必修五基本不等式(第一课时)
(人教版)数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt课件
基本不等式的几何解释： 如图，AB 是圆的直径，C 是 AB 上一 点，AC＝a，BC＝b，过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连结 AD，BD.由射影定理或三角 形相似可得 CD＝ ab，由 CD 小于或等于 圆的半径a＋2 b，可得不等式 ab≤a＋2 b.当 且仅当点 C 与圆心重合，即当 a＝b 时，等号成立．
求函数 y＝x＋1x的值域． [错解] ∵y＝x＋1x≥2 x·1x＝2 等号在 x＝1x，即 x＝1 成立， ∴函数的值域是[2，＋∞)．
[辨析] a＋b≥2 ab是在 a>0，b>0 的条件下才成立，题目 中没有限定 x>0，函数的定义域应是(－∞，0)∪(0，＋∞)，因 此应分类讨论．
[正解] 显然函数 y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当 x>0 时，y＝x＋1x≥2 x·1x＝2(当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号)，
∴P<Q<R.
利用不等式求函数的最值
下列函数中，最小值为 2 的是( )
A．y＝
x2＋2＋
1 x2＋2
B．y＝lgx＋lg1x(1<x<10) C．y＝3x＋3－x(x∈R)
D．y＝sinx＋si1nx(0<x<π2)
[解析] 利用基本不等式，注意“一正、二定、三相 等”. x2＋2＋ x21＋2≥2，当且仅当 x2＋2＝ x21＋2，即 x2＋2 ＝1 时，等号成立，但 x2＋2≥2>1 显然不成立，∴A 不正确；
基本不等式教案第一课时
课题: §3.4
2
a b
+≤
第1课时
授课类型：新授课
【学习目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【能力培养】
培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
2
a b
+≤
的证明过程； 【教学难点】
2
a b
+≤
等号成立条件 【板书设计】
【教学过程】
1.课题导入
2
a b
+≤
的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角
形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2
2
a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2
22a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有
222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
基本不等式教案及教案说明
课题：基本不等式（第一课时）
授课人：李新平
教材：人教A 版必修五第三章第四节
1.教学目标
（1）知识目标：了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； （2）能力目标：初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力和逻辑思维能力. 帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探究的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯；
（3）情感目标：通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，激发学生的学习兴趣和热情，并增强学生的爱国主义热情. 2.教学重点及难点
2
a b
+≤的证明； 难点：基本不等式的应用，轮换对称不等式的证明. 3.教学方法与手段
（1）教学方法：独立探究，合作交流与教师引导相结合 （2）教学手段：手工制作、多媒体课件 ABD 中，Rt ACD Rt DCB
AC DC
= 则DC AC a =，BC b =，则
222()a ab a b =-=-
=，上的一点，AC a
《基本不等式》教案说明
新丰一中
李新平
本节课是高中数学中基本不等式的第一课时，主要揭示相关知识的形成过程.考虑到学生的基础比较差，本课程在设计上，一方面通过数学知识与生活和周围世界密切联系，从数形结合角度，制作了形象生动的课件，化抽象为具体，化难为易，消除学生对数学的畏难情绪；另一方面，采用学生参与程度高的学导式讨论教学法，以老师启发为基础，穿插师生交谈法、问答式、讨论法等方法，引导学生参与讨论，以加深学生对不等式的认识和理解，并尽可能激发学生的学习兴趣和主动性.
