2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题
2020届高三六校联盟第四次联考文科数学答案(新)
∴ 曲线 C2 的直角坐标方程是 x2 ( y 2)2 4 ……5 分 （2）设点 P(4 cos , 2 sin ) ，则
| PC2 | 16 cos2 (2 sin 2)2 12 sin2 8sin 20 ……7 分
∴
当 sin 1 3
时，
|
PC2
|max
8
3 3
……8 分
ab 5 ab 5 a b 5
5
∴
2 a
1 b
的最小值是
8 5
……6 分 ……9 分 ……10 分
文科数学参考答案第 6页 / 共 6页
∴ m2
……12 分
22．解：（1）由
x
y
4 cos 2 sin
，得
x 4 y 2
cos sin
∴ ( x)2 ( y)2 1 即 x2 y2 1
42
16 4
∴
曲线
C1
的普通方程是
x2 16
y2 4
1
又由 4sin ，得 2 4sin
……1 分
……3 分 ……4 分
∴ x2 y2 4y 即 x2 ( y 2)2 4
∴
PQ
max
| PC2
|max
2
83 3
2
……9 分
故 PQ 的最大值是 8 3 2 3
……10 分
23．解：（1）当 x 1 时， f (x) 2x 1 2(x 2) 5 2
……1 分
文科数学参考答案第 5页 / 共 6页
当 1 x 2 时， f (x) 2x 1 2(x 2) 4x 3 (5,5) 2
m
m
∴ 函数 f (x) 的最小值为 f ( 1 ) m m ln 1
2020年五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考文科数学试题及答案
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,5A =，{}2,3,4,6B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}3,6 B ．{}1,3,6C ．{}2,6D ．{}2,3,4【答案】A【解析】先计算{} 1,3,6U A =ð，再计算()U A B I ð得到答案. 【详解】因为{} 1,3,6U A =ð，所以(){} 3,6U A B =I ð． 故选：A 【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D【解析】判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．高考“33+”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】计算选择物理的学生人数为20，再计算比值得到答案. 【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=． 故选：B 【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 2B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7．函数()()2ln1f x x x=+-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B ，C ，计算特殊值排除D ，得到答案. 【详解】∵()()()()()()222cos ln1ln 1ln 1x f x f x x xx xx x --====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x 为奇函数，排除B ，C ；又3022f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln 1ln1f πππππ==>+-++，排除D ；故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.8．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 9．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ）A ．73B C ．7D【答案】D【解析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A【解析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+，当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，n =______. 【答案】300【解析】直接利用分层抽样的比例公式计算得到答案. 【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为10， 则1004264n =++，解得300n =． 故答案为：300 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力. 14．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 【答案】()0,3【解析】变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 【详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p =，所以焦点坐标为()0,3． 故答案为：()0,3 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.15．已知偶函数()()R f x x ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，()()210f x xf x x '++>，()1525f =，则不等式()21f x x >的解集为______. 【答案】()(),55,-∞-+∞U 【解析】令()()1g x xf x x=-，确定()g x 在()0,∞+上单调递增，()()155505g f =-=，解不等式得到答案.【详解】 令()()1g x xf x x =-，当0x >时，()()()210g x f x xf x x''=++>，()g x 在()0,∞+上单调递增．因为()f x 是偶函数，所以()g x 是奇函数． 因为()1525f =，所以()()155505g f =-=． 不等式()21f x x >等价于()0g x x >，所以()0,0x g x >⎧⎨>⎩或()0,0x g x <⎧⎨<⎩，解得5x >或5x <-．故答案为：()(),55,-∞-+∞U 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线123AC=，22MN=，所以其面积1222326 2S=⨯⨯=．故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题17．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.表1：男生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数2816842表2：女生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数04121284（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）35；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】（1）由题可知共有2615C =个基本事件，“运动达人”的可能结果为1142229C C C ⋅+=个，求得概率即可；（2）根据题意列出22⨯列联表，代入公式计算结果，然后判断即可. 【详解】（1）每周运动的时长在[20,25)中的男生有4人，在[25,30]中的男生有2人，则共有2615C =个基本事件，其中[25,30]中至少有1人被抽到的可能结果有1142229C C C ⋅+=个，所以抽到“运动达人”的概率为93155=； （2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人. 可得下列22⨯列联表：2280(26241416)40404238K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯20006 6.635399=<<， 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题. 18．已知数列{}n a 满足123123252525253n n n a a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<． 【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =． 当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，22=PC ，23AB =，24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=，点E 为PD 的中点．（1）证明：CE AP ⊥．（2）求点E 到平面PAC 的距离． 【答案】（1）见解析（23．【解析】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ，证明CE ⊥平面PAF 得到答案. （2）利用等体积法1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅计算得到答案.【详解】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ．在直角梯形ABCD 中，23AB =,24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=， 所以4AC AD CD ===．又因为F 为CD 的中点，所以AF CD ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， 所以PC AF ⊥，又因为PC CD C =I ， 所以AF ⊥平面PCD ，所以AF CE ⊥．在直角PCD ∆中，22=PC ，4CD =，,E F 分别为,PD CD 的中点， 因为22PC CF CD PC ==，所以PCD FCP ∆∆∽，所以CPF PDC ECD ∠=∠=∠， 所以CE PF ⊥．又因为,AF PF ⊂平面PAF ，AF PF F =I ， 所以CE ⊥平面PAF ，则CE AP ⊥．（2）设点E 到平面PAC 的距离为h ，由（1）可知AF ⊥平面PCD ， 所以1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅， 整理得1232222314222PCEPACAF S h S ∆∆⨯⨯⋅===⨯⨯， 所以点E 到平面PAC 3． 【点睛】本题考查了线线垂直，点到平面的距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．已知函数()ln f x x x x =+，()xx g x e =． （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()()1f x x g x +->． 【答案】（1）最小值为1e．（2）见解析 【解析】（1）化简得到ln 1x x a e +≤，令()ln 1xx m x e +=，求函数的最大值得到答案. （2）变换得到11ln x x x e+>，分别求表达式两边的最值得到答案. 【详解】（1）()()2f xg x ax ≤即()2ln x x x x x ax e +⋅≤，化简可得ln 1xx a e +≤． 令()ln 1x x m x e +=，()()1ln 1xx x m x e -+'=，因为1x ≥，所以11x≤，ln 11x +≥， 所以()0m x '≤，()m x 在[)1,+∞上单调递减，()()11m x m e≤=， 所以a 的最小值为1e． （2）证要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x xx x x e+>> 两边同除以x 可得11ln xx x e +>． 设()1ln t x x x =+，则()22111x t x x x x-'=-=， 在()0,1上，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增．所以()()11t x t ≥=． 设()1x h x e=，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=， 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->． 【点睛】本题考查了恒成立问题，表达式的证明，转化为函数的最值计算是解题的关键.21．