第四章 4.1.1-4.1.2 第1课时 n次方根

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2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2

4．1 指数4．1.1 n次方根与分数指数幂4．1.2 无理数指数幂及其运算性质内容标准学科素养1.理解方根及根式的概念．数学抽象2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义．3.掌握幂的运算.授课提示：对应学生用书第50页[教材提炼]知识点一n次方根及根式预习教材，思考问题如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？知识梳理(1)n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在,(2)根式①定义：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②性质：(n ＞1，且n ∈N ＋)(ⅰ)(na )n ＝a .(ⅱ)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.知识点二指数幂及运算知识梳理 (1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1amn＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s ； ②(a r )s ＝a rs ； ③(ab )r ＝a r b r . (3)无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[自主检测]1．已知x 5＝6，则x 等于( )A.6B.56C ．－56D ．±56答案：B2．234化成根式形式为( )A.324B.423C.432D.243答案：B3．(0.027)－23的值是( )A.1009B.9100C.103D.310解析：(0.027)－23＝[(0.3)3]－23＝0.33×(－23)＝0.3－2＝10.32＝10.09＝1009. 答案：A4．当8<x <10时，x －82＋x －102＝________.解析：由8<x <10，得x －82＋x －102＝|x －8|＋|x －10|＝(x －8)＋(10－x )＝2. 答案：2授课提示：对应学生用书第51页探究一利用根式的性质化简求值[例1](1)化简a ＋41－a 4的结果是( )A ．1B ．2a －1C ．1或2a －1D ．0(2)当a 、b ∈R 时，下列各式总能成立的是( )A ．(6a －6b )6＝a －b B.8a 2＋b 28＝a 2＋b 2C.4a 4－4b 4＝a －b D.10a ＋b 10＝a ＋b(3)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[解析](1)a ＋41－a 4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C.(2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立．取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.[答案](1)C (2)B (3)见解析(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．若n <m <0，则 m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n 解析：m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2 ＝m ＋n2－m －n 2＝|m ＋n |－|m －n |.∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0，∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－m －n －m ＋n ＝－2m . 答案：C第四章指数函数与对数函数数学必修第一册探究二根式与分数幂的转化 [例2]用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)：(1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3) a a ；(4)y 2xx 3y3y 6x 3.[解析](1)a 2·a ＝a 2·a12＝a 2＋12＝a 52.(2)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(3) a a＝(a·a12)12＝(a32)12＝a34.(4)y2xx3y3y6x3＝y2xx3y⎝⎛⎭⎪⎫y6x313＝y2xx3y·y2x＝y2xx2·y12＝⎝⎛⎭⎪⎫y2x·xy1212＝y54＝y4y.(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．(2)化简过程中，要明确字母的X围，以防错解．1．2－23等于( )A.322B.223C．－322D.1322答案：D2．计算：23×31.5×612＝________.解析：23×31.5×612＝2×312×⎝⎛⎭⎪⎫3213×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.答案：6探究三指数幂的运算[例3]计算：(1)[12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＋34313]12；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤140.02723＋50×0.001 634－12. [解析](1)原式＝[(53)23＋(2－4)－12＋(73)13]12＝(52＋22＋7)12＝3612＝6. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫271 00023＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫1610 00034－12＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3103×23＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2104×34－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2103－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋110－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋40400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7202×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫720－1＝207.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简求值：(1)0.000 1－14＋2723－(4964)－12＋(19)－1.5；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.解析：(1)原式＝(0.14)－14＋(33)23－[(78)2]－12＋[(13)2]－32＝0.1－1＋32－(78)－1＋(13)－3 ＝10＋9－87＋27＝3147.(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.授课提示：对应学生用书第52页一、条件求值的整体代换策略 (教材探究：教材P 110第8题拓展探究)1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2， (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.(2)平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． (3)立方和公式：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． (4)立方差公式：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)． (5)完全立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3， (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.[典例] 1.已知a 12＋a －12＝3，求a 3＋a －3的值．[解析]∵a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)，由a 12＋a －12＝3得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47，∴a 3＋a －3＝7×(47－1)＝322. 2．如果a ＋a －1＝3，求a 12＋a －12的值． [解析]∵(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a 12＋a －12＞0，∴a 12＋a －12＝ 5.二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题常用指数幂的变换技巧则a k 积：3k 乘方：(a k )3＝a 3k[典例] 设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：c ＝a ＋b.[证明]令3a ＝4b ＝6c ＝t ，则.因为3×2＝6，所以，即1a ＋12b ＝1c，所以2c ＝2a ＋1b.。

