一线三等角模型识别与应用

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全等三角形——一线三等角模型

全等三角形——一线三等角模型一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

二、一线三等角的类型同侧：锐角直角钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角？ ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE B ACl FEB AC lFEBAC DCC A BDDC DBADB CAAB2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ，若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（）A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°★演练题：（勾股定理）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.练习1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（） ○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =； ⑤DE=CD+BE. （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2．（1）已知△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，分别从点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E ．当点B ，C 位于直线l 的同侧时（如图1），易证△ABD ≌△CAE ．如图2，若点BC 在直线l 的异侧，其它条件不变，△ABD ≌△CAE 是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B 、C 位于l 的同一侧，如果∠CEA ＝∠ADB ＝∠BAC ，求证：△ABD ≌△CAE ．（3）变式二：如图4，△ABC 中，依然有AB ＝AC ，若点B ，C 位于l 的两侧，如果∠BDA+∠BAC ＝180°，∠BDA ＝∠AEC ，求证：BD ＝CE+DE ．4321EB DC AEC DA。

一线三等角模型及其解法

一线三等角模型及其解法一线三等角模型是将一个图表分解为一线三等角形。

它是一种分解复杂图形的有效方法，可以帮助工程师了解复杂图表中可能存在的规律性和关系。

一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是一种通过一条直线和三条重合线将数据进行分解的方法。

它的定义是：原有的数据经过分解、重构后，可以用一线三等角结构或等角三线结构图表示（即用三条线把一条线一分为三），以保证在某一范围内搜索达到最大或最小值。

二、一线三等角模型的特点1、合理性：一线三等角模型由来自原始数据的三角形组成，因此它可以合理地反映数据，以更容易地挖掘数据正确的值和规律。

2、比较性：由于一线三等角模型可以以图形的形式直观地表示数据的相互关系，因此它可以更清晰地显示不同数据之间的差异。

3、趋势性：一线三等角模型可以清楚地显示数据之间的变化趋势，它可以有效地预测某些情况下的发展前景。

三、一线三等角模型的解法1、根据图形上的定义，确定图形线条的表示方式；2、将数据或原始度量根据图形上的定义转换为图形内的点；3、利用拟合算法进行拟合，连接图形上的点与相关的定义；4、使用数学方程求解一线三等角模型，得出不同变量的比例关系及相应的数值；5、根据计算结果绘制图表，解释结果。

四、一线三等角模型的应用1、市场营销：一线三等角模型可以分析市场竞争，从而定位和优化品牌。

2、团队管理：一线三等角模型可以揭示团队的组织关系，以提高团队效率。

3、资源管理：一线三等角模型可以激发和有效地分配资源，以提高生产效率。

4、项目研究：一线三等角模型可以帮助分析市场需求情况，以及项目规划和实施情况。

5、战略管理：一线三等角模型可以提供组织战略发展的方向和衡量标准。

一线三等角模型证明过程

一线三等角模型证明过程1. 认识一线三等角模型说到一线三等角模型，嘿，别急，我们先来点背景知识。

想象一下，数学就像一座神秘的宝藏，里面埋藏着无数的秘密，而一线三等角模型就是其中一个闪闪发光的宝石。

这玩意儿，简单来说，就是把一个三角形分成三部分，然后看看它们之间的关系。

好比把一块美味的蛋糕切成三块，既有视觉的享受，又能品味其中的奥妙。

1.1. 什么是三等角首先，咱们得搞明白“三等角”是什么。

简单来说，就是一个三角形的三个角都是相等的，像极了三个好朋友一起吃冰淇淋，谁都不想多吃一点，公平得很。

这样的三角形叫做“等边三角形”，可别小看它，这可是一切三角形的王者，立马吸引了数学家的目光。

1.2. 一线三等角的妙用一线三等角模型可不仅仅是好看，它的用处可大着呢！比如，咱们在建筑设计、工程测量上，都能看到它的身影。

想象一下，建筑师用它来确保大楼的角度完美无瑕，真是既实用又充满艺术感啊。

2. 证明过程的步骤接下来，就让我们开启证明的旅程吧！首先，咱们得找到一个合适的三角形，当然，选择等边三角形最好，因为它的角度都是60度，简直是稳稳的让人安心。

然后，咱们在这个三角形的底边上画一条线，嘿，这可不是普通的线，它能将三角形分成三部分，每一部分都恰到好处。

2.1. 分割与重组接下来，咱们要用一种很神奇的方法，把这三部分重新组合。

就像把玩具拆散再组装成新的样子，数学的魅力在于这种变化。

我们把每一部分的角度和边长一一对应，最后，嘿，咱们会发现，它们都是相等的！这就像一场精彩的变魔术，大家都惊呼“哇，太神奇了！”2.2. 视觉化证明为了让这个证明更加直观，我们可以用图形来辅助。

