∠的值．23ODA7．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6， 求四边形OFCD 的面积．8．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．9．如图，已知点E ,F 分别是□ABCD 的边BC ,AD 上的中点，且∠BAC =90°． （1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若∠B =30°，BC =10，求菱形AECF 面积．DO FECABB10．如图，将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 的落点记为点D ′ ，折痕为EF ，连接CF ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）若∠B =45°，∠FCE =60°，AB=D ′F 的长．11. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，对角线交于点O ．将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ． （1）画出△BED ，连接AE ；（2）求AE 的长．12. 如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE ，点F 恰好落在线段DE 上．（1）求证：∠FAD =∠CDE ；（2）当AB =5，AD =6，且tan 2ABC ∠=时，求线段EC 的长．OABCDGF OB C DEA四边形的证明和计算（二）二、以三角形为背景的图形1．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥AC ． （1）求证：BE =AF ；（2）若∠ABC =60°，BD =12，求DE 的长及四边形ADEF 的面积．2．如图，点O 是△ABC 一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG .（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）如果∠OBC =45°，∠OCB =30°，OC =4，求EF 的长．3．已知，ABC △中，D 是BC 上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED ⊥AD 交AC 于点E ，BFACE D4AE =，2EC = (1)求证：AD=CD ；(2)若tan B=3，求线段AB 的长．4. 如图，△ABC 中，BC >AC ，点D 在BC 上，且CA =CD ，∠ACB 的平分线交AD 于点F ，E 是AB 的中点．（1）求证：EF ∥BD ；（2）若∠ACB =60°，AC =8，BC =12，求四边形BDFE 的面积．5．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，∠ABC =30º，BC=AC 为边在△ABC 的外部作等边△ACD ，连接BD ．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）求BD 的长．6. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接CF ．AB C D（1）求证: 四边形BCFD是平行四边形；（2）若BD=4，BC=6，∠F=60°，求CE的长.四边形的证明和计算（三）1．如图，点F在□ABCD的对角线AC上，过点F、 B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BE=5，AD=8，21sin=∠CBE，求AC的长.2.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）如果DF=22∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．AEFDFEDCA3．如图，在ABC ∆中，M ，N 分别是边AB 、BC 的中点，E 、F 是边AC 上的三等分点，连接ME 、NF 且延长后交于点D ，连接BE 、BF （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形（2）若32AB =，︒=∠45A ，︒=∠30C ，求：四边形BFDE 的面积4．如图.在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B =90°，AG //CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG .（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；（2）如果点G 是BC 的中点，且BC =12，DC =10，求四边形AGCD 的面积.5．如图，四边形ABCD 为矩形，DE ∥AC ，且DE =AB ，过点E 作AD 的垂线交AC 于点F ． （1）依题意补全图，并证明四边形EFCD 是菱形； （2）若AB =3，BC =33，求平行线DE 与AC 间的距离DNMBCFAEFAEGADEGF ED CBA6．如图7，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，（1）求证：四边形OCED 是矩形； （2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE ∠的值. 7． 如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，//CE AD 且CE AD =.（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若ABC ∆是边长为4的等边三角形，AC ，DE 相交于点O ，在CE 上截取CF CO =，连接OF ，求线段FC 的长及四边形AOFE 的面积。
