函数零点问题-2020高考数学尖子生辅导专题

合集下载

教师说丨高中数学尖子生培养的几点实践与思考

教师说丨高中数学尖子生培养的几点实践与思考本文作者江西省新建二中陈选明

“英雄在于磨炼，人才在于培养”，对于中学数学的尖子生培养是每一位数学老师必须面临的一个重要的研究课题，而且这个课题是值得我们每一个数学老师研究一辈子的。在参加工作的13年中，我先后带了八届高考毕业班，其中有五届零班，每一届都有一些数学尖子生的出现，虽然他们的总成绩并不是省状元，但是这些尖子生的数学离满分150分只有一两分之差。

通过对这些数学尖子生成长过程的关注和分析，他们往往具有如下的特点：对数学有浓厚的兴趣，有强烈的好奇心和求知欲，数学基础扎实；理解能力强，有专研精神，对许多问题有独特的见解或者相当敏锐的直觉；思维活跃，思维品质高。同时教学实践也告诉我们，学生知识的获得、能力的发展、学习的结果很大程度上取决于自主学习、主动发展的意识和水平。通过自学得到的知识才记得更牢，掌握的更深，运用得更灵活。这给我一个重要的启示：每位学生的智能优势和学习能力是不同的。对于这类尖子类的学生，老师要努力做到的就是，根据他们的特点，实施有针对性的培养计划，给予科学的引导，激发他们学习的潜能，给他们更广阔的发展空间，为他们的可持续发展打下坚实的基础。

我就根据自己这些年在日常的教育与教学的实践，谈谈培养尖子生的几点思考和感想：

一、重视学生的数学基础，健全学生的数学素养

高考的考查重在对学生学习数学的能力、数学基础知识和基本技

能方法的掌握情况检测，这些能力和技能的要求依赖学生对知识系统的归纳总结和建构情况，学生自主学习的能力、开放探究的能力，同时也需要我们老师对高考的最新动态掌握的教学。这就要求我们教学中必须重视对知识和应用的系统归纳，让学生形成知识网络，使得学生在解答问题中有清晰的思路，理顺各类题型的通性通法和各类问题之间的联系。

专题03含参数函数不等式恒成立问题-2024高考数学尖子生辅导专题

专题03含参数函数不等式恒成立问题-2024高考数学尖

子生辅导专题

含参数函数不等式恒成立问题是高中数学中的重要内容，也是高考中

常见的题型。这类问题一般要求确定参数的取值范围，使得不等式对于任

意实数都成立。本文将围绕这一问题展开讨论。

首先，我们来了解一下含参数函数的一般形式。含参数函数通常表示

为$f(x;a)$，其中$x$是自变量，$a$是参数，$f(x;a)$是关于$x$和$a$的

函数式。在研究不等式恒成立问题时，我们需要找到使得不等式对于任意$x$都成立的参数$a$的取值范围。

考虑一个简单的例子：$f(x;a)=ax^2-3x+2$。我们希望找到参数

$a$的取值范围，使得不等式$f(x;a)>0$对于任意实数$x$都成立。

为了解决这个问题，我们可以先求出函数的零点。当$f(x;a)=0$时，

函数取得零值。因此，我们可以求解方程$ax^2-3x+2=0$来得到零点

$x_1$和$x_2$。如果函数的零点在两个相邻的零点之间的取值都大于零，

那么函数$f(x;a)$在这两个零点之间是正的；如果函数的零点在两个相邻

的零点之间的取值都小于零，那么函数$f(x;a)$在这两个零点之间是负的。

所以，我们只需要确定$a$的取值范围，使得函数的零点在两个相邻

的零点之间的取值都大于零，即可保证函数$f(x;a)>0$对于任意实数

$x$都成立。

对于上面的例子，我们可以求解方程$ax^2-3x+2=0$得到两个零点

$x_1=1$和$x_2=2$。然后，我们观察一下函数在这两个零点之间的取值情况：

初二数学科尖子生辅导训练题

《一次函数》测试题

一、精心选一选

1.下列各点中在函数y=

x 21

+3的图象上的是（）（Ａ）(3,-2) （Ｂ）(32,3) （Ｃ）(-4,1) （Ｄ）(5, 2

)

2.正比例函数y=kx ，当时k ＞0，下面结论正确的是（）

A 、永远是正值

B 、永远是负值

C 、随着k 的增大而减小

D 、随着k 的增大而增大 3.函数y=－

1 x 中自变量的取值范围是（）

A 、x ≠0

B 、x ＜-1

C 、x ≠-1

D 、x ＞-1

4. 已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 1

2 x+2上，则y 1 y 2大小关系是( )

（A ）y 1 > y 2 （B ）y 1 = y 2 （C ）y 1 < y 2 （D ）不能比较 5.若一次函数y=(3+k)x+18-2k 2图象经过原点，则k 为（） A 、3 B 、－2 C 、±3 D 、任何实数