画出一个大的等边三角形，再在底边上画出一条平行线，把它分割成几个小三角形。

然后，咱们来个巧妙的观察，发现这些小三角形也是等边的，角度完全相等，真是让人拍手叫绝！这就如同把同一颗星星用不同的角度观察，看到的却是不同的美。

3. 结论与应用最后，经过一番折腾，我们终于证明了一线三等角模型的奥秘。

一线三等角模型结论及证明

一线三等角模型结论及证明
摘要
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。

本文将详细阐述一线三等角模型的结论及证明，以及如何使用它来解决实际问题。

一、定义
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。

二、结论
一线三等角模型的结论如下：
1、如果在一条直线上有三个等角，则它们的夹角均为120度。

2、如果三条直线的夹角均为120度，则它们共线。

三、证明
1、证明一：假设在一条直线上有三个等角，设它们的夹角为α，β，γ，则有
α+β+γ=360°，由等角性质可知α=β=γ=120°，得证。

2、证明二：假设三条直线的夹角均为120°，设它们的夹角分别为α，β，γ，则有α+β+γ=360°，此时α=β=γ=120°，由此可知，三条直线共线，得证。

四、实际应用
一线三等角模型可以用来解决实际问题，比如，在建筑设计中，可以根据一线三等角模型设计出美观的建筑结构，如三角形的屋顶，具有特殊的视觉效果。

结论
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，
它们的夹角均为120度。

本文详细阐述了一线三等角模型的结论及证明，并且给出了如何使用它来解决实际问题的实例。

用几何画板探究一线三等角相似模型

用几何画板探究一线三等角相似模型资料编号:202210161100 在学习相似三角形时,我们会遇到一种特殊的相似模型——一线三等角相似模型.这种模型常见于等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形等图形中.在处理复杂的几何图形时,如果能从图形中识别出这种模型,将对问题的解决起到至关重要的作用.现在,我们借助于几何画板软件,来探究一线三等角相似模型及其应用.模型制作1. 打开几何画板软件,使用“线工具”任意画一条直线,在该直线上任取两点A、B,再任意画一条线段AD,依次选中点D、A、B（顺时针方向）,依次单击“变换”、“标记角度”.如图1所示.2.双击选中点B,单击选中点A,依次单击“变换”、“旋转”,将点A绕点B按标记角度DABBA.如图2、图3所示.旋转到点'A的位置,作直线'3. 在直线AB上任取一点P,连结DP,双击选中点P,单击点D,依次单击“变换”、“旋转”,将点D绕点P按标记角度DABPD,交直旋转到点'D的位置,作直线'线'BA于点C.如图4所示.4.选中点'D、点'A,依次单击“显示”、“隐藏点”.5.依次选中点P、A、D,依次单击“构造”、“三角形的内部”,用同样的方法构造△PBC的内部.如图5所示.6. 单击“标识工具”,单击点A,并向角内拖动鼠标,松开鼠标,标识DAB∠,用同样的方法标识DPC∠.如图6所示.∠、ABC7. 依次选中点P、B、C,依次单击“构造”、“线段”,此时,构造了△PBC.选中直线AB,依次单击“显示”、“线型”、“实线”;选中直线PC、BC，依次单击“显示”、“线型”、“细线”.如图7所示.8. 检查从第1步至第7步作图,完成作图.模型探索当点P在线段AB上时,拖动点D,使DAB∠分别为锐角、直角、钝角,得到图8、图9、图10三种不同类型的图形.其中,点P在线段AB上,PBC=∠,则△DAP∽△PBC.∠DPCDAP∠=模型证明证明:∵BPC=∠∠+DPCDPB∠∠∠=+ADPDAPDPB∠∠=DAPDPC∠∴ADP∠=BPC∠∵ADP∠BPC∠DAP∠=∠,PBC=∴△DAP∽△PBC.当点P在线段BA的延长线上时,如图11所示,由作图可知:=∠DABDPC∠=∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.ABE当点P在线段AB的延长线上时,如图12所示,由作图可知:=∠DPEDAB=∠∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.ABF像这样,两个相等的角的一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧,如果与这两个角相等的第三个角的顶点在该直线上,角的两边分别与这两个角的非共线边（或该边所在直线）相交所形成的两个三角形相似.我们把包含这种基本图形的一类题目称为一线三等角相似模型.特别地,当点P 是线段AB 的中点时,△DAP ∽△PBC ∽△DPC .如图13所示.图 13证明:易证△DAP ∽△PBC∴BC APCP PD= ∴BCCPAP PD = ∵点P 是线段AB 的中点 ∴BP AP = ∴CBCPBP PD =∵PBC DPC ∠=∠ ∴△DPC ∽△PBC ∴△DAP ∽△PBC ∽△DPC . 模型应用例1.（1）问题:如图（1）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,=∠=∠A DPC︒=∠90B .求证:BP AP BC AD ⋅=⋅.（2）探究:如图（2）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,当B A DPC ∠=∠=∠θ=时,上述结论是否仍然成立?说明理由.（3）应用:请利用（1）（2）获得的经验解决问题:如图（3）,在△ABD 中,6=AB ,5==BD AD ,点P 以每秒1个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足A DPC ∠=∠.设点P 的运动时间为t （秒）,当以点D 为圆心,以DC 为半径的圆与AB 边相切时,求t 的值.图（1)图（2）CAB DP图（3）CDABP（1）证明: ∵︒=∠=∠90A DPC21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （2）成立.理由如下:∵θ=∠=∠A DPC21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （3）设切点为E ,连结DE . ∴AB DE ⊥∵BD AD =,AB DE ⊥ ∴321==AB AE 在Rt △ADE 中,由勾股定理得:4352222=-=-=AE AD DE∴145,4=-=-==DC BD BC DCE CDABP易证:△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. 由题意可知:t BP t AP -==6, ∴()156⨯=-t t解之得:5,121==t t经检验,1=t 和5=t 均符合题意.点评对于第（3）问,我们可以利用几何画板进行动态分析.1. 打开几何画板,单击“点工具”,任意画一点A ,选中点A ,依次单击“变换”、“平移”,在弹出的对话框中选择“直角坐标”,修改水平方向的“固定距离”为6 cm,垂直方向的距离为0 cm,单击“平移”.如图14所示,将平移后的点的标签命名为B .2. 