一线三等角模型识别与应用

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几何模型：一线三等角模型

欢迎共阅一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类

全等篇

异侧

三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC ≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式(了解)

如图 3-3，当∠1=∠2 且

BOC BAC

∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以

考虑构造“一线三等角”.

如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，?

容易掌握.

解题示范

例 1 如图所示，一次函数4

y x

=-+与坐标轴分别交于A、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A、B 两端点），C 是线段OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形,求点P 的坐标.

例 2 如图所示，四边形ABCD 中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE⊥BC 于E，∠ADE=67.5°，AB=6,则CE= .

例 3 如图，四边形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求BC 的长.

初中数学八年级几何模型之《一线三等角》(全等)

一、全等
一线三等角
条件：
结论： △ABC≌△CDE
且 AC=CE
例题
例1、（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥ 直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE
证明： ∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE＋AD＝ BD＋CE
练习
练9、如图1，AB= 4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC= BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）。（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系。（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变。设点Q 的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ全等?若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由。
练习
练7、如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧， BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）求证：BD＝DE＋CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图2位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何，请证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE，CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明．

一线三等角模型结论及证明

摘要

一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。本文将详细阐述一线三等角模型的结论及证明，以及如何使用它来解决实际问题。

一、定义

一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。

二、结论

一线三等角模型的结论如下：

1、如果在一条直线上有三个等角，则它们的夹角均为120度。

2、如果三条直线的夹角均为120度，则它们共线。

三、证明

1、证明一：假设在一条直线上有三个等角，设它们的夹角为α，β，γ，则有

α+β+γ=360°，由等角性质可知α=β=γ=120°，得证。

2、证明二：假设三条直线的夹角均为120°，设它们的夹角分别为α，β，γ，则有α+β+γ=360°，此时α=β=γ=120°，由此可知，三条直线共线，得证。

四、实际应用

一线三等角模型可以用来解决实际问题，比如，在建筑设计中，可以根据一线三等角模型设计出美观的建筑结构，如三角形的屋顶，具有特殊的视觉效果。

结论

一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，

它们的夹角均为120度。本文详细阐述了一线三等角模型的结论及证明，并且给出了如何使用它来解决实际问题的实例。

专题：“一线三等角”模型与全等

12.2(8)专题：双垂图（直角三角形及斜边上的高）与全等

一．【知识要点】

1.“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等或相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，也称为“一线三等角”。

2.【方法归纳】利用垂直相等作垂线构造全等三角形，实现坐标与线段的转化.

若遇等腰直角弯：过两端点向直角顶点所在直线（水平线，铅垂线）作垂线构造全等三角形。如图：

二．【经典例题】

1．(1)如图(1)，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m, CE△直线m,垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．

(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，

并且有△BDA =△AEC =△BAC =，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

2.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线L 经过顶点C.过A,B 两点别作L 的垂线AE,BF ,垂足分别为点E,F.

(1)当直线L 不与底边AB 相交时,求证:EF=AE+BF.

(2)如图2所示,将直线L 绕点C 顺时针旋转,使L 与底边AB 交于点D,请你探究直线L 在如下位置时,EF,AE,BF 之间的关系.

①图2中,AD>BD;②图3中,AD=BD;③图4中,AD<BD.

3.在△ABC 中，AB=BC,90ABC ∠=︒,△AB C 在平面直角坐标系中的位置如图所示。（1）如图1,已知A(0,-4) ,B(1,0),求点C 的坐标（2）如图2,已知A(0,0) ,B(3,1),求点C 的坐标 (3)如图3,已知A(3,1),B(0,3),求点C 的坐标

中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）

【模型解读】

在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】

同侧型一线三等角（常见）：

锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角

条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE

证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅

异侧型一线三等角：

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角

条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等

证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅

1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．

(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，2AB AC ==，分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；

(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；

初二数学专题训练：一线三等角模型及应用A班 (答案与解析)

一线三等角模型及其应用A 班

（时间：60分钟满分：100分）

姓名：得分：

【知识点睛】

“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧．一、“一线三等角”的基本构图：

二、“一线三等角”的基本性质：

1.如果123∠=∠=∠，那么D CBE ∠=∠，ABD E ∠=∠.

