一线三等角模型识别与应用

相似三角形基本模型——一线三等角模型

模型解读：

“一线三等角模型”图谱 (1)点P 在线段AB 上

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP ∽△BPD

(2)点P 在线段AB 延长线上

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP ∽△BPD 模型分析 三个相等的角的顶点在同一直线上，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形。 典型示例 例1.如图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC=4

M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，∠＝45°,AC 与MG 的延长线相交于点F

(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三

角形，并证明其中的一对

(2)联结结EG ，当AE ＝3时，求EG 的长

(3)证明：△MEG ∽△AEM

例2.已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90AB=8，AD=12，tanC=4

3 ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD AM 上的动点(点E 与A 、D 不重合)且∠FEM=∠AMB ，设DE=x

5.如图在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，

将△DEF

与△ABC 重合在一起，△

ABC 不动，△DEF 运动，

并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．

(1)求证：△ABE∽△ECM；

(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；

(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积

6.已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． (1)如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证：△ABP ∽△DPC ②求AP 的长

(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求

y 关于x 的函数解析式，并写出x 取值范围

②当CE ＝1时，写出AP 的长

7．已知△ABC 中，角平分线BD ，CD 交于点D ，过D 作直线EF 交AB 于E ，交AC 于F ，且AE=AF (1)求证：AD⊥EF

(2)求证：∠BDC=1/2∠A+90°

(3)若CF=2，CD=4，BD=6，求BE 的长

8.等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F . (1)如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状； (2)如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.