[理学]排队论PPT课件
合集下载
三、排队论(ppt文档)
12:56:34
系顾
统客
中源
允中
许顾
的客
最数
大，
顾默
客 数
认 无 穷
，
默
认
无
穷
队列长度有限 队列最大长度
C=D 损失制
C<D< 混合制 D= 等待制
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
t 0
jt 0(t)
t
j
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务
j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
12:56:34
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
12:56:34
6
增长率和消亡率的分析
i状态下，i状态代表排队系统中有i个顾客，假定此时有j个 顾客正在接受服务(ji)，当i m j=i,当i>m时j=m, m为服务 窗个数 pi,i1(t) P(t内到达了1个，离开了0个)
P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 2)
M/M…排队模型综述
12:56:34
1
排队模型回顾
顾客到达排队系统请求服务
服
系顾
统客
中源
允中
许顾
的客
最数
大，
顾默
客 数
认 无 穷
，
默
认
无
穷
队列长度有限 队列最大长度
C=D 损失制
C<D< 混合制 D= 等待制
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
t 0
jt 0(t)
t
j
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务
j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
12:56:34
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
12:56:34
6
增长率和消亡率的分析
i状态下，i状态代表排队系统中有i个顾客，假定此时有j个 顾客正在接受服务(ji)，当i m j=i,当i>m时j=m, m为服务 窗个数 pi,i1(t) P(t内到达了1个，离开了0个)
P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 2)
M/M…排队模型综述
12:56:34
1
排队模型回顾
顾客到达排队系统请求服务
服
排队论(脱产)PPT课件
等待制与损失制
等待制
顾客等待时间有限，超过一定时 间仍无法接受服务则离开；或者 顾客可以无限等待，直到获得服 务。
损失制
顾客到达时若无法立即接受服务 ，则离开系统。
稳态与瞬态
稳态
排队系统在长时间后达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔均服从某一概 率分布。
瞬态
排队系统未达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔不服从概率分布。
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
2023-2026
ONE
KEEP VIEW
排队论(脱产)ppt课件
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
WENKU
REPORTING
https://
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 排队论的基本概念 • 常见的排队模型 • 排队论中的性能指标 • 排队论的应用实例 • 总结与展望
PART 04
排队论中的性能指标
队长与等待队长
队长
指在任意时刻队列中的顾客数。它通常用来衡量系统的负载状况。队长是描述系 统状态的重要参数，其分布情况决定了系统的性质。
等待队长
指在队列中等候的顾客数。等待队长是衡量系统性能的重要指标，特别是在处理 能力有限的情况下。等待队长的大小直接影响到顾客的等待时间和系统的效率。
交通系统
地铁调度
地铁调度中心需要确保列车按时到达车 站并保持适当的间隔。排队论可用于分 析列车的到达时间和等待时间，优化列 车的调度和运行计划，提高地铁系统的 运输效率和安全性。
VS
机场安检
机场安检是保证乘客安全的重要环节，但 安检队伍过长或等待时间过长会影响乘客 的满意度和机场的运行效率。排队论可用 于分析安检队伍的长度和等待时间，优化 安检流程和资源配置，提高机场的运行效 率和乘客满意度。
《理学排队论》PPT课件_OK
运筹学校级重点建设课程电子教案
34
dz
d
G
(
N
N 1
N N 1
N N N 1 N 1
(
N
1)
从静态考虑，排队系统主要涉及两项费用：等待 损失费用和服务费用。
2021/8/30
运筹学校级重点建设课程电子教案
29
§6.1 M/M/1 模型中的最优服务率
1、标准的M/M/1 模型
设：Cs为μ=1时服务机构的单位时间费用，Cw为每 个顾客单位时间等待费用。则单位时间成本z为:
z Cs Cw Ls
Ls
2
2
1
k 2
2(1 )
(k 1) 2 2k(1 )
Lq
Ls
(k 1) 2 2k(1 )
Ls W s
2021/8/30
Lq W q
运筹学校级重点建设课程电子教案
28
§6 排队系统优化