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C交于,A B 两点，290AF B ∠=o，且2209F AB S ∆=． （1）求C 的方程；（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．【答案】（1）22154x y +=（2）45【解析】（1）不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，计算得到2245a b =，根据面积得到a b ⋅=.（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】（1）由题意不妨设2,3A b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，223b F B c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ． ∵290AF B ∠=o，∴2222254099b F A F Bc a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．又212202339F AB b S ∆=⨯⋅=，∴a b ⋅=∴a =2b =，故C 的方程为22154x y +=．（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()000y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,54y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=．∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-=．∴00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()220001212042225m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()2200001212121220000y y y myy y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴()()()222222000102012012000255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025m x mx y -=()()()2222000102012012024m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．【点睛】本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为9,x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离．【答案】（1）221164x y +=．90x --=．（2． 【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.（2）曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩，设()4cos ,2sin P αα，计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】 （1）由221613sin ρθ=+，得2223sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为22416+=x y ，即221164x y +=．直线l的直角坐标方程为90x --=．（2）可知曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()4cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈，则()2cos ,sin M αα到直线:90l x --=的距离为d ==≤所以线段OP 的中点M 到直线l． 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力. 23．设函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求()()22212x y z ++++的最小值．【答案】（1）{1x x ≤-或}1x ≥（2）最小值为274． 【解析】（1）讨论1x <-，112x ≤≤-，12x >三种情况，分别计算得到答案. （2）计算得到32x y z ++=，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当112x ≤≤-时，由23x -+≥，解得1x =-； 当12x >时，由33x ≥，解得1x ≥． 所以所求不等式的解集为{1x x ≤-或}1x ≥． （2）根据函数图像知：当12x =时，()min 32a f x ==，所以32x y z ++=． 因为()()212x y z ++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2221221212x y z x y x z y z =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()222312x y z ⎡⎤≤++++⎣⎦，由32x y z ++=，可知()()281124x y z ++++=⎡⎤⎣⎦， 所以()()22227124x y z ++++≥， 当且仅当32x =，12y =，12z =-时，等号成立． 所以()()22212x y z ++++的最小值为274．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.。
2020年6月河南省大教育合作学校2020届高三质量检测第四次联考(全国卷)文科数学答案
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高三数学第四次联考试题 文 试题
五校联盟2021届高三第四次联考试卷文科数学本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
第一卷1至2页。
第二卷3至4页。
第一卷〔本卷一共12小题，每一小题5分，一共60分〕考前须知1．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
2．在答题之前认真阅读答题卡上的“考前须知〞。
参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+ 假如事件A 、B 互相HY ，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中事件A 发生k 次的概率为0()1()(=-=-k p p C k P k n kk n n ，1，2，… ，)n球的外表积公式：24R S π=〔R 为球的半径〕 球的体积公式：334R V π= 〔R 为球的半径〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，那么()U C M N ⋃ =( )(A) {5，7} 〔B 〕 {2，4} 〔C 〕{} 〔D 〕{1，3，5，6，7} 2.“0a b >> 〞是“222ab a b <+ 〞成立的〔 〕A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分且必要条件D 不充分且不必要条件0.5()2log (1)f x x x =+>，那么)(x f 的反函数是〔 〕A ．)2(2)(21<=--x x f xB ．)2(2)(21>=--x x fxC ．)2(2)(21<=--x x fx D ．)2(2)(21>=--x x fx4. 假设4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭那么tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕 A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-5. 在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，那么此数列的前13项之和为〔 〕 A ．24 B ．39 C ．52 D ．1046.在坐标平面内，)0,0(O )0,5(),2,1(Q P ， OPQ ∠的平分线交x 轴于点S .记,,b PQ a PO ==那么=PS ( )A.b a PS 3132+=B.b a PS 3231+=C.b a PS 5154+=D. b a PS 5451+= 111ABC A B C -的侧棱长与底面边长都相等，那么直线1AC 与侧面11ABB A 所成角的正弦值等于〔 〕A ．4 B ．4．2D ．28.假设过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x y x ++-=在第一象限内的局部有交点，那么k 的取值范围是〔 〕A. 0k <<B.0k <<C.0k <<05k <<9.有5张音乐专辑,其中周杰伦的3张(一样), 郁可唯和曾轶可的各1张.从中选出3张送给3个同学(每人1张).不同送法的种数有( ) A. 120 B.60 C10.如图，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、.过点1F 作倾斜角为30的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P .假设线段1PF 的中点M 落在y 轴上，那么双曲线的渐近线方程为 〔 〕A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 3±=D ．x y 2±=ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3=AB ，在外接球面上B A 、两点间的球面间隔 是〔 〕 Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π6()f x (1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，那么( )(A) )3(-x f 是偶函数 (B) )4(-x f 是偶函数 (C) )4()(+=x f x f (D) )5(+x f 是奇函数绝密★启用前2021届高三年级五校第二次联考试卷第二卷〔本卷一共10小题，一共90分〕考前须知1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。
2020届全国大联考高三4月联考数学(文)试题(解析版)
2020届全国大联考高三联考数学（文）试题一、单选题 1．不等式110x->成立的充分不必要条件是（ ） A ．1x > B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -≤≤或1x > 【答案】A【解析】求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】 解110x->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意. 故选：A 【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2．复数 12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）A B ．3C ．5D 【答案】C【解析】根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解. 【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C 【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算. 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选. 【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,//m n αα，则//m nC ．若//,m αβα⊂，则//m β.D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂. 【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C 【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.5．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式：13169d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭.若球的半径为1r =，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为( )A ．