四边形的证明方法
四边形的证明方法
证明一个四边形存在或满足某些性质的方法有很多种，下面列举其中几种常用的证明方法：
1. 证明四边形的各边相等：可以通过证明四条边的长度相等或利用几何定理证明四边等长。
2. 证明四边形的各角相等：可以通过证明四个角的度数相等或利用几何定理证明四角相等。
3. 证明四边形是矩形：可以通过证明四个角都是直角或利用矩形的性质证明四边形是矩形。
4. 证明四边形是平行四边形：可以通过证明对边平行或利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形。
5. 证明四边形是菱形：可以通过证明四个边相等且对角线互相垂直或利用菱形的性质证明四边形是菱形。
6. 证明四边形是正方形：可以通过证明四个边相等且对角线互相垂直或利用正方形的性质证明四边形是正方形。
以上只是列举了一些常用的证明方法，具体的证明方法会根据具体的四边形性质和题目要求来确定。
在证明四边形的过程中，可以运用几何知识、几何定理和几何推理，其中关键是观察、发现问题中的性质和规律，并进行合理的推导和论证。
《四边形》复习课件
特殊四边形的面积与周长计算
菱形面积计算公式：对角线 乘积的一半
总结词：理解特殊四边形的 特点，掌握其面积与周长的
计算方法
01
02
03
正方形面积计算公式：边长 的平方
等腰梯形面积计算公式：上 底加下底后乘高再除以2
04
05
等边三角形面积计算公式： 边长乘高再除以2
04
四边形的应用
四边形在几何证明中的应用
04 菱形的判定定理包括四边相等
的平行四边形、对角线垂直的 平行四边形等。
总结词
掌握面积和周长的计算
05
详细描述
06 掌握菱形的面积和周长的计算
公式，并能灵活运用。
正方形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
正方形的性质包括四边相等、四 个角都是直角等。
总结词
掌握判定定理
详细描述
掌握正方形的面积和周长的计算 公式，并能灵活运用。
总结词
熟练运用判定定理
详细描述
掌握平行四边形的判定定理，如两组 对边分别平行、两组对边分别相等、 一组对边平行且相等等。
总结词
掌握面积和周长的计算
详细描述
掌握平行四边形的面积和周长的计 算公式，并能灵活运用。
矩形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
矩形的性质包括四个角都是直角、对角线相等 且互相平分等。
平行四边形的性质和判定
利用平行四边形的性质和判定定理， 可以证明两条直线是否平行或一个四 边形是否为平行四边形。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定定理在证明直角三 角形和等腰三角形等问题中有着广泛 应用。
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定定理在证明等腰三 角形和等边三角形等问题中有着广泛 应用。
初中数学.专题四 四边形的相关证明及计算(附带答案及详细解析)
专题四四边形的相关证明及计算1.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接B D.(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)若DA＝DB＝2，cos A＝14，求点B到点E的距离．第1题图2.如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥C D.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．第2题图3.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AE＝6，BF＝8，S▱ABCD＝36，求AD的长．第3题图4.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC＝2AB，E为AD的中点，连接AC，BE.(1)求证：BE＝CD；(2)若∠ABD＝90°，求证：AC＝3B C.第4题图5.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥B D.(1)求证：四边形OCFD是矩形；(2)若AD＝5，BD＝8，计算tan∠DCF的值．第5题图6.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．第6题图7.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．第7题图8. (2019玉林)如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH.