2020年整理学习组合数学心得体会.doc

组合数学学习心得体会
学习数学我感觉是一件很有味道的事情，令人思维变得敏捷活跃。

学习组合数学更是令人思维更严谨更具逻辑性。

组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。

如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。

经过课堂学习和课外阅读我了解到组合数学的一些应用实例：
我们组合数学这一门课程在吴克俭老师的指导下，经过半学期的学习，我们主要学习了包括排列和组合，二项式系数，调和数、Fibonacci数与Catalan数，第二类Stirling数和Bell数，第一类Stirling数，正整数的分拆，Bernoulli 数与Euler数，递归数列，形式幂级数等知识内容。

老师教会了我数学思维和方法非常重要，而且组合数学学习的思维方法是解决有关的其他数学问题的一个很好的借鉴。

著名的组合数学家 Thomas Tutte 在组合数学界是泰斗级的大师。

Tutte 从德军的两条情报密码出发，用组合数学的方法，重建了敌人的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而获得了极为重要的情报；在美国有一家公司用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功；在美国已有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题；德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注；1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。

等等
我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。

组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。

现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。

计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。

组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。

组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。

经验证发现的组合数学最有力的工具之一为数学归纳法。

归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。

用数学归纳法证明一个结果常常比证明一个弱结果更容易。

许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。

我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。

组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。

以下两种问题反复出现：排列的存在性，排列的计数和分类。

虽然对任何组合数学问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实际问题中如果存在性问题需要广泛的研究那么计数问题则是非常困难的。

“排列和组合”是组合数学所研究的最简单、最基本的课题，学好“排列和组合”也是学好组合数学的开始，下面我举例说明：排列主要分为四种：可重复排列、不可重复排列、限定型排列和圆排列。

限定型排列的定义为：设n元集
{}
12
,,...,
n
S a a a
=
，如果在S上取若干元素
的排列中允许1
a出现1m次，2a出现2m次，,n a出现2m次，称这种排列为
11m a ，22m a ，，n n m a 型的。

（其中,1,2,,i N i n m ∈=）
圆排列的定义为：集合S 上的一个k 元圆排列是指将S 的k 个元素12,,k x x x 按顺时针或逆时针方向排成圆周状，记为
12,,,k x x x ，则231,,,k x x x x ，3412,,,,k x x x x x ，，12,,
,k k k x x x --。

例如、求多重集{}5,3M a b =的6-排列的个数。

解：设所求为N.因为M 的6-子集有如下3个：{}1
5,1a b A =，{}24,2a b A =，{}33,3a b A =，而1
A 的全排列数为6!65!1!=，2A 的全排列数为6!154!2!=，3A 的全排列数为6!20
3!3!=，所以由加法原则，得N=6+15+20=41.
在吴老师有条理的引导下我对以上两种类型的排列能清楚的掌握。

明白如何应用它。

组合主要分为两种：可重复组合和不可重复组合。

下面我通过2个定理来掌握它们的定义。

定理1：n 元集S 上取k 元的不重复组合（或k 元子集）的个数为()!!!n k n k -，记为n k ⎛⎫ ⎪⎝⎭或k n C （其中n 为上指标，k 为下指标）
定理2：n 元集S 上取k 元的重复组合（或k 元重集）的个数为1n k k +-⎛⎫ ⎪⎝
⎭，记为n k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也称为重复组合数。

例子、求把r 件相同的物件分给n
()n r ≤个人，使得每人至少分得一件物件的不同方法数。

解：设所求为N.又设第i
()1i n ≤≤个人分得i x 件物件，则1i x ≥且
12n r
x x x
+++=
，所以N等于不定方程12n r
x x x
+++=
的正整数解的
个数，为
1
r
r n
-
⎛⎫ ⎪
-
⎝⎭。

所以说，在学习组合数学过程中我们掌握好方法很重要，要想完满地解决一个有关排列和组合的问题，往往需要较强的“组合思维”、巧妙的“组合方法”和熟练的“组合技巧”。

以上只是浅谈了一下有关“排列和组合”的解决方法，组合数学中还有很多知识的奥妙有待我们探讨，挖掘其中的趣味。

做为一位即将踏入教师讲台的我，我们必须把组合数学的学习放在一个重要的位置上来，掌握基本的组合数学原理，培养专业的数学思维。

因为它非常有利于提高我们的逻辑思维能力，让我们提高分析问题和解决问题的能力。

而且学好这门课程也是提高我知识面的有效途径，我坚信，只要经过努力，刻苦钻研，我可以更加深层的掌握组合数学的有关知识，更好地领会并应用组合数学的思想、理论和方法。