排队系统优化问题分为两类：系统设计和系统控 制优化。前者称为静态问题，即研究如何使设备达 到最大效益或机构最为经济；后者称为动态问题， 研究如何运营可使某个目标达到最优。本节我们只 讨论静态问题。
z (1 PN ) G C S
(1
N
1 1 N 1
)
G
CS
(11NN1 ) G CS
(11NNNN11 ) G CS
2021/8/30
运筹学校级重点建设课程电子教案
33
z
N
N
N
N 1 N 1 N 1
G CS
N N 1
N N 1
G
CS
2021/8/30
m
Lq (n c) pn n c 1
运筹学第五章排队论PPT课件
第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
排队论 第2章PPT课件
出现次数fn
10 28 29 16 10 6 1 100
表9-4
为病人完成手术时 间v(小时)
0.0－0.2 0.2－0.4 0.4－0.6 0.6－0.8 0.8－1.0 1.0－1.2 1.2以上 合计
出现次 数fv
38 25 17 9 6 5 0 100
表9-5
26
1.参数的确定
nfn
算出每小时病人平均到达率＝ 1 0 0 ＝2.1(人/小时)
41
例 设船到码头，在港口停留单位时间损失cI元， 进港船只是最简单流，参数为 ，装卸时间服从参数为
的负指数分布，服务费用为
是一个正常数．
求使整个系统总费用损失最小的服务率
解 因为平均队长
的损失费为
服务费用为
所以船在港口停留 因此总费用为
42
求 使F达到最小，先求F的导数
让
解出
因为
最优服务率是
当
它说明服务机构(手术室)有84％的时间是繁忙(被利用)，有16 ％的时间是空闲的。
27
4.依次算出各指标： 在病房中病人数(期望值)
排队等待病人数(期望值)
Ls
2.1 5.25(人) 2.52.1
L q0 .8 4 5 .2 54 .4 1 (人 )
病人在病房中逗留时间(期望值) Ws 2.51 2.12.5(小 时 )
结
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls Lq
平均服务 时间
平均在忙的服务 台数/正在接受 服务的顾客数
20
服
4. 系统的忙期与闲期
务
强
度
系统处于空闲状态的概率： P0 1
系统处于繁忙状态的概率： P (n0)1P 0
第六章排队论 ppt课件
3) 普遍性：在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )，
到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可 能同时到达 • 泊松过程具有可迭加性 – 即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布
21
6.3.2.2 负指数分布
（1）推导
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布 – 令 h 代表间隔时间，则概率 P{h > t}代表时间区间 △t 内没有顾客来的概率；由泊松分布
第六章 随机服务系统理论
排队论
Queuing Theory
确定型只是随机现象的特例
1
6.1 随机服务系统基础
• 系统的输入与输出是随机变量 • A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
算电话机键配置的方法，为随机服务理论奠定了基础 • 又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion
PB3 (1 / 8)PA0 (1 / 8)
(16 1 / 8)3 3!
e 161 / 8
e 81 / 8
0.0664
(2) 3 个顾客全是购买 B 类商品的概率为
Pn ( t ) 0
n2
26
例-2
某铁路与公路相交的平面交叉口，当火车通过 交叉口时，横木护栏挡住汽车通行。每次火车 通过时，平均封锁公路3min，公路上平均每分 钟有4辆汽车到达交叉口。求火车通过交叉口 时，汽车排队长度超过100m的概率（即排队 汽车超过12辆的概率）。
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
6.1.1 基本要素
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可 能同时到达 • 泊松过程具有可迭加性 – 即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布
21
6.3.2.2 负指数分布
（1）推导
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布 – 令 h 代表间隔时间，则概率 P{h > t}代表时间区间 △t 内没有顾客来的概率；由泊松分布
第六章 随机服务系统理论
排队论
Queuing Theory
确定型只是随机现象的特例
1
6.1 随机服务系统基础
• 系统的输入与输出是随机变量 • A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
算电话机键配置的方法，为随机服务理论奠定了基础 • 又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion
PB3 (1 / 8)PA0 (1 / 8)
(16 1 / 8)3 3!
