《球的表面积和体积》
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球的体积和表面积(附答案)
球的体积和表面积
[学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.
知识点一 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝4
3πR 3(其中R 为球的半径).
2.球的表面积公式S ＝4πR 2.
思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点
1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.
2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
题型一 球的表面积和体积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500
3
π，求它的表面积.
解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝256
3
π.
(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500
3π，解得R ＝5，
所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.
跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π
3
答案 D
解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝4
3πR 3
＝323
π. 题型二 球的截面问题
例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π
B.43π
C.46π
D.63π 答案 B
《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
因为S球=4πR2， S圆柱侧=2πR·2R=4πR2 所以s球= S圆柱侧
将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大 到原来的几倍？ 解：设气球原来的半径为R 4 它的体积V1= πR3， 3 气球半径扩大一倍，那么 4 32 3 3 π(2R) = πR 它的体积V2= 3 3 所以气球的半径扩大1倍，体积扩大8倍.
祖暅原理也就是“等积原理”Fra Baidu bibliotek它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
球的表面积与体积
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
2 2
a
r1
a 2
a
r2
a
a
r3
3 2
a
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
例2.如图，已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上， 3 求证： R a
1、一个四面体的所有的棱都为
一球面上，则此球的表面积（ A ）
2
，四个顶点在同
A 3л
B 4л
C
3 3
D 6л
A●
解：设四面体为ABCD，O 1 为其外接 球心。球半径为R，O为A在平面BCD上 的射影，M为CD的中点。 连结B O 1
BO 2 3 BM 2 3 (
2
3 2
BC )
2
轴截面
球堆问题
化归为以各球球心为 顶点的多面体问题
1.把半径为R的四个球垒成两层放在桌面，下 层放三个，上层放一个，两两相切，求上 层小球最高点离桌面的距离. 2.四个半径为R的大球上层一个，下层三个两 两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内 有一个小球与这四个大球都外切，另有一 个更大的球与这四个大球都内切，求小球 的半径r和更大球的半径R’.
球的表面积和体积教案
球的表面积和体积教案
教案标题：球的表面积和体积教案
教案目标：
1. 通过本课的学习，学生将能够理解球的表面积和体积的概念。
2. 学生将能够运用适当的公式计算球的表面积和体积。
3. 学生将能够将所学知识应用于实际问题，并进行问题解决。
教学资源：
1. 白板、黑板或投影仪
2. 球模型或球图片
3. 教学课件或教材
4. 学生练习题和解答
教学步骤：
引入：
1. 在白板上绘制一个球体的图形，引导学生思考并分享他们对球的认识和特点。
2. 提问学生，他们是否知道如何计算球的表面积和体积。
讲解：
1. 通过使用球模型或球图片，向学生展示球的表面积和体积的定义。
2. 解释并推导出球的表面积和体积的公式。表面积公式为4πr²，体积公式为
(4/3)πr³，其中r为球的半径。
3. 通过示例问题演示如何使用公式计算球的表面积和体积。
练习：
1. 分发学生练习题，并要求学生独立或合作完成。
2. 监督学生的练习过程，及时解答他们的问题。
3. 收集学生的练习作业，并给予适当的反馈。
拓展：
1. 提供一些拓展问题，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。
2. 引导学生思考和讨论球的表面积和体积在现实生活中的应用。
总结：
1. 总结本课的重点内容，强调球的表面积和体积的计算方法和公式。
2. 鼓励学生复习和巩固所学知识，以便能够灵活运用。
评估：
1. 设计一些评估题目，测试学生对球的表面积和体积的理解和计算能力。
2. 根据学生的回答和解答，评估他们的学习情况，并提供适当的反馈和指导。
教学延伸：
1. 鼓励学生进行更多的实践和探索，例如测量和计算不同球体的表面积和体积。
高中数学必修2《球的体积和表面积》课件
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_:_2__2. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:__3 _4.
一、公式应用
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的三
O
分之二；
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
小结
１．初步了解球的表面积、体积的计算公式的获得
2．掌握球的表面积、体积的计算公式的应用
3．掌握球的内接和外切问题，解决此类题型的关键 是找到几何体与球的直径（或半径）间的联系，并 能通过轴截面将空间几何体转换成平面问题来解决
知识回顾
１．柱体的体积公式 V柱体= s h
２．锥体的体积公式 V锥体=
３．台体的体积公式
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
这些公式推导的依据是什么？
我们生活的几何空间
情境引入 有很多形状是球形
探索火星的航天飞船
未来的家－－火星
球的相关概念
定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所 形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球．
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_:_2__2. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:__3 _4.