新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂教案

第四章指数函数与对数函数4.1 指数【素养目标】1．弄清nn 次方根的运算．(数学抽象)2．能够利用m na=(数学运算)3．通过对根指数n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理) 【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4.1.1 n 次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识提示：不一定．当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，且互为相反数，当n 为奇数时，正数a 的n 次方根只有一个且仍为正数．知识点二根式(1)定义：式子叫做根式，这里n 叫做___根指数__，a 叫做___被开方数__. (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ∈(na )n ＝a .∈na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.思考2：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R .思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：(1)当a <0时，若n 为偶数，m 为奇数，则m na ，m na -无意义；(2)当a ＝0时，a 0无意义．知识点四有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r ，s∈Q) (1)r s r s a a a +=. (2)()r srsa a =. (3)()rr rab a b =.思考4：同底数幂相除a r÷a s，同次的指数相除a rbr 分别等于什么？提示：(1)a r ÷a s ＝a r －s ； (2)a r b r ＝(a b )r .基础自测1.3－8等于( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．－8[解析]3－8＝3(－2)3＝－2.2．下列各式正确的是( A )A．3a = B．47=-C．5||a =Da =[解析] (3a )3＝a ，(47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)，故选A ．3．324-可化为( C )A ．8B ．432 C ．18D ．342[解析] 3233322211114284(2)-====. 4．若a >0，n ，m 为实数，则下列各式中正确的是( D ) A ．m m nna a a ÷= B ．n m m n a a a ⋅⋅= C ．( )n mm na a+=D ．01n n a a -÷=[解析] 由指数幂的运算法则知1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0－n正确，故选D ．5．若66－x 有意义，则实数x 的取值范围为_____(－∞，6]___. [解析] 要使式子66－x 有意义，应满足6－x ≥0， ∴x ≤6.关键能力·攻重难题型探究题型一n次方根的概念例1(1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为___5－27__；(2)已知x7＝6，则x＝__76__；(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)∈(±4)2＝16，∈16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∈x7＝6，∈x＝7 6.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[归纳提升](1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【对点练习】∈ 计算下列各值：(1)27的立方根是__3___；(2)256的4次算术方根是__4___；(3)32的5次方根是__2___.[解析](1)∈33＝27，∈27的立方根是3.(2)∈(±4)4＝256，∈256的4次算术方根为4.(3)∈25＝32，∈32的5次方根为2.题型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)3＋22＋3－22；(2)5＋26－6－42＋7－43；(3)32＋5＋32－ 5.[分析](1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．[解析](1)原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.(2)原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.(3)令x＝32＋5＋32－5，两边立方，得x3＝2＋5＋2－5＋3·32＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，所以x 3＋3x －4＝0，所以(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0，x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154>0，所以x －1＝0，x ＝1，所以32＋5＋32－5＝1.[归纳提升] 形如A ±B 的双重根式，当A 2－B 是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．【对点练习】❷ 计算下列各式： (1)5(－a )5＝_______； (2)6(3－π)6＝________； (3)614－3338－30.125＝______. [解析] (1)5(－a )5＝－a . (2)6(3－π)6＝6(π－3)6＝π－3. (3)614－3338－30.125＝(52)2－3(32)3－3(12)3＝52－32－12＝12.题型三根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂表示下列各式：(1)a 3·3a 2； (2)b 3a·a 2b 6(a >0，b >0)； (3)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析](1)a 3·3a 2＝a 3·a23 ＝a 3＋23 ＝a 113 .(2)∵a >0，b >0， ∴b 3a ·a 2b 6＝(a－1b 3)12 ·(a 2b －6)12＝(a －12 b 32 )·(ab －3)＝a 12b －32 ＝(a 12 b －32 )12 ＝a 14 b －34 . (3)∵a >0，b >0，∴a－4b 23ab 2＝a－4b 2a13 b 23 ＝a －113 ·b 83 ＝(a －113 b 83 )12 ＝a －116b 43 .[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N ＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式． (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．【对点练习】❸ (1)5－211 化为根式形式为____；(2)4b －23 (b >0)化为分数指数幂的形式为____16b -____；(3)13x (5x 2)2(x ≠0)化为分数指数幂的形式为____53x-____.