高中数学必修5第三章《基本不等式》教案
《基本不等式》（第一课时）
教材：高中数学必修5（人教版）第三章
教学目标：
★知识与技能：引导学生从问题中发现基本不等式，让学生理解、掌握基本不等式，并能运用它解决一些简单问题；培养他们的探究能力以及分析问题解
决问题的能力。
★过程与方法：1.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生观察、分析、猜想等能力；
2.通过引导学生用多种方法证明推导基本不等式，培养学生的创新思
维和探索精神；
3.通过不等式的应用培养学生的应用意识。引领学生主动探索基本不
等式性质，体会学习数学规律的方法。
★情感、态度与价值观：在教学中发挥学生学习的主体作用，培养学生勇于探索的精
神，激发他们学习数学的兴趣。
教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式
2b
a a
b +
≤
的证明过程及应用。
教学难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2、用基本不等式求最大值和最小值。
教学方法：采用启发式教学和探究式教学的方法让学生掌握本节课的内容，并通过讲练结合的方法让学生巩固课堂所学的内容。
教学手段：借助PowerPoint课件整合教材内容，利用几何画板作出动画营造轻松生动的课堂学习氛围。
教学过程：
板书设计
《基本不等式》教案说明
教材：高中数学必修5（人教版）第三章
一、教材分析
本课内容为普通高中课程标准实验教科书（人教A 版）数学必修5第三章不等式中的3.4 基本不等式。新课标对该内容的相关要求为：①探索并了解基本不等式的证明过程。 ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
高中数学必修5基本不等式精品教案
课题： 基本不等式：2b
a a
b +≤（第一课时）
教材：人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节
1 教材分析
本节书介绍了两个不等式定理：（1）、如果R b R a ∈∈,，那么ab b a 222≥+①；（2）、如果0,0>>b a ，那么2
b
a a
b +≤
②。这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。本节书教学共需3课时，这是第一课时，主要是了解探索基本不等式的证明过程，熟悉基本不等式的结构，为下节基本不等式的应用做准备（以下用①②代替两个定理）。 2 学生分析
有了前面“不等式性质”的学习，学生要理解这两个定理难度并不大。针对学生求知欲旺盛的特点，在教学中，以思考、探索、讨论为主要方法，适当加以讲解，使学生自己收获结论、总结方法，动手解决实际问题，并且增强学习数学的的信心。 3 教学策略
（1）、以“孔融选蛋糕”为例引入，课件辅助，引导学生探究①的证明，并总结证明方法；利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义，同时介绍“国际数学家大会”，培养学生的民族自豪感和使命感。
（2）、利用①式，通过“换元法”练习引入定理②，引导学生从不同角度探究②的证明过程，利用“半径和半弦的关系”让学生了解②的几何意义，并强调①②的联系与区别。
（3）、巩固练习。设置三道习题由浅到深让学生对基本不等式逐渐熟悉，应用它们去比较大小、解决生活常见问题，最后让学生通过替换定理中的字母发现更多②式有趣的变形式，为下一节课铺垫。 4 教学目标
（1）、知识目标
了解不等式①②的证明过程和方法；
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
AC a，BC b . 过点 C 作垂直于AB的弦 DE，
连接 AD，BD . 则：
ab
（1）半径 OD
2
（2） CD
ab
（3）显然 OD > CD
即：
ab 2
>
ab
D
A
aOC b B
E
基本不等式的几何意义： 半径不小于弦长的一半
例1．已知ab>0，求证： b a ≥ 2 ，并 ab
为 S，1 则
D
HG
bE F
A
a
B
（1）正方形ABCD的边长为 a2 b2
（2） S = a2 b2
C
（3） S1= 2ab
D （4）由图可知， S > S1 ，即：
C EFHG
a2 b2 2ab
Ab
a
基本不等式(第一课时) PPT
证明： a 2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 当a b时，(a b)2
0 0
a2
b2
2ab
探究：如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a、b，
则不等式的形式是？
a b 2 ab
二、均值不等式
ab a b (a>0,b>0)
2
（当且仅当 a b 时取“=”）
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短,
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
y
100m2
则 xy=100，篱笆的总长为2（x+y）m.
x
x y xy x y 2 100, 2
即2(x y) 40当且仅当x=y=10时,“=”成立.
∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的 篱笆是40m.
a b 称为a、b的算术平均数，
2
ab 称为a、b的几何平均数.
注意：1．公式适用范围：a>0,b>0
2．文字表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
变形公式：
(1)ab a2 b2 (a R, b R) (当且仅当a=b时取“=”) 2
(2)a b 2 ab(a 0,b 0) (当且仅当a=b时取取“=”)
)
√ （1）函数y=3x+3-x的最小值是2； × （2）若xy 2，则2x y的最小值是4； × （3）若0 a 1，则 a2 4的最小值是4. 在（一4用）“基若正x本>0”,不y>，0等且二式2x“+求y=定2最，a”值则，x时y的三，最“三大相值个为等限12”制；条缺√件一：不可！
基本不等式教学设计
3.4基本不等式(第一课时)
一、教材分析：
基本不等式是人教A 版必修五第三章的最后一节，是学习过一元二次不等式和简单线性规划后的又一工具性的知识，它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式，在此基础上探究基本不等式的证明，了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想，进一步培养学生的抽象思维能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开，既有逻辑推理又有直观的几何图形，使得不等式的证明成为本节课的核心部分，同时也是本节课的重点。
二、学情分析：
学生在此之前已经具备了圆和三角形的基本知识，熟知了三角函数的定义，掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因此本节课的难点是基本不等式的证明及应用。
三、教学目标：
1.理解重要不等式与基本不等式及其证明.