用同样的方法把点A 平移5 cm 得到点'A ,画线段'AA ,分别选中点A 、B ,线段'AA ,依次单击“构造”、“以圆心和半径绘圆（R ）”,画出两个圆,在上方的交点命名为D .如图15所示.图 15DA'BA3. 选中线段'AA 、点'A 、两个圆,依次单击“显示”、“隐藏对象”,构造△ABD .4. 依次选中点D 、A 、B ,依次单击“变换”、“标记角度”,标记角度DAB ∠.在线段AB 上任画一点P ,连结DP ,双击点P ,选中点D ,依次单击“变换”、“旋转”,将点D 绕点P 按标记角度DAB ∠旋转到点'D 的位置,作射线'PD ,交BD 边于点C ,隐藏射线'PD 和点'D ,构造线段PC .如图16、图17所示.5. 依次选中点D 、点C ,依次单击“构造”、“以圆心和圆周上的点绘圆（C ）”,画出一个圆.如图18所示.图 17图 18拖动点P ,观察⊙D 与AB 边的位置关系,可以发现点P 位于AB 边上两个不同的位置,都能使⊙D 与AB 边相切,如图19、图20所示,所以需要分为两种情况进行讨论.图 19图 20例2.（1）如图（1）,在△ABC 中,8,5===BC AC AB ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合）,且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上,且6=BP ,求线段CQ 的长;②若y CQ x BP ==,,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;QABCP（2）如图（2）所示,正方形ABCD 的边长为5,点P 、Q 分别在直线CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合）,且保持︒=∠90APQ ,.当1=CQ 时,直接写出线段BP 的长.图（1）QABCP图（2）DABC解:（1）①∵6,8==BP BC ∴268=-=-=BP BC CP∵21∠+∠=∠+∠=∠APQ ABC APCABC APQ ∠=∠∴21∠=∠ ∵AC AB = ∴C B ∠=∠∵21∠=∠,C B ∠=∠ ∴△ABP ∽△PCQ ∴CQCQ BP PC AB 625,== ∴512=CQ ; ②分为两种种情况:当点P 在BC 边上时,x BP BC PC -=-=8 由①可知:△ABP ∽△PCQ ∴yxx CQ BP PC AB =-=85, 整理得:x x y 58512+-=（80<<x ）;当点P 在CB 的延长线上时,如图所示,8+=+=x BP BC PC 易证:△ABP ∽△PCQ∴yx CQ PC =+=8, 整理得:x x y 58512+=（0>x ）;（2）分为三种情况:①当点P 在BC 边上时,点Q 必在CD 边上.设x BP =,则x PC -=5 易证:△ABP ∽△PCQ ∴155,x x CQ BP PC AB =-=,整理得:0552=+-x x 解之得:255,25521+=-=x x ∴255-=BP 或255+=BP .如图1、图2所示; 图 1POQDABC图 2POQ DABC②当点P 在CB 的延长线上时,点Q 必在DC 的延长线上.如图3所示. 易证:△ABP ∽△PCQ∴15,x CQ PC =+= 整理得:0552=-+x x ,解之得:2535,253521--=+-=x x （舍去） ∴2535+-=BP ; 图 3图 4③当点P 在BC 的延长线上时,点Q 必在DC 的延长线上.如图4所示. 易证:△ABP ∽△PCQ ∴155,xx CQ BP PC AB =-= 整理得:0552=--x x ,解之得:2535,253521-=+=x x （舍去） ∴2535+=BP . 综上所述,线段BP 的长为2535+-或255-或255+或2535+. 点评对于第（2）问,我们可以利用几何画板进行动态分析.1. 打开几何画板,单击“点工具”,任意画一点A ,选中点A ,依次单击“变换”、“平移”,在弹出的对话框中选择“直角坐标”,修改水平方向的“固定距离”为0 cm, 垂直方向的距离为5-cm,单击“平移”.如图21所示,将平移后的点的标签命名为B .2.选中点A、点B,依次单击“变换”、“平移”,修改水平方向“固定距离”为5 cm,垂直方向“固定距离”为0 cm,单击“平移”,将点A的对应点命名为D,点B的对应点命名为C.如图22所示.3.构造线段AD、直线DC、直线BC,在直线BC上任取一点P,构造线段AP,双击点P,选中点A,依次单击“变换”、“旋转”,修改“固定角度”为0.度,单击“旋90转”,得到点'A,作直线'PA,交直线CD于点Q,如图23、图24所示.4.选中点'A和直线'PA,依次单击“显示”、“隐藏对象”,构造线段PQ.5.依次选中点A、B、P,依次单击“构造”、“三角形的内部”,用同样的方法构造△PCQ的内部.如图25所示.6.选中点C、点Q,依次单击“度量”、“距离”,度量出线段CQ的长度,完成作图.在直线BC上拖动点P,观察CQ长度的变化,可以发现,当1CQ cm时,点P有四个不同的位置,对应四种不同的结果,分别如图26（1）、（2）、（3）、（4）所示.其中,当点P在BC边上时,有两个不同的位置满足条件.（1）（2）（3）图 26模型练习1. 如图所示,在矩形ABCD 中,由8个面积均为1的小正方形组成的L 形模板如图放置,则矩形ABCD 的周长为_________.GFEDCBA提示设x DF =,则有x BC x CF BE x CD CE AB 3,,2======. 2. 【情景观察】如图（1）,将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和△D C A ''.将△D C A ''的顶点'A 与点A 重合,并绕点A 按逆时针方向旋转,使点D ,()'A A ,B 在同一条直线上,如图（2）所示.观察图（2）可知:与BC 相等的线段是_________,=∠'CAC _________; 【问题探究】如图27所示,在△ABC 中,BC AG ⊥于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q ,试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 【拓展延伸】如图28所示,在△ABC 中,BC AG ⊥于点G ,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ,射线GA 交EF 于点H .若kAF AC kAE AB ==,,试探究HE 与HF 之间的数量关系,并说明理由.（2）（1）BCC'A (A')C'A'DCBCABDAD图 27图 28提示【问题探究】FQ EP =,如右图,只需证明△ABG ≌△EAP （EP AG =）,△ACG ≌△F AQ （FQ AG =）,就可完成证明.【拓展延伸】作AG FQ AG EP ⊥⊥,,如下页图所示.易证:△ABG ∽△EAP ,△ACG ∽△F AQ∴k FQAGFA AC k EP AG EA AB ====, ∴kFQ AG kEP AG ==, ∴FQ EP =∴易证:△EHP ≌△FHQ ∴HF HE =.。