[解析] (1)原式＝15211 ＝11152＝11125. (2)原式＝(b －23 )14 ＝b －23 ×14 ＝b －16 .(3)原式＝13x ·(x 25 )2＝13x ·x 45 ＝13x 95＝1(x 95 )13 ＝1x 35＝x －35 .题型四利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 (1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12 －(0.01)0.5＝______；(2)化简：3a 72 a －3÷3a－83a 15÷3a－3a －1.[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝3a 72 a －32 ÷a －83 a 153 ÷3a －32 a －12＝3a 2÷a 73 ÷3a －2＝a 23 ÷(a 73 )12 ÷(a －2)13 ＝a 23 ÷a 76 ÷a －23＝a 23 －76 ÷a －23 ＝a －12 ＋23 ＝a 16 .[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．【对点练习】❹ 化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23÷(1－23b a )×3a .[解析] 原式＝a 13 (a －8b )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ÷a 13 －2·b 13 a 13·a 13＝a 13 (a 13 －2b 13 )(a 23 ＋2a 13 b 13 ＋4b 23 )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ·a 13a 13 －2b 13 ·a 13＝a 13 ·a 13 ·a 13 ＝a .课堂检测·固双基1．化简[(－3)2]－12的结果是( C )A ．－33B ．3C ．33D ．－3[解析] [(－3)2]－12＝3－12＝1312＝13＝33.2．已知m <23，则化简4(3m －2)2的结果为( C )A ．3m －2B ．－3m －2C ．2－3mD ．－2－3m[解析] ∵m <23，∴3m －2<0，排除A ，B ，又(3m－2)2>0，所以4(3m－2)2为正，所以选C．3．若2＜a＜3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．4．以下说法正确的是(C)A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)D．负数没有n次方根[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，∴B错误；对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，∴C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：4(－43)4＝__43__.[解析]4(－43)4＝4(43)4＝43.素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．－416的结果是(B)A．2B．－2C．±2D．以上都不对[解析]－416＝－424＝－2.故选B．2．下列各式正确的是(C)A．6(－3)2＝3(－3)B．4a4＝aC．622＝32D．a0＝1[解析]6(－3)2＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．3．若2 019<m <2 020，则(3m －2 019)3＋4(m －2 020)4等于( A ) A ．1 B ．4 031－2m C ．4 031D ．2m －4 031[解析] 因为2 019<m <2 020，所以m －2 020<0. 故原式＝m －2 019＋|m －2 020| ＝m －2 019＋2 020－m ＝1. 故选A ．4．若6x －2·43－x 有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≥2 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤3D ．x ∈R[解析] 由题意，知x －2≥0，且3－x ≥0，所以2≤x ≤3. 二、填空题5．64的6次方根是__±2__，计算64－23的值是__116__.[解析] ∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－23＝13642＝13(43)2＝13(42)3＝142＝116.6．已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)[解析] ③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义．三、解答题7．写出使下列各式成立的实数x 的取值范围：(1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3；(2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.[解析] (1)由于根指数是3，故x 只需使1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3.故实数x 的取值范围是x ≠3.(2)∵(x －5)(x 2－25)＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )·x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，∴－5≤x ≤5. ∴实数x 的取值范围是－5≤x ≤5.B 组·素养提升一、选择题1．化简(－x )2－1x的结果是( B ) A ．x B ．－x －x C ．x x D ．x －x[解析] 由－1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2－1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( CD ) A ．x 2＝x B ．6y2＝y 13C ．(x y )－52 ＝(yx)5(x 、y ≠0) D ．x－12＝1x[解析]x 2＝|x |，6y 2＝|y |13，(x y )－52 ＝(y x )52 ＝(yx)5(x 、y ≠0)， x－12＝1x 12＝1x ，故CD 正确．二、填空题3．若10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β等于3[解析] ∵10α＝2,100β＝102β＝3， ∴10β＝ 3.∴1 0002α－13β＝106α－β＝106α10β＝643＝6433.4．2723＋16－12－(12)－2－(827)－23 ＝__3__. [解析] 原式＝(33)23＋(42)－12－22－[(23)3]－23 ＝32＋4－1－4－94＝3. 三、解答题5．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y的值．[解析] 由x >0，y >0且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )得x ＋xy ＝3xy ＋15y ，即x －2xy －15y ＝0，整理有(x －5y )(x ＋3y )＝0，因为x >0，y >0，所以x ＝5y ，即x ＝25y ，11 所以2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3.。

