随机过程考试真题

1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。

以i N 记在i 第层进入电梯的人数。

假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。

在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。

令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。

（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3点上作随机游动。

若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内，它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。

试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。

1有随机过程{?(t )，-?<t <?}和{?(t )，-?<t <?}，设?(t )=A sin(? t +?)，?(t )=B sin(? t +?+?), 其中A ，B ，?，?为实常数，?均匀分布于[0，2?]，试求R ??(s ,t )2（15分）随机过程?(t )=A cos(?t +? )，-?<t <+?，其中A, ?,? 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ? 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，? 是在[-?，?]上均匀分布的随机变量。

试分析?(t)的平稳性和各态历经性。

3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。

若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij （p ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移开率矩阵为： 试对经过长时间后的销售状况进行分析。

5设{X (t ),t ?0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ?0}是一个马尔科夫过程。

6设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。

又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。

设0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

8设(){}+∞<<∞-t t ,ξ是平稳过程，令()()()+∞<<∞-Θ+=t t t t ,cos 0ωξη，其中?0是常数，?为均匀分布在[0,2?]上的随机变量，且(){}+∞<<∞-t t ,ξ与?相互独立，R ?(?)和S ?(?)分别是(){}+∞<<∞-t t ,ξ的相关函数与功率谱密度，试证：（1）(){}+∞<<∞-t t ,η是平稳过程，且相关函数： （2）(){}+∞<<∞-t t ,η的功率谱密度为： 9已知随机过程?(t )的相关函数为：()2ατξτ-=e R ，问该随机过程?(t )是否均方连续？是否均方可微？1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】（1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C t Cx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。

故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数）3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

【解答】此题可参见课本习题3.10题。

由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(s Y D s Y E ===，故222)(sY E =，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(Y E m X ⨯⨯=；一天内商场营业额的方差)(1808)8(22Y E X ⨯⨯=σ。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 （1）两步转移概率矩阵 当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。

（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。

得如下方程组 解上述方程组得平稳分布为5、设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：};3,2,1{21=G G （2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。

A 、对1G 常返闭集而言，解方程组 解上述方程组得平稳分布为 则各状态的平均返回时间分别为B 、对2G 常返闭集而言，解方程组 解上述方程组得平稳分布为则各状态的平均返回时间分别为6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。

【解答】7、考虑一个从底层启动上升的电梯。

以i N 记在i 第层进入电梯的人数。

假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。

在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。

令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。

（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。

以ij N 记在第i 层乘上电梯，在第j 层离去的人数，则ij N 是均值为ij i p λ的泊松变量,且全部),0(i j i N ij ≥≥相互独立。