常微分方程期末考试题大全东北师大
大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案
大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案
一、填空题
1．微分方程0)(
22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答：1
2．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：)()1)((y M
x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程.
答：形如)(x
y g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则
),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中
=h _______________________ .
答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(m
b a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.
答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-
常微分方程期末考试题大全(东北师大)
证明题：设在上连续，且,又，求证:对于方程的一切解，均有。
证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为
，
即
.
由于，则存在,当时，.因而
，
由,从而有，显然。
应用洛比达法则得
。
证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数.
证要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。
由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，,方程组存在唯一的解。分别取初始条件
，，．．．，
它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。
任取方程组的个解,,这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知,它们线性相关。
这就证明了方程组最多有个线性无关的解。
证明题:如果已知二阶线性非齐次方程
对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间Ｉ上的连续函数，是的朗斯基行列式。
证已知是对应齐次方程
的基本解组,则齐次方程的通解为
。
用常数变易法，求原方程的特解。
设是原方程的特解，则满足下列关系
，
解得
，
,
积分得 .
原方程的一个特解为
故是原方程的一个特解。
证明题：设是常系数线性齐次方程组……（1)的解,的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组,，.。。，是方程组（1)的线性无关解组.
证: 设是常系数线性齐次方程组
（1）
的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，，。。。，，是方程组（1）的线性无关的解组。
证先证明，，.。.，都是方程组（1）的解。
由于方程组（1）的解，则有
2022-2023学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一上学期期末数学试题
2022-2023学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一上学期期末数学试题
1.下列函数是奇函数的是（）
A．B．
C．D．
2.已知半径为3的扇形圆心角是，则该圆心角所对弧长是（）
A．B．C．D．
3.函数的零点所在区间为（）
A．B．C．D．
4.已知，则（）
A．B．C．D．
5.函数的单调递减区间为（）
A．B．
C．D．
6.若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．
C．D．
7.已知，且，则等于（）
A．B．C．D．
8.已知函数，若存在实数，，，（）满
足，则（）
A．B．
C．D．
9.(多选题) 下列等式成立的有（）
A．
B．
C．
D．
10.若函数在区间上单调递增，则的取值范围可以是（）
A．B．[2，4.5] C．[6，7.5] D．[10，10.5]
11.已知函数y=f（x）是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，
当x∈[0，2）时，f（x）=2x-1，给出下列结论，其中正确的是（）
A．f（2）=0
B．点（4，0）是函数y = f（x）的图像的一个对称中心
C．函数y = f（x）在（-6，-2）上不具有单调性
D．函数y = f（x）在[-6，6]上有3个零点
12.函数的定义域为I，若存在，使得，则称是函数的二阶不
动点，也叫稳定点.下列函数中存在唯一稳定点的函数是（）
A．B．
C．D．
13.函数的定义域为__________．
14.已知为定义域在上的偶函数，当时，则=______.
15.设函数的值域是，则实数的取值范围为_______．
16.若定义域为的函数满足对任意能构成三角形三边长的实数a，b，c I，
理工类专业课复习资料-《常微分方程》东师大第二版习题答案
《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)
高等教育出版社
习题 1.2
1求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdx ydy =解：积分，得12
22
121c x y +=即c
y x =−2
2(2)
y y dx
dy
ln =解：1,
0==y y 为特解，当1,
0≠≠y y 时，
dx y
y dy
=ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x
x c ，即x
ce
e y =(3)
y x e dx
dy
−=解：变形得dx e dy e x
y
=积分，得c e e x
y =−(4)0
cot tan =−xdy ydx 解：变形得
x y dx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x
x
dy y y cos sin sin cos =.
积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+−=,
即0
,cos sin 1
≠=±=c c e
x y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)
1)0(),1(=−=y y y dx
dy
解：1,
0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy y
y =−−1
11(
，积分，得0,1
,1
ln
11≠=±=−+=−c ce e e y
y c x y
y x x c 将1)0(=y 代入，得0=c ，即1=y 为所求的解。(2)1
)0(,02)1(2
2
==+′−y xy y x 解：0,1
222
=−−=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章奇解
第四章奇异解
习题4-1
1.求解以下微分方程：
(1).2y?p2?4px?2x2,(p?解：y?
p22
dydx
);
2pxx2
数据处理
p?pdp?2p?2x?2x
数据处理（p？2x）dp？（p？2x）？0（p？2x）（？1）？0
a.p?2x?0?p??2x（特解）?y?2x2?4x2?x2??x2(特解）
b.dp?1?0??
x2
2
数据处理1.P十、CY
(?x?c)?2(?x?c)x?x2?y?
二
cx12c（通解）
dy
dx
(2). Ypxlnx？（xp）2，（p（lnx？2xp）（xdp？p）？0
);
Dp22解决方案：P？xlnxdp？p（lnx？1）？2xp？2xpxa。lnx？2xp？0 lnx？？2xp？Pln2xxlnx2lnx？Ylnxlnx？[x（？2x2x）]？Y2.