八年级上册数学-一线三等角模型及应用

第10讲一线三等角模型及应用一、“一线三等角”的基本构图：321132CEB DDCBEll二、“一线三等角”的基本性质：1．如果∠1＝∠2＝∠3，那么∠D ＝∠CBE ，∠ABD ＝∠E ．2．如果图中△ABD 与△CEB 中有一组对应边相等，则有△ABD ≌△CEB ．三、“一线三等角”的基本应用：本讲主要学习“一线三等角”与全等．对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角．【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．【板块一】直角型“一线三等角”——“三垂直”【知识导航】直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，过点A 作直线l ,过B ，C 分别作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ．（1）如图1，当直线l 在△ABC 的外部时，求证：DE ＝BD ＋CE ；（2）当直线l 在△ABC 的内部如图2所示时，求证：DE ＝BD －CE ；（3）当直线l 在△ABC 的内部如图3所示时，直接写出DE ，BD ，CE 三者之间的数量关系式为___________．lBBCBC图1 图2 图3【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为BC 上一点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ，BF 交AC 于D ．（1）如图1，求证：点D 为BF 中点；（2）如图1，求证：BE ＝2CD ；（3）如图2，若BE CE ＝23，则ADCD＝____．图2图1E CBAFDEBAC F针对练习11．（1）如图1，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求点B 的坐标．（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求点B 的坐标．（3）如图3，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，B （2，2），C （4，－2），求点A 的坐标．图1图2图3【板块二】等边三角形中的“一线三等角”【例3】如图，△ABC 为等边三角形，D ，E ，F 分别AB ，BC ，AC 上的点，∠DEF =60°，BD =CE ，求证：BE=CFAB DFE C针对练习21．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点BE，AD交于F，∠AFE＝60°．求证：AD＝BEEA B D F C。

[一线,模型,初中]“一线三等角”模型在初中数学中的应用

“一线三等角”模型在初中数学中的应用相似三角形在初中几何的教学中发挥着不可小觑的作用，在中考考题中常有涉及和渗透，笔者在初三的教学中发现掌握相似三角形的基本图形，对培养学生分析问题和解决问题的能力有一定的促进作用。

本文以相似三角形中的“一线三等角”这一基本图形为载体，研究这一基本图形背景下的相关题型，并进行了收集与整理，希望对学生灵活应用这一模型有所帮助。

一、弄清基本模型定义和解题原理二、应用举例1.在“动点问题”中的应用例1：如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，设BM的长为x cm，CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值。

分析：由图可知∠B=∠C=∠AMN=90°，Rt△ABM与Rt△MCN成“一线三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，从而，所以，.所以y的最大值为。

【变式】如“例1”的条件，将问题改为“当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.”分析：四边形ABCN的面积为，BC，AB的长都为1，是定值，只有CN在变化，要使四边形ABCN的面积最大，则CN最大，即转化为“例1”的问题.2.与反比例函数联手例2：（2015?孝感）如图3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A.-4B.4C.-2D.2分析：看到反比例函数图像上的点A，并且要求的点B也在反比例函数图像上，从而联想反比例函数解析式中“k”的几何意义解决问题.过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据“一线三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，从而==4，然后用反比例函数解析式中“k”的几何意义即可.3.在“直角三角形存在性问题”中的应用点的存在性问题始终是中考考查的热点和难点，对学生的思维能力和模型思想等基本数学素养有着较高的要求，所以一直困扰着学生.数学解题研究中一直很关注一题多解的研究，多一种解决问题的方法，能让学生步入考场有更多的选择，直角三角形的存在性问题多数教师在讲解的时候是引导学生利用解析式法“”和勾股定理解决.笔者在教学中发现，利用“一线三等角”模型解决直角三角形的存在性问题也是一种通用方法，即便这个点在抛物线上也能使用（当点在抛物线上时，利用勾股定理会出现四次情形，初中学生无法解决），能为学生解决这类问题提供了一种新的选择。

2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版

《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

一线三等角模型知识点总结

一线三等角模型知识点总结一、基本概念1.1 一线三等角模型的定义一线三等角模型是指在一个等腰三角形中，以等腰腰为底边的代表线和等腰角的代表角为模型，利用这一模型可以推导出等腰三角形各边的关系，以及解决相关的几何问题。

