第三章线性空间与线性方程组
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案
第三章 向量组及其线性组合
授课序号01
,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭
维向量写成
),,n a
个分量，其中T
,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量
0⎪⎪⎪⎭
或()0,0,
,00=.
2n a ⎪⎪
⎪
⎭
称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：
由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：12
2,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
β，k ∈
，则有
1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭
α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,
,n n n n b b
a a a
b a b a b b ⎛⎫
⎪ ⎪=++
+ ⎪ ⎪⎝⎭；
()1112122122
21212
,,
,n n n n n n n n a b a b a b a b a b
a b b b b a a b a b a b ⎛⎫
⎪⎪ ⎪
=⎪ ⎪⎪
⎪⎭
⎝⎭
. 二、向量组及其线性组合：
：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,
,n ααα，对于任意一组数,,
,n k k k ，表达式+n n k k α
,n α和一个,n k ，使得+
+n n k =βα，,
,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.
研究生矩阵论第讲 线性空间
矩阵论
1、意义
随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容
《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：
线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．
矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．
3、方法
在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：
线性代数：引入概念直观，着重计算．
矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．
第1讲线性空间
内容： 1.线性空间的概念；
2.基变换与坐标变换；
3.子空间与维数定理；
4.线性空间的同构
线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．
§1 线性空间的概念
1. 群，环，域
代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．
第三讲 线性方程组求解
回代即可求得解
xn a
( n 1) n n 1
a
( n 1) nn ( (k akkj1) x j ) akk 1) , k n 1, n 2,,1 n
( xk (akkn1) 1
j k 1
二、相关理论 Th1：若A为n阶非奇异矩阵，则可通过Gauss消去法及互换两行 的初等变换，将方程组化为三角方程组。 Th2：若A的所有顺序主子式均不为零，则可通过Gauss消去法 （无需交换两行的初等变换）将方程组化为三角方程组。 Gauss消去法的乘除法次数： 三、Gauss列主元消去法 (Partial Pivoting or maximal column pivoting ) 在Gauss消去法的消元过程中，为了计算消元因子，需要用到除法 运算，为了避免绝对值较小的数作除数以及溢出现象。在每一步消 元之前先选主元，并将主元所在行与对角线所在行交换，再进行消 元过程。若某一步主元的绝对值小于事先给定的阈值，则求解结果 会严重失真，此时终止计算，并输出计算失败的信息。
A
(0)
, b (0)
(0 0 a11 ) a1(n ) ( (0 an0 ) ann) 1
0) a1(n 1 (0 ann)1
(0 (0 设 a11 ) 0 利用 a11 ) 0 把第一列对角线下方元素全消为0
第三讲向量空间与线性方程组解的结构
若 x1 11 , x2 21 , , xn n1 为方程 Ax 0 的
解，则
11 21 x 1 n1
称为方程组(1) 的解向量， 它也就是向量方程(2)的解．
２．齐次线性方程组解向量的性质 （1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 也是 Ax 0 的解.
