信号与系统第四章-傅里叶变换的性质
信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§3.7.1对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．性质2．说明§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§3.7.4 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。
解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。
幅度频谱无变化，只影响相位频谱§3.7.6 时移+尺度变换1.性质：2. 证明：(仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换§3.7.7 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.8 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9 时域微分性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
信号与系统教案第4章FT的性质
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量；
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
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第4-1页
信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
，进入相关章节
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
第4-10页
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
■
T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 f(t)
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算不便，因
而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 欧拉公式：cosx=(ejx + e–jx)/2
信号与系统傅里叶变换
n次谐波系数：
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(n1t)dt
2 T
2 2
A cos(n1t )dt
4A
n1T
sin n1
2
An
其有效值为：
A~n
2 2
An
36
将 n 1 代入上式，得基波有效值为：
A1
2 4A sin 1 10 2 sin18 2 1T 2
45 °
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
54
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
3
VxVyT VxiVyi 0
i 1
矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
如三维空间中，Vx (1, 0, 0) Vy (0,1, 0) Vz (0, 0,1) 所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A (1, 2.5, 4) 表示为 A Vx 2.5Vy 4Vz
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
一般而言 An cos(n1t n ) n 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约）,则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路:离散余弦信号0cos n ω(或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时,周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =; ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率: def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑(2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号（仅在有限时间区间不为零的非周期信号）为能量信号；③还有一些非周期信号,也是非能量信号。
⎰∞∞-=t t f E d )(2def3 ① ②4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移： 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意:带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度.正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
5、阶跃函数和冲激函数 (1)单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。
(2）单位冲激信号定义：性质：()1()00t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨⎪=≠⎩⎰ t1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2)偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4)微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3)冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
傅里叶变换的性质
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
jn1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1 0 1 21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时，F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
F1以及 F 如图2-19所示。
F1
A
2
4
2
0
4
F
A / 2
0 2 /
0
0
0
4、尺度变换 傅里叶变换的尺度变换特性表示为
若 f t F
则 f at 1 F
a a
a0
证： F f at f ate jtdt
a 0 令 at x ， 则 dt 1/ adx ， t x / a 代入上式
dn
例2-7 求 f t teatut 的频谱函数。
解：利用
eatut
1 a j
，则
teatut
F
j
d d
a
1 j
j
a
j j
2
1
a j2
8、对称（偶）性 傅里叶变换的对称特性表示为
若： f t F
则 Ft 2f
或 1 Ft f
2
证：
f t 1 F e jtd
2
dt
所以
1 jF e jtd
2
df t jF
dt
同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换
df n dt
t
傅里叶变换性质
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
六．频移特性
交换积分顺序 ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
续……
……续
证明
即
(flash)
频谱图
1 1 F G 0 G 0 2 2 E 0 E 0 Sa Sa 2 2 2 2
将包络线的频谱一分为 二，向左、右各平移 0
E 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
2
2
T
t
(a)三脉冲信号的波形
F0 E Sa 2
E
F0
2
O
(b)
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
相同
例3-7-6（教材例3-4） 已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,
第四章-傅里叶变换
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn
傅里叶变换的性质(一)
如果： F ( j )
[ f (t )]
则：
[ F (jt )] 2πf ()
证明：
1
f (t ) 2
F
(j
)e
j
t
d
变量与t互换
f () 1
F (jt )e j tdt
2
将用- 替换
f ( )
1
2
F ( jt )e j t dt
所以：
[ F (jt )] 2πf ()
2.对称性质（互易性质）
(t)
e at
(t 0) (t 0)
F ( j)
2 j 2 2
f(t) 0 F ( j)
t
j
实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数
4.时移性质
如果： F ( j) [ f (t)]
则：
[ f (t t0 )]
[ f (t t0 )]
其中： t0为实常数
j t
e 0 F ( j)
e j t0 F ( j )
FT [ f *(t)] F*( j)
FT [ f *(t)] F *( j)
时域共轭 频域共轭 并且反摺
频域共轭 时域共轭 并且反摺
3.奇偶虚实性
f (t) e t
F
( j)
2
2
2
f(t)
( t )
() 0
F ( j)
0
t
0
实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数
3.奇偶虚实性
eat
f
性
F1 ( j ) 2f ( ) 2 e a
1
例5：求 1 t 2 的傅里叶变换
解：
e t
e t
2 1 t2 1 1 t2
傅里叶变换的基本性质
的
傅里叶变换
不同于傅里叶系数
谐频点)取得了无穷大的频谱值。
，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即
例 3-20 图 3-27(a)表示一周期为 ，脉冲宽度为 ，幅度为 1 的周期性矩形脉冲信号，记为
。
试求其频谱函数。
解 由式(3-26)可知，图 3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号
和积分性求
解: 因为
，又
的频谱函数。 ，根据时域积分性
例 3-14 求图 3-23 所示信号
的频谱函数
。
解:
对 求两次微分后，得
且 由时域积分性
十、频域积分性 若
则 例 3-15 已知 解: 因为
，求
。
根据频域积分性
十一、时域卷积定理 若 则 证明：
例 3-16 图 3-24(a)所示的三角形函数
对于一般周期为 T 的周期信号
，其指数型傅里叶级数展开式为
式中
,
.
