信号与系统第四章-傅里叶变换的性质

天津大学电子信息工程学
刘安
第四 连续系统的频域分析
讨论：① R(ω)是ω的实偶函数，因为cosωt为ω的实偶函数。
如果f(t)是t的实偶函数，即f(t)＝f(－t)，则F( jω)＝R(ω)是ω的实偶函数。
反之，如果f(t) ↔F( jω)＝R(ω)，则f(t)一定是t的实偶函数，即f(t)＝f(－t)。
| a | < 1，时域扩展a倍（变慢），各频率分量的幅度增大为 1 ，频带宽度压缩a倍，频
a
带变窄。
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刘安
第四 连续系统的频域分析
讨论： ① 意义：
f(wk.baidu.com)＝gτ(t) gτ(t)
1
0
-
2
2
↔
↔ t
F( jω)＝ Sa 2 F(jω)
τ
ω
- 4 - 2
2
4
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1,t 0
Sgn(t
)
0,
t
0
1,t 0
解：不满足绝对可积 Sgn(t)＝ε(t)－ε(－t)
ε(t)
↔
πδ(ω)＋
1 j
ε(－t)
↔
πδ(ω)－
1 j
所以Sgn(t) ↔
2 j
注：Sgn(t)不满足绝对可积条件，但其频谱函数中不包含冲激，原因是被
±πδ(ω)消掉了。
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刘安
1 j
,
ε(－t)
↔
F2(
jω)＝F1(－jω)＝πδ(－ω)－j
1
＝πδ(ω)－
1 j
f(t) ↔ F( jω)＝F1( jω)＝＋F2( jω)＝2πδ(ω)
即:
1↔2πδ(ω)
δ(t) ↔1
f(t)
1
↔
t
2πδ(ω) 2π
ω 0
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刘安
第四 连续系统的频域分析
例8 试求符号函数Sgn(t)的频谱。（教材p141，式（4.4-28））
如果f1(t) ↔F1( jω)，f2(t) ↔F2( jω)， 则： af1(t) ↔aF1( jω)，其中为任意常数，称之为齐次性或均匀性
f1(t)＋f2(t) ↔F1( jω)＋F2( jω)，称之为可加性或迭加性 af1(t)＋bf2(t) ↔aF1( jω)＋bF2( jω)，线性特性 2、奇偶、虚实性 （f(t)＝fo(t)＋fe(t)）
F f (at) f (at) e jtdt
令 at
t:-∞~+
∞,，则:+t∞~a-,
dt
∞
d a
f
j
( ) e a
d
a
1
j
f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
综合二者：f (at) 1 F j
a a
总结：
1
| a | > 1，时域压缩a倍（变快），各频率分量的幅度下降为 a ，频带宽度扩展a倍。
证明：设a>0，
F f (at) f (at) e jtdt
f
j
( ) e a
d
1
a j f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
令at ，则 t ,dt d
a
a
t:-∞~+ ∞, :-∞~+ ∞
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第四 连续系统的频域分析
类似地，若a<0，
② X(ω)是ω的奇函数，因为sinωt是ω的奇函数。
如果f(t)是t的实奇函数，即偶分量fe(t)＝0，则
F( jω)＝R(ω)＋j X(ω)＝j X(ω)＝ 是ω的虚奇函数。
j f (t) sintdt 2 j f (t) sintdt
0
反之，如果F( jω)＝j X(ω)是ω的虚奇函数，则F( jω)对应的原函数f(t)一定是t实奇函 数。
② 尺度变换特性的特例——翻转特性
如果a＝－1，由尺度变换特性， 有：f(－t) ↔F(－jω) ——翻转特性
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刘安
第四 连续系统的频域分析
例7 试求单位直流信号f(t)＝1，－∞< t <＋∞的频谱
解：不满足绝对可积
f(t)＝1＝ε(t)＋ε(－t)
ε(t)
↔
F1(
jω)＝πδ(ω)＋
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第四 连续系统的频域分析
f(2t)＝gτ(2t)＝ g t
2
gτ(2t)
1
↔ 1 F j ＝ Sa 2 2 2 4
1 F j 2 2
2
t
-
4
0
4
ω
- 4
4
总结：若要压缩信号的持续时间，即提高信号传输速度，则必须以展宽 频带为代价，如何恰当的处理这一矛盾是通信技术的主要课题。
F( jω)＝ f (t) e jt dt
＝
fe (t)
fo (t) cost
j sintdt
＝
fe
(t)
costdt
＋j
fo (t) sintdt
＝R(ω)＋j X(ω) ＝|F( jω)|∙e jφ(ω)
其中，R(ω)＝
fe
(t)
costdt
，X(ω)＝
fo (t) sintdt
记忆：δ(t) ↔1，1↔2πδ(ω) 例9 试求抽样函数Sa(t)＝ sin t 的频谱函数。
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刘安
第四 连续系统的频域分析
3、尺度变换（比例性，反比特性） 如果 f(t) ↔F( jω)，则 f(at) ↔ 1 F j ，a 为实常数（a≠0）
a a
分两种情况表示，即：① f(at) ↔ 1 F j ，a > 0 a a
② f(at) ↔ 1 F j ，a < 0 a a
③ 幅频特性，|F( jω)|＝ R2() 2() 是ω的偶函数。
④
相频特性： ( )
tg
1
() R()
是ω的奇函数。
作业(2011年期末考试题)：f(t)为虚函数，F( jω)＝R(ω)＋j X(ω)，证明： ①R(ω)=- R(-ω)， X(ω)= X(-ω) ②F( jω)=- F*( jω)
五、傅立叶变换的性质（properties of the Fourier transform）
信号的时域描述和频域描述之间的关系：f(t)与F( jω) 是对同一信号的 两种不同的描述，只要其中一个确定，另一个也随之唯一的确定。
1、线性（linearity）特性（齐次性＋可加性，或者均匀性＋迭加性 ）
第四 连续系统的频域分析
4、对称性
如果f(t) ↔F( jω)，则F( jt) ↔2π f(－ω) （注意变量代换，证明参见p144）
特殊情况：
如果f(t)是t的实偶函数，且f(t) ↔F(ω)（ω的实偶函数）， 则F(t) ↔2π f(－ω)＝2π f(ω)，或者 F1(t) ↔ f(ω)。
2
理解：若偶函数f(t)的频谱函数是F(ω)，则与F(ω)形式相同的时间函数F(t)的频 谱与f(t)形式相同，此处2π只影响坐标尺度，而不影响函数的基本特性。