2
ln2x
4
十、
ln42
b、 xxdp？P0便士？？Yclnx？c2
c
Y
c2
xlnx？（xc）
(3).2xp?2tany?p3cos2y.解：x?1tany?x?qtany?
cos2y2q2
p2cos2y
问？
1?
dx，
,
2科西（？西尼）
2q
二
2
二
q?tanydq?qsecy?2?tanydqdy?qtany?
cos3
Q
2
dq？舒适
q
22
y
cos3
q
dqdy
cosydq
tany(dqqtany)(dyqtany)0dyq3cosy(dqqtany)(tanyq3)0二
a.dqdy?qtany?0?
b.tany?
二
dq
dy
qtany?q?ccosy?x?csiny?
常微分方程期末考试练习题及答案.
即 y=ux，从而： dy
dx
（2.3 ）
du xu
（2.4 ）
dx
将（ 2.3 ）（2.4 ）代入（ 2.2 ），则原方程变为：
du g (u) u
dx
x
这是一个变量分离方程，可按照 A 中的方法求解。
例 3. 求解方程： dy ( x y)2
dx
解：令 u=x+y ，则 y=u-x ，于是： dy
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
y
M (x, y) dx
,( y)
y
由上式解得 , ( y) ，在积分之既得 ( y) .
2 u dx
分离变量得： (2 u) du 7dx ，
两边积分之：
2u
1 u2 2
7x
1
2 c，
变量回代，并整理得： x2 y2 10 x 4 y 2 xy c
（c 是任意常数）
C. 线性微分方程和常数变易法 1. 形式：形如 dy p( x) y Q(x) 的一阶方程称为一阶线性方
dx
程. 当 Q( x) 0 时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的 .
常微分方程第三版1
(1)在时刻t人群中易感染者(健康)和已感染者 (病人)在总人数中所占比例分别为s(t)和i(t).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是, 称日接触率.
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人.
因为病人总人数为 Ni(t),
dt
C
因为 I dQ , 于是得到 dt
d 2I dt 2
R L
dI dt
I LC
1 L
de(t) . dt
这就是电流强度I与时间t所满足旳数学关系式.
例4 传染病模型: 长久以来,建立传染病旳数学 模型来描述传染病旳传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注旳课题.人们不能去做传染病传播旳 试验以获取数据,所以一般主要是根据机理分析旳 措施建立模型.
教材及参照资料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年国家教委一等奖），
王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 参照书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
学习《常微分方程》旳目旳是用微积分旳思想，结合线性代 数，解析几何等旳知识，来处理数学理论本身和其他学科中出 现旳若干最主要也是最基本旳微分方程问题，使学生学会和掌 握常微分方程旳基础理论和措施，为学习其他数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同步，经 过这门课本身旳学习和训练，使学生学习数学建模旳某些基本 措施，初步了解当今自然科学和社会科学中旳某些非线性问题， 为他们将来从事有关领域旳科学研究工作培养爱好，做好准备。
常微分方程
假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 时间以天为计量单位, 假设条件为 : ,假设条件为
(1)在时该t人群中健康人和病人的 分数分别 为y (t )和x(t ).
(2)单位时间内一个病人能传染的人数与 当时的健康人数成正比，比率为k。
解: 根据题设,每个病人每天可使
ky (t )个健康者变为病人.
u
u
例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的 第二定律: 第二定律 解: 电路的Kirchhoff第二定律 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 在闭合回路中 所有支路上的电压的代数和为零. 所有支路上的电压的代数和为零
又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得
f (1) = 3,
C = 2. 故所求的曲线方程为:
y = x 2 + 2.
习题: p16. 8, 9(2,4,6)
§1.2 基本概念
一、常微分方程与偏微分方程
定义1 联系自变量、未知函数及未知函数导数 未知函数导数（ 定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 的关系式称为微分方程. 分）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程
(A)
7. y=-所满足的微分方程是
x
、是非题 1•任意微分方程都有通解。（） 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。（） 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。（ ） 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ，+y=0的解。（
）
1 2
5.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ） +C （C 为任意常数）。（
） 6.
y' 7. y'
8. y 9. dy
dx 、填空题
=sin y 是一阶线性微分方程。（） = x 3y 3
+xy 不是一阶线性微分方程。（） -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2
-2 r + 5=0。(
= 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。（
） 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3.
4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2
sinx 是
y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应
含
y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1
是
6.微分方程yry"-(y '6 =0是
个独立常数。
阶微分方程。 阶微分方程。
12. 3阶微分方程yJx 3的通解为
三、选择题
1 .微分方程xyy "+x （y ，3-y 4
y = 0的阶数是（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 2
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程
22d d y x x
y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.