2.如果图中ABD ∆与CEB ∆中有一组对应边相等，则有ABD CEB ∆≅∆. 三、“一线三等角”的基本应用：

对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60︒角和45︒角及一般的角. 四、“一线三等角”的用法：

若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角. 五、“一线三等角”的三大模块

（1）直角型“一线三等角”——“三垂直”

直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种.认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊.

（2）等边三角形中的“一线三等角” （3）等腰直角三角形中的“一线三等角”

1132

B D

1、（16分）如图，ABC ∆中，AB AC =，D 、

E 、

F 分别为AB 、BC 、AC 上的点，且BD CE =，DEF B ∠=∠．（1）求证：BDE CEF ∠=∠；

（2）当60A ∠=︒时，求证：DEF ∆为等边三角形．

《一线三等角模型》课件

总结
一线三等角模型的应用前景
这一模型的美学和实用性优点促进了其在设计领域中的广泛应用，未来发展前景广阔。
未来的研究与发展方向
未来的研究将着重在拓展该模型的应用领域，提高建模准确性和自动化程度。
在坐标系中，通过角平分线和圆心等方法构造出一线三等角模型。
3
建立数学模型
将模型参数化，导出数学函数方程以及相关数据，作为后续分析应用的基础。
应用实例
清华大学美术馆建筑设计
建筑外观采用一线三等角模型，既实现了美观，又充分利用了场地空间的优势。
中国国家大剧院建筑设计
大剧院外形呈一线三等角模型，寓意着中国戏曲发展的三个阶段，整个建筑周围流淌着水，彰显出水乡之美。
《一线三等角模型》PPT 课件
本PPT课件将介绍一线三等角模型的建模方法和应用，以及如何用Python实现该模型。
什么是一线三等角模型？
1 基本概念
一条长度为1的线段在平面上，等分成三段，依次连接首尾得到一个三角形，这即为一线三等角模型。
2 特性
3 优点
等边、等角、狭长、占用空间小、视觉上飘逸、新颖。
上海环球金融中心建筑设计
建筑主体外形线条流畅，中心部分采用一线三等角模型造型，整个建筑寓意成长、挑战和超越。
实战演示
1
怎样运用Python实现一线三等角模型

一线三等角模型知识点总结

一、基本概念

1.1 一线三等角模型的定义

一线三等角模型是指在一个等腰三角形中，以等腰腰为底边的代表线和等腰角的代表角为模型，利用这一模型可以推导出等腰三角形各边的关系，以及解决相关的几何问题。

1.2 一线三等角模型的特点

一线三等角模型是一个简单而重要的几何模型，它可以帮助我们快速理解和解决等腰三角形的各种问题。通过运用这一模型，我们可以建立等腰三角形各边之间的关系，并进一步推导出相关的定理和公式。

二、基本公式

在一线三等角模型中，我们可以得到以下基本公式：

2.1 等腰三角形的边长关系

设等腰三角形的底边为a，等腰腰为b，顶角为A，则根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：

sinA = b/2R

cosA = a/2R

其中R为等腰三角形的外接圆半径。

2.2 一线三等角的关系

在一线三等角模型中，等腰三角形的底边、等腰腰和顶角之间有如下关系：

a/sinA = b/sin(180-2A) = 2R

其中a、b和A分别表示等腰三角形的底边、等腰腰和顶角，R为等腰三角形的外接圆半径。

2.3 其他相关公式

在一线三等角模型中，还可以得到一些其他相关的公式，如等腰三角形的高、底角和腰角之间的关系等。

三、模型的应用

3.1 求解等腰三角形的各边长

通过一线三等角模型，我们可以快速地求解等腰三角形的各边长。例如，已知等腰三角形

的底边和顶角，可以利用模型中的公式来计算等腰腰的长度，或者利用正弦定理和余弦定

理来计算等腰三角形的底角和腰角。

3.2 证明等腰三角形的性质

通过一线三等角模型，我们可以轻易地证明等腰三角形的一些性质，比如底角相等、底边

一线三等角模型

一线三等角定义：

指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。

起源与基本类型

DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。

基本类型

同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”

性质

1.一般情况下，如下左图，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。（若CE=ED，则△AEC≌△BDE）