(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；(2)已知：AB＝22，EB＝4，tan∠GEH＝23，求四边形EHFG的周长．第8题图参考答案专题四四边形的相关证明及计算1. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵DE＝AD，∴DE∥BC，DE＝BC.∴四边形BCED是平行四边形；(2)解：如解图，连接BE交CD于点O.∵DE＝AD，AD＝BD，∴BD＝DE.∴四边形BCED是菱形．∴BE⊥CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD.∴cos∠BCD＝cos A＝1 4.在Rt△BCO中，OC＝BC·cos∠BCD＝2×14＝12，∴BO＝BC2－OC2＝15 2.∴BE＝2BO＝15，即点B到点E的距离为15.第1题解图2.解：(1)四边形ABCD是菱形；理由：由折叠得AD＝AB，BC＝DC，∠BCA＝∠DCA.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∴∠BAC＝∠BCA.∴AB ＝BC .∴AD ＝AB ＝BC ＝DC . ∴四边形ABCD 是菱形； (2)如解图，连接BD 交AC 于点O . 由(1)知四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，CO ＝AO ＝12AC ＝12×16＝8，BO ＝DO ＝12BD . 在Rt △OBC 中，由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝102－82＝6， ∴BD ＝2OB ＝12.∴S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝12×16×12＝96.第2题解图3. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC . ∴∠DAE ＝∠AEB .∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ， ∴∠DAE ＝∠BAE . ∴∠BAE ＝∠BEA . ∴BA ＝BE . 同理：AB ＝AF . ∴AF ＝BE . 又∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形． ∵AB ＝AF ，∴四边形ABEF 是菱形；(2)解：如解图，过点A 作AH ⊥BE 于点H .第3题解图∵四边形ABEF是菱形，∴AO＝EO＝12AE＝3，BO＝FO＝12BF＝4，AE⊥BF.∴BE＝BO2＋EO2＝5.∵S菱形ABEF ＝12AE·BF＝12×6×8＝24，∴BE·AH＝24.∴AH＝24 5.∵S▱ABCD＝AD×AH＝36，∴AD＝15 2.4.证明：(1)∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC.∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形．∴BE＝CD；(2)∵∠ABD＝90°，AD＝2AB，∴∠ADB＝30°.∵AD＝2BC，点E为AD的中点，∴AB＝BC＝BE.∴∠BAC＝∠BCA.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∴∠CAB＝∠CAD＝30°.∵BE＝BC，四边形BCDE是平行四边形，∴四边形BCDE是菱形．∵∠ADB＝30°，∴∠ADC＝60°.∵∠CAD＝30°，∴∠ACD＝90°.∴在Rt△ACD中，AC＝3CD.∴AC＝3BC.5. (1)证明：∵DF∥AC，CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCFD是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝5，∴AD＝CD＝5.∵菱形ABCD两条对角线交于点O，BD＝8，∴OD＝OB＝12BD＝4.∵四边形OCFD是矩形，∴OD＝CF.∴在Rt△CFD中，CF2＋DF2＝CD2.∴DF＝3.∴tan∠DCF＝DF CF＝34.6. (1)证明：∵点F，H分别是BC，CE的中点，∴FH∥BE，FH＝12BE，BF＝FC.∴∠CFH＝∠FBG.又∵点G是BE的中点，∴FH＝12BE＝BG.在△BGF和△FHC中，⎩⎨⎧BF ＝FC ，∠FBG ＝∠CFH ，BG ＝FH ，∴ △BGF ≌ △FHC (SAS)； (2)解：如解图，连接EF 、GH .当四边形EGFH 是正方形时，可知EF ⊥GH 且EF ＝GH . ∵ 在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，EC 的中点， ∴ GH ＝12BC ＝12AD ＝12a 且GH ∥BC . ∴ EF ⊥BC .又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC , AB ⊥BC . ∴ AB ＝EF ＝GH ＝12a .∴ S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝12a ·a ＝12a 2.第6题解图7. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AD －DE ＝DC －CF ，即AE ＝DF . 