6.一根蜡烛长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度(cm)与燃烧时间（小时）的函数关系用图象表示为（）

7.已知正比例函数y=kx(k ≠

的函数值随x

的增大而增大，则一次函数y=x+k 的图象大致是（）

8.如图是一次函数y=kx+b 的图象，

当x ＜1时，y 的取值范围是（）

A 、y ＞0

B 、y ＜0

C 、－2 ＜y ＜0

D 、－2 ＜y ＜2

二、细心填一填

9.若函数y= -2x m+2是正比例函数，则m 的值是。 10.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。 11.点P （a ，b ）在第二象限，则直线y=ax+b 不经过第象限。

数学尖子生的培优策略

一、尖子生的特点

数学尖子生通常具有以下特点：

1、数学思维能力特别强，对数学问题有独到的见解和深入的分析，能够举一反三，灵活运用所学知识；

2、学习方法和习惯良好，能够自主学习，独立思考，及时总结反思；

3、学习态度认真，对数学有浓厚的兴趣，有强烈的求知欲和探索精神；

4、基础知识扎实，对数学概念、定理、公式等理解深刻，能够熟练运用；

5、有较强的数学应用能力和创新能力，能够将数学知识运用到实际生活中，解决实际问题。

二、培优策略

针对数学尖子生的特点，我们可以采取以下培优策略：

1、强化思维训练：通过多种方式如一题多解、一题多变等，锻炼学

生的数学思维能力，提高其分析问题和解决问题的能力。同时，要注重培养学生的创新意识和实践能力，鼓励他们勇于尝试和探索。2、拓展知识面：除了课堂教学内容，还应该引导学生阅读一些数学课外读物，了解更多的数学知识和思想方法。还可以组织学生参加数学竞赛、科研实践等活动，拓宽视野，增长见识。

3、培养自主学习能力：引导学生制定学习计划，合理安排时间，养成自主学习的习惯。同时，要教授学生一些有效的学习方法，如归纳总结、思维导图等，帮助他们提高学习效率。

4、激发学习兴趣：通过有趣的数学问题、数学游戏等方式，激发学生对数学的兴趣和热情。还可以引导学生将所学知识应用到实际生活中，感受到数学的实际应用价值。

5、加强针对性辅导：针对学生不同的学习情况和需求，进行有针对性的辅导。例如，针对学生的薄弱环节进行专项训练，或者组织学生进行小组讨论和互助学习，提高学习效果。

6、激励与鼓励：及时给予学生肯定和鼓励，增强他们的自信心和学习动力。同时，要引导学生正确面对失败和挫折，培养他们的意志力和抗挫能力。

选苗—培优—磨尖

选苗—培优—磨尖作者：***

来源：《广西教育·B版》2020年第06期

【摘要】本文分析数学尖子生的特点，阐述数学尖子生的培养之路：选苗—培优—磨尖，论述培养高三学生数学尖子生的具体措施，以启发高三甚至整个高中的数学教师更好地培养数学尖子生。

【关键词】高考数学尖子生培养之路选苗培优磨尖

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）06B-0154-04

尖子生的培养，能促进整个班的学习力，对数学教学具有重要意义，因此倍受教师的青睐。笔者带高三毕业班十余届，长期致力于高考数学尖子生的培养探索，已培养了高考数学广西前十名 18 人，其中，广西状元 1 人，榜眼 2 人，探花 2 人。如此显著的成绩，绝非偶然。究竟高考数学尖子生培养的秘诀何在？下面将笔者的思考与做法，与同仁交流。

一、数学尖子生的特点

笔者曾认为，数学尖子生应该是天生的数学“考试王”，是数学考试的不倒翁、更是数学中的“领军人物”，即是数学成绩的顶尖者，是数学学习能力的优异者，是数学学习品质的楷模者。其实不然，数学尖子生既有鲜明的优点，又有明显的不足。具有以下两个共性。

（一）优点

根据教学体会，感觉数学尖子生大概有这样的优点：①目标。有远大理想或个人目标作为精神支柱。②行动。行动力强，做事有计划，讲究效率。③兴趣。热爱数学，勤于钻研数学资料，有强烈求知欲，喜欢打破砂锅问到底。④思维。思维活跃、反应敏捷、富有灵感，有独特的思维方式，善于发散，联想和想象能力较强，解题有创造性。善于抽象、概括，挖掘事物的本质和规律，善于对知识进行归纳、总结与分类整理，懂得建构知识框架。⑤智力。人较聪明，悟性较高，理解、模仿、变通能力强，能触类旁通、举一反三。⑥心态。有较强的自尊心、好奇心和好胜心，容易激起上进、竞争的欲望。⑦个性。质朴、踏实、主动、自觉，学求透、思求深、练求实，注重知识的拓展与积累。⑧定力。定力好，静得下心来，自控力好，耐得住寂寞，意志力坚强，精力充沛，精神专注。