3.中点型“一线三等角”

如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“一线三等角”的各种变式

应用

1.“一线三等角”应用的三种情况。

a.图形中已经存在一线三等角，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段。

3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。

如上图，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。

模型建立

例如图2，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，

试说明：ΔADE∽ΔBFE。

分析：要证明ΔADE与ΔBFE相似，已经知道

∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一对相等的角

即可。

解答：在矩形ABCD中，

∠A=∠B=90°

∵EF⊥DE

∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°

【原创】专题一 “一线三等角”模型在全等中的应用

专题一“一线三等角”模型在全等中的应用

一、学习目标

1、通过观察、比较、归纳，总结“一线三等角”图形的基本特征；

2、在不同的背景中认识和把握基本图形，体会抽象模型，图形变换，变式类比的思想方法.

二、温馨提示

学习重点：运用“一线三等角”基本模型解决全等中的相关问题.

学习难点：“一线三等角”基本模型的提炼、识别、变式、运用.

三、课前热身

⑴如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别

为点D、E，求证：DE=BD+CE

⑵如图，将⑴中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠BAC=

∠CEA=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请说明理由.

四、课堂探究

1. 建立模型

一线三等角的定义：当某条直线或线段上的依次排列着三个等角时，一组相等角的对边也相等时，首尾两个角所在的三角形全等，我们把这种特殊的全等，叫作“一线三等角”.

基本图示如下：

⑴已知，∠E=∠BAC=∠D,AB=AC，当点A在线段DE上时，求证：△ABE≌△CAD

⑵已知，∠E=∠BDE=∠BAC,AB=AC，当点A在直线DE上时，求证：△ABD≌△CAE

2.识别一线三等角模型：在一条直线上出现了三个相等的角，一组相等角的对边也相等时，可证两

个三角形全等.

五、典型例题

1. 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG

（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF

中考数学几何专题——一线三等角模型

一线三等角模型

模型识别:

条件：左图：N ABC=N ACE=N CDE=90°

中图：N ABC=N ACE=N CDE=60°

右图：N ABC=N ACE=N CDE=45° 结论：所有图形都存在的结论

①△ABCFCDE；② AB X DE=BC X CD

另外：一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。

题型一：三直角

1、如下左图，a ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A,N D=N E=90°,则下列结论正确的是_______ .① CD=AE；②N1=N2；③N3=N4；④ AD=BE

2、如上右图，AB±BC, CD L BC,垂足分别为B、C, AB=BC, E为BC的中点，且AE±BD 于F,若CD=4cm,则U AB的长度为.

3、如下左图，已知图中4条直线互相平行，相邻两条平行线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cos =.

4、如上右图，AE X AB且AE=AB, BC±CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围城的面积S是_____ .

5、如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为____ .

6、如图，^ABC中，N ABC=90°, AB=BC,m角形的顶点在相互平行的三条直线11, 12> 13 上，且11,12之间的距离为1,12、13之间的距离为3

(1)求AC的长

(2)点B到AC的距离

7、如图，在^ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰Rt A ABE和等腰Rt^ACF,连接EF,过点A作AD L BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M,证明：EM=FM.

一线三等角相似模型

，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立的方法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据已知条件和反证法的原理，推导出与已知条件相矛盾的结论；最后，根据矛盾的结论，得出结论成立。
物理学应用
在物理学中，可以利用一线三等角相似模型来研究物理现象和规律，如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后，通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
相似多边形具有一些重要的性质，如对应角相等、对应边比例相等、面积比等于相似比的平方等。
3
相似多边形的应用
相似多边形在几何学、建筑设计、地图绘制等领域有着广泛的应用，如用于测量土地面积、计算地图比例尺等。
相似矩阵的性质与应用
相似矩阵的定义
相似矩阵是指存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$ 的矩阵A和B。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线段长度比例不变等。

全等模型 —“一线三等角”

全等模型—“一线三等角”

一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中

几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。

1，等腰直角三角形一线三等角模型

口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了

分析1：已知△OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD⊥CD，BC⊥CD，由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形