在△ABE 和△DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF (SAS) . ∴BE ＝AF ；(2)解：∵AB ＝4，DE ＝1， ∴AE ＝4－1＝3.∴BE＝AB2＋AE2＝42＋32＝5.由(1)知，∠EBA＝∠F AD，∴∠F AD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，即∠AGE＝90°＝∠BAE.∴△AGE∽△BAE.∴AGAB＝AEBE，即AG4＝35.解得AG＝12 5.8. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA＝45°.∴∠EAB＝∠FCD＝135°.∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA.∴△DFC≌△BEA(AAS)．∴DF＝BE.∵BH＝DG，∴HE＝GF.∵HE∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形；(2)解：如解图，连接BD交AC于点O，过点D作DM⊥BE于点M，过点G作GN⊥BE 于点N.∵四边形EHFG是平行四边形，∴四边形GNMD是矩形．∴GN＝DM，GD＝MN.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，DO＝BO＝AO.∵AB＝22，∴BO＝2，BD＝4.∴cos∠OBE＝OB BE＝12.— 11 —∴∠OBE ＝60°.∴GN ＝DM ＝BD ·sin ∠DBM ＝4×32＝23，BM ＝BD ·cos ∠DBM ＝4×12＝2.∵tan ∠GEH ＝GN EN ＝23，∴EN ＝1.∴EG ＝EN 2＋GN 2＝13.∵MN ＝EB －BM －EN ＝4－2－1＝1，∴EH ＝BE ＋BH ＝BE ＋GD ＝BE ＋NM ＝4＋1＝5.∴四边形EHFG 的周长为2(EG ＋EH )＝2(13＋5)＝213＋10.第8题解图。
证平行四边形全等方法
证平行四边形全等方法作为数学教授，我将为大家讲解证明平行四边形全等的方法。
平行四边形全等是指两个平行四边形的每一对对应边相等，并且对应角相等。
这里我们将介绍三种证明平行四边形全等的方法：SAS、SSS和ASA。
我们来讲解SAS方法。
SAS方法即知两边及夹角相等时，证明两个三角形全等。
首先我们假设有两个平行四边形ABCD和EFGH，其中AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。
我们要证明这两个平行四边形全等。
我们可以画出对角线AC和EG，这样我们就得到了两个三角形ABC和EFG。
根据题意，我们可以得出三个已知条件：AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。
这样，我们就可以使用SAS方法证明它们全等。
因为∠A=∠E，所以这两个三角形的第二个已知条件是AC=EG。
根据SAS法则，当三角形的两边及夹角分别相等时，两个三角形就全等。
1.画图要准确在证明平行四边形全等的过程中，我们通常会用到画图来辅助证明。
画图的质量会直接影响证明的正确性和清晰度。
我们要尽可能地画得准确，并将图形大小和比例控制好。
2.理解证明方法的原理虽然SAS、SSS和ASA法则看起来很简单，但理解证明方法的原理是非常重要的。
只有当我们理解了证明方法的原理，才能正确地运用它们。
我们要仔细研读课本材料和老师的讲解，保证自己对证明方法有深入的理解。
3.掌握其他定理的使用在证明平行四边形全等的过程中，我们还会用到其他的定理和公式。
我们可能会用到勾股定理、余弦定理、正弦定理和中线定理等。
我们还需要掌握这些定理的应用，才能在证明过程中灵活运用。
4.注意证明的逻辑性在证明平行四边形全等的过程中，我们需要注意证明的逻辑性。
尽管证明过程看似简单，但我们需要确保每一个步骤都是正确的，并按照合理的顺序进行。
否则，证明过程会缺乏逻辑性，失去信服力。
5.多多练习证明平行四边形全等虽然看起来简单，但它涉及到的知识点较多，需要我们综合运用多种数学知识和技巧。
我们需要多练习，增强自己的证明能力。
全等四边形的判定定理
全等四边形的判定定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等四边形的判定定理是几何学中的一个重要概念，它用来判断两个四边形是否全等。
在几何学中，全等的概念是指两个图形的形状和大小完全相同。
全等四边形的判定定理是通过几何学中的一些定理和性质来进行判断的。
下面我们将详细介绍全等四边形的判定定理。
全等四边形的判定定理有两个基本条件：相应的边对应相等，相应的角对应相等。
首先我们来看相应的边对应相等这个条件。
在全等四边形中，如果两个四边形的对应边相等，那么这两个四边形就是全等的。
这是因为在平面几何中，如果两个图形的三个边分别相等，那么这两个图形一定全等。
全等四边形的对边平行。
在一个全等四边形中，对应的边是平行的，这是因为全等四边形的边长相等，所以对应的边也是平行的。
全等四边形的面积相等。
在一个全等四边形中，面积相等，这是因为全等四边形的形状和大小完全相同，所以面积也是相等的。
通过这些性质，我们可以更好地理解全等四边形，判断和证明全等四边形的相关问题。
全等四边形的判定定理是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们判断两个四边形是否全等。
通过比较对应边和对应角，我们可以判断两个四边形是否全等，并且可以利用全等四边形的性质来解决一些问题。