一、公式应用
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的三
O
分之二；
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
小结
１．初步了解球的表面积、体积的计算公式的获得
2．掌握球的表面积、体积的计算公式的应用
3．掌握球的内接和外切问题，解决此类题型的关键 是找到几何体与球的直径（或半径）间的联系，并 能通过轴截面将空间几何体转换成平面问题来解决
知识回顾
１．柱体的体积公式 V柱体= s h
２．锥体的体积公式 V锥体=
３．台体的体积公式
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
这些公式推导的依据是什么？
我们生活的几何空间
情境引入 有很多形状是球形
探索火星的航天飞船
未来的家－－火星
球的相关概念
定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所 形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球．
球的体积和表面积
[解析] 设球半径为 R，则圆台高 h＝2R，设圆台母 线长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
长方体的三条棱长为a、b、c，它的顶点都在一个球的 球面上，则这个球的表面积为________．
[答案] π(a2＋b2＋c2)
[解析] 长方体的对角线为球的直径，因此 2R＝ a2＋b2＋c2 ∴S＝4πR2＝π(2R)2＝π(a2＋b2＋c2)．
[例 4] 用与球心距离为 1 的
平面去截球，所得的截面面积为
[答案] 6 [解析] 由条件知球半径 R＝10，截面圆的半径 r＝ 8，∴球心到截面的距离 h＝ R2－r2＝6.
[例5] 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1 所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长 方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图 和俯视图．
一个几何体的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的 体积为________．
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
长方体的三条棱长为a、b、c，它的顶点都在一个球的 球面上，则这个球的表面积为________．
[答案] π(a2＋b2＋c2)
[解析] 长方体的对角线为球的直径，因此 2R＝ a2＋b2＋c2 ∴S＝4πR2＝π(2R)2＝π(a2＋b2＋c2)．
[例 4] 用与球心距离为 1 的
平面去截球，所得的截面面积为
[答案] 6 [解析] 由条件知球半径 R＝10，截面圆的半径 r＝ 8，∴球心到截面的距离 h＝ R2－r2＝6.
[例5] 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1 所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长 方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图 和俯视图．
一个几何体的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的 体积为________．
《球的表面积和体积》课件
球的体积公式
推导过程
利用积分计算，已知球的半径r，体积可表示为V = (4/3)πr³。
应用举例
通过体积公式，可以计算球体的容积，如水球、篮 球、地球等。
wenku.baidu.com
球的表面积公式
推导过程
通过对球体进行分割并求和的方法，球的表面积公 式为S = 4πr²。
应用举例
利用表面积公式，可以计算球体的表面积，如足球、 地球等。
比较表面积和体积
实例分析
比较具有相同体积的球体，但却具有不同表面积 的特点，例如小球和大球之间的关系。
球的变形对比
探索球体变形对表面积和体积的影响，比如椭球 和球体之间的对比。
延伸思考
三维几何问题
如何应用球的表面积和体积的知识解决其他三维 几何问题，例如球的切割、组合等。
实际应用场景
探索球的表面积和体积在实际生活中的应用，如 建筑、工程和科学研究中的应用。
总结
1 知识点回顾
通过课程的学习，我们深入了解了球的定义、性质、体积公式、表面积公式，以及与其 他形状的比较。
2 学习感悟
通过探索球的表面积和体积的奥秘，我们对三维几何有了更深入的理解，也拓展了实际 应用的思维。
《球的表面积和体积》 PPT课件
探索球体的奇妙之处，从定义和性质开始，一步一步深入了解球的表面积和 体积的计算公式，并探讨实际应用场景。
球的表面积与体积
高一 数学组
许景玉
球
球的直径
球心
球的半径
2016/11/30
2
一、 球体的体积与表面积
①
S球面 4 R
2
②
4 3 V球 R 3
知识应用
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,
求证：
2 （1）球的体积等于圆柱体积的 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证：1、球的体积等于圆柱体积的 2 倍。 3 证明：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R， 高为2R。
问题3：在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的
位置关系是垂直．那么在球中，球心与截面圆
心的连线与截面的位置关系是什么呢？
2016/11/30
12
例题讲解
一个球内有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积分别为
cm
2
49π
和400π
cm
2
,求球的表面积.