对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到 与时间 无关，可得
式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位
于信号的各谐波频率
处，其强度为相应傅里叶级数系数 的 倍。
可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号
一、复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号
，
因为
，由频移性
复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0 随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为 集中于 ，强度为 的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。
二、余弦、正弦信号的傅里叶变换
傅里叶变换性质及定理
仍以例1-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)
的频谱F0(ω)如图1-7(b)所示。 利用一个
低通滤波器（在后面介绍）， 滤除2ω0附
近的频率分量， 即可提取f1(t)， 实现解
调。
(a)
f (t)
f0(t)
低 通 滤波 器
f1(t)
cos0t
F() A 2
A 4
(b) － 20
－0
0
0
A F0() 2
0
A F1()/ 2 2Leabharlann 0A 420
图 1-7 一种同步解调的原理框图及频谱图
• 在通信系统中调制也广泛应用在多 路复用技术上， 即不同的信号频谱通过 调制， 可移至不同的载波频率上， 在同 一信道上发送而互不干扰， 实现“频分 多路”复用。
• 以上讨论的是频移特性在调制解调 中的一些具体应用， 调制解调理论及各 种实现调制解调电路是后续课程的内容， 已超出本课程范围， 不再讨论。
f2 (t)e jtdt
aF1() b F1()
利用傅氏变换的线性特性， 可以将待求信号分解为若 干基本信号之和， 如在上一节我们将阶跃信号分解为直流 信号与符号函数之和。
•
2. 时延（时移、 移位）性
•
若f(t)←→F(ω)， 则
f1(t) f (t t0 ) F1( ) F ( )e jt0 (3.3-2)
f (t) A
－
2
0
－A
图 1-4 例1-3f(t)
t
2
• 解 令f1(t)=gτ(t)，
则
而
F1( )
ASa
2
f (t) f1(t) cos0t
F ( )
《傅里叶变换详解》课件
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
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② X(ω)是ω的奇函数，因为sinωt是ω的奇函数。
如果f(t)是t的实奇函数，即偶分量fe(t)＝0，则
F( jω)＝R(ω)＋j X(ω)＝j X(ω)＝ 是ω的虚奇函数。
j f (t) sintdt 2 j f (t) sintdt
0
反之，如果F( jω)＝j X(ω)是ω的虚奇函数，则F( jω)对应的原函数f(t)一定是t实奇函 数。
② 尺度变换特性的特例——翻转特性
如果a＝－1，由尺度变换特性， 有：f(－t) ↔F(－jω) ——翻转特性
天津大学电子信息工程学
刘安
第四 连续系统的频域分析
例7 试求单位直流信号f(t)＝1，－∞< t <＋∞的频谱
解：不满足绝对可积
f(t)＝1＝ε(t)＋ε(－t)
ε(t)
↔
F1(
jω)＝πδ(ω)＋
证明：设a>0，
F f (at) f (at) e jtdt
f
j
( ) e a
d
1
a j f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
令at ，则 t ,dt d
a
a
t:-∞~+ ∞, :-∞~+ ∞
天津大学电子信息工程学
Байду номын сангаас
刘安
第四 连续系统的频域分析
类似地，若a<0，
第四 连续系统的频域分析
4、对称性
如果f(t) ↔F( jω)，则F( jt) ↔2π f(－ω) （注意变量代换，证明参见p144）
特殊情况：
如果f(t)是t的实偶函数，且f(t) ↔F(ω)（ω的实偶函数）， 则F(t) ↔2π f(－ω)＝2π f(ω)，或者 F1(t) ↔ f(ω)。
2
理解：若偶函数f(t)的频谱函数是F(ω)，则与F(ω)形式相同的时间函数F(t)的频 谱与f(t)形式相同，此处2π只影响坐标尺度，而不影响函数的基本特性。
1 j
,
ε(－t)
↔
F2(
jω)＝F1(－jω)＝πδ(－ω)－j