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
四、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x2 amn xn 0
1 1 2 1 A 1 1 3 1 1 3 3 5 5 3 2 1 5 6 7 4
解
对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3 1 1 0 1 1 3 1 0 1 ~ ~ 0 0 0 2 2 6 2 0 2 2 6 2 0 0
便得
2 3 x1 7 x 3 7 x 4 , 5 4 x2 x3 x4 . 7 7
x3 1 0 x1 2 令 及 , 对应有 x4 0 1 x2 5
第三章-线性方程组
x1
b1
设A =
a21 a22 … a2n …………
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
am1 am2 … amn
xn
bm
vector of unknowns vector of constants
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
则
a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 …………………
则Ax = 0的通解就可以表示成
=k11+k22+…+kss,
其中k1, k2, …, ks为常数. 结构式通解
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系;
(2) 若r < n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0=0
x1 5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
由此可得原方程组的通解(general solution)
x1 = 5x3+1
5c+1
x2 = 2x32 或写成向量形式 x = 2c2 ,
x3 = x3(任意)
《线性代数》(文)第三章 线性方程组
第三章线性方程组
第一节线性方程组的消元解法
线性方程组的消元解法：高斯消元法
在第一章中我们介绍了求解方程个数与未知量个数相同的线性方程组的克莱姆法则，下面讨论一般的线性方程组
{
α11x1 +α12x2 +⋯⋯+α1n x n=b1
α21x1 +α22x2 +⋯⋯+α2n x n=b2
⋯⋯⋯⋯⋯
αm1x1+αm2x2+⋯⋯+αmn x n=b m
（3.1）
的求解问题。记
A=
[α11α12 (1)
α21α22 (2)
⋮⋮⋮⋮
αm1αm2…αmn]
，x=
[
x1
x2
⋮
x n]
，b=
[
b1
b2
⋮
b m]
则方程组（3.1）的矩阵形式为
Ax=b
其中A称为方程组（3.1）的系数矩阵，b称为方程组（3.1）的常数项矩阵，x称为方程组（3.1）的n元未知量矩阵。
将方程组（3.1）的系数矩阵A与常数项矩阵b合在一起构成的矩阵
(A⋮b)=(A，b)=
[α11α12…α1n b1α21α22…α2n b2⋮⋮⋮⋮⋮αm1αm2…αmn b m]
称为方程组（3.1）的增广矩阵。
在中学代数中，我们已经学过用消元法求解简单的线性方程组，消元法的基本思想是通过同解变换把方程组转换为容易求解的方程组。这一方法也适用于求解一般的线性方程组（3.1），并可利用其增广矩阵的初等行变换简易表示其求解过程。下面举例说明。
例1 解线性方程组
{2x 1+2x 2−x 3=6
x 1−2x 2+4x 3=35x 1
+
7x 2
+
x 3
=
28
① 解：方程组①中第2个方程和第3个方程分别减去第1个方程的12
倍和52
倍， 得同解方程组②：
{
2x 1+2x 2−x 3=6
《高等代数与解析几何》教学大纲
《咼等代数与解析几何》课程教学大纲
一、课程基本信息
1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）
2、课程编号：03030001/2
3、课程类别：学科基础课
4、总学时/学分：160/10
5、适用专业：信息与计算科学
6、开课学期：第一、二学期
二、课程与人才培养标准实现矩阵说明
掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。
三、课程的地位性质与目的
本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。
四、学时分配表
五、课程教学内容和基本要求
总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。
本课程各章的教学内容和基本要求如下：
第一章向量代数
【教学内容】
1、向量的线性运算
2、向量的共线与共面
3、用坐标表示向量
4、线性相关性与线性方程组
5、n维向量空间
6、几何空间向量的内积
向量空间及线性方程组的解结构
,即
x1
x2
1 x4 2
x3
2 x4
1 2
令: x2 = c1, x4 = c2, 则
x1 c1 c2 0.5
x2
c1
x3 2c2 0.5
x4
c2
22
x1 1 1 0.5
非齐次方程的通解为:
x2 x3
c1
1 0
c2
0 2
10
x1
x2
b1,1
b2,1
b1,2
b2,2
xr xr1 xr2
c1
br 1 0
,1
c2
br ,2 0 1
xn
0
0
b1,nr
b2,nr
cnr
br ,nr 0
0
1
简记为: X c1J1 c2J2 cnr Jnr
32
证明：1, 2, 3是R3的基，并把1, 2用该组基
线性表出
证明：对矩阵(1, 2, 3, 1, 2)实施初等行变换
2 2 1 1 4 1 2 2 4 2