【审题指导】本题条件中给出了球的截面面积，由此可求截面圆 的半径，利用这两个截面圆的半径，易求球的半径，即得其表面 积.
2016/11/30
10
问题2:在球中,球心到截面的距离 d 与截面 圆的大小有什么关系？
当d=R 时，截面圆缩 为一个点，这时截面与 球相切． 当 d=0 时，截面过球心， 这时 R=r，截面圆最大，这个 圆叫大圆； 当 d 增大时，截面圆越来越小，当 0<d<R 时，截面是小圆.
许景玉
球
球的直径
球心
球的半径
2016/11/30
2
一、 球体的体积与表面积
①
S球面 4 R
2
②
4 3 V球 R 3
知识应用
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,
求证：
2 （1）球的体积等于圆柱体积的 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证：1、球的体积等于圆柱体积的 2 倍。 3 证明：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R， 高为2R。
问题3：在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的
位置关系是垂直．那么在球中，球心与截面圆
心的连线与截面的位置关系是什么呢？
2016/11/30
12
例题讲解
一个球内有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积分别为
cm
2
49π
和400π
cm
2
,求球的表面积.
【审题指导】本题条件中给出了球的截面面积，由此可求截面圆 的半径，利用这两个截面圆的半径，易求球的半径，即得其表面 积.
2016/11/30
10
问题2:在球中,球心到截面的距离 d 与截面 圆的大小有什么关系？
当d=R 时，截面圆缩 为一个点，这时截面与 球相切． 当 d=0 时，截面过球心， 这时 R=r，截面圆最大，这个 圆叫大圆； 当 d 增大时，截面圆越来越小，当 0<d<R 时，截面是小圆.
球的体积和表面积课件
[再练一题]
1．(1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 π，则球的
体积为( )
32π
8π
A. 3
B. 3
C．8 2π
8 2π D. 3
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，R＝2. ∴球的表面积 S＝4πR2＝16π.
3
【精彩点拨】 借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解．
【自主解答】 (1)设球的半径为 r，则由已知得 4πr2＝64π， r＝4. 所以球的体积：V＝43×π×r3＝2536π. (2)设球的半径为 R，由已知得 43πR3＝5030π， 所以 R＝5， 所以球的表面积为： S＝4πR2＝4π×52＝100π.
V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18. (2)由三视图知该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体， 其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为 1×2－12×π×12＝2－π2，四棱 柱中不重合的表面积为 2－π2＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－π2，半圆柱中不重合 的表面积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以该几何体的表 面积为 4π＋12. 【答案】 (1)B (2)4π＋12
《球的表面积和体积》
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球的表面积和体积高中数学北师大版2019必修第二册
为V球＝2×
4 3
π×
5 2
3
＝
125π 3
，此体积即等于它们在容器中排出水的体
积V＝π×52×h，
所以1235π＝π×52×h，所以h＝53(cm)，
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53 cm.
1．球的体积和表面积公式 设球的半径为 R (1)表面积公式：S＝4πR2. (2)体积公式：V＝43πR3.
∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S球＝4πR2＝4πh2，
∴S圆锥侧＝2 S球
4π5hπ2h2＝
5 2 .]
求球的体积与表面积的方法 1要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求 出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. 2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算 球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
5 (1)B (2) 2 16π.