∴∠BOA=90°OB=OA

即∠COB＋∠AOD=90°

又因为AD⊥CD，BC⊥CD

所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）

∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）

因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）

则有∠COB=∠DAO∠CBO=∠AOD

综上结论，则有

在△BCO和△ODA中

∠COB=∠DAO

OB=OA（角边角）

∠CBO=∠AOD

因此△BCO≌△ODA

分析2，已知△OAB是等腰直角三角形，做一条直线穿过∠BOA，AD⊥CD，BC⊥CD，如下图所示：

由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形

∴∠BOA=90°OB=OA

即∠COB＋∠AOD=90°

又因为AD⊥CD，BC⊥CD

所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）

∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）

因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）

则有∠COB=∠DAO，∠CBO=∠AOD

综上结论，则有

在△BCO和△ODA中，∠COB=∠DAO，OB=OA，∠CBO=∠AOD

因此△BCO≌△ODA

“一线三等角”全等模型——适用于直角的情况

条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF.

初中数学“一线三等角”模型的解析

初中数学“一线三等角”模型的解析一线三等角是初中数学中一个重要的几何模型，它涉及到线段、角度和等边三角形的关系。本文将对一线三等角模型的定义、性质以及应用进行深入解析。

一、一线三等角模型的定义

一线三等角模型是由一个线段和两个相等的角组成的几何模型。在该模型中，线段是一条直线段，两个角分别位于线段的两侧，且两个角的度数相等。这两个角与线段构成了一个等边三角形，同时这个等边三角形的边长等于线段的长度。

二、一线三等角模型的性质

1. 线段与等边三角形的关系：线段的长度等于等边三角形的边长。

2. 角的性质：线段两侧的两个角度数相等。由于等边三角形的三个内角都是60°，所以两个角的度数都是60°。

3. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°。

4. 线段的性质：线段可以作为等边三角形的一条边，也可以作为两个相等角的边。

三、一线三等角模型的应用

1. 解题方法：在解决与一线三等角模型相关的问题时，我们可以利

用线段的长度、角的性质和等边三角形的性质来分析和推导。通过观

察图像，找出线段、角和三角形之间的关系，从而找到解题的突破口。

2. 题型一：求线段的长度

在一线三等角模型中，当已知一个等边三角形的边长时，可以通过

等边三角形的性质求出线段的长度。根据等边三角形的定义，三条边

相等，因此线段的长度等于等边三角形的边长。

3. 题型二：求角的度数

在一线三等角模型中，当已知线段的长度时，可以通过角的性质求

出角的度数。由于线段两侧的两个角度数相等，且等于60°。因此可以

根据线段的长度推导出角的度数。

几何模型一线三等角模型

一。一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼“K形图"，"三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类

全等篇

相似篇

锐角

1。一般情况下，如图3—1,由N1 = N2=N3,易得△AEC S^BDE。

3.中点型“一线三等角”

如图3—2,当N1 = N2=N3,且D 是BC 中点时，△BDE S^CFD S^DFE。

4。“中点型一线三等角"的变式（了解）

一一—— 1

如图3-3,当N1 = N2且/BOC = 90。+ — /BAC时，点O是4ABC的内心。可以考虑构造“一线三等角“。

图3-3 图3-4+J

如图3—4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，/BOC = 90。+ — /BAC这是内心的

性质，反之未必是内心.

在图3-4 （右图）中，如果延长BE与CF,交于点P,则点D是4PEF的旁心.

“一线三等角”的各种变式（图3—5,以等腰三角形为例进行说明）/f Jb

图3—5

其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

四、“一线三等角”的应用

a 。图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b 。图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题。

体会:感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

专题11全等三角形中的一线三等角模型

【模型1】三垂直全等模型

【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型2】一线三直角全等模型

【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型

【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相

等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（

）

A ．6cm

B ．8cm

C ．10cm

D ．4cm

【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．

【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，

∴90ABC CDE ∠=∠=︒，

∵∠ACE ＝90°，

∴90ACB DCE ∠+∠=︒，

∵90ACB BAC ∠+∠=︒，

∴BAC DCE ∠=∠，

在ABC 和CDE △中，

90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩

＝，∴()ABC CDE AAS ≌，

∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，

∴268cm BD BC CD =+=+=，

故选：B ．

【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．