理解全等四边形的判定定理对于几何学的学习和应用都是非常重要的。
希望本文能够对读者有所帮助。
【这篇文章大约800字，不能满足您的需求，请再添加内容】第二篇示例：全等四边形的判定定理是初中数学中重要的一部分，在几何学中有广泛的应用。
全等四边形是指具有完全相同的形状和大小的四边形。
在实际生活中，我们经常会遇到全等四边形，例如在建筑设计、地图绘制、工程规划等领域。
全等四边形的判定定理是确定两个四边形是否全等的重要工具。
通过判定定理，我们可以验证两个四边形是否完全相同，从而在解决相关问题时提供重要参考。
我们来看一下全等四边形的性质。
全等四边形的定义是具有相同的对应边和对应角的四边形，它们的位置可以不同，但形状和大小完全相同。
证明四边形外角和360度方法归纳
证明四边形外角和360度方法归纳【原创实用版3篇】目录（篇1）1.引言2.四边形的定义和性质3.四边形外角和的概念4.归纳法证明四边形外角和为 360 度5.结论正文（篇1）1.引言四边形是一种基本的平面几何图形，它由四条线段组成，且相邻两条线段之间形成一个内角。
四边形的性质对于解决许多几何问题具有重要意义。
本文将介绍如何使用归纳法证明四边形外角和为 360 度。
2.四边形的定义和性质四边形是一个有四条边的封闭平面图形。
它有以下性质：（1）四边形的对边相等；（2）四边形的对角线互相平分；（3）四边形的内角和为 360 度。
3.四边形外角和的概念四边形的外角是指以四边形的一个顶点为起点，逆时针旋转到相邻顶点所经过的角度。
四边形的外角和是指四个外角的度数之和。
4.归纳法证明四边形外角和为 360 度为了证明四边形外角和为 360 度，我们可以使用归纳法。
归纳法是一种数学证明方法，它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤：对于最简单的情况，即三角形，证明其外角和为 360 度。
显然，三角形的外角和为 360 度，因为三角形的三个外角分别等于 180 度。
归纳步骤：假设对于任意 n 边形（n≥3），其外角和为 360 度。
现在我们需要证明四边形的外角和也为 360 度。
考虑一个四边形，将其分成两个三角形。
根据基础步骤，三角形的外角和为 360 度。
因此，两个三角形的外角和为 720 度。
由于四边形的外角等于相邻内角的补角，我们可以得出四边形的外角和等于两个三角形的内角和。
因此，四边形的外角和为 720 度。
然而，根据归纳假设，四边形的外角和应该为 360 度。
这是一个矛盾。
为了解决这个矛盾，我们需要重新考虑四边形的外角和。
注意到，我们在计算四边形的外角和时，重复计算了两个相邻外角。
因此，四边形的外角和应该为 720 度减去一个外角，即 360 度。
5.结论通过归纳法，我们证明了四边形的外角和为 360 度。
四边形的性质及证明
四边形的性质及证明儒洋教育学科教师辅导讲义：⼀、多边形多边形的内⾓和：多边形内⾓和等于0180)2n (- 多边形的外⾓和：多边形外⾓和等于3600过n 边形的⼀个顶点共有(n －3）条对⾓线，n 边形共有2)3(-n n 条对⾓线．过n 边形的⼀个顶点将n 边形分成(n －2)个三⾓形．⼆、平⾏四边形1．平⾏四边形的定义：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形，平⾏四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平⾏”．2.两条平⾏线间的距离：两条平⾏线中，⼀条直线上任意⼀点到另⼀条直线的距离，叫做两条平⾏线间的距离．两条平⾏线间的距离是⼀个定值，不随垂线段位置改变⽽改变，两条平⾏线间的距离处处相等．3．平⾏四边形的性质：⽂字表达：①平⾏四边形的两组对边分别平⾏；②平⾏四边形的两组对边分别相等；③平⾏四边形的两组对⾓分别相等；④平⾏四边形的对⾓线互相平分．符号语⾔表达：四边形ABCD 是平⾏四边形4．平⾏四边形的判定：⽂字表达：①两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形．②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形．③⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形．④两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形．⑤对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形．符号语⾔表达：AB∥CD，BC∥AD?四边形ABCD是平⾏四边形AB=CD，BC=AD?四边形ABCD是平⾏四边形．AB平⾏且相等CD或BC平⾏且相等AD?四边形ABCD是平⾏四边形．OA=OC，OB=OD?四边形ABCD是平⾏四边形．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB?四边形ABCD是平⾏四边形．三、矩形、菱形、正⽅形1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对⾓线互相垂直，并且每条对⾓线平分⼀组对⾓．③具有平⾏四边形所有性质．2．菱形的判定：①对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形．②⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3．矩形的性质：①矩形的四个⾓都是直⾓．②矩形的对⾓线相等．