e 161 / 8
e 81 / 8
0.0664
(2) 3 个顾客全是购买 B 类商品的概率为
Pn ( t ) 0
n2
26
例-2
某铁路与公路相交的平面交叉口，当火车通过 交叉口时，横木护栏挡住汽车通行。每次火车 通过时，平均封锁公路3min，公路上平均每分 钟有4辆汽车到达交叉口。求火车通过交叉口 时，汽车排队长度超过100m的概率（即排队 汽车超过12辆的概率）。
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
6.1.1 基本要素
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 方式,服务时间分布等)
第5章 排队论ppt课件
❖ 1、队长——系统中的顾客数量
m
L S Pi i i0
队长
m
m
i P0 i P0 i i 1
i0
i1
P0
m i1
d d
(
i)
P0
d d
m
(
i1
i)
P0
d d
1 m 1
(
)
1
1
P0
1
(m
1) m (1 ) 2
m
m 1
1
LS
m 2
❖ 2、排队长——系统中等待的顾客数量
i-1个细菌
一、生灭过程定义
❖ 研讨系统内部形状变化的过程 形状i+1
一个事件
系统形状i
一个事件
形状i-1
在Δt时辰内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt)→0
系统具有0,1,2,……个形状。在任何时辰，假设 系统处于形状i，并且系统形状随时间变化的过 程满足以下条件，称为一个生灭过程：
M/M/1/∞/∞排队系统
系统容量无限、顾客源无限 最根本的排队系统 排队过程为生灭过程过程
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
P0
P1
P2
Pi
列形状转移方程组求各形状概率
P1 P0
P1
P0
P0
Pi ii1Pi1Pi1iP0
Pi 1
i0
( 1 23 i )P 0 1
排队论(讲稿)PPT课件
概况2
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况3
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况3
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
《排队论模型》课件
《排队论模型》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将介绍排队论模型的基本概念和应用场景，探讨排 队论在实际生活中的应用，并分享一些有趣的排队问题。
什么是排队论
排队论是一门研究人类排队行为的学科，它研究的是排队过程中顾客到达的 规律、服务时间的分布、等待时间的估算等问题。
排队论的应用场景非常广泛，包括银行、超市、机场、医院等各种服务行业。 其目的是提高服务效率、降低等待时间，并优化服务资源的利用。
多队列模型
M/M/m模型
在多队列排队模型中，存在多个 排队队列和多个服务员。M/M/m 模型是其中一种典型模型，描述 顾客以指数分布到达并分散到多 个队列中的情况。
M/D/m模型
在M/D/m模型中，顾客到达过程 仍然符合指数分布，服务时间固 定为确定值，而多个队列分散顾 客到达过程和服务时间
排队论研究中的两个基本概念，随机到达过程描述顾客到达的时间间隔和规律，服务时间描 述服务员为顾客提供服务所需的时间。
列队长度和等待时间
排队论中的列队长度指的是正在排队等待服务的顾客数量，等待时间则是顾客在队列中等待 的时间。
列队模型
排队论研究中使用的数学模型，以描述排队系统中各种因素之间的关系，包括到达过程、服 务时间、列队长度和等待时间等。
4 机场排队问题
如何优化机场的安检流程，减少旅客的等待 时间和排队长度？
总结
• 排队论模型具有广泛的应用价值，可以优化服务行业中的资源利用和顾客体验。 • 未来，随着人工智能和大数据的发展，排队论模型将进一步发展并扩展到更多领域。 • 学习和实践排队论模型可以提高我们处理排队问题的能力，为实际问题提供更优化的解决方案。
单队列模型
1
M/M/1模型
单队列排队模型中的一种典型模型，描述顾客以指数分布到达、服务时间也以指 数分布的情况下的排队系统。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故障机器
修理
修理技工
修理技工
领取修配零件
仓库管理员
上游河水
入库
水闸管ห้องสมุดไป่ตู้员
注： 1、排队分“有形”排队和“无形”排队。
2、排队的不一定是人，也可以是物.