4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)

万年前就存在的吗?
探究新知
【1】当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.

这时，a的n次方根用符号表示.例如 = ， − = −.

【2】当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3

新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂

2.根式
(1)式子 n a 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:当n>1,n∈N*时,
① (_n_a__)n a;
②
_n_a_n_
a, n为奇数， | a |, n为偶数.
【思考】 (n a )n 与n an 中的字母a的取值范围是否一样? 提示:取值范围不同.式子 (n a )n中隐含a是有意义的,若n 为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子n an 中,a∈R.
2.若 (2a－1)2＝3 (1－2a)3，则实数a的取值范围为______. 【解析】 (2a－1)2＝| 2a－1|，
3 (1－2a)3＝ 1-2a. 所以|2a-1|=1-2a, 故2a-1≤0,
所以a≤ 1 .
2
答案: (－，1]
2
类型二根式与分数指数幂的互化
【典例】1.根式 1 1 (式中a>0)的分数指数幂形式为
2.怎样求根式中变量的范围? 提示:根指数是偶数时,被开方数非负,根指数为奇数时, 被开方数为任意实数.
【类题·通】 1.n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个. (2)符号:根式 n a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定:
义;若n为奇数,则
a
m
n，a
m n
有意义.
(2)当a=0时,a0无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈Q) (1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars. (3)(ab)r=arbr.
【思考】
同底数幂相除ar÷as,同次的指数相除 ar 分别等于

n次方根与分数指数幂

3.(教材二次开发：习题改编) （6 x－2-2|=
x－2，x 2－x，x
2， 2.
答案：2x－－2x，，xx
2， 2.
关键能力·合作学习
类型一 n次方根的概念及相关的应用(数学运算)
【题组训练】
1. （3 6）3 （4 5 4）4 （3 5 4）3 的值为 (
第四章指数函数与对数函数 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识·自主学习
1.在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有其导他次方的方根？怎样表示？思 2.在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质，当指数
不是正整数时，有什么含义和运算性质？
1.n次方根如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.可用下表表示：
8
1
)3
(
2
31
)3
2.
27
3
3
答案： 2
3
2.用分数指数幂表示a· 5 1 =_______.
a3
【解析】原式=a·
a
3 5
2
a5.
答案：a
2 5
类型三分数指数幂运算性质的应用(数学运算)
角度1 化简问题
【典例】(2020·衡阳高一检测)
(a
2 3
b
1
)
1 2
a
1 2
b
1 3
6 ab5
正数)
(1)方法：根指数
分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用
有理数指数幂的运算性质解题.
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.

4,1,1 n次方根与分数指数幂(第1课时)(PPT) (人教A版2019 必修第一册)

(1)
3
(2)
(3)
解析
−7 3 ；
− 4 2；
2
−1 ＋
1 − �� 2 ＋
3
3.
1 − ��
3
（1）
−7 3 = −7；
(2)
−4
2
= − 4 = 4 − ；
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
（三）典例透析
【类题通法】
5
，则这样的x有1个，它叫做3的五次方根，记作 3
；
若x5＝－3 ，则这样的x也只有1个，它也叫做-3的五次方根，记作 −3
5
.
；
（二） n次方根
的n次方根的定义：
一般地，如果
x a
n
，那么x叫做的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
的n次方根的表示求解的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论：
斯
（一）新知导入
创设情境、问题生成
【想一想】
根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长
是如何计算出来的呢？
【提示】根据勾股定理正方形的对角线长为 12 12 2
.
（一）新知导入
探索交流、解决问题
【问题1】 (1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若 x2＝－ 3呢？
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
n为奇数
n
n为偶数
n a
a
a的取值范围
R
[0，＋∞)
（二） n次方根
【做一做】
1.10的平方根为________.
2.－243的5次方根为________.

2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册

解析
答案
金版点睛 1.判断关于 n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；
(2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.
[跟踪训练1] (1)下列说法正确的个数是( )
答案
解析
3.若 6 4a2－4a＋1＝3 1－2a，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2) C.12，＋∞
B.12，＋∞ D.－∞，12
答案 D
解析 ∵6 4a2－4a＋1＝ 6 2a－12＝ 6 1－2a2＝3 1－2a，∴1－ 2a≥0，即 a≤12.
答案 (1)①5 a ②4 a3 ③ 1 ④ 1
5 a3
3 a2
7
3
1
(2)①(a－b) 5 ②(a2－b2) 4 ③(a2b－ab2) 4
2
④(a2－b2) 4
(3)x≥1
答案
核心素养形成
题型一根式的概念利用根式的性质化简例 1 (1)①16 的平方根为________，－27 的 5 次方根为________； ②已知 x7＝6，则 x＝________；
D．±10 2
(3)化简下列各式： ①3 －27；②(3 －9)3；③ a－b2.
答案 (1)B (2)D (3)见解析解析 (1)①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，③④正确． (2)∵m10＝2，∴m 是 2 的 10 次方根．又∵10 是偶数，∴2 的 10 次方根有两个，且互为相反数，
解析
当 n 为奇数时， n x－πn＝x－π. 综上， n x－πn＝πx－－πx，，nn为为偶奇数数，，nn∈ ∈NN**， . ②∵a≤12，∴1－2a≥0， ∴ 4a2－4a＋1＝ 2a－12＝|2a－1|＝1－2a.