43π B ．916C ．94π D ．92【答案】D【解析】根据半径为1可得直径为2，代入公式，解方程即可得解. 【详解】球的半径为1r =，则直径为2，根据公式13169d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1316162,899V V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以V =92. 故选：D 【点睛】此题以中国优秀传统文化为背景，实际考查球的体积公式辨析，根据题目所给条件，建立等量关系解方程.6．如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．3k >？B ．4k >？C ．5k >？D ．6k >？【答案】C 【解析】【详解】 执行循环得2,2;3,437;4,14418;5,36541;k S k S k S k S ====+===+===+=结束循环，输出41S =，所以判断框内应填入的条件是4?k >，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】解：因为22103331111013244a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<==<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33log log 31c π=>=，所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.8．下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（数码相对位置相同）的是（）A．（Ⅰ）和（Ⅳ）B．（Ⅰ）和（Ⅲ）C．（Ⅱ）和（Ⅲ）D．（Ⅱ）和（Ⅳ）【答案】B【解析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．【详解】（Ⅰ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（Ⅱ）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；（Ⅲ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（Ⅳ）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（Ⅰ）和（Ⅲ）故选：B．【点睛】本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．9．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A．16B．13C．23D．45【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率10221203 p-==-【考点】几何概型10．双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作一条直线与两条渐近线分别相交于,A B 两点，若112F B F A =，122F F OB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】【详解】如图所示，连接2F B ，又由122F F OB =，且O 为12F F 的中点，所以01290F BF ∆=，因为112F B F A=，即112F B F A =，所以A 为线段1F B 的中点， 又由于O 为12F F 的中点，所以2//OA F B ，所以1OA F B ⊥，所以1AOF AOB ∠=∠， 又由直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线，则12AOF BOF ∠=∠，所以0260BOF ∠=，则2tan 3bBOF a=∠=， 所以双曲线的离心率为21()2c be a a==+=，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到,a b 的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.11．已知直线x t =分别与函数()()2log 1f x x =+和()()22log 2g x x =+的图象交于,P Q 两点，则,P Q 两点间的最小距离为（ ）A ．4B ．1C 2D ．2【答案】D【解析】根据题意得到PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值，()()()2222t+22log 2log 1log t+1PQ t t ⎛⎫⎪=+-+= ⎪⎝⎭，通过换元，借助均值不等式求得最值. 【详解】根据题意得到PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值，()()()2222t+22log 2log 1log t+1PQ t t ⎛⎫⎪=+-+= ⎪⎝⎭设t+1=u,t=u-1>0,原式等于()22211log log 2uu u u +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭根据均值不等式得到21124,log 2 2.u u u u ⎛⎫++≥++≥ ⎪⎝⎭故当且仅当u=1，t=0是取得最值. 故答案为：D. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．1ln3,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x x m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B.【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.二、填空题13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150～号，并分组，第一组15～号，第二组610～号，⋯，第十组4650～号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______ 的学生． 【答案】37【解析】系统抽样时，各组抽得的号码是公差为5的等差数列，故可求第八组抽得的号码． 【详解】设第n 组的号码记为{}n a ，依据系统抽样，则有{}n a 是公差为5的等差数列． 又312a =，故8125537a =+⨯=，故填37． 【点睛】本题考察系统抽样，为基础题，注意系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）．14．某公司计划在2020年春季校园双选招聘会招收x 名女性，y 名男性，若,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为__________.【答案】13【解析】根据题意，作出可行域，转化为线性规划问题，求x+y 的最大值. 【详解】由题,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，该公司计划在本次校招所招收人数为z x y =+，作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.其中()()()3,1,6,4,6,7A B C ，y x z =-+，当直线经过C 点时取得最大， 即13z =，此时女生6名，男生7名. 故答案为：13 【点睛】此题考查线性规划问题的实际应用，关键在于准确作出可行域，根据目标函数平移直线求出最值取得的条件，注意考虑横纵坐标取整数.15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意 x ∈R 都有()()3f x f x +=且()14f -=，则()4f 的值为__________.【答案】4【解析】根据题意，结合周期性和奇偶性可得()()()4114f f f ==-=.【详解】由题()f x 是定义在R 上的偶函数，()()3f x f x +=， 所以()()()4114f f f ==-= 【点睛】此题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，根据奇偶性和周期性求函数的值，关键在于熟练掌握性质的应用.16．过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若4,AFAF BF OF==__________. 【答案】54【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据4=AF BF ，所以4AF BF -=得214x x =-，设直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求解. 【详解】由题意得22x py =， 则0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2pOF = 设直线AB 的方程为2py kx =+， 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x >因为4=AF BF ，所以4AF BF -= 则214x x =-由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x pkx p --=所以212122,x x pk x x p +==- 解得34k =-， 即直线AB 的方程为342p y x =-+又23422p y x x py⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理得222320x px p +-=解得2x p =-或2p x =，故(),,2,228p p A B p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以根据抛物线的定义可知5828p p AF p =+=， 所以54AF OF=【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，涉及焦半径公式，根据抛物线的几何意义，结合韦达定理的应用求解长度关系.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c，且sin cos c A C =（1）求角C 的值（2）若6ABC S a b ∆=+=，求c 的值 【答案】（1）3C π=（2）c =【解析】（1）利用正弦定理原式化为sin sin cos C A A C =，即可得解； （2）根据面积公式得8ab =，结合余弦定理变形()2222cos c a b ab ab C =+--即可求解. 【详解】（1）在ABC ∆中，sin cos c A C =∴结合正弦定理得sin sin cos C A A C =0A π<< sin 0A ∴>又cos 0C ≠，tan 3C C π∴=∴=()23ABC S C π∆==1sin 2ab C ∴=8ab ∴=又6a b +=2222cos c a b ab C ∴=+-()222cos a b ab ab C =+--3616812.=--=23c ∴=【点睛】此题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面积公式的应用，关键在于熟练掌握定理公式及其变形的应用.18．汽车尾气中含有一氧化碳（CO ），碳氢化合物（HC ）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废.某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： 不了解了解总计 女性 ab50 男性 153550 总计 pq100（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度%y 与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】(1) 有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. (2)0.07y t =.4.2倍.【解析】（1）根据题意计算,,,a b p q 的值，再利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K ，对照临界值得出结论，（2）由公式计算出ˆa和ˆb ，从而得到y 关于t 的回归方程，把12t =，代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度，从而可得答案。