2 1
1 2
2 2
0 4
3 2
0 0
3 6
6 3
8 7
7 8
6
1 2 2 4 2 1 0 2 4/ 3 8/ 3
0 0
3 0
第三章 线性代数方程组的解法3
例5
设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x = 1.97 2 试分析系数矩阵和右端 项有微小扰动 , 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为
x = (1,1)
T
。
设系数矩阵有微小的扰 动 0.0001 0 ∆A = 0 0 1.0001 0.99 x1 1.99 0.99 0.98 x = 1.97 2
向量范数（ 一、 向量范数（/*Vector Norm*/） ）
Def 1设
•
是R
n
的一个映射， → R 的一个映射，若对∀x ∈ R n
n
存在唯一实数 非负性： 非负性： x
x 与之对应，且满足 与之对应，
≥ 0, ∀x ∈ R 且 x = 0 ⇔ x = 0 齐次性： 齐次性：λ x = λ x , ∀x ∈ R n , λ ∈ R
A∈ R
设矩阵范数 A β 与向量范数
n× n
都存在一个非零向量 都存在一个非零向量 x0 ∈ R 满足
n
相容， x α相容，且对每一个
Ax0
α
= A
β
x0
α
则称 A β 是从属于向量范数 从属于向量范数
x α 的矩阵范数。 的矩阵范数。
以后若不特别声明，所用范数均满足相容性和从属性 以后若不特别声明，所用范数均满足相容性和 相容性
《数值分析与算法》 第三讲-线性方程组的直接解法
Wenjian Yu 4
线性方程组与矩阵的基本概念
表示稀疏矩阵的Wilkinson图
Wenjian Yu
5
向量的范数
(正定条件)
(三角不等式)
Wenjian Yu
6
向量的范数
(曼哈顿范数)
(欧氏范数=内积范数)
(“最大”范数)
观看演示3.1
Wenjian Yu 7
美国TAMU, Prof. Davis, 2004, http://faculty.cse.tamu.edu/davis/
Wenjian Yu 61
Wenjian Yu
62
非线性方程组求解
Wenjian Yu
63
非线性方程组的求解
最大特征值<1
Wenjian Yu
牛顿法解非线性方程组
交互演示2.6
存储方式
稠密矩阵(二维数组) 、稀疏矩阵(压缩稀疏列) 以相同的方式支持一般的矩阵操作/运算; 通过whos
命令看两者区别
稠密矩阵的命令
生成矩阵:
ones(m,n), zeros(m,n), eye(m,n), rand(m,n) 矩阵维数等: size(A), diag(A)/diag(v), tril(A), triu(A) 载入/导出数据文件 (ascii或binary格式): load, save
第三章线性方程组与线性子空间
第三章 线性方程组
§1 §2消元法和线性方程组解的情况
1 线性方程组的初等变换
现在讨论一般线性方程组
11112211211222221122,,n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++
+=
⎩
其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，m 是方程的个数，(1,2,,;1,2,,)ij a i m j n ==称为
线性方程组的系数，(1,2,
,)j b j m =称为常数项.方程组中未知量的个数n 与方程的个数
m 不一定相等.系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系
数.
所谓方程组的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组),,,(21n k k k ，当
n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后，方程组中每个等式都变成恒等式. 方程组解的全
体称为解集合.
解方程组实际上就是找出它全部的解，即：求出它的解集合. 如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.
如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
11121121222212
n n m m mn
m a a a b a a a b a a a b ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
来表示.
例如，解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=+-.
522,4524,132321
321321x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
线性代数第三章 向量空间与线性方程组
① ② ③ ④
1 0 0 0
1 2 1 1 1 1 0 0
4 0 B4 0 1 3 0 0 0
兰 星
广东技术师范学院天河学院 《线性代数》
第三章 向量空间与线性方程组的解
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, x4 3, 0 0.
广东技术师范学院天河学院 《线性代数》 兰 星
第三章 向量空间与线性方程组的解
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
③ ④
④－2×③
4, ① 0, ② 6, ③ 3. ④
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, x4 3, 0 0.