第四章 4.1 4.1.1 4.1.2 第一课时 n次方根

规律方法对于n a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有意义；(2)只要n a有意义，n a必不为负.
【训练 1】若 a2－2a＋1＝a－1，求 a 的取值范围. 解 ∵ a2－2a＋1＝|a－1|＝a－1， ∴a－1≥0，∴a≥1.
题型二利用根式的性质化简或求值【例2】化简：化简时要看清根指数的奇偶
答案－2
5. （a－b）2＋5 （a－b）5的值是________.
解析答案
（a－b）2＋5 （a－b）5＝|a－b|＋(a－b)＝02，（aa≤ －bb，），a>b. 0或2(a－b)
题型一由根式的意义求范围利用 a2＝|a|进行讨论化简【例 1】求使等式（a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解（a－3）（a2－9）＝（a－3）2（a＋3）＝|a－3| a＋3，要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立，需aa－＋33≤ ≥00，，解得 a∈[－3，3].
二、素养训练 1.已知 x5＝6，则 x 等于( )
A. 6
B.5 6
C.－5 6 答案 B
D.±5 6
2.(4 2)4 运算的结果是( )
A.2
B.－2
C.±2
D.不确定
答案 A
3.m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 m2
B.3 m
C.6 m
D.5 －m
答案 C
3
4. －8的值是________.
(1)4 （3－π）4； (2) （a－b）2(a>b)；
3
(3)( a－1)2＋（1－a）2＋（1－a）3.
解 (1)4 （3－π）4＝|3－π|＝π－3.

4.1.1n次方根教案

4.1.1n次方根教案
教授n次方根是数学教学中的一个重要内容，它涉及到数学中
的指数和根号运算，对学生来说可能是一个较为新颖的概念。

设计
一份教案来教授n次方根需要考虑以下几个方面：
1. 知识背景，首先，教案应该包括n次方根的定义，例如如何
理解n次方根，以及它与指数的关系。

同时，也要讲解n次方根的
性质，如n次方根的运算规律和特点。

2. 教学目标，明确教学目标是设计教案的关键。

教师需要清楚
地确定学生需要达到的认知目标、能力目标和情感目标，例如学生
应该能够理解n次方根的概念，掌握n次方根的计算方法，以及能
够运用n次方根解决实际问题等。

3. 教学内容和方法，教案应该包括教学内容的安排和教学方法
的选择。

教师可以通过具体的例题引导学生理解n次方根的计算方法，也可以通过实际问题的讨论来培养学生的问题解决能力。

4. 学习过程，设计学习过程是教案的核心。

教师可以通过导入、提出问题、讲解、示范、练习和总结等环节来引导学生逐步掌握n
次方根的相关知识和技能。

5. 教学评价，教案还应该包括教学评价的内容，包括如何评价学生对n次方根的掌握程度，以及如何帮助学生发现和解决问题。

综上所述，设计一份教学n次方根的教案需要考虑知识背景、教学目标、教学内容和方法、学习过程以及教学评价等方面，以帮助学生全面地理解和掌握n次方根的相关知识和技能。

新教材4.1.1n次方根与分数指数幂教学设计（1）-人教A版高中数学必修第一册

第四章指数函数与对数函数教学过程教学设计意图核心素养目标4.1.1n次方根与分数指数幕本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幕》第1课时。

从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。

体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。

课程目标学科素养1.理解并掌握根式的概念、分数指数蓦的概念；2.理解根式与分数指数幕的互化；掌握有理数指数蓦的运算性质；3.培养勇于探索的精神,体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。