③矩形具有平⾏四边形的所有性质．4．矩形的判定：①有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形．②对⾓线相等的平⾏四边形是矩形．③有三个⾓是直⾓的四边形是矩形．5．正⽅形的性质：①正⽅形的四个⾓都是直⾓，四条边都相等．②正⽅形的两条对⾓线相等，并且互相垂直平分，每条对⾓线平分⼀组对⾓．6．正⽅形的判定：①有⼀个⾓是直⾓的柳是正⽅形．②有⼀组邻边相等的矩形是正⽅形．③对⾓线相等的菱形是正⽅形．④对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形．四、梯形1．定义：⼀组对边平⾏，另⼀组对进不平⾏的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．⼀腰和底垂直的梯形叫做直⾓梯形．2、等腰梯形的性质：等腰梯形同⼀底上的两个⾓相等;等腰梯形的对⾓线相等．3．等腰梯形的判定：①同⼀底上的两个⾓相等的梯形是等腰梯形．②对⾓线相等的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的⽅法．（1）作等腰梯形的两条⾼，将等腰梯形分成⼀个矩形和两个全等直⾓三⾓形。
证明平行四边形的方法
证明平行四边形的方法平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。
下面将介绍几种证明平行四边形的方法。
方法一：使用向量证明考虑平行四边形ABCD。
我们可以使用向量来证明其边的平行性。
设向量AB=a，向量AD=b。
则向量AC=a+b。
如果ABCD是平行四边形，则向量AB与向量CD平行，即向量AB=k*向量CD，其中k为实数。
同样地，向量AD与向量BC平行，即向量AD=k*向量BC。
我们可以将向量AB、CD、AD、BC写成其坐标形式：AB=(x2-x1, y2-y1)，CD=(x4-x3, y4-y3)，AD=(x4-x1, y4-y1)，BC=(x3-x2, y3-y2)。
根据向量平行的定义，可以列出如下方程：(x2-x1, y2-y1) = k*(x4-x3, y4-y3)，(x4-x1, y4-y1) = k*(x3-x2, y3-y2)。
我们可以将第一个方程展开为以下两个方程：x2-x1 = k*(x4-x3)，y2-y1 = k*(y4-y3)。
同样地，我们将第二个方程展开为以下两个方程：x4-x1 = k*(x3-x2)，y4-y1 = k*(y3-y2)。
可以发现，以上四个方程构成一个线性方程组。
如果能够找到k的一个确定的解，那么就可以证明ABCD是平行四边形。
我们可以将两对等式相除，得到如下两个等式：(x2-x1)/(x4-x3) = (y2-y1)/(y4-y3)，(x4-x1)/(x3-x2) = (y4-y1)/(y3-y2)。
如果上述两个等式成立，则可以断定ABCD是平行四边形。
方法二：使用平行线性质证明考虑平行四边形ABCD。
我们可以利用平行线的性质来证明其边的平行性。
首先，我们可以通过证明两对边的斜率相等来证明平行四边形的边是平行的。
设AB的斜率为k1，CD的斜率为k2。
如果k1=k2，则AB与CD是平行的。
同样地，我们假设AD的斜率为k3，BC的斜率为k4。
如果k3=k4，则AD与BC是平行的。
四边形的计算与证明
四边形计算及证明月 日 偶滴大名【知识要点】一 中考考点知识概括：1、平行四边形性质及判定性质：①平行四边形对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分. ②对角线交点是对称中心③两对角线的平方和等于四边的平方和. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. ⑤两组对角相等的四边形是平行四边形.梯形的判定：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形 等腰梯形性质：①等腰梯形同一底上的两个角相等. ②等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形判定：①两腰相等的梯形是等腰梯形②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ③对角线相等的梯形是等腰梯形 3．梯形中常见辅助线的添法： 平移一腰 作两条高 平移对角线两腰延长【例题放映】二 中考考题类型解析例1.1．一个平行四边形的一对对角的和为160°，那么它的4个内角的度数为 。
2．一个平行四边形的周长为32cm ，两邻边之比为3：1，则它的各边长为 。
3．梯形的中位线长为8 cm ，两底的差为4 cm ，则上底为 ，下底为 。
4．直角梯形中，垂直于底边的腰长为2cm ，另一腰与下底的夹角为45︒，则另一腰长为 ___. 5．菱形两条对角线之长分别为6和8，则菱形的面积为 .边长为 .6. 在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O.若100AOB ∠=︒，则OAB ∠= .7. 在正方形ABCD 中，AB=12cm ，对角线AC 与BD 相交于O 点，则ABO ∆的周长为 cm.例2.中，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ，又点M 、N 分别在AB 、CD 上，且MF∥EN ，MN 交AC 于O.求证：EF与MN 互相平分.例3.已知等腰梯形的对角线互相垂直，高为5cm,求梯形的面积.例4．已知；如图，E 点在矩形ABCD 上，若BC=BE=2CD ，求ECD ∠的度数。