2.能对基本不等式进行灵活变形，并应用基本不等式解决简单的最值问题.
3.切实把握好应用基本不等式求最值问题的前提条件.
四、教学重点：对基本不等式的证明及利用基本不等式求最值问题.
教学难点：正确应用基本不等式的“三个限制条件”解题.
五、教学方法: 1.题组训练法
2.学生展写、展评，教师指导
六、教学过程：
(一)新知剖析
提问两个不等式：
1.重要不等式：一般地，对于任意实数b a ,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立.
高中数学优质课件精选人教版必修五3.4基本不等式第1课时基本不等式情境互动课型
1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不 等式的代数、几何背景.(重点） 2.基本不等式的简单应用.
探究点1 探究基本不等式
1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关
系吗？
D
C GF HE A
B
D
提示: 设AE=a,BE=b,
则正方形ABCD的面积
GF
C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
2.均值不等式链
设 a ， b 均为正数，则 2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
（调和均值 几何均值 算术均值 平方均值），
证明：由a + b = 1 2 ab,
得ab
1 ,从而 1
4
ab
4.
(1+ 1)(1+ 1)= 1+ 1 + 1 + 1 = 1+ a + b + 1
ab
a b ab
ab ab
=
1+
2 ab
9.
当且仅当 a b 时1取等号. 2
基本不等式第一课时教案
基本不等式第一课时教案
开课教师：章建明 2009-4-3
一．教学目标： 知识与技能：
使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法：
通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：
在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
二．教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
2
a b
+≤的证明过程；
三．教学难点:2
a b
+≤等号成立条件。
四．教学过程：
（一）、问题情境
把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。
问题1、你能猜测出物体的质量吗？
（二）、数学活动
问题2、把两次称得的物体的质量“平均”一下作为物体的质量，是否合理？
问题3、能否根据力学原理推得物体的真实质量？
问题4、2
a b
+
1.学生活动（举例）
2.多媒体演示课件。
猜想：ab b
a ≥+2
问题5：如何证明上面的猜想？你有什么方法？
问题6：上式中等号何时成立？
回顾情境，两种测量方式哪种较好？
（三）、数学建构
1、算术平均数与几何平均数：对于正数b a ,，称2
b
a +为a 、
b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数，
高中数学_必修5：基本不等式(第1课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
基本不等式教学设计
1课题引入：生活中存在着大量的数量关系，而有些数量关系在生活生产学习过程中有很大的用处，因此值得我们去学习，今天我们将学习一个重要的不等关系：基本不等式 接下来就让我们一起来感受这个不等式的神奇魅力吧！
让学生提前折好纸，两份：四个全等的直角三角形（直角边相等和不等相等）；
让学生拼接一下四个全等的三角形，观察一下四个三角形的面积和拼接成的正方形的面积之间的关系，并用数学符合语言表达这种这种关系；同时拼接第二组，结合这两组，能获取怎样的数量关系；
2通过对a,b 的代换或者对边长的不同赋值，得到基本不等式；ab b a b a 22=⋅≥+ 并进步完善不等式，a>0,b>0,a=b 时等号成立。
3如何证明这个不等式呢？
比较大小，作差。（学生板演，教师完善）
4过渡到ab b a ≥+2
讲明原因：左端是算术平均数，右端是几何平均数；古代数学书上
矩形的面积通常转化为正方形的面积
5该不等式的几何背景
给出图形，让学生发现结论，一个是直角三角形，一个是圆；拓展
6总结对该不等式的认知：
7通过a,b 的代换得到新的不等式；
8把b 代换成a
1，代换成a -1，为利用不等式求最值做好铺垫！ 我们还有一个意外惊喜！求最值！
只要肯努力就能得到更多的回报！
基本不等式学情分析
在此之前，学生具备了圆和三角的基本知识，熟知了三角函数的定义，了解了不等式的基本性质和比较法证明不等式。但由于没有基础，学生会对分析法比较陌生，加上基本不等式的几何证明中线段关系比较隐蔽，学生不易证明，因此本节的难点是不等式的证明.