河南广东等省2020届高三4月联考数学(文)试题 Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考文科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答题信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】可用列举法列出所有真子集即可.【详解】由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1.故选：C .【点睛】本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2.如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A. 0B. 2i +C. 2i --D. 12i -+【答案】C【解析】【分析】 由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可.【详解】由图可得：112z i =-+，2z i =，∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--.故选：C .【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3.若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行，则a =( ). A. 2 B. 2 2 D. 8 【答案】A【解析】【分析】由a b ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-，即可求得a .【详解】由a b ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =，所以()2,2a =-， 可得()22222a =-+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4.若函数()221x x a f x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( ) A. 1-B. 1C. 1或1-D. 0【答案】A【解析】【分析】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a .【详解】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 即222121x x x x a a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=， 即1111222121a a ----=++， 解得1a =-.此时()1f x =偶函数，故选：A .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确.【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C .【点睛】本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题. 6.若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p 的一个焦点，则p =( ) A. 2B. 4C. 8D. 16 【答案】D【解析】【分析】 分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162p p p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p 的一个焦点是()20p ，， 由条件得22p p =，解得16p =. 故选：D .【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7.函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】排除法：根据函数()32x y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可.【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ；函数有1-，0，1三个零点，故排除A ；当2x =时，函数值为正数，故排除B .故选：C .【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A. 13B. 23C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积.【详解】由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面上的高为1221+12=，斜边为2. 直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D .【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题.9.已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A. x y z << B. y x z <<C. z y x <<D. y z x <<【解析】【分析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<. 【详解】∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∵()3log 20,1y =∈，∴y x z <<.故选：B .【点睛】本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10.在ABC 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，sin a A =，则角C 为（ ） A. 12πB. 712πC. 12π或712πD. 4π 【答案】C【解析】【分析】 根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 【详解】∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：sin a A =，即sin sin A B A =，sin 0,A ≠可得()sin 0,24πB B B π=∈∴=或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π，【点睛】本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11.如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）29B. 3541 D. 213【答案】C【解析】【分析】 由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离.【详解】由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22461101++=()2241661++=()2246165++=. （2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22226213++=()22262217++=()22262217++=（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()2223441++=()2224335++=()2223453++=综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B 41故选：C .【点睛】本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12.倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A. 2B. 2 1 1【答案】B【解析】【分析】 方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22b QF a=， ∴2b c a=. 又222b a c =-，∴2240c c --=，得1c =.∴22c =.故选：B .【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.【答案】2【解析】【分析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可.【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题.14.曲线()cos x x f x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】【分析】 由题意可得切点()0,1，对()cos x x f x e =求导可得()01f '=-，即为切线斜率，由此可求其切线方程.【详解】由()0cos00=1f e=，可得切点()0,1， ()sin cos x x x f x e--'=，()01f '=-， 其切线方程为1y x -=-，即10x y +-=.故答案为：10x y +-=.【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题.15.函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值，则0tan x =__________. 【答案】43【解析】【分析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-，由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+，代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果.【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令3cos 5α=，4sin 5α，则()()5cos f x x α=-. 由题意得：()0cos 1x α-=，∴02x k πα=+. ∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为：43. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系，解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论，属于中等题. 16.若函数()2121x x f x -=+，则不等式()719f x +<的解集为__________. 【答案】{}42x x -<<【解析】【分析】根据绝对值的性质，结合函数的解析式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为()1121121x x f x ++-+=+，所以 ()11177217112842992198x x x f x x +++-+<⇒-<<⇒<<⇒-<<+. 故答案为：{}42x x -<<【点睛】本题考查了指数函数的单调性的应用，考查了指数不等式的解法，考查了绝对值不等式，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势；（2）研究人员用函数()0.65444502000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，经计算可得()6.52450P ≈，请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）【解析】【分析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；（2）根据函数的表达式及题意，可得()P t 表示2014+t 年的人口数量，不难得到()6.52450P ≈的实际意义．【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：2135208253-=；从2015年到2016年该地的人口增长数量：2203213568-=；从2016年到2017年该地的人口增长数量：2276220373-=；从2017年到2018年该地的人口增长数量：2339227663-=；从2018年到2019年该地的人口增长数量：2385233946-=；故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势.（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.（2）由题意，2014年年初对应时刻0t =，()P t 表示2014+t 年的人口数量，6.5t =，()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，故()6.52450P ≈其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人.