第1部分 第5章 核心素养之逻辑推理——与四边形有关的计算与证明
图形
分析 分别延长AF，DC交于点N，证 △ABF和△CFN是等边三角形⇒ 利用△AEG和△NDG相似求解 分别延长CB，DE交于点M，证 △ADE≌△BME，利用△ADG和 △FMG相似求解 过点E作EP∥AD交AF于点P，证 △ABF是等边三角形⇒利用 △ADG和△PEG相似求解
学霸笔记 平行四边形或三角形中有中点、三等分点时，一般考虑以下思路： 1．利用平行四边形的对边平行且相等来构造全等、相似或等腰三角形． 2．过分点作平行线构造平行型相似(A型或X型)，从而得到线段的比例关系来求 解． 3．遇到中点，倍长线段(包括倍长中线)来构造中心对称式的全等三角形也是常用 方法．
以平行四边形为背景的计算与证明 例1 (2019·百校联考三改编)如图，平行四边形ABCD的边长AD＝6，AB＝4，∠B
＝60°，E为AB的中点，F在边BC上，且BC＝3FC，AF与DE交于点G，则AG的长为
3
2
.
【思路分析】 方法
方法1：延长线段构 造特殊三角形
方法2：倍长线段构 造全等
方法3：过中点作平 行线
△AHG∽△ABE 求
AM⇒在 Rt△ABM 中求 AB
解
【方法点拨】 本题是矩形与特殊三角形综合求线段长度的问题，方法1中利用勾股方程的代数方 法计算比较复杂，而通过作辅助线构造相似的基本模型，数形结合求解计算量较小， 因此解题时充分利用图形的几何特性，构建基本模型求解是关键．
【跟踪训练】
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆
由①知AP＝EF，即1－x＝1＋2 x，解得x＝13. ∴DP＝13，AP＝23. 在Rt△PDE中，DE＝12， ∴PE＝ PD2＋DE2＝ 613. ∵AP≠PE， ∴四边形AFEP不是菱形．
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四边形的证明和计算
教学目标：1、使学生牢固掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯
形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，并能应用这些知识去分析和解决问题。
2、通过复习提高学生逻辑推理论证的能力，发展学生数学思维的技能，进一步激励学生自我提高的动机。
关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、函数等相结合的综合题
3、如何挖掘隐含条件，合理添加辅助线，转化矛盾解决问题。
教学重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理、
判定定理的综合应用和综合思维、分析思维以及逻辑表达能力的培养。
教学难点：要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决
问题的策略．
教学过程：
学生整理有关平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，初步形成这些知识的网络结构。
为下面的复习做好准备。
一、
几何证明题：
例1：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ．
（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；
（2）如果DE 2
＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形．
(3)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同
A
B D
F C
E
图形改为：
的添加方法．
展示2011年中考23题，体现四边形在中考中的重要作用，学生独立完成，教师巡视指导，学生交流方法，师生共同归纳考点，教师给予方法点析
(2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明)
本题较为简单，意在顾及绝大多数学生，减
少对几何的畏惧心理，口答完成，提高积极性，复习判定方法
巩固训练： 1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ， 求证：四边形AFCE 是菱形
分析: 由于四边形AFCE 的对角线互相垂直，那么只需证明对角线互相平 分即可，故只需证OE=OF ，而这可由证明△AOE ≌△COF 得到。
证：（略）
说明：解决此题的关键是要准确理解题意，EF 是线段AC 的垂直平分线。
另一种方法证完后还可问学生，还有其他方法吗？注重一题多解，激活学生的思维。
学生独立完成,学生板书
分层提高题：2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ． （1） 证：GD CG GF EG ⋅=⋅；
例2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E 、F ．
(1)求证：DE=DF ．
（2） ：联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量
关系？证明你所得到的结论．
二、计算综合题 1如图,已知
ABCD 的周长为40,高AE=6,高AF=9,试根据条件设计一个问
题,并进行解答.