《基本不等式(第一课时)》教学设计
《基本不等式:2b a ab +≤(第一课时)》教学设计 一、教学内容解析 相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基
础。基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中是非常
基础且重要的内容，具有承前启后的作用。
基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关，从“数”与“形”的角度都
可以进行证明和解释，而且证明方法很多，基本不等式的代数结构也是数学模型
思想的一个范例。在理解和应用基本不等式的过程中可以发展和培养学生的逻辑
推理、直观想象、数学运算和数学建模素养。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：基本不等式的定义、证明方法、
几何解释和简单应用
二、教学目标设置
（1）发现和理解基本不等式)0,0(2
>>+≤b a b a ab ，发展数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。
（2）用基本不等式解决简单的求最值问题，发展数学运算和数学建模素养。
三、学生学情分析
本节课的授课对象是高二年级的学生，他们已经具备了平面几何的基本知
识，具有一定的图形分析能力和抽象概括能力，他们也已经学习了函数的最值问
题以及不等式的性质和解法，但对于基本不等式的多种代数几何背景的理解及用
基本不等式解决一些最值问题还有些困难。
四、教学策略分析
本节课采用情境导入、问题驱动课堂教学模式：即以“基本不等式的发现与
证明”为基本研究内容，设置环环相扣的“问题链”，在教师适当引导下，学生
通过观察、操作、探究等学习活动，发现并证明基本不等式，在此过程中逐步提
高推理论证能力及数形结合能力。
五、教学过程设计
3.4基本不等式(第1课时)课件
形的角度 数的角度
a2+b2－2ab =(a－b)2≥0
a>0,b>0
问： •
公式中等号成立的条件是什么？ D
• 是否仅仅当a=b时等号才成立？
a A E(FGH) b C
B
形的角度 数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
a=b
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，取“=”号） 公式两边具有何种运算结构？ 数的角度:平方和不小于积的 倍 数的角度 平方和不小于积的2倍 平方和不小于积的
A
a
o
Q b
B
则半弦PQ=__ __, 则半弦PQ=__ ab PQ= a+b 半径AO= AO=_____ 半径AO=_____
2
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗? 不等式的几何解释吗? 2.PQ与AO的大小关系怎样? 2.PQ与AO的大小关系怎样? 的大小关系怎样
几何意义： 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
解2 : x > 0,∴ 3x > 0, Q
2 >0 x
2 2 ∴ y = 3x + ≥ 2 3x • = 2 6 x x 当3 x = 2 6 ,即x = 时, ymin = 2 6 x 3
1 > 0 x − 3 1 1 ∴ y = x + = x − 3 + + 3 ≥ 2 x − 3 x − 3 1 当 x − 3 = , 即 x = 4 时 , y m in = 5 x − 3
基本不等式教学设计
《基本不等式》教学设计
张中华
教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修5
课题：3.4 基本不等式（第一课时）
一、教材分析
《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式a 2+ b 2 > 2 ab （a, b G R）。在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点
教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标
2.2《基本不等式》(第1课时)说课稿
一、说教材分析
本节课是人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第2节《基本不等式》第1课时的内容。基本不等式是一种重要且基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容，它与很多重要的数学概念和性质有关。基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。学习基本不等式内容可以进一步发展学生的逻辑推理、数学运算和数学建模等数学核心素养，为后续进一步学习不等式内容打好基础。
二、说学情分析
基本不等式是在学生已经学习了等式性质与不等式性质，并且具备了一定的推理论证能力的基础上进行的。基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最简单和最基本的情形。基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。在理解和应用基本不等式的过程中，体现了数形结合、数学建模等数学思想。通过该内容的学习，不仅能进一步发展学生的推理论证能力，数学运算和数学建模的数学素养，而且能使学生把这些认识迁移到后继的学习中去，为以后学习一元二次不等式等打好基础。
三、说教学目标
1.通过对赵爽勾股圆方图的观察分析，抽象概括出基本不等式；理解基本不等式的三种不同证明方法；
2.结合具体实例，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；
3.进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力；