广东技术师范学院天河学院 《线性代数》
①
②
③ ④
兰 星
第三章 向量空间与线性方程组的解
① ②
③÷2
①
②
③ ④
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
第三章 线性方程组解法
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
大家好
16
§3.1 问题的提出
例3.1
5x 2y 8 3x 20 y 26
➢克莱姆方法求解计算量太大，需要计 算(n+1)个n阶行列式，共需要(n+1)!次乘 法运算。
大家好
6
§3.1 问题的提出
• 求解线性方程组的数值方法有两大类：
1)直接法(direct methods)。 经过有限次 算术运算可求方程组精确解的方法(实 际上，由于舍入误差不可避免，一般 得不到精确解)。适合于求解低阶稠密 阵方程组。
大家好
7
§3.1 问题的提出
2) 迭代法(iterative methods)。采用极限过 程去逐步逼近线性方程组精确解的方 法。迭代法需要计算机存储单元较少， 对计算机要求不高，程序设计简单， 但有收敛性和收敛速度方面的问题。 迭代法是求解大型稀疏矩阵方程的重 要方法。
大家好
8
§3.1 问题的提出
大家好
18
§3.1 问题的提出
如果把原方程写为
构造
x 6.667y8.667
y 2.5x4.0
第三章一阶线性微分方程组
最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道， 纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy平面上的一条曲线，或称 为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个解就是n+1维 空间(x,Y)中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线。 如果在一阶微分方程组(3.1)中，函数 3.2 一阶线性微分方程组的一般概念
,则向量组(3.10)在I上线性无关. 实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题. 推论3.2 如果方程组(3.8)的n个解的朗斯基行列式W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即
,则该解组在I上必线性相关.
实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题. 推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性无关的充 要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点不为零. 条件的充分性由推论3.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕． 2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构． 我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解称为它的基 本解组. 例4 易于验证向量函数
常微分方程课件
徐州工程学院 数理学院
第三章
线性微分方程组
3．1 一阶微分方程组 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性 质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分 方程组，或者研究它们的解的性质.
矩阵理论讲义第三章 线性空间与线性变换
(8) 1a = a
则称V 为数域 F 上的线性空间，称V 的元素为向量， 称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。
3
GEM
一个非空集合V
一个数域F 两种运算（向量加法和向量与数的乘法）封闭
8条规则满足
GEM
例1. 实数域上全体 n 维向量的集合
Rn = { ( x1 , x2 ,, xn )T | x1 , x2 ,, xn R }
为 R3 的一组基， 求a = (1,0,-1)T 在基
a1 , a 2 , a 3 下的坐标。
28
GEM
分析：所谓求一个向量在一组基下的坐标， 归根结底是线性表示问题，而线性表示问题 往往转化为线性方程组解的存在性问题。
GEM
a = x1a1 + x2a 2 + x3a 3
=1 x1 1 x1 =0 2 x1 + x2 0 = 2 x1 + x2 1 3 x + 2 x + x 3 x + 2 x + x = 1 2 3 2 3 1 1
14
GEM
(5) 1 a = a 1 = a;
(6) l a = l a = a
l
= a l = l a;
《线性代数》(第二版)智能教学系统 电子教案 第三章 线性空间与线性变换 第一节
所以
(-1) = .
k0 = k[ + (-1) ] = k + (-k) = [k + (-k)]
所以
= 0 = 0 . k0 = 0 .
证毕
4. 如果 k =0，那么 k = 0 或者 = 0 .
4. 如 果 k =0， 那 么 k = 0 或 者 = 0 .
证明
假 设 k 0， 于 是 一 方 面
数量乘法满足下面两条规那么：
5) 1 = ； 6) k( l ) = ( kl ) ；
数量乘法与加法满足下面两条规那么：
7) ( k + l ) = k + l ; 8) k( + ) = k + k . 其中 ， ， 是 V 中的任意元素； k , l 是数域 F
中的任意数.
2. 线性空间举例
＊第三章 线性空间与线性变换
第二章介绍了数域 F 上的 n 维向量，讨论了向 量的线性运算和向量的线性关系，并由此得到实数 域上 n 维向量空间 Rn 的概念. 它们对于研究线性方 程组解的结构具有十分重要的意义. 在科学技术和 经济研究等许多领域中，有着很多与 Rn 具有相同性 质的集合，将这些集合共同的性质抽象出来，就可 以得到线性空间的概念. 线性空间是线性代数最基
组
线
性
空
这
些
定