1
＝πδ(ω)－
1 j
f(t) ↔ F( jω)＝F1( jω)＝＋F2( jω)＝2πδ(ω)
即:
1↔2πδ(ω)
δ(t) ↔1
f(t)
1
↔
t
2πδ(ω) 2π
ω 0
天津大学电子信息工程学
刘安
第四 连续系统的频域分析
例8 试求符号函数Sgn(t)的频谱。（教材p141，式（4.4-28））
五、傅立叶变换的性质（properties of the Fourier transform）
信号的时域描述和频域描述之间的关系：f(t)与F( jω) 是对同一信号的 两种不同的描述，只要其中一个确定，另一个也随之唯一的确定。
1、线性（linearity）特性（齐次性＋可加性，或者均匀性＋迭加性 ）
| a | < 1，时域扩展a倍（变慢），各频率分量的幅度增大为 1 ，频带宽度压缩a倍，频
a
带变窄。
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刘安
第四 连续系统的频域分析
讨论： ① 意义：
f(t)＝gτ(t) gτ(t)
1
0
-
2
2
↔
↔ t
F( jω)＝ Sa 2 F(jω)
τ
ω
- 4 - 2
2
4
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刘安
第四 连续系统的频域分析
f(2t)＝gτ(2t)＝ g t
2
gτ(2t)
1
↔ 1 F j ＝ Sa 2 2 2 4
1 F j 2 2
2
t
-
4
0
4
ω
- 4
4
总结：若要压缩信号的持续时间，即提高信号传输速度，则必须以展宽 频带为代价，如何恰当的处理这一矛盾是通信技术的主要课题。
1,t 0
Sgn(t
)
0,
t
0
1,t 0
解：不满足绝对可积 Sgn(t)＝ε(t)－ε(－t)
ε(t)
↔
πδ(ω)＋
1 j
ε(－t)
↔
πδ(ω)－
1 j
所以Sgn(t) ↔
2 j
注：Sgn(t)不满足绝对可积条件，但其频谱函数中不包含冲激，原因是被
±πδ(ω)消掉了。
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刘安
F f (at) f (at) e jtdt
令 at
t:-∞~+
∞,，则:+t∞~a-,
dt
∞
d a
f
j
( ) e a
d
a
1
j
f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
综合二者：f (at) 1 F j
a a
总结：
1
| a | > 1，时域压缩a倍（变快），各频率分量的幅度下降为 a ，频带宽度扩展a倍。
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刘安
第四 连续系统的频域分析
3、尺度变换（比例性，反比特性） 如果 f(t) ↔F( jω)，则 f(at) ↔ 1 F j ，a 为实常数（a≠0）
a a
分两种情况表示，即：① f(at) ↔ 1 F j ，a > 0 a a
② f(at) ↔ 1 F j ，a < 0 a a
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刘安
第四 连续系统的频域分析
讨论：① R(ω)是ω的实偶函数，因为cosωt为ω的实偶函数。
如果f(t)是t的实偶函数，即f(t)＝f(－t)，则F( jω)＝R(ω)是ω的实偶函数。
反之，如果f(t) ↔F( jω)＝R(ω)，则f(t)一定是t的实偶函数，即f(t)＝f(－t)。
F( jω)＝ f (t) e jt dt
＝
fe (t)
fo (t) cost
j sintdt
＝
fe
(t)
costdt
＋j
fo (t) sintdt
＝R(ω)＋j X(ω) ＝|F( jω)|∙e jφ(ω)
其中，R(ω)＝
fe
(t)
costdt
，X(ω)＝
fo (t) sintdt
如果f1(t) ↔F1( jω)，f2(t) ↔F2( jω)， 则： af1(t) ↔aF1( jω)，其中为任意常数，称之为齐次性或均匀性
f1(t)＋f2(t) ↔F1( jω)＋F2( jω)，称之为可加性或迭加性 af1(t)＋bf2(t) ↔aF1( jω)＋bF2( jω)，线性特性 2、奇偶、虚实性 （f(t)＝fo(t)＋fe(t)）
③ 幅频特性，|F( jω)|＝ R2() 2() 是ω的偶函数。
④
相频特性： ( )
tg
1
() R()
是ω的奇函数。
作业(2011年期末考试题)：f(t)为虚函数，F( jω)＝R(ω)＋j X(ω)，证明： ①R(ω)=- R(-ω)， X(ω)= X(-ω) ②F( jω)=- F*( jω)
记忆：δ(t) ↔1，1↔2πδ(ω) 例9 试求抽样函数Sa(t)＝ sin t 的频谱函数。