2020全国卷高考导数压轴--函数隐性零点问题

近些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。一、隐性零点问题示例及简要分析：

1.求参数的最值或取值范围

例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2．（1）求f （x ）的单调区间；

（2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值．解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增；若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）．（2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1．故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜

-+x

e x +x （x ＞0）（*），令g （x ）=1

八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题12 反比例函数中k的几何意义

专题12 反比例函数中k的几何意义

专题解读】反比例函数中k的几何意义就是双曲线上任意一点与两坐标轴构成的矩形面积的数量等于k的绝对值，而此矩形的两边恰巧与这个点的横纵坐标有关，于是，巧妙的运用图形面积，将极大的简化运算，一般来讲，当图象上明确存在一个点时，经常从k的几何意义锲入问题.

思维索引

例1.已知双曲线

=（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E.

（1）求证：点E是BC中点；

（2）用含k的代数式表达图中四个三角形的面积.

变式】已知，如图，双曲线

=（x＞0）经过矩形ODEC的边DE的中点A（4，2），交EC于点

B.求△AOB的面积.

例2.函数

=和

=在第一象限内的图象如图，点P是

=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，

PD⊥y轴交

=的图象于点B.给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；

③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝1

AP.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②④

素养提升

1. 如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(4，3)，顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝

(x >0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( ) A.12 B.27 C.32 D.36

2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点D 的坐标为(－2，6)，反比例函数y ＝

(x <0)经过点D ，若AC 的延长线交y 轴于点E ，连接BE ，则△BCE 的面积为( ) A.3 B.5 C.6 D.7

2020高考二轮复习三角函数与解三角形

第1讲三角函数的图象与性质

[全国卷3年考情分析]

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．

考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系

1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π

4＝( ) A ．

B ．－

C ．7210

D ．－7210

2.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝1

2，则sin 4α－cos 4α的值为( )

A ．－15

B ．－35

C ．15

D ．35

3.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x

A.1

2 B ．

32 C ．0 D ．－12

1.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π

，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( )

A.32

B ．－32

C.3

D ．0

3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1

(弦

×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π

2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题（解析版）

2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】

对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图；

(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义

h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧

f (x )，f (x )≥

g (x )，

g (x )，f (x )<g (x ).

(1)求函数f (x )的极值；

(2)若g (x )＝xf ′(x )，且存在x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x >0)的零点个数．

【解】 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1

＝0或x 2＝2

，∵a >0，∴x 1<x 2，列表如下：

∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎪⎭

⎫

⎝⎛a 2＝8a 2－12

a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵存在x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，

∴f (x )≥g (x )在x ∈[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲锐角三角函数(含答案)

第十讲锐角三角函数

趣题引路】

甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°，水路泳道与岸所成的角为60°，甲赛跑、游泳的线路是折线AA 1A 2，乙赛跑、游泳的线路是折线BB 1B 2，起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点；你知道他们在陆地上的跑步速度v 1与水中游泳的速度v 2之比是多少吗？

解析如图，作A 1B 3⊥BB 1，B 1A 3⊥A 1A 2，垂足分别为A 3、B 3；因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA 1与乙跑完BB 3所用时间相同。同样，甲游完A 3A 2所花时间与乙游完B 1B 2所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完A 1A 3的时间恰好等于乙跑完B 3B 1的时间，

设这个时间为t ，则：133131121213

.,A A B B B B v

t v v v A A =

=∴=……①，在Rt △A 1B 3B 1

中13131111cos30,,B B B B A B A B ︒=

∴=……②，在Rt△A 1A 3B 1中，131311111

cos60,,2

A A A A A

B A B ︒=

∴=……③.

由上述三式得：11

11212

A B v v A B ==图10-1

知识延伸】

“锐角三角函数”中我们学习了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关计算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道，在Rt△ABC 中，sin A=cos （90°-A ），cos A=sin （90°-A ），tan A=cot

高三数学尖子生辅导计划

我所教班级是高三理科快班，在高考即将来临之际，如何搞好高考总复习，特别是尖子生的辅导，是明年高考能否考出好成绩的关键。尖子生是学生中比较突出的群体,如何使他们在高中阶段得以充分和全面的发展,成为高三教育必须面对的问题。

（一）选择合适的人——尖子生培养的前提和基础：

尖子生暂定7名同学：

通过白山一模考试后再确定3-4人为重点生培养。

（二）辅导方式：

1、交流、谈心，从思想上认识其学习目标；

2、加大作业、卷子训练量，完成基础作业的同时每次安排他们多做3-5题；

3、出现问题一定面批、面改；

4、多方面提供他们所需要的信息和资料（这里需学校提供便利条件，如现阶段的训练资料）；

5、进行综合模拟训练后，每周要比其他同学多做2-3套题，且做到面批面改。

（三）时间安排：

1、每周至少有4-5节课上有针对他们的重点题目安排；

2、不定期利用自习时间面批面改作业、试卷等。

（四）预期结果：

1、经过白山三模后每套试卷讲解不超过10%；

2、高考前每套试卷讲解率不超过5%-8%，争取有突破，单科创白山佳绩。

辅导教师：

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：2-3第三讲不等式、线性规划

第三讲不等式、线性规划

[高考导航]

1．对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主．

2．对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景．其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．

3．对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式．

考点一不等式的性质与解法

1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a .