[(1)
4 3
πR3＝
32 3
π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
源自文库
则由题意得31πr2·h＝43πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
球的表面积和体积
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球的表面积和体积
球的表面积和体积 1．球的表面积公式：
S 球面＝4R 2 (R 为球半径) 2．球的体积公式：
V 球＝ 43 R3 ( R为球半径) 球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为 12 cm 2 ，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为 1 的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为 r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为 a 的正四面体 PABC 的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，面积分别为 49 cm 2 和 400 cm 2 ，求球的表面积．基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A. 12 B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一
球的体积和表面积 课件
课堂探究 互动讲练 类型一 球的体积与表面积 [例 1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径 相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
【解析】 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的 半径为 R，
则由题意得13πr2·h＝43πR3 r＝2R
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
所以 S△AOB＝12R2. 因为 VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB 面积为定值， 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO－ABC 最大， 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VO －ABC 最大为13×12R2×R＝36， 所以 R＝6. 所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选 C. 【答案】 C
类型三 内切球与外接球问题 [例 3] 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为 该球面上的动点．若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A．36π B．64π C．144π D．256π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】 如图，设球的半径为 R， 因为∠AOB＝90°，
方法归纳
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心 的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在 几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
《球体积和表面积》课件
案例分析：如何利用球体积和表面积计 算物品的容积或表面积？
• 例如，如何计算一个水池的容积以确定需要多少水来填充？如何计算一个玻璃球的表面积以确 定需要多少颜料来涂饰？
• 我们将会通过实际案例进一步探索这些概念。
总结
通过本课件，我们了解了球体积和表面积的重要性和应用，掌握了它们的计算公式以及如何应用这些公 式进行实际问题的解决。继续学习并将这些知识应用于实际生活和工作中吧！
球体积
球体积 = 4/3 × π × 半径³
百度文库
球表面积
球表面积 = 4 × π × 半径²
如何应用公式计算球体积和表面积？
1. 确定球的半径。 2. 根据公式进行计算。 3. 注意单位和精度。 4. 使用计算结果进行进一步分析和决策。
球体积和表面积的实际应用
• 建筑和城市规划：球体积和表面积的计算可以用于设计建筑物、水池和广场等。 • 天文学：球体积和表面积的计算可以帮助天文学家研究行星、恒星和宇宙结构等。 • 物理学：球体积和表面积的计算可以应用于研究流体力学、热力学和分子动力学等。
《球体积和表面积》PPT 课件
通过这个课件，我们将介绍球体积和表面积的概念，计算公式以及实际应用。 让我们开始探索球的神奇之处吧！
什么是球体积和表面积？
• 球体积是球体所占据的三维空间大小。 • 球表面积是球体外部表面的总面积。 • 这两个概念在几何学和物理学中非常重要。
球的体积和表面积 课件
规律方法 1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和 体积. 2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.
类型二 球的截面问题(互动探究)
Байду номын сангаас
【例 2】 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O
到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( )
A. 6π
B.4 3π C.4 6π D.6 3π
规律方法 1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表 面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据 的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
[思路探究]
探究点一 用一个平面去截球，截面是什么？
提示 圆面.
探究点二 有关球的截面问题的解题策略如何？ 提示 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转 化为平面中圆的有关问题解决，计算时，需要注意球心与截面 圆心之间的距离，截面圆的半径及球的半径满足勾股定理. 解析 如图，设截面圆的圆心为 O′， M 为截面圆上任一点， 则 OO′＝ 2，O′M＝1. ∴OM＝ （ 2）2＋1＝ 3. 即球的半径为 3.∴V＝43π( 3)3＝4 3π. 答案 B
球的体积和表面积
类型一 球的表面积和体积
【例 1】 (1)已知球的表面积为 64π，求它的体积. (2)已知球的体积为5030π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为 R，则 4πR2＝64π，解得 R＝4，所以 球的体积 V＝43πR3＝43π·(4)3＝2536π. (2)设球的半径为 R，则43πR3＝5030π，解得 R＝5，所以球 的表面积 S＝4πR2＝4π×52＝100π.
球的表面积和体积
解析: 过正方体的相对侧棱作球和正方体的截面, 如图所示, 则球心 O 是 BD 的中点, 四边形 ABCD 是矩形. AD 是正方体的棱长, AB 是正方体的一个面的对角线, 所以 AD=3, AB=3 2 , 则 BD= AB2 AD2 =3 3 , 则球的半径 R= 3 3 ,
2
故该球的表面积为 4πR2=27π. 答案: 27π
2.与球有关的组合体中常见结论
剖析: 可通过画过球心的截面来分析.例如, 底面半径为 r, 高为 h 的圆锥 内部有一球 O, 且球与圆锥的底面和侧面均相切. 过球心 O 和圆锥的顶点作圆锥的截面, 如图所示, 则球心是等腰△ABC 的内接圆的圆心, AB 和 AC 均是圆锥的母线, BC 是圆锥底面直径, D 是圆锥 底面的圆心.