a.数学抽象：根式的概念；b.逻辑推理：根式与分数指数幕的互化；C.数学运算：根式的化简；d.直观想象：指数幕的运算法则；e.数学建模：将指数慕的运算性质推广到有理数的范围；重点：根式的概念、分数指数幕的概念;难点：根式与分数指数蓦的互化；有理数指数蓦的运算性质;多媒体(一)、温故知新1 .思考辨析(1)实数a 的奇次方根只有一个.()⑵当 n£N*时，2.()(3>\/(兀一4)2=兀一4.()[答案]⑴"⑵X⑶X4(—2. ^16的运算结果是()A. 2 B. —2C±2 D. ±^24— 4i —A [716=7?=2.]3. 秫是实数，则下列式子中可能没有意义的是()C [当所<0时，饥没有意义，其余各式均有意义.]4.若？ = 一5,则 x=.—y[5 [若尸=—5,则 x=\]—5= — y[5.](二)、探索新知探究1 "次方根的概念问题例1 (1)27的立方根是； 16的4次方根是(2) 已知 *6=2 016,则工=.(3) 若折与有意义，求实数x 的取值范围为.(1) 3； ±2 (2)土呀2 016 (3)[-3, +»]解析：(1)27的立方根是3； 16的4次方根是±2.(2) 因为 *6=2 016,所以 x=±»2 016.(3) 要使折有有意义，贝懦要x+3>0,即x>-3.所以实数x 的取值范围是[—3, +oo).[规律方法]n 次方根的个数及符号的确定1. n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；2. n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号.跟踪训练1.已知KR, neN*,给出下列4个式子：通过温故知新，帮助学生在学习了开平方和开立方概念的基础上，正确理解根式的概念，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。

湘教版高中数学必修第一册第4章4-1-1 4-1-2第1课时根式课件

学习效果·课堂评估夯基础
1．(多选题)已知a∈R，n∈N＋，给出下列4个式子，其中有意义的
是( )
题号
1
√
2
3
√
√
4
BCD [结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD．]
5
√
题号
1
2
3
4
5
题号
1
2
√
3
4
5
题号
4．若x3＝－5，则x＝________．
1
21
1
2
3
4
5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？
√ × ×
－8
π－3
关键能力·合作探究释疑难
－1
[母题探究] (变条件)将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？
反思领悟有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
运算．(重点、难点、易错点)
行运算，培养数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
正算术根
xn＝a
根指数
被开方数
思考1．根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存
在n次方根？n为偶数呢？
3 [－3，＋∞)
a
|a| 0
偶次
[提示] 不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0．
第4章幂函数、指数函数和对数函数 4.1 实数指数幂和幂函数 4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂

4.1.1.1高教版-中职数学-n次根式

4.1.1分数指数幂---n次根式一、教材分析本节课是新课标职业高中数学基础模块上册第四章实数指数幂第一课时，也是指数运算的入门。

n次是初中平方根与立方根概念的拓展与延伸，同时也是学习分数指数幂的基础。

教材通过二次方根、三次方根扩充到n次方根以及根式的性质，本节内容是分数指数幂的基础和前提，便于我们将整数指数幂推广到分数指数幂，为研究后期的运算法则做好准备。

同时，通过对n次根式的学习，进一步培养和提升了学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。

二、学情分析我所教授的班级是商务专业，该专业的人才培养方向对数学的运算能力要求较高，而本章的指数与对数函数模型与该专业很多专业知识也联系紧密。

本班学生活泼好动，个性鲜明，头脑聪明灵活，但学习起点低，学习基础弱，部分学生有厌学现象，基础薄弱的学生“望数生畏”，游离于数学学习之外。

上课注意力不易集中，对数学的兴趣不易做到持之以恒，对枯燥持久的讲授方式容易厌倦。

基于这样的学情，在教学设计的过程中，我尽力做到思路清晰，简洁明了，通熟易懂，通过师生互动，生生互动，小组内优带差，优比优，打破课堂的沉闷，慢慢让学生体会到学习数学的快乐以及学习数学的价值。

三、教学设计基于本节课的内容和学生实际，作如下教学设计。

章前设疑回顾旧知得出概念最近呢，老师碰到一个问题想请同学们解决一下。

经过几年的努力，终于有了一笔存款，但银行有两种储蓄方法：1、存期一年，到期后连本带息自动转存，三年后取出；2、存三年期，到期取出；（一年期年利率2.50％，三年期年利率3.25％）三年后，哪种方式获利更多？你能帮我解决这个问题吗？解决过程中我们又是根据什么数学模型来计算的呢？从今天开始，我们便将进入第四章《对数函数与指数函数》的神奇世界。

章前设疑，激发兴趣.将问题发送至钉钉家校本，让同学们课后解决并提交方案。

学生利用原有的知识基础以及专业知识解决问题。

经过第三章《函数》的学习，学生已经对函数的概念、基本性质、以及研究函数的基本方法等函数的“共性”有了一定的了解，那么第四章的三类函数又有什么“个性”呢？结合学生专业特色和生活实际，在章前设疑，激发学生的求知欲望.初中我们学习过：,.x a a a=±一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即其中叫做的算术平方根例如：若23x=，则x= ；3±叫做3的；3叫做3的；332,=x a x a a=、若则叫做的立方根（三次方根）.3338,2x x x==例如：则；=0,则x=0;x=-8,x=-2.一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.（实数a的立方根只有一个.）引导学生回顾二次方根，立方根的概念及运算。