1.2 一线三等角模型的特点一线三等角模型是一个简单而重要的几何模型，它可以帮助我们快速理解和解决等腰三角形的各种问题。

通过运用这一模型，我们可以建立等腰三角形各边之间的关系，并进一步推导出相关的定理和公式。

二、基本公式在一线三等角模型中，我们可以得到以下基本公式：2.1 等腰三角形的边长关系设等腰三角形的底边为a，等腰腰为b，顶角为A，则根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：sinA = b/2RcosA = a/2R其中R为等腰三角形的外接圆半径。

2.2 一线三等角的关系在一线三等角模型中，等腰三角形的底边、等腰腰和顶角之间有如下关系：a/sinA = b/sin(180-2A) = 2R其中a、b和A分别表示等腰三角形的底边、等腰腰和顶角，R为等腰三角形的外接圆半径。

2.3 其他相关公式在一线三等角模型中，还可以得到一些其他相关的公式，如等腰三角形的高、底角和腰角之间的关系等。

三、模型的应用3.1 求解等腰三角形的各边长通过一线三等角模型，我们可以快速地求解等腰三角形的各边长。

例如，已知等腰三角形的底边和顶角，可以利用模型中的公式来计算等腰腰的长度，或者利用正弦定理和余弦定理来计算等腰三角形的底角和腰角。

3.2 证明等腰三角形的性质通过一线三等角模型，我们可以轻易地证明等腰三角形的一些性质，比如底角相等、底边中线等于高、底边中点到顶角的距离等于高等。

3.3 求解等腰三角形的外接圆半径一线三等角模型还可以应用于求解等腰三角形的外接圆半径。

通过等边三角形的顶角和底边之间的关系公式，我们可以轻松地计算出等腰三角形的外接圆半径。

3.4 解决相关的几何问题基于一线三等角模型的知识，我们还可以解决一系列与等腰三角形相关的几何问题，例如寻找最大面积的等腰三角形、构造等边三角形的等分线、证明某一线段是正三角形的边等。

中考数学“一线三等角”模型解析

中考数学“一线三等角”模型解析一、“一线三等角”模型定义两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形 .二、“一线三等角”模型类型（1）点P 在线段AB 上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型（2）点P 在线段AB 的延长线上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型三、“一线三等角”模型常出现的题型1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；3、矩形（正方形）；4、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；5、等边三角形的翻折；6、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题 .四、典例解析（一）一线三等角模型——等腰三角形【例题1】如图，已知：在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 点M 是边AB 的中点，点E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，∠EMG = 45°，AC 与MG 的延长线相交于点F，（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接EG，当AE = 3 时，求EG 的长 .解析：（1）△AEM∽△BMG（一线三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共边型）. （2）AE = 3 , CE = 1 ,由△AEM∽△BMG 可计算出BG = 8/3 ，则CG = 4/3 .在Rt△CEG 中，由勾股定理可得EG = 5/3 .另解：点M 是AB 的中点，恰好是“中点型一线三等角”，则有△AEM∽△BMG∽△MEG .对可解△AEM 由余弦定理可计算出ME = √5 ，由△AEM∽△MEG，可得AE/ME = ME/EG ,即3/√5 = √5/EG ,解得EG = 5/3 .（二）一线三等角模型——等腰梯形【例题2】已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5 , AB = DC = 2 . （1）如图，点P 为AD 上的一点，且满足∠BPC = ∠A .①求证：△ABP∽△DPC；②求AP 的长 .（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE = ∠A ，PE 交直线BC 于点E , 同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP = x , CQ = y , 求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE = 1 时，写出AP 的长 .解析：（1）①由等腰梯形同一底上两个底角相等+ 三角形内角和及平角（∠APD）等于180°，可证△ABP∽△DPC .②∵△ABP∽△DPC ，∴AP/DC = AB/PD ,∴AP/2 = 2/（5 - AP），解得AP = 1 或AP = 4 .（2）①建立y 关于x 的函数解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 则DQ = 2 = y , 易证：△ABP∽△DPQ，∴AB/PD = AP/DQ ,即2/（5 - x）= x/（2 + y）,∴y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 ,定义域：由于点Q 在线段DC 的延长线上，故DQ > 2 , 即y + 2 > 2 ,∴y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 > 0 , 即1 < x < 4 .②分类讨论点E 的位置如下：1、当点E 在线段BC 上时，CE = 1 , 过C 点作PQ 的平行线交AD 于点H ，由△ABP∽△DHC，∴AB/DH = AP/DC ,∴2/（5 - 1 - x）= x/2 ,解得x = 2 .2、当点E 在线段BC 的延长线上时，CE = 1 , 过点E 作CD 的平行线交AD 的延长线于点M ，由△ABP∽△MPE，∴AB/MP = AP/ME ,∴2/（5 + 1 - x）= x/2 ,解得x1 = 3 - √5 , x2 = 3 + √5 > 5 （舍去）.五、小结1、此次课程展示了相似模型“一线三等角型”在初中数学范围内常见的两种考题形式；2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展提高，通过知识间的串联，找出一些通性通法，来提高解题效率 .。

(完整版)几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。

一线三等角相似模型

物理学应用
在物理学中，可以利用一线三等角相似模型来研究物理现象和规律，如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后，通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和推理技巧，以及能够灵活运用已知条件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立的方法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据已知条件和反证法的原理，推导出与已知条件相矛盾的结论；最后，根据矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例的多边形。