上述各种问题虽互不相同，但却都有要求 得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。
• 排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”； • 提供服务的人或机构称为“服务台”或“服务员”。
2、系统状态概率：
(1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态 N(t)=n 的概率;
(2) 稳态概率Pn
——Pn=
lim
t
Pn(t)
;
——一般，排队系统运行了一定长的时
间后，系统状态的概率分布不再随时间
t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的
概率分布(Pn(0) ，n>=0）的影响将消失。
(二)系统运行指标参数 ——评价排队系统的优劣。
第一节 内容安排
内容安排 • 1、 前言 • 2、 基 本 概 念 • 3、 输入过程和服务时间分布 • 4、 泊松输入—指数服务排队模型
1.1 排队现象与排队系统
一、排队现象
到达顾客
服务内容
服务机构
病人
诊断/手术
医生/手术台
进港的货船 装货/卸货
码头泊位
到港的飞机 降落
机场跑道
电话拨号
通话
交换台
顾客排队时间的长短与服务设施规模的 大小，就构成了设计随机服务系统中的一对 矛盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标， 又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾 客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所 要研究解决的问题。
二、排队系统 （一）排队服务过程
排队规则
顾客源
——依据排队系统3个主要特征： （1） X 顾客到达间隔时间分布； （2） Y 服务台（员）服务时间分布； （3） Z 服务台（员）个数（单个或多个并列）；
2、国际排队论标准化会议(1971)表示法 X/Y/Z/A/B/C
（1） A 系统容量限制； （2） B 顾客源（总体）数目； （3） C 服务规则（FCFS，LCFS等）；
（1）由于顾客到达和服务时间的随机性， 现实中的排队现象几乎不可避免；
（2）排队过程，通常是一个随机过程， 排队论又称“随机服务系统理论”；
面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法 减少排队，通常的做法是增加服务设施。
但是增加的数量越多，人力、物力的支 出就越大，甚至会出现空闲浪费。
如果服务设施太少，顾客排队等待的时 间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。
例“M/M/1/k//FcFs”
表示顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数 分布，一个服务台，系统至多容纳k个顾客,潜在的顾 客数不限，先来先服务的排队系统。
二、系统参数
(一)系统运行状态参数 1、系统状态 N(t) ——指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)， 包括“排队顾客数”和“正被服务顾客 数”； ——系统状态的可能值如下： （1）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，…; (2) 系统容量为N时, N(t) =0,1,2,…,N; (3) 服务台个数为c/损失制, N(t) =0,1,2,…,c; 一般,系统状态N(t)是随机的。
1、队长与排队长
(1)队长: 系统中的顾客数（n）；
期望值 Ls= n*Pn (2)队列长: 系统中排队等待服务的顾客数服;务 数台
单服务 台排队 系统
单队列— —S个服务 台并联的 排队系统
S个队 列——S 个服务台 的并联排 队系统
图4 单队——多个服务台的串联排队系统 图5 多队——多服务台混联、网络系统
1.2 排队模型与系统参数
一、排队模型
(一)排队模型表示方法
1、D.G.Kendall(1953)表示法 X/Y/Z
相继到达间隔时间 t i
顾客到达时刻 T i
（2）排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制); 等待制:当顾客来到系统时，所有服务台都不空，
顾客加入排队行列等待服务; 损失制:指如果顾客到达排队系统时，所有服务台
都已被先来的顾客占用，那么他们就自动 离开系统永不再来。 排队系统容量：有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
排队结构
顾客到来
服务规则
服务机构
。。。
顾客离去
排队系统
（二）排队系统的要素及其特征
1、排队系统的要素： （1）顾客输入过程； （2）排队结构与排队规则； （3）服务机构与服务规则；
2、排队系统不同要素的主要特征： （1）顾客输入过程 顾客源(总体)：有限/无限; 顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形) 顾客到达间隔：随机型/确定型; 顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联； 输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)
——略去后三项，即指 “X/Y/Z///FCFS”； ——这里仅研究FCFS的情形；
(二)到达间隔和服务时间典型分布
（1） 泊松分布
M；
（2） 负指数分布
M；
（3） k阶爱尔朗分布
Ek；
（4） 确定型分布
D；
（5） 一般服务时间分布 G；
(三)排队模型示例
——M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1； ——M/M/c， M/M/c//m， ——M/M/c/N/ ，。。。
排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话 通讯理论”标志此理论的诞生。排队论的发展最早 是与电话，通信中的问题相联系的，并到现在是排 队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网络 系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、作战 指挥等各领域中均得到应用。
服务台(员)为顾客服务的顺序: a)先到先服务(FCFS); b)后到先服务(LCFS); c)随机服务;(RSS); d)优先服务;(PR); e)一般规约服务，即通用规约服务GD; f)集体（批量）服务：BA
（3）服务机构与服务规则
服务台(员)数目;单个/多个; 服务台(员)排列形式;并列/串列/混合; 服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形) 服务时间分布;随机型/确定型; 服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形)