分析： 答案不唯一，如：已知
ABCD 的周
长和边上的高，会想到平行四边形的面积，而平行四边形的面积要涉及底和高，所以可
以设计求平行四边形的边长。
解：设计的问题可以是：求AB 、BC 的长。
因为
ABCD 的面积S=BC*AE=CD*AF 所以6BC=9CD ，因此BC=
2
3
CD ， 分层提高2如图27－4，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是________．
A
B
D
E
F
G
考中点基本图形，特殊
直角三角形的边长计算，三角形面积计算，可作为课外练习用。
3、动手操作：在一张长12 cm ，宽8 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH (见方案一)，小明同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠CAD ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形
AECF (见方案二)．
(1)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？
口答判定方法，第二问涉及菱形的两个面积公式，提问梯形的两个面积公式
压轴提高题
3.如图，正方形ABCD 中， AB =1，点P 是射线DA 上的一动点， DE ⊥CP ,垂足为E ，
EF ⊥BE 与射线DC 交于点F ．
(2)请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？
（1）若点P 在边DA 上（与点D 、点A 不重合）． ①求证：△DEF ∽△CEB ；
②设AP =x ，DF =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）当EFC BEC S S ∆∆=4时，求AP 的长．
关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、函数等相结合的综合题，通过解题要善于总结反思，正确认识特殊与一般的关系，注意方程思想、对称思想以及转化思想的渗透。
综合题的书写强调规范性和准确性。
作业设计:
一、选择题：
1．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三
角形的对数是（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
2．下列能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A 、两组角相等的四边形。
B 、对角线平分的四边形。
C 、一组对边相等一组对角线相等的四边形。
D 、两组对边分别相等的四边形。
3.下列命题正确的是（ ）
A 、两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形。
B 、两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形。
C 、两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。
D 、两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形。
4.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若BD 与AC 的和为18cm ，
A
B
C
D
A
B
C
D E
F
P
CD ：DA=2：3，△AOB 的周长为13cm ，那么BC 的长为（ ） A 、6cm B 、9cm C 、3cm D 、12cm
5.如图，在菱形ABCD 中，若∠ADC=120度，则BD ：AC 等于（ ） A 、3︰2 B 、3︰3 C 、1︰2 D 、3︰1
6.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点，如果∠BAF=60度， 则∠DAE 等于（ ）
A 、15度
B 、30度
C 、45度
D 、60度 A D
E B C
F 二填空题：
7.平行四边形的各内角平分线围成一个四边形，则这个四边形的形状是__________。
8.对角线相等且互相垂直平分的四边形为_______，对角线相等的菱形是______，对角线互相垂直的矩形是________。
9.菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为______。
10.已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB=10，AC=9，DE=12，则平行四边形ABCD 的面积=________。
11.已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么∠EAF 的度数为_______。
12.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，ED ⊥AC ，垂足为E ，如果∠CDE=
3
1
∠ADE ，DE=3cm ，那么AC=_________。
13.若平行四边形的一边长为8cm ，一条对角线长6cm ，则另一条对角线长x
的取值范围是_______。
14.以正方形ABCD 边AB 为边作等边△ABE ，（1）当点E 在正方形内部时，则∠DEC=____；（2）当点E 在正方形外时，则∠DEC=____。
三、简答题：
15.如图，过平行四边形ABCD 的四个顶点，分别向两条对角线引垂线，垂足为E 、H 、G 、F 。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
D
A B
16.如图，正方形ABCD 中，AB=2，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE=CF ，△AEF 的面积等于1，求EF 的长。
17.（2008上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
E
H G F E D B A O
图11。