【点睛】本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足36S =，33a =，数列{}n b满足210n n b b +-=，且0n b >，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求99T .【答案】（1）n a n =；（2）9【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由36S =，33a =列方程解得首项与公差，由此可得通项；（2）将{}n a通项代入210n n b b +-=，由一元二次方程求根公式可得n b ，再利用裂项相消求出99T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =，33a =得：1336a d +=，123a d +=.解得：11a =，1d =.∴n a n =.（2）由（1）得：210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得：2n b -==∵0n b >，∴n b =.∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==. 【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和，等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可，本题求解99T 的关键是求n b ，考查一元二次方程与数列的综合应用，属于中等题.19.已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，且OB 、OA 、2OF 成等比数列.（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB 的形状，并说明理由.【答案】（1）e =；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】【分析】 （1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ，由题设可得2b ac =及222b a c =-，消b 得a 、c 齐次式，解得离心率；（2）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.方法一：利用向量10AF AB ⋅=，方法二：利用斜率11AF AB k k ⋅=-，方法三：利用勾股定理22211F A AB F B +=，可得到1F AB 是直角三角形.【详解】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ， 则OB a =、OA b =、2OF c =由题设2b ac =及222b a c =-，消b 得：22ac a c =-即210e e +-=.解得：e =e =又01e <<，则e =.（2）方法一：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>， 则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.∴()1,AF c b =--，(),AB a b =-，∴210AF AB ac b ⋅=-+=，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法二：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>， 则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =. ∴1AF b k c =，AB b k a=-， ∴121AF ABb k k ac ⋅=-=-，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法三：由条件得：在1F AB 中，1F A a ==，1F B c a =+，AB =. 222212F A AB a b +=+，()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+， ∴22211F A AB F B +=，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题．20.如图，在四棱锥C ABEF -中，底而ABEF 为菱形，且菱形ABEF 所在的平面与ABC 所在的平面相互垂直，4AB =，2BC =，BC BE ⊥，60ABE ∠=︒.（1）求证：//AB 平面CEF ；（2）求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长.【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】【分析】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，由此可证.（2）取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，OE AB ⊥，进一步可证BC ⊥平面ABEF ，由勾股定理可求出侧棱CB ，CE ，CF ，CA 的长度，得到最长的是CF ，或可先判断CF 最长，求解出长度即可.【详解】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF . ∴AB ∥平面CEF .（2）方法一：取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥，又∵BC BE ⊥，OEBE E =， ∴BC ⊥平面ABEF ，又AB ，BF ⊂平面ABEF ，∴BC AB ⊥，BC BF ⊥，在菱形ABEF 中，4AB BE EF FA ====，60ABE ∠=︒，120BEF ∠=︒， BC BE ⊥，2BC =.在Rt ABC △中，2225AC AB BC =+=在Rt EBC 中，2225EC EB BC +=.在RtFBC △中，2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=，∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ，CE ，CF ，CA 中最长的是CF .∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二：取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥，又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥，又∵BC BE ⊥，OE BE E =，∴BC ⊥平面ABEF .又AB ，BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥，BC BF ⊥.在菱形ABEF 中，BF AB >，BF BE >，∴CF 最长.在Rt BCF 中，22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213【点睛】本题考查线面平行的证明及棱长求解，考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用，在借助勾股定理求解即可，考查空间思维及推理能力，属于中等题.21.已知函数()ln f x x x =-+，()f x 的最大值为a .（1）求a 的值；（2）试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.【答案】（1）1-；（2）无实数解【解析】【分析】（1）由题意，对函数f （x ）=-x +lnx 求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x （x -lnx ）|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断．【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+，则0x >，可得()111f x x x x-=-+='， 令()0f x '=，x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数，∴()()11max x a f f ==-=；(2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+， 由(1)知f (x )max =f (1)=−1，即−x +lnx ≤−1，∴|x −lnx |≥1，又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x -'=， 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0，得x >e ，∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞)，∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1， ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立， ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，根的存在性及根的个数判断，根的存在性及根的个数判断稍难，此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题，属于中等题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围.【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围.【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. 方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=. 由()221t x t -=+得：2212x t x +=-；由31y t =+得：3y t y -=. ∴22312x y x y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,522⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：5d =.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件.试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-，所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m ->又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++= ()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 2133≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立， 所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。
江西省百所名校2020届高三第四次联考数学(文)试题 Word版含解析