相似专题：一线三等角相似模型

优势：简洁明了易于理解
注意事项：需要熟练掌握代数公式和定理以及灵活运用代数方法进行证明
三角函数证明法
利用三角函数的性质通过角度相等来证明三角形相似利用三角函数的诱导公式将角度相等转化为边长比例相等利用三角函数的和差公式将角度相等转化为边长比例相等利用三角函数的倍角公式将角度相等转化为边长比例相等
一线三等角相似的判定条件
两个三角形中如果一个角分别与另两个角相等则这两个三角形相似。
在两个三角形中如果一个角的对边与另一个角的对边成比例则这两个三角形相似。在两个三角形中如果一个角的对边与另一个角的邻边成比例则这两个三角形相似。
在两个三角形中如果一个角的对边与另一个角相等则这两个三角形相似。
一线三等角相似模型的应用
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题目：在三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且E：EC=1：2 则S△DE：S△BC=？
代数表达式简化：利用一线三等角相似模型可以将复杂的代数表达式进行简化。
代数应用实例
代数不等式证明：利用一线三等角相似模型可以证明一些代数不等式。
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代数方程求解：通过一线三等角相似模型可以求解一些代数方程。
一线三等角相似模型的应用实例
几何证明实例
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题目：已知三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且D：DB=2： 1则S△DE：S△BC=？
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题目：在三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且E：EC=2：1 则S△DE：S△BC=？
单击添加标题
题目：在三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且BD：B=1：3 则S△DE：S△BC=？

一线三等角模型的定义

一线三等角模型的定义1. 什么是一线三等角模型一线三等角模型，听起来是不是有点高大上？其实它的原理挺简单的，就像我们平时聊天时，想要把一件事说得明明白白，搞得清清楚楚。