4.通过赵爽勾股圆方图，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信。
四、说教学重点和难点
重点：基本不等式的内容、意义，应用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
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正方形ABCD
四个直角三角形
结论交给你，解释靠自己！ 动手吧！回答问题！
探索新知
证明：
“作差法”
把已有的知识进行变形，是我们 数学研究中推陈出新的重要方法
探索新知
快 快 动 手 吧 ！
探索新知
基本不等式的证明方法非常多，我们再来欣赏另一种利用几何图形来证明 定理2的方法吧！
几何平均数
课堂小结
1.两个非常重要的基本不等式
2.代数、几何多种方法去证明基本不等式 3.两个重要的数学思想
变形思想、数形结合思想 4.使用基本不等式时需要注意的地方 适用范围、取等条件、灵活使用
【课后作业】
3 1、 (1) x 0, y x 9 ，当x= x
时，
6 ymin =
。
3 (2) x 0, y x 9 ，当x=
4、 判断正误：
√ (1) x2 +1≥2 x ( )； × (2) x 1 ≥2 ( )；
x
× (3) b a ≥2 ( )；
ab
(4) lg a lg b ≥2 lg a lgb (× )； √ (5) ab ≤( a b ) 2 ( )。
2
例1、若x 0,求y x 1 的最小值及此时x的值。 x
剖析新知
比对分析、加深理解 基本不等式1： 基本不等式2： 相同点：
不同点： 两个不等式适用的范围不同
学以致用，小试牛刀
请判断下列表述的正误。
（基本不等式的灵活使用） （基本不等式的适用范围） （基本不等式的取等条件）
× ×
剖析公式应用
1. 注意成立的条件
⑴ a、 b是两个正数. ⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立 2.变形用
Q x y xy x y 2 36, 2 2(x y) 24
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=6.
因此，这个矩形的长、宽都为6m时，所用的篱笆 最短，最短的篱笆是24m.
例3、（2）一段长为100m的篱笆围成一矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。 最大面积是多少？
)
-2
当x=-1时，y取得最大值，最大值为-2
[规律方法] 在使用基本不等式 ab≤a＋2 b a≥0，b≥0 时，要注意不 等式的双向性.
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤a＋2 b2； ②从右到左：常使用 a＋b≥2\r(ab).
学以致用，小试牛刀
强调环证境明：
取等条件
变式： 当 a＞0，b＞0 时，求证：1a＋2 b1≤ ab. 证明 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2 ab＞0，
4、直角三角形的面积为 50，两条直角边各为多少时， 两直角边的和最小？最小值为多少？
两条直角边都为10时，和最小，最小为20
基本不等式：
几何平均数
ab
a
b 2
(a
0, b
0)
当且仅当当且仅 当a=b
等号成立时，等
号成立。
算术平均数
注意：
两个不等式的不同,而等号成立的条件相同.
剖析新知
我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式
不等式说明：
多角度理解不等式：
1.从平均数的角度： 两正数的 算术平均数 大于或等于它们的 几何平均数 2.从数列的角度： 两正数的 等差中项 大于或等于它们的 等比中项
时，
x
6 y取的最 大 值，且此值为
。
2、（1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数
x y6
12 取什么值时，它们的和最小？
（2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数
x y9 81 取什么值时，它们的积最大？
3、用 20cm 长的铁丝，怎样才能折成一面积最大的矩形？
长和宽都为5时，面积最大，最大面积为25
∴1≤ a＋b 2
1ab，
∴a2＋abb≤22aabb＝ ab.
又∵a2＋abb＝1a＋2 b1， ∴1a＋2 1b≤ ab(当且仅当 a＝b 时取等号).
例3、（1）用篱笆围一个面积为36m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=36，篱笆的长为2（x+y）m.
解：Q x 0, y x 1 2 x 1 2
x
x
当x=1时，等号成立
当x=1时，y取得最小值，最小值为2
变式：若x 0,求y x 1 的最大值。 x
解：Q x 0,x 0
(x) 1 2 (x) 1 2,
x
(x)
当-x= 1 时，即x=-1时等号成立 x
y
-(- xபைடு நூலகம்
1 -x
1.两个 正 数的和为 定 值时，它们的积有最大值，
即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则
ab £ M2 4
等号当且仅当a＝b时成立.
和定积最大
2.两个 正 数的积为 定 值时，它们的和有最小值，
即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则
a＋b≥ 2 P 积定和最小
等号当且仅当a＝b时成立.
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 100 , x + y = 50 矩形菜园的面积为 xy m2
Q xy x y 50 25 得 xy<625 22
当且仅当x=y=25时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为25m时，菜园 面积最大，最大面积是625 m2