2 2 2 a 2 2 r ∴m= r,∴6m =6× =a ,解得 r = , 8 3 3 2 2 a ∴球的表面积 S=4π r =4π × = π a2. 8 2 答案: π a2 2
2
2
题型二
与三视图有关的计算
【例 2】 下图是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面 积是( )
4. 已知棱长为 2π 的正方体的体积与球 O 的体积相等, 则球 O 的半径 为 . 解析: 设球 O 的半径为 r, 则 4 πr3= (2π)3, 3 解得 r= 3 6π2 . 答案:3 6π2
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V球
R3
2 3
, V圆柱
V圆柱 .
R2
2R
2 R3.
(2) 因为 S球 4 R2
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
所以, S球 S圆柱侧
作业: P28练习:1，2，3.
例1.钢球半径是5cm,求它的表面积和体 积.
解： S 4R2 4 52 100cm2
V 4 R3 4 53 500 cm3
3
3
3
答：பைடு நூலகம்的表面积和体积分别为 100cm2 ，500cm3
3
例2 （1）已知一个球的表面积为100 ，求此球的
半径R.
(2)已知一个球的体积为36 ，求此球的半径R。
一、复习回顾，引入新课
请同学们根据下面的问题，回顾前面学习的 内容，然后找同学黑板展示。
问题：柱体、锥体、台体的体积公式分别是 什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是 什么？
球是一个旋转体，它也有体积和表面积， 怎样求一个球的体积和表面积？这就是我们今 天一起学习的内容---球的体积和表面积。
二、自主合作 探索规律
❖ 3把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，
求大球的半径。
提示63 216
答案6
4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面2积
3
证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的
底面半径为R,高为2R.
因为 V球 所以,
4 3
解:（1）
R
S 100 5
4 4
（2）
R 3 3V 3 3 36 3
4
4
三、迁移深化 学以致用
❖ 请同学们独立完成下列题目，自主回答。
❖ 1 已知球的直径为4，则它的表面积为__1_6__，体积
为___3_2__.
3
❖ 2球的半径伸长为原来的2倍,表面积变为原来的 ___4__倍，体积变为原来的___8__倍.如果半径变为 原来的3倍，4倍呢？能否总结出规律？
请同学们阅读课本27页，回答以下几个问题。
思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量
所确定？
R
思考2:半径为R的球的体积和表面积如何表示？
V 4 R3
3
S 4R2
思考3：已知体积V，怎么表示半径R？已知表
面积S，如何表示半径R?
3V R3
4
R S
4
请同学们先独立思考，然后在练习本上写出解 答过程，同桌互改。
R3
2 3
, V圆柱
V圆柱 .
R2
2R
2 R3.
(2) 因为 S球 4 R2
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
所以, S球 S圆柱侧
作业: P28练习:1，2，3.
例1.钢球半径是5cm,求它的表面积和体 积.
解： S 4R2 4 52 100cm2
V 4 R3 4 53 500 cm3
3
3
3
答：பைடு நூலகம்的表面积和体积分别为 100cm2 ，500cm3
3
例2 （1）已知一个球的表面积为100 ，求此球的
半径R.
(2)已知一个球的体积为36 ，求此球的半径R。
一、复习回顾，引入新课
请同学们根据下面的问题，回顾前面学习的 内容，然后找同学黑板展示。
问题：柱体、锥体、台体的体积公式分别是 什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是 什么？
球是一个旋转体，它也有体积和表面积， 怎样求一个球的体积和表面积？这就是我们今 天一起学习的内容---球的体积和表面积。
二、自主合作 探索规律
❖ 3把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，
求大球的半径。
提示63 216
答案6
4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面2积
3
证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的
底面半径为R,高为2R.
因为 V球 所以,
4 3
解:（1）
R
S 100 5
4 4
（2）
R 3 3V 3 3 36 3
4
4
三、迁移深化 学以致用
❖ 请同学们独立完成下列题目，自主回答。
❖ 1 已知球的直径为4，则它的表面积为__1_6__，体积
为___3_2__.
3
❖ 2球的半径伸长为原来的2倍,表面积变为原来的 ___4__倍，体积变为原来的___8__倍.如果半径变为 原来的3倍，4倍呢？能否总结出规律？
请同学们阅读课本27页，回答以下几个问题。
思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量
所确定？
R
思考2:半径为R的球的体积和表面积如何表示？
V 4 R3
3
S 4R2
思考3：已知体积V，怎么表示半径R？已知表
面积S，如何表示半径R?
3V R3
4
R S
4
请同学们先独立思考，然后在练习本上写出解 答过程，同桌互改。