(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .

(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .

(7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．

(8)开方法则：a >b >0⇒n a >n

b (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质

(1)a >b ，ab >0⇒1a <1

b .

(2)a <0<b ⇒1a <1

高考数学尖子生辅导专题02 函数零点问题

相切于点 0, 2 ，除切点外， m x 的图象总在 n x 图象的上方．
由（1）可知， a 0 ．
当 a 1 时，将 m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的 a 倍，就得到了
M x 的图象，此时 M x 与 n x 的图象没有交点．当 a 1 时，m x 的图象就是 M x 的图
②，得
f
n
2
1
2
22
2
n 1
n
2
n
1 2n 1 2
n 2n
1 n 2n
1 ，所以
f
n
2
n
1 2 n
1．
【证明】（2）因为
f
0
1 0
，f
n
2 3
2 3
1
2 3
n
1 2
1 1
2
2 3
n
1
2
2 3
2
1 9
0
，
3
由零点存在性定理可知
fn
x
在
0,
2 3
内至少存在一个零点．又因为
象，此时 M x 与 n x 的图象只有 1 个交点．当 0 a 1 时，将 m x 图象上每一点的横坐标
固定不动，纵坐标变为原来的 a 倍，就得到了 M x 的图象，此时 M x 与 n x 的图象有两

专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题

专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题函数的零点问题在数学中是一个非常重要的概念和问题。而在2024

高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个重点内容。下面，我们来详细探讨一下这个问题。

函数的零点问题即是求解函数的解析式方程$f(x)=0$的解$x$。在实

际问题中，函数的零点往往表示了其中一种特定情况下的平衡点或者特殊点，因此求解函数的零点问题是非常实用和重要的。

那么，如何求解函数的零点问题呢？下面，我们将从三个方面进行讨论。

首先，我们可以通过图像来求解函数的零点问题。对于一般的函数，

我们可以通过画出函数的图像来判断函数的零点。函数的零点为函数与

$x$轴相交的点，在图像上表现为函数曲线与$x$轴的交点。通过观察函数

图像上哪些点与$x$轴相交，我们可以找到函数的零点。对于简单的函数，我们可以手工画出函数图像，对于复杂的函数，我们可以借助计算机软件

进行绘图。

其次，我们可以通过函数的解析式来求解函数的零点问题。对于一般

的函数，我们可以通过解方程$f(x)=0$来求解函数的零点。通过将方程变

形化简，最终得到$x$的解析表达式。这种方法适用于存在解析解的函数，对于一些特殊函数，解析解并不存在，我们需要采用其他方法进行求解。

最后，我们可以通过数值计算方法来求解函数的零点问题。对于一些

无法通过解析式求解的函数，我们可以采用数值计算方法进行求解。数值

计算方法包括二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法等。这些方法通过迭代

计算，逐渐接近函数的零点。在实际计算中，我们可以通过计算机软件来进行数值计算，以提高计算的精度和效率。

专题02 函数零点问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题二函数零点问题

函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐．

模块1 整理方法提升能力

对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．

对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．

分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．

函数的凸性

1．下凸函数定义

设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有

()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数．

2．上凸函数定义

设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有

()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭

，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数．

3．下凸函数相关定理

定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数⇔()f x '为(),a b 上的递增函数⇔()0f x ''≥且不在(),a b 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理

2020高考数学之函数零点问题《04 “用好零点”,确定参数的最值或取值范围》(解析版)

高考数学函数零点问题

专题四“用好零点”，确定参数的最值或取值范围函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练.

【典型例题】

例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.

（1）若是的极大值点，求的值；

（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)，

因为是的极大值点，所以，解得，

当时，，，

令，解得，

当时，，在上单调递减，又，

所以当时，；当时，，

故是的极大值点；

(2)令，，

在上只有一个零点即在上只有一个零点,

当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以

（Ⅰ）当，即时，时，在上只有一个零点，即在上只

有一个零点.

（Ⅱ）当，即时，取，

，

①若，即时，在和上各有一个零点，即在上有2个零点，不符合题意；

②当即时，只有在上有一个零点，即在上只有一个零点，

综上得，当时，在上只有一个零点.

例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.

【答案】（1）0（2）