简单来说，这个模型主要用来描述事物之间的关系。

它的核心思想是把复杂的问题拆分成三个部分，就像我们吃西瓜，一刀切开，既能看见里面的红瓤，又能轻松分享。

通过这种方式，我们能更好地理解事物的本质，避免那种“说了半天，还是不明白”的窘境。

2. 三等角的构成2.1 第一等角：要素这个第一等角就像是一个基础，让我们理解整个模型。

想象一下，你在做一道菜，首先得有食材。

这里的“要素”就是构成事物的基本成分。

比如说，一个团队要成功，首先得有人才，有资源，有目标。

如果没有这些基本要素，那就跟没米下锅一样，做不出美味的饭菜。

2.2 第二等角：关系接下来，第二等角就是这些要素之间的关系了。

就像是朋友之间的交情，有的人深交，有的人泛泛之交。

在模型里，这个关系决定了要素之间的互动。

比如，一个团队里，有的成员擅长沟通，有的则技术过硬。

他们之间的合作关系，就像是一支乐队，各司其职，才能演奏出和谐的乐曲。

如果每个人都只顾自己，那就成了“众星捧月”，乱得不成样子。

2.3 第三等角：环境最后，我们得提提第三等角，就是环境。

环境就像是天气，晴天的时候大家心情都不错，工作效率高；而下雨天可能就会有点阴沉，士气也跟着低落。

这一角强调的是外部因素对要素和关系的影响。

比如，在经济不景气的时候，一个好团队可能也会受到影响，资源变得紧张，目标实现的难度就加大了。

3. 应用场景3.1 工作场所那么，这一线三等角模型在现实生活中有什么用呢？首先，在工作场所，领导可以用这个模型来分析团队的表现。

比如，发现团队里有人才流失，领导就可以先看看团队的基本要素是不是齐全，再分析成员之间的关系是否良好，最后再看外部环境对团队的影响。

这样一来，问题就能迎刃而解，领导也能做出更加精准的决策。

3.2 教育领域在教育领域，这个模型同样大显身手。

初中数学“一线三等角”模型的解析

初中数学“一线三等角”模型的解析一线三等角是初中数学中一个重要的几何模型，它涉及到线段、角度和等边三角形的关系。

本文将对一线三等角模型的定义、性质以及应用进行深入解析。

一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是由一个线段和两个相等的角组成的几何模型。

在该模型中，线段是一条直线段，两个角分别位于线段的两侧，且两个角的度数相等。

这两个角与线段构成了一个等边三角形，同时这个等边三角形的边长等于线段的长度。

二、一线三等角模型的性质1. 线段与等边三角形的关系：线段的长度等于等边三角形的边长。

2. 角的性质：线段两侧的两个角度数相等。

由于等边三角形的三个内角都是60°，所以两个角的度数都是60°。

3. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°。

4. 线段的性质：线段可以作为等边三角形的一条边，也可以作为两个相等角的边。

三、一线三等角模型的应用1. 解题方法：在解决与一线三等角模型相关的问题时，我们可以利用线段的长度、角的性质和等边三角形的性质来分析和推导。

通过观察图像，找出线段、角和三角形之间的关系，从而找到解题的突破口。

2. 题型一：求线段的长度在一线三等角模型中，当已知一个等边三角形的边长时，可以通过等边三角形的性质求出线段的长度。

根据等边三角形的定义，三条边相等，因此线段的长度等于等边三角形的边长。

3. 题型二：求角的度数在一线三等角模型中，当已知线段的长度时，可以通过角的性质求出角的度数。

由于线段两侧的两个角度数相等，且等于60°。

因此可以根据线段的长度推导出角的度数。

4. 题型三：求等边三角形边长在一线三等角模型中，当已知一个角的度数时，可以通过等边三角形的性质求出等边三角形的边长。

由于角度数相等且等于60°，可以求出等边三角形的边长。

5. 题型四：利用一线三等角模型解决实际问题一线三等角模型可以应用于解决实际问题，如建筑设计中的视角问题、航空导航中的方向问题等。

全等典型模型：“一线三等角”模型

《三角形证明》题型解读11 全等典型模型：“一线三等角”模型【知识梳理】(一)“一线三等角模型”题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠2=∠C解题方法：只要题目再出现一组等边（BE=AC 或EF=AE 或BF=EC ），必证△BEF ≌△CAE （AAS 或ASA ）（二）“三垂直模型”(“一线三直角模型”)1.基本图形题型特征：图形的某条线段上出现三个直角，如图中∠B=∠AED=∠C=90°解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=EC 或BE=DC 或AE=DE ），必证△ABE ≌△ECD （AAS 或ASA ）2.两种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型（2）“L 型”三垂直模型【典型例题】例1.如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠B=40º，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE=40º，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=________,∠AED=___________；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．证∠1+∠2=°，∠2+∠A=°，∴∠1=∠A 又∠B=∠C ，若AB ≅FC若AB ~FC 21A B F E D C 证∠1+∠2=°，∠2+∠A=°，∴∠1=∠A 又∠B=∠C ，若AB ≅EC若AB ~EC 21A B CE D 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;C (1(2ED CB A(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）D CA CE D B例2.如图，长方形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，长方形的周长为16，求AE 的长..例3．在△ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，分别过B 、C 作过A 点的直线的垂线，垂足为D 、E ．（1）求证：△AEC ≌△BDA ；（2）如果CE ＝2，BD ＝4，求ED 的长是多少？例4.（1）已知，如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥m 于点D ，CE ⊥m 于点E ，求证：DE=BD+CE ；（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.例5．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点，P 、Q 同时分别从A 、B 出发，点P 沿AB 向B 运动；点Q 沿BC 向C 运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t 秒．连结AQ 、DP 相交于点F ，求证：AQ ⊥DP ；A C E D BA B C D E F 图F E DC B A。

中考数学专题复习《“一线三等角”模型的探究与应用》课件

△ABC与△CDE还相似吗？请说明理由.
∵∠B=∠ACD=a
∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠DCE=180°-a
∴∠BAC=∠DCE
又∵∠B=∠E=a
A
D
B
∴△ABC∽△CED
C
特征：∠B=∠ACD=∠E=a且顶点在同一直线上
“一线三等角”基本图形
结论：△ABC∽△CED
E
A
B
C
E
“一线三直角”相似模型
思考3：如将y轴看成“一线”，如何寻另一“等角”？
O
解：在y轴半负轴上截OD，使OD=OC=2，则∠PDC=45°，CD=2 2.
由y=-x+m可得A（m，0），B（0，m），∴OA=OB=m，∠OBA=∠OAB=45°，AB= 2.
∵∠CPA=∠ABO=45°
又∵∠ABP=∠PDC=45°

∴

=

∴∠BPA+∠OPC=∠BPA+∠BAP=135°
∴△PCD∽△APB
1
+2
2
∴
2
=
2 2
1

2
解得：m=12
∴∠OPC=∠BAP .
D
C
A
x
问
题
背
景
问
题
探
究
拓
展
生
长
问题三、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=10，BF=4，∠B=60°，设
AE=x,AG=y，求y与x的函数关系式.
C(2,0)，点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值为___________.
m=12