第四单元_第一节_n次根式

数学课程
知识点25 n 次根式
第四单元指数函数与对数
4.1.2 n 次根式
创境导入自主探索
引入
在初中，我们定义过平方根和立方根的概念。比如，（ 5）2 =25，则称 5是25的平方根，也叫二次方根；又如，(-3)3 27,则称-3是-27的立方根，也叫三次方根。
如果一个数ห้องสมุดไป่ตู้平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；
练一练
1、填空题
(1) 3 0 ( 0 ) (4) 4 16 ( 2 )
(2) 3 64 ( 4 ) 7 (3)( 4 7)4 ( )
3 6 (5) 6 (3)6 ( ) (6)( 5 6)5 ( )
2、求值
（1） 1的平方根；（2）243的5次方根；（3）256的4次方根。 4
当n是奇数时，任何一个数的n次方根都唯一存在，且正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根用符号n a表示。
例如，因为23 =8，所以3 8=2；
因为(-2)5 32, 所以5 -32=-2.
新课探究启发解读
偶次方根
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为 a和- a,也可以合并为 a(a 0)
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
新课探究启发解读 n次方根
类似地，因为| 2|=16，所以可以把 2叫做16的四次方根；因为25 =32，所以可以把2叫做32的五次方根。
一般地，若x an (n 1,且n N ),我们把x叫做a的n次方根。
新课探究启发解读奇次方根
例如，2叫做16的四次算数根。
新课探究启发解读 n次根式
当n a有意义时，式子n a叫做n次根式。

【人教A版】数学必修一第四章 4.1.1n次方根与分数指数幂

A.2 2
√7 B. 8
7
C.－ 8
7
解析因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 8.
7
D.± 8
4
(2)若
2x＋5有意义，则
x
的取值范围是__－__52_，__＋__∞____；
5
若 2x＋5有意义，则 x 的取值范围是____R____.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
4
(1) 3－π4；
第四章 4.1 指数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
知识点一 n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_7_或__－__1_1_.
解析 81的平方根为－9或9，即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围.
4
解 ∵ x－2有意义，
∴x－2≥0， ∴x≥2，即x的取值范围是[2，＋∞).
4
解 3－π4＝|3－π|＝π－3.
(2) a－b2(a>b)；
解 ∵a>b，∴ a－b2＝|a－b|＝a－b.
3
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 1－a3.
解由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.

4.1 第1课时 n次方根公开课一等奖优秀课件

4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
第一课时 n次方根
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式理解n次方根及n次根式的
的概念.
概念，正确运用根式运算
2.能正确运用根式运算性性质，化简求值，发展数
质化简求值.
学抽象及数学运算素养.
一、知识回顾
1、平方根
如果
x2
a ,那么 x叫做 a
x
的平方根；
a
x 3 a
2、立方根如果 x3 a ,那么 x叫做 a 的立方根
观察归纳形成概念
(2)4 16 -2和2称为16的四次方根
(2)5 32 -2称为-32的五次方根
二、n次方根定义：
如果一个数的 n次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n次方根．
,
n为奇数
n a , n为偶数
33 27
3 3 27
(2)3 8
2 3 8
(2)5 32
(2)2 4
(3)2 9
2 5 32
2 4
3 9
(2)4 16
2 4 16
三、根式有关概念
根指数根式
na
被开方数
2 x x (x 0)
x2 x (x R)
根式的运算性质：
n na a
n
an
a
a
n为奇数 n为偶数
课堂练习：判断题
1
5 2
5
2
(对); 2 4 (-2)4 2
(错);
4
3 4 2 2
(错); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);

第四章 4.1.1-4.1.2 第1课时 n次方根

方根？n为偶数呢？答案当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为n a，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n 次方根，可表示为±n a .
知识点二根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据 (1) 负数没有偶次方根. (2)0 的任何次方根都是 0，记作n 0＝ 0 . (3)(n a)n＝ a (n∈N*，且 n>1). (4)n an＝a(n 为大于 1 的奇数). (5)n an＝|a|＝－a a，，a≥a<00， (n 为大于 1 的偶数).
延伸探究本例中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？
解原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. ∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0， ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟
有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简. (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
跟踪训练 3 已知－1<x<2，求 x2－4x＋4－ x2＋2x＋1的值.
解原式＝ x－22－ x＋12＝|x－2|－|x＋1|. 因为－1<x<2，所以x＋1>0，x－2<0，所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
3 随堂演练
PART THREE
1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是
第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
学习目标
XUE XI MU BIAO

