常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞

→lim ，又0>a ，求证：对于方程

()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a

b x y x =+∞→lim 。

证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=⎰-x

at

ax

dt e t f C e x y 0， 即

()()ax

x

at e

dt

e t

f C x y ⎰+=

。

由于b x f x =+∞

→)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而

()dt e M dt e t f dt e t f x

X

at X at

x

at

⎰⎰⎰

+≥0

)(

())(0

aX ax

X

at e e a

M dt e t f -+

=

⎰

， 由0>a ，从而有()∞=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰+∞→x

at

x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞

→ax x e lim 。

应用洛比达法则得

()()ax

x

at x x e

dt

e t

f C x y ⎰+=+∞

→+∞

→0

lim

lim

()ax

ax

x ae e x f +∞→=lim ()a

b

a x f x ==+∞

→lim

。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数。

证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

由于)(t A 是定义在区间b x a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件ηx =)(0t ，b t a ≤≤0，方程组x A x )(t ='存在唯一的解。分别取初始条件

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001)(01 t x ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010)(02 t x ，

．．．⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100)(0 t x n ， 它们对应的解分别为),(),(),(21t t t n x x x 且这n 个解在0t 时的朗斯基行列式为

01)(0≠=t W ，则)(),(),(21t t t n x x x 是n 个线性无关的解。

任取方程组x A x )(t ='的1+n 个解)(),(),(),(121t t t t n n +x x x x ，),(b a t ∈∀，这

1+n 个解都是n 维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。

这就证明了方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解。

证明题：如果已知二阶线性非齐次方程)()()(2122t f x t a dt dx

t a dt

x d =++ 对应齐次方程的基本解组为)(),(21t x t x ，证明其有一特解是

ds s f s x s x W s x t x s x t x t φt

t )()]

(),([)

()()()()(0

212112⎰

-=,其中)(),(21t a t a 及)(t f 是区间Ｉ上的连续函数，

)](),([21t x t x W 是)(),(21t x t x 的朗斯基行列式。

证 已知)(),(21t x t x 是对应齐次方程

0)()(212

2=++x t a dt dx

t a dt

x d 的基本解组，则齐次方程的通解为

)()(2211t x C t x C +。

用常数变易法，求原方程的特解。

设 )()()()(2211*

t x t C t x t C y +=是原方程的特解，则)(),(21t C t C 满足下列关系

⎩⎨⎧=''+''='+')()()()()(0)()()()(2211

2211

t f t x t C t x t C t x t C t x t C ，

解得

))

(),(()

()()()()()()()()

(0)(2122

121221t x t x w t x t f t x t x t x t x t x t f t x t C -

='''=

'

，

))

(),(()

()())

(),(()()(0)()(211211

12

t x t x w t x t f t x t x w t f t x t x t C =

'=' ，

积

分

得

ds s x s x w s x s f t C ds s x s x w s x s f t C t t t

t ⎰⎰

=-=

00

))(),(()

()()())(),(()()()(2

1122121 。

原方程的一个特解为

ds s x s x w s x s f t x ds s x s x w s x s f t x y t t t

t ⎰⎰

+-=00

))

(),(()

()()())(),(()()()(21122121*

故ds s f s x s x w s x t x t x s x t φt

t )())

(),(()

()()()()(0

212121⎰

-=

是原方程的一个特解。

证明题：设()t e t

λΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x ='……（1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t

λΓ，

()t e t λΓ'，...，()t e k t λ)(Γ是方程组（1）的线性无关解组。

证： 设()t e t

λΓx =是常系数线性齐次方程组

Ax x =' （1）

的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t

λΓ，()t e t

λΓ'，...，()t e k t

λ)

(Γ

，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。

证 先证明()t e t

λΓ，()t e t

λΓ'，...，()t e k t

λ)

(Γ

都是方程组（1）的解。

由于()t e t

λΓx =方程组（1）的解，则有

()()()t e t e t e λt λt λt λΓA ΓΓ='+，