例谈一线三等角模型的建立与应用

三、利用图形教学活跃课堂氛围，吸引学生数学学习兴趣如何培养学生数学学习兴趣，使学生真正爱上数学学习，发挥学习主观能动性是现阶段教师所需要解决的问题．图形以直观明了的形式可以带给学生直接的视觉冲击，便于抓住学生课堂学习的眼球，教师在教学中可以充分利用学生这一学习心理特点，在教学中以数形结合的教学方法，有效吸引学生数学学习兴趣．例如，我在向学生讲解立方体的相关内容中，为使学生获得直观的数学知识学习感受，我给学生划分为不同的学习小组，学生可以在小组内利用所发的数学教具进行空间几何图形的学习．学生在小组内通过观察手中拿到的立体几何图形，可以加深对所学内容的理解，相比于学生从书本中学习和听我的教学讲解更有成效．学生在小组内可以进一步讨论立体几何图形的特征，促进学生之间的分享和交流互动，提高学生思考和归纳能力，使学生真正成为数学学习的主人，不再依靠我的教学讲解去获取知识，而是依靠自己对图形的分析和判断，从中归纳出图形特征与性质，将立体几何图形的特征进行分辨．教师在教学过程中给学生更多的自主学习空间，充分激发学生数学学习主观能动性，使学生真正成为课堂学习的主人，培养学生自主学习能力，使学生借助数学图形自主探究数学知识，有助于促进学生思维能力和归纳能力的发展，使学生感受数学图形学习的魅力，为学生之后的数学学习奠定坚实的基础．结语:教师在现阶段的初中数学教学中，数形结合的良好运用可以减少学生数学学习过程中遇到的困难，使学生在亲自探索，钻研数学知识的过程中发现数学学习的乐趣，有助于培养学生数学学科核心素养，对学生今后的学习产生积极的推动作用．参考文献:［1］杨丽．数形结合，活跃思维———数形结合方法在初中数学教学中的应用研究［J ］．数学大世界(中旬)，2017(02):72－73．［2］张妙琴．如何实现“数”与“形”的结合———初中数学教学中数形结合思想应用探究［J ］．数学大世界(下旬)，2017(06):74．［责任编辑:李克柏］例谈一线三等角模型的建立与应用邹艺宣(福建省漳州市华安一中363800)摘要:相似三角形是初中几何的核心模块，常与四边形、圆、折叠、旋转等相结合，是中考的主要考点．而复杂图形中相似三角形的识别是难点所在．因此，在教学中，教师要适当提炼一些基本图形，并进行基本图形的专题训练，从而增强学生对相似三角形的识别能力和应用能力．一线三等角相似模型(特别是一线三直角模型)是最常考查的几何模型．本节课通过从几个特殊的情景中分析抽象出一个一般的模型，并强化学生对这个模型的显性应用和隐性应用，这样的经历可以很好地培养学生的数学核心素养———数学抽象和数学建模．关键词:一线三等角;相似;模型;建立;应用中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008－0333(2020)08－0006－02收稿日期:2019－12－15作者简介:邹艺宣(1984．5－)，男，福建省漳州人，本科，中学二级教师，从事初中数学教学研究．一、模型呈现如图1，点A 、E 、C 在同一条直线上，已知∠1=∠2=∠3=α，其中α角可以是任意的角，可以是锐角、直角或钝角，都有结论:△ABE ≌△CED．证明因为∠1=∠2=∠3=α，所以∠B +∠AEB=180ʎ－α，∠DEC +∠AEB =180ʎ－α，所以∠DEC =∠B ，又∠1=∠3，所以△ABE ≌△CED．这个基本模型的特征是有三个相等的角，且三个角的顶—6—点在同一条直线上，则它们的边所构成的两个三角形会始终相似．我们把这个基本图形称为一线三等角模型．二、模型应用1．显性模型，直接应用例1如图2，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点P是BC 上的一个动点(不与点B 、C 重合)，连结AP ，作∠APQ =∠B ，PQ 交AC 于点Q．(1)若BP =2，求CQ 的长;(2)若BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出当BP 为何值时CQ 取得最大值．分析第(1)问题目所给条件很明显已经具备一线三等角模型的特征，所以熟悉这个模型就可以快速联想到可以用相似来解题，可以提高解题的速度．第(2)问是要求由动点产生的最值问题，这是初中生的一个难点，但是第(2)的解答可以从第(1)题获得启发，两题之间是有联系的，只是把数字换成了字母，所用的方法是一样的，还是由一线三等角模型可以得到三角形相似，利用对应边成比例就可以得到y 和x 的函数关系式，再利用函数知识即可求出最大值．解(1)因为AB =AC ，所以∠B =∠C．因为∠BAP +∠APB =180ʎ－∠B ，∠CPQ +∠APB =180ʎ－∠APQ ，且∠APQ =∠B ，所以∠BAP =∠CPQ ，所以△ABP ∽△PCQ ，所以AB PC =BPCQ ．因为AB =AC =5，BC =8，所以CP =6，所以56=2CQ ，所以CQ =125．(2)因为△ABP ∽△PCQ ，所以AB PC =BP CQ，所以58－x =x CQ，所以CQ =－15x x ()－80＜x ()＜8．所以当x =4，即点P 为BC 边中点时，CQ 取得最大值，最大值为165．例2如图3，矩形ABCD 中，AB =8，AD =10．点E 是AB 边上一点，把△ADE 沿直线DE 翻折，使点A 恰好落在BC 边上的点F 处，则DE =．分析由折叠可知∠EFD =∠A =90ʎ，DF =AD =10，所以∠B=∠EFD =∠C =90ʎ，所以由一线三等角模型可以快速识别△BEF ∽△CFD ，所以BE CF =BFCD．设AE =EF =x ，则BE =8－x ，又CF =DF 2－CD 槡2=6，所以BF =4．所以8－x6=48，所以x =5，所以DE =AD 2+AE 槡2槡=55．2．隐性模型，构造转化例3如图4，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA =5，OC =3若把矩形OABC 绕着O 点逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为()A．－95，12()5B．－125，()95C．－165，12()5D．－125，16()5分析本题乍一看条件没有满足一线三等角模型的特征，但要求点的坐标，常添加的辅助线是过所求点C 1作坐标轴的垂线，所以过点C 1作C 1E ⊥x 于点E ，则会发现∠C 1EO =∠C 1OA 1=90ʎ．联想到一线三垂直模型，只要再过点A 1作A 1D ⊥x 于点D ，则很快就可以找到解题的突破口．由△C 1EO ∽△ODA 1得出答案为A ．例4(2019漳州质检16)如图5，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(8，4)，反比例函数y =kxk ()＞0的图象分别交边BC 、AB 于点D 、E ，连结DE ，△DEF 与△DEB 关于直线DE 对称，当点F 恰好落在线段OA 上时，则k 的值是．分析本题乍看不符合一线三等角模型，但时如果注意到∠DFE =∠OAB =90ʎ，已经有点模型的影子，只要过点D 作DH ⊥OA 于点H ，则马上构造出一线三等角模型，快速找到解题的突破口．在解决数学问题时，“如何找到解题的突破口”是很多学生较为困惑的．很多学生解题时没有思路和方向，而基本模型的提炼学习，可以帮助学生在众多的数学问题中找到具有共性的模型，这样可以为学生解题提供准确的解题思路和线索，还可以提高学生的数学核心素养．参考文献:［1］叶茂恒．关注基本模型提炼，拓宽问题解决思路［J ］．中学教研(数学)，2017(11):9－12．［2］张进．构建模型，让辅助线的添加更自然［J ］．中学数学教学参考(下旬)，2018(5):23－27．［3］刘志昂．运用模式识别，探寻数学之美［J ］．中国数学教育，2019(4):50－53．［责任编辑:李克柏］—7—。