高三重点中学模拟考试数学（文科）一、选择题1.全集U =R ，(){}ln 1A x y x ==-，()(){}120B x x x =+-<，则A B =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2【答案】D 【解析】 【分析】求得对数函数定义域和二次不等式，解得集合,A B ，再求交集即可. 【详解】要使得函数()ln 1y x =-有意义，则10x ->，故{}1A x x =>； 不等式()()120x x +-<，解得12x -<<，故{}12B x x =-<<； 所以()1,2A B ⋂=. 故选：D.【点睛】本题考查集合交运算、二次不等式求解、对数函数定义域，属综合基础题. 2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数432i z e iπ=+的模为（ ）3 5 C. 22 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得42222ieiπ=+，代入432i z e i π=+并对其化简，再代入模长计算公式即可. 【详解】因为422ie π=， 所以4323112i z e i i i iπ==-++=-，从而z =. 故选：B【点睛】本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.3.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的方程为20x y -=，则C 的离心率为（ ）C.32D.5【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程求得,a b 关系式，结合离心率公式即可求得. 【详解】因为C 的渐近线方程为12y x =±，所以12b a =，故离心率e ==. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.4.在递增的等差数列{}n a 中，212,a a 是方程26061x x -=-的两实数根，则公差d =（ ） A.12B.35C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次方程，根据题意解得212,a a ，即可求得数列公差.【详解】因为方程26061x x -=-的两实数根为2-和8，且{}n a 为递增数列， 所以22a =-，128a =，故公差122110a a d -==. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，属基础题.5.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值[)0,50[)50,100[)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ，20天中AQI 指数值高于100，低于150的天数为5，即占总天数的14，故A 正确；对于B ，20天中AQI 指数值有10天低于100，故B 正确；对于C ，20天中AQI 指数值有10天低于100，10天高于100，根据图可知中位数略高于100，故C 错误；对于D ，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D 正确. 故选：C【点睛】本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.6.函数()2222x x x x e e f x e e--+=-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性、结合函数单调性，即可容易判断. 【详解】因为原函数的定义域为{}0x x ≠，且()()2222x x x x e e eef x f x ---+=-=-，知()f x 为奇函数，所以排除A ，又因为()222212111x x x x x x xe e ef x e e e e--++===+---， 当0x >时，函数为减函数，且()1f x >，排除B 、C.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，涉及指数函数，属综合基础题.7.下图是为了统计某班35名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中i A 表示第i 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（ ）A. 37?i ≤B. 36?i ≤C. 35?i ≤D. 34?i ≤【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得到流程图的功能是求35位学生的平均学习时间，再根据流程图来判断循环结束条件即可.【详解】读取流程图可知，当计算了前34位学生的学习时间的和后， 再执行1i i =+后，得35i =，此时应满足判断框的条件；当计算了前35位学生学习时间的和后，再执行1i i =+后，得36i =， 此时应不满足判断框的条件.故应填入“35?i ≤”. 故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图中的循环条件的判断，属于一般题.8.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AD 的中点，F 为正方形11B C CB 的中心，则异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为（ ） A. 30-B.30 C. 0 D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系D xyz -，写出相关点的坐标，代入数量积的夹角公式即可. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，建立空间直角坐标系D xyz -， 不妨设正方体的棱长为2，则()2,0,0A ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,0,0E ， 所以()1,2,1AF =-，()11,0,2A E =--， 故11130cos ,3065AF A E AF A E AF A E⋅===-⨯.因为异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为30.故选：B【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了学生的计算能力，属于一般题. 9.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+()0,ωπϕπ>-<<的部分图象如图所示，为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()222cos 2sin 22xxg x ωω=-的图象向右平移()0m m >个单位长度，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中给的图像，可求出2ω=和3πϕ=，再根据三角函数的图像变换即可得.【详解】由图可知43124T πππ=-=，即T π=， 所以2ππω=，2ω=，故()()2sin 2f x x ϕ=+， 因为2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()262k k Z ππϕπ+=+∈，因为πϕπ-<<，所以3πϕ=，即()2sin 22cos 22cos 23612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()222cos 2sin 2cos2g x x x x =-=，所以为了得到函数()f x 的图象， 需要将函数()g x 的图象向右平移12π个单位长度.故选：A【点睛】本题考查了三角函数图像以及图像变换，属于一般题.10.已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且满足()()33f x f x -=-+，且当11x -≤≤时，()()ln 2f x x x =+，则()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++=（ ）A. ln3B. ln3-C. 4ln 2ln3-D.4ln 2ln3+【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数且满足()()33f x f x -=-+，可得到函数的周期，再计算出一个周期的和，即可得到答案.【详解】因为函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数， 所以()y f x =的图象关于直线1x =对称. 因为()()33f x f x -=-+，所以()y f x =的图象关于点()3,0对称， 所以()f x 是以8为周期的周期函数.又()10f -=，()00f =，()1ln3f =，()()200f f ==，()()310f f =-=，()()420f f =-=，()()51ln3f f =-=-，()()600f f =-=，所以()()()()101...60f f f f -++++=，故()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++ ()()()()()()101234ln3f f f f f f =-+++++=.故选：A【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性，对称性，周期性，考查了学生的计算能力，属于一般题.11.定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有()()20xf x f x '+-≤，则不等式()22412236x x x f x f ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（ ）A. ()4,+∞B. ()(),124,-∞+∞C. ()12,4-D. (),12-∞-【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()2g x x f x =，根据其单调性和奇偶性，求解不等式即可.【详解】令()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+，∵当0x ≥时，恒有()()20xf x f x '+≤，∴()0g x '≤， ∴()g x 在[)0,+∞上为减函数. ∵()f x 为偶函数，∴()g x 为偶函数.∵()22412236x x x f x f ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于22229366x x x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴236x x g g ⎛⎫⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于236x x <-， 即212x x <-，两边平方化简为()()4120x x -+<， 解得124x -<<，∴原不等式的解集为()12,4-. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式，涉及函数奇偶性的判断、构造函数法，利用导数判断函数单调性，属中档题.12.已知抛物线2:2C y x =，过点(),0E a 的直线l 与C 交于不同的两点()11,P x y ，()22,Q x y ，且满足124y y =-，以Q 为中点的线段的两端点分别为,M N ，其中N 在x 轴上，M 在C 上，则PM 的最小值为（ ）B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线l 方程，联立抛物线方程，根据韦达定理求得a ；设出PM 方程，利用韦达定理，将目标式转化为关于未知量的函数，求函数值域即可求得结果. 【详解】设l 的方程为x my a =+，代入C ，得2220y my a --=，所以122y y m +=，1224y y a =-=-，可得2a =. 设直线PM 方程为x ny b =+，()33,M x y ，同理得132y y n +=，132y y b =-，所以3132122y y y b b y y y a ===， 又Q 为中点，所以322y y =，即24b a ==.所以138y y =-，所以13PM y =-==4298y n n =++，令2n t =，则()298,0y t t t =++≥，其对称轴902-<， 故当且仅当20t n ==时取得最小值.故当0n =，即PM x ⊥轴时，PM 最小，最小值为. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，涉及韦达定理的使用，属压轴题. 二、填空题13.若非零向量,a b ，满足3a b =，()3a b b -⊥，则a 与b 的夹角的余弦值为______. 【答案】19【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，根据数量积的运算即可.【详解】设a 与b 的夹角为θ，由()3b b a -⊥， 可得()233cos 0a a b b b b θ-⋅=-=，又因为3a b =， 所以229cos 0b bθ-=，解得1cos 9θ=. 故答案为：19【点睛】本题考查了数量积的运算，考查了向量垂直的转化，属于较易题.14.若实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为______.【答案】10 【解析】 【分析】先由已知条件画出约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩可行域，根据可行域即可求出x y+的最大值.【详解】因为实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则由题意可得当经过A 点时x y +有最大值，联立22034120x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得46x y =⎧⎨=⎩，即()4,6A ，所以()max 10x y += 故答案为：10【点睛】本题考查了简单的线性规划，利用可行域求目标函数的最大值，属于较易题. 15.已知高为36π，则该正三棱柱的底面边长为______.【答案】【解析】 【分析】根据外接球体积求得半径，根据正三棱柱的几何性质，列方程求解即可. 