3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x
y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t
y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2
1y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是
()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关
8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e
-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程
d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=x
x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）
（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程
（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程
常微分方程PPT
• 基本思想: 把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个 或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解 微分方程
• 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的 • 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用 级数来求解 • 瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家 克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究 和丰富了微分方程的理论 • 法国数学家Poincare及前苏联数学家Lyapunov等 对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献
n
(1)
(2) 对x I有 : F ( x, ( x), ' ( x), n ( x)) 0,
dy d y 则称y (x)为方程 F(x,y, ,, n ) 0 dx dx 在I上的一个解 .
y (x) 称为方程的显示解
例
验证y sinx,y cosx都是微分方程 y y 0在(,)上的一个解 .
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是 人们解决各种实际问题的有效工具，它在几 何、力学、物理、电子技术、航空航天、生 命科学、经济领域等都有广泛的应用
随着计算技术和计算机的快速发展，常微分 方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程 技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来 越大的作用
动力系统
常微分方程 Ordinary Differential Equation 2009-2010学年第一学期
常微分方程试题库试卷库2
山东师范大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：常微分方程 考试时间： 月 日
（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）
一、 填空题
1、方程
(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）
。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()
n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件
是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是
'
()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是
_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题
1、
3
()0ydx x y dy -+=
２、sin cos2x x t t ''+=-
３、若
2114A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt
４、32(
)480dy dy
xy y dx dx
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证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞
→lim ，又0>a ，求证：对于方程
()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a
b x y x =+∞→lim 。
证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎰-x
at
ax
dt e t f C e x y 0， 即
()()ax
x
at e
dt
e t
f C x y ⎰+=
。
由于b x f x =+∞
→)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而
()dt e M dt e t f dt e t f x
X
at X at
x
at
⎰⎰⎰
+≥0
)(
())(0
aX ax
X
at e e a
M dt e t f -+
=
⎰
， 由0>a ，从而有()∞=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰+∞→x
at
x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞
→ax x e lim 。
应用洛比达法则得
()()ax
x
at x x e
dt
e t
f C x y ⎰+=+∞
→+∞
→0
lim
lim
()ax
ax
x ae e x f +∞→=lim ()a
b
a x f x ==+∞
→lim
。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数。
证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
由于)(t A 是定义在区间b x a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件ηx =)(0t ，b t a ≤≤0，方程组x A x )(t ='存在唯一的解。分别取初始条件
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001)(01 t x ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010)(02 t x ，
．．．⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100)(0 t x n ， 它们对应的解分别为),(),(),(21t t t n x x x 且这n 个解在0t 时的朗斯基行列式为
01)(0≠=t W ，则)(),(),(21t t t n x x x 是n 个线性无关的解。
任取方程组x A x )(t ='的1+n 个解)(),(),(),(121t t t t n n +x x x x ，),(b a t ∈∀，这
1+n 个解都是n 维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。
这就证明了方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解。
证明题：如果已知二阶线性非齐次方程)()()(2122t f x t a dt dx
t a dt
x d =++ 对应齐次方程的基本解组为)(),(21t x t x ，证明其有一特解是
ds s f s x s x W s x t x s x t x t φt
t )()]
(),([)
()()()()(0
212112⎰
-=,其中)(),(21t a t a 及)(t f 是区间Ｉ上的连续函数，
)](),([21t x t x W 是)(),(21t x t x 的朗斯基行列式。
证 已知)(),(21t x t x 是对应齐次方程
0)()(212
2=++x t a dt dx
t a dt
x d 的基本解组，则齐次方程的通解为
)()(2211t x C t x C +。
用常数变易法，求原方程的特解。
设 )()()()(2211*
t x t C t x t C y +=是原方程的特解，则)(),(21t C t C 满足下列关系
⎩⎨⎧=''+''='+')()()()()(0)()()()(2211
2211
t f t x t C t x t C t x t C t x t C ，
解得
))
(),(()
()()()()()()()()
(0)(2122
121221t x t x w t x t f t x t x t x t x t x t f t x t C -
='''=
'
，
))
(),(()
()())
(),(()()(0)()(211211
12
t x t x w t x t f t x t x w t f t x t x t C =
'=' ，
积
分
得
ds s x s x w s x s f t C ds s x s x w s x s f t C t t t
t ⎰⎰
=-=
00
))(),(()
()()())(),(()()()(2
1122121 。
原方程的一个特解为
ds s x s x w s x s f t x ds s x s x w s x s f t x y t t t
t ⎰⎰
+-=00
))
(),(()
()()())(),(()()()(21122121*
故ds s f s x s x w s x t x t x s x t φt
t )())
(),(()
()()()()(0
212121⎰
-=
是原方程的一个特解。
证明题：设()t e t
λΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x ='……（1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t
λΓ，
()t e t λΓ'，...，()t e k t λ)(Γ是方程组（1）的线性无关解组。
证： 设()t e t
λΓx =是常系数线性齐次方程组
Ax x =' （1）
的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。
证 先证明()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
都是方程组（1）的解。
由于()t e t
λΓx =方程组（1）的解，则有
()()()t e t e t e λt λt λt λΓA ΓΓ='+，