高中数学必修一课件：第四章n次方根与分数指数幂

(3)已知x，y∈R，下列等式恒成立的是( B )
A．(6 x－6 y)6＝x－y
8 B.
（x2＋y2）8＝x2＋y2
4 C.
x4－4
y4＝x－y
10 D.
（x＋y）10＝x＋y
题型二分数指数幂的概念和性质
例2 (1)求下列式子的值． ①10－3； ②(－0.25)－1； ③16－32. 【解析】 ①10－3＝1103＝1 0100＝0.001. ②(－0.25)－1＝－14－1＝－114＝－4. ③16－32＝ 13＝（ 116）3＝413＝614.
(0，＋∞)
(3)根式式子__n_a___叫做根式，这里n叫做__根__指_数___，a叫做被开方数．
要点2 根式的性质 (1)当n为大于1的整数时，n 0＝0. (2)当n为任何正整数时，(n a)n＝__a__．
(3)当n为奇数时，n an＝__a___；当n为偶数时，n an＝|a|＝__－__a____a__（（aa≥ <00））. ，
39 5. a2 a－3÷
3 a－73 a13＝_____1___．
9
11
1 11
解析原式＝[a2(a－3)2]3÷[(a－7)3(a13)3]2
＝(a92－32)13÷(a－73＋133)12
1
1
＝(a3)3÷(a2)2＝a÷a＝a0＝1.
自助餐
两重根号的根式化简
例计算 5－2 6＋ 5＋2 6. 【分析】将5－2 6和5＋2 6配成平方形式． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2ab； (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋b2－2ab. 【解析】原式＝（ 3－ 2）2＋（ 3＋ 2）2 ＝| 3－ 2|＋| 3＋ 2|＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3.

课件3：4.1.1　n次方根与分数指数幂~4.1.2　无理数指数幂及其运算性质

n 是奇数
a＞0 a＜0
x＞0xΒιβλιοθήκη 仅有一个x＜0 值，记为_n__a__
性质 n 是偶数
a＞0
x 有两个值，且互为相反数，记为_±_n__a_
a＜0
x 在实数范围内不存在
名师点拨
0 的任何次方根都是 0，即n 0＝0. 2．根式
(1)定义：式子__n_a__叫做根式，这里 n 叫做__根___指__数___，
(只填序号)．
①－
1
x＝ ( x)2
(x＞0)；②6
y2＝
1
y3
(y＜0)；
③x－34＝ 4 1x3(x＞0)；
④x－13＝－3 x(x≠0)．
解析：对于①，－ x＝－x12，故①错误；对于②，当 y＜0 时，
6 y2＞0，y13＜0，故②错误；对于③，x－34＝
1
4 ＝
4 x3
1x3(x＞0)
故③正确；对于④，x－13＝ 1 ，故④错误．综上，故填③. 3x
3．分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定：amn＝_n__a_m_ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
分数指数幂
负分数指数幂
1 规定：a－mn＝__a_mn __＝ 1
n am
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于__0___，0 的负分数指数
指数幂幂__没__有__意__义__
21
＝aa－321··bb213÷(a－1－12b－12－1) －23
＝a23＋12b21－13÷(a－32b－32)－23
＝a76b16÷(ab)＝a76－1b16－1
＝a16b－56.
本课结束

第四章 4.1.1-4.1.2 第1课时 n次方根

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2

新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 教案

4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)

新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂

n次方根与分数指数幂

4,1,1 n次方根与分数指数幂(第1课时)(PPT) (人教A版2019 必修第一册)

2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册

第四章 4.1 4.1.1 4.1.2 第一课时 n次方根

4.1.1n次方根教案

新教材4.1.1n次方根与分数指数幂教学设计（1）-人教A版高中数学必修第一册

湘教版高中数学必修第一册第4章4-1-1 4-1-2第1课时根式课件

4.1.1.1高教版-中职数学-n次根式

第四单元_第一节_n次根式

【人教A版】数学必修一第四章 4.1.1n次方根与分数指数幂

4.1 第1课时 n次方根公开课一等奖优秀课件

第四章 4.1.1-4.1.2 第1课时 n次方根

高中数学必修一课件：第四章n次方根与分数指数幂

课件3：4.1.1 n次方根与分数指数幂~4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂教案

课件3：4.1.1　n次方根与分数指数幂~4.1.2　无理数指数幂及其运算性质