【详解】因为正三棱柱的外接球的体积为36π，所以外接球的半径为3，又因为正三棱柱的高为2=，设底面正三角形的边长为a 2=，得a=故答案为：【点睛】本题考查棱柱外接球的问题，属中档题. 16.在数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足()()*1331230,,2n n x S x S x x n N +⎛⎫-=+≠≠-∈ ⎪⎝⎭.令()1n n a f x a +=，则()f x =______；若数列{}n b 满足11n n b f b +⎛⎫=⎪⎝⎭，11b =，则2020b =______. 【答案】 (1). 233x x+ (2). 1347 【解析】 【分析】利用,n n a S 的关系，即可容易求得()f x ；根据所求()f x ，容易得{}n b 是等差数列，根据基本量求解结果即可.【详解】由题知，当1n =时，()()12131230x a a x a +--+=， 因为11a =，所以2233x a x +=，所以21233a x a x +=. 当2n ≥时，有()()131230n n x S x S +--+=，①()()131230n n x S x S ---+=，②①－②得()13230n n xa x a +-+=，即1233n n a x a x++=， 于是()233x f x x+=； 又因为11b =，11232133n n n nb b b b +⋅+==+⋅， 所以123n n b b +-=，即{}n b 是以1为首项，23为公差的等差数列，所以()121133n b b n d n =+-=+，所以20201347b =. 故答案为：233x x+；1347. 【点睛】本题考查利用,n n a S 的关系求数列的通项公式，以及等差数列通项公式的求解，属综合中档题. 三、解答题17.今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占3.（1）试估计50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率；（2）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95％的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；参考表：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）740；（2）列联表见解析,有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关.【解析】【分析】（1）根据题意，计算出50岁及以上确诊人数，结合50岁及以上的全部人数，即可计算；（2）补充列联表，计算2K，结合参考数据，即可判断.【详解】（1）因为100人中确诊的有10名，50岁以下的人占3 10，所以50岁以下的确诊人数为3，50岁及以上确诊人数为7，因为50岁及以上的共有40人，所以50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的频率为7 40.（2）列联表补充如下：()2210075733325 4.167 3.841109040606K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关. 【点睛】本题考查频率的计算，2K 的计算，属综合基础题.18.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为边BC 上一点sin B =3cos 5BAD ∠=（1）求cos ADC ∠；（2）若3a =，D 为BC 的三等分点（靠近C 点），求b .【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用()cos cos ADC BAD B ∠=∠+∠，结合余弦的和角公式即可求得结果； （2）利用正弦定理求得AD ，再用余弦定理求得b .【详解】（1）由题知cos B =，故可得sin B =； 因为3cos 5BAD ∠=，则4sin 5BAD ∠=（锐角三角形）因为()cos cos cos cos sin sin 5ADC BAD B BAD B BAD B ∠=∠+∠=∠-∠=-（2）由题知2BD =，1CD =，在ABD △中，由sin sin AD BDB BAD=∠，可得AD = 在ADC 中，因为2222cos b AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠51218⎛=+-⨯= ⎝⎭,所以22b=.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形，属综合中档题；涉及余弦的和角公式.19.如图，在直五棱柱，11111ABCDE A B C D E-中，AB//ED，AB AE⊥，1AB ED==，12AE AA==，BC CD=，1BC C D⊥.（1）证明：CD⊥平面11BB C C；（2）求四棱锥111C BEE B-的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）通过证明1,CD BC CD CC⊥⊥，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）过1C作11C F B E⊥，证明1C F是所求棱锥高，再根据几何关系求得底面积和高，则问题得解.【详解】（1）证明：因为五棱柱11111ABCDE A B C D E-为直五棱柱，所以1BC CC⊥.又1BC C D⊥，且111CC C D C⋂=，所以BC⊥平面1C CD.因为CD⊂平面1C CD，所以BC CD⊥.因为BC CD⊥，1CD CC⊥，1CC BC C⋂=，所以CD⊥平面11BB C C.（2）过1C作111C F B E⊥，垂足为F，因为五棱柱是直五棱柱，故可得1BB⊥平面111C E B，又1C F⊂平面111C E B，故可得11C F BB⊥，又111,B E BB⊂平面11BEE B，1111B E BB B=故1C F⊥平面11BEE B，即1C F是所求棱锥的高.连接11B D，因为1111B C C D=，所以111B C D△是以1C为直角顶点的等腰直角三角形. 因为AB//ED，AB AE⊥，1AB ED==，12AE AA==，所以11112BC C D=，115B E=，从而1125BEE BS=.又1111tan2E B D∠=，111tan1D B C∠=，故111112tan31112E B C+∠==-⨯，从而111310sin E B C∠=.在11B C F△中，11111135sinC F B C E B C=⋅∠=故四棱锥111C BEE B-的体积111111123C BEE B BEE BV S C F-=⨯⋅=.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，涉及棱锥体积的求解，属综合中档题.20.如图，设F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为左、右顶点，2AF =，离心率12e =，过点()8,0P -作直线l 与椭圆相交于不同的两点,M N .（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求MNF 面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）33【解析】 【分析】（1）根据AF 长度，以及离心率即可列方程求得,,a b c ，则椭圆方程得解；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理求得弦长，表示出三角形的高，构造面积关于参数的函数，利用均值不等式即可求得. 【详解】（1）因2AF a c =-=，12c e a ==， 所以2c =，4a =， 所以2223b a c -=，故C 的标准方程为2211612x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为8x my =-，联立228,1,1612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，由()()()2224843414457640m m m =--+⨯=->△，解得2m >或2m <-，且1224834m y y m +=+，12214434y y m =+，21234MN y m =-=+. 又点F 到直线l的距离d ==所以1122MNFS MN d =⋅==△7216=≤=当且仅当=，即m =时取等号， 所以MNF面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆中三角形面积的最值问题，属综合中档题. 21.已知函数()2ln 1af x x x=++的图象在()()22f ,处切线与直线3420x y+=-平行. （1）求实数a 的值，并判断()f x 的单调性；（2）若函数()()21g x f x m =--有两个零点12,x x ，且12x x <，证明121x x +>. 【答案】（1）1a =,()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求得参数a ；对函数求导，根据导数的正负即可判断函数单调性；（2）根据题意，由对数运算，建立12,x x 之间的关系，引入参数t ，构造函数()()12ln 01h t t t t t=--<<，利用导数判断其单调性，即可证明不等式.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22x af x x -'=，由()43244a f -'==，解得1a =， 所以()12ln 1f x x x=++，()222121x f x x x x -'=-=，由()0f x '<，得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 由()0f x '>，得12x >，故()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）证明：()12ln 2g x x m x=+-，由12,x x 为函数()g x 的两个零点， 得111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=， 即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x x x x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，由12x x <，知01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t -=+-=>'，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()10h t h <=，即12ln t t t-<， 又ln 0t <，所以112ln t t t->，即121x x +>.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数单调区间的求解，以及利用导数证明不等式，属压轴题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()1,0-，且斜率为12，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线,OM ON 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈. （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程； （2）已知直线OM 与直线l 的交点为P ，直线ON 与曲线C 的交点为O ，Q ，求OQOP 的值.【答案】（1）4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；cos 2sin 10ρθρθ-+=（2）4OQ OP=- 【解析】【分析】 (1)先把参数方程转化为普通方程，再由普通方程转化为极坐标方程即可；(2)把()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈代入对应的极坐标方程求出OP ，OQ 代入即可.【详解】解：（1）∵曲线C的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩∴曲线C的普通方程为((224x y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，整理得0ρθθ-+=，即曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∵直线l 过点()1,0-，且斜率为12， ∴直线l 的方程为210x y -+=，∴直线l 的极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=.（2）当6πθ=时，142sin cos 66OP ππ==+- 当4πθ=-时，4cos 444OQ ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故4OQ OP ==-. 【点睛】本题考查了参数方程，普通方程转化为极坐标方程，极坐标方程的几何意义，属于一般题.23.已知函数()3131f x x x =-+-.（1）若()f x m ≤有解，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，实数m 的最小值为N ，若,,a b c 为正数，且a b c N ++=，证明：84222abc ab a b c+≥++-. 【答案】（1）[)2,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用三角不等式即可；(2)利用分析法和基本不等式证明不等式.【详解】（1）解：()()()313131312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()31330x x --≤，即113x ≤≤时取等号，所以()min 2f x =. 因为()f x m ≤有解，所以()min 2m f x ≥=，故m 的取值范围是[)2,+∞.（2）证明：由（1）可知，2N =，所以2a b c ++=， 将84222abc ab a b c +≥++-变形为84222abc ab a b c+--≥-， 即()()()2228a b c abc ---≥.因为2a b c -=+≥2b a c -=+≥2c a b -=+≥所以()()()2228a b c abc ---≥， 当且仅当23a b c ===时等号成立，所以84222abc ab a b c+≥++-. 【点睛】本题考查了三角不等式求最值，利用分析法和基本不等式证明不等式，属于一般题.。
2020届全国大联考高三4月联考文科数学试题
秘密★考试结束前 [考试时间：2020年4月2日 15:00~17:00]全国大联考 2020 届高三 4 月联考文科数学试卷注意事项：1．考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。
2．考试时间120分钟，满分150分。
3．本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。
4．考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 不等式>-x 110成立的充分不必要条件是 A. x>1 B. x>−1 C.x<−1或0<x< 1 D. −1<x<12. 复数z=1+2i 的共轭复数是z ，则z ·z =A. 3B. 3C. 5D. 53. 甲乙两名同学高三以来6次数学模拟考试的成绩统计如下图1，甲乙两组数据的平均数分别为 x 甲、 x 乙，标准差分别为σ甲、σ乙，则A. x 甲< x 乙，σ甲<σ乙 B. x 甲< x 乙，σ甲>σ乙C. x 甲> x 乙，σ甲<σ乙 D. x 甲> x 乙，σ甲>σ乙4. 设m,n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是A. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC. 若α∥β，m ⊂ α，则m ∥βD. 若m ∥β，m ⊂ α，则α∥β 5. 《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式：d =31)916(V .若球的半径为r=1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为A. 34πB. 169C. 49πD. 29 6．若需右边框图输出的值S=41，则判断框内应填入的条件是A ．k ＞3？B ．k ＞4？C ．k ＞5？D ．k ＞6？7. 已知,log ,41,3133132π=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 则a,b,c 的大小关系为A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8. 下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（即各面所标序号相对位置相同）的是A. (I)和(IV)B. (I)和(III)C. (II)和(III)D. (II)和(IV)9. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A. 61 B. 31 C. 54 D. 32 10 双曲线E: 2222by a x -=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作一条直线与两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若F F 112=，||2||21OB F F =，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．311. 已知直线x=t 分别与函数f(x)=log 2(x+1)和g(x)=2log 2(x+2)的图象交于P ，Q 两点，则 P ，Q 两点间的最小距离为A. 4B. 1C.2 D. 212. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x)，且对任意的不相等的实数 x 1，x 2∈[0,+∞)有 2121)()(x x x fx f -⋅＜0成立，若关于x 的不等式f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是A. [e 21 ,1+63ln ]B. [e 1,2+36ln ]C. [e 1,2+33ln ]D. [e 21 ,1+66ln ]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名 学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～ 50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为____的学生. 14. 某公司计划在2020年春季校园双选招聘会招收x 名女性，y 名男性，若x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-6252x y x y x ，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为________.15. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f(x+3)=f(x)且f(−1)=4，则f(1)的值为_______.16. 过抛物线C ：x 2=2py （p>0）的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4|AF|=|BF|，O 为坐标原点，则 =||||OF AF _______. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
全国大联考2020届高三第四次联考文科
C. D.
7.已知 是双曲线 ( 为常数)的一个焦点,则点 到双曲线 的一条渐近线的距离为( )
A. B.
C. D.
8.关于函数 在区间 的单调性,下列叙述正确的是( )
A.单调递增B.单调递减
C.先递减后递增D.先递增后递减
9.在棱长为 的正方体 中, 、 、 分别是 、 、 的中点,又 、 分别在线段 、 上,且 ( ),设平面 平面 ,则下列结论中不成立的是( )
第11题：
【答案】C
【解析】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴,∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.
第12题：
【答案】D
【解析】因为过点椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.
第13题：
【答案】
【解析】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.
第14题：
【答案】
第19题：
【答案】见解析
【解析】(1)因为抛物线()过点,所以,所以,∴抛物线的方程为. (2)由题意知直线的斜率存在,可设直线的方程为,,,因为,所以,联立 ,化简得,所以,,所以,,解得,所以.
第20题：
【答案】见解析.
【解析】(1)连接,在四边形中,,平面,面,∴,,∴面,又∵面,∴,又∵在直角三角形中,,为的中点,∴,,∴面,面,∴. (2)以,∴,,,,∴,∴,设点到平面的距离为,∵,∴,∴.
A. 平面
B.
C.当 时,平面 平面
D.当 变化时,直线 的位置不变
10.已知抛物线 ( ), 为抛物线的焦点且 为过焦点的弦,若 , ,则 的面积为( )
A. B.
C. D.
11.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 ,若 , 的面积为 ,则 ( )
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2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. 若直线与圆相交所得弦长为，则
（）
A．1 B．2 C．D．3
3. 抛物线的准线方程是，则实数（）
A．B．C．D．
4. 已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（）
A．B．C．4 D．6
5. 已知，则p是q的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6. 一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）
A．B．C．D．
7. 已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）
A．2k B．4k C．4 D．2
8. 关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（）
A．单调递增B．单调递减C．先递减后递增D．先递增后递减
9. 在棱长为a的正方体中，E、F、M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段、上，且，设平面平面，则下列结论中不成立的是（）
A．平面B．
D．当m变化时，直线l的位置不变C．当时，平面
10. 已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若
，，则的面积为（）
A．B．C．
D．
11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.若，的面积为，则（）A．5 B．C．4 D．16
12. 存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得
过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
13. 若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若
，则该双曲线的离心率为________.
14. 如图，长方体中，，，E、F分别为CD、AB的中点，则异面直线与所成的角为________.
15. 已知在等差数列中，，，前n项和为，则
________.
16. 已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F与抛物线交于P、Q两点和椭圆交于A、B两点，M为抛物线准
线上一动点，满足，，则直线AB的方程为________.
三、解答题
17. 在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，
，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.
求证：（1）直线平面EFG；
（2）直线平面SDB.
19. 设抛物线过点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.
20. 已知在四棱锥中，平面ABCD，，在四边形ABCD 中，，，，E为PB的中点，连接DE，F 为DE的中点，连接AF.
（1）求证：；
（2）求点D到平面AEC的距离.
21. 已知椭圆的左右焦点分别是，，离心率
过点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过椭圆E的右焦点，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求的取值范围.
22. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论零点的个数.。