第13章动能定理

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理论力学---第十三章动能定理

W
W
2
m z ( F ) d
1
当F 是常力时，得
mz ( F )( 2 mz ( F )
1 )
（其中 2 1 )
10
※ 定轴转动刚体上作用力的功等于：
力对转轴的矩乘以转过的角度。
如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直转轴
W md
27
[例1] 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。
解：取整个系统为研究对象
0.9 W12 2mg mg (0.6 0.15) 1.35mg 2
T1 0
vA
1 1 1 2 2 2 T2 2m 0.9 mv 2 3 2 0.9 v
14
[例] 图示系统中,均质圆盘A、B质量均为m，半径均为R, 重物 D质量为m1，下降速度为v。求重物D、圆盘A、B的动能。
vC mg
1 解：重物D： T m1v 2 2
圆盘A： T 1 J 2 2 O A 1 1 v ( mR 2 )( ) 2 2 2 R 1 mv 2 4
1 2 d ( mi vi ) Wi 2 质点系动能定理的微分形式
∴
dT Wi
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得

第13章动能定理1

δ w F d A d r A F d B d rB
A
FdB
因为
及得
Fd A Fd B
d r A d rB d rBA
drA FdA drB
B

即系统动滑动摩擦力的元功等于动滑动摩擦力与沿摩擦力方向的相对微小位移的乘积。
r
A
什么情况下内力不做功?
O
r
B
F
B
应用1:弹性力的功
设弹簧原长为l0，弹簧刚度系数为k，
M1
l0 1
弹性力为
F k ( r AM l 0 )
r AM r AM
A1
d r AM
F
d w F d r AM k ( r AM l 0 )
δ w F d A d rBA
3.力对刚体的功
w

F d rB
d rAB
d rB
F
d rB d r A d r AB
w

F d rA

F ( d r AB )
rA
F ( d r AB ) ( r AB F ) d
T 1 2 mivi
2

1 2

13第十三章动能定理

作用在质点上合力的功等于各分力的功的代数和。( )

摩擦力总是作负功。( )

力偶的功之正负号，决定于力偶的转向。( )

图所示一质点与弹簧相连，在铅垂平面内的粗糙圆槽内滑动。若质点获得一初速0v 恰好使它在圆槽内滑动一周，则弹簧力的功为零；（）重力的功为零；（）法向反力的功为零（）摩擦力的功为零（）

作平面运动刚体的动能等于它随基点平动的动能和绕基点转动动能之和。 ( ) 6

内力不能改变质点系的动能。( )

理想约束反力不做功。( )

图示均质圆盘沿水平直线轨道作纯滚动，在盘心移动了距离s 的过程中，水平常力T F 的功

T A =（）

；轨道给圆轮的摩擦力f F 的功f A =（） A ．s F T ；Ｂ．s F T 2；

Ｃ．-s F f ；Ｄ．-2s F f ； E.0。

图示坦克履带重P ，两轮合重Q 。车轮看成半径R 的均质圆盘，两轴间的距离为R 2。设坦克的前进速度为v ，此系统动能为（）

Ａ．222143Rv g P v g Q T π+=；Ｂ．224v g

P v g Q T +=；Ｃ．222143v g P v g Q T +=

；Ｄ．2243v g P v g Q T +=。

图示两均质轮的质量皆为m ，半径皆为R ，用不计质量的绳绕在一起，两轮角速度分别为1ω和2ω，则系统动能为Ａ．()22212212121ωωR m mR T +⎪⎭

⎫ ⎝⎛=；Ｂ．22221221212121ωω⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=mR mR T ；Ｃ．()222222122121212121ωωω⎪⎭

物理13章知识点归纳总结

第一节：力和牛顿运动定律

1. 力的概念：力是物体相互作用的结果，具有大小和方向。

2. 牛顿第一定律（惯性定律）：物体静止或匀速直线运动时，受力

和加速度为零。

3. 牛顿第二定律（动力学方程）：物体受到的力与其加速度成正比，反比于物体质量。

4. 牛顿第三定律（作用-反作用定律）：相互作用的两个物体对彼此施加的力大小相等、方向相反。

第二节：运动的描述和曲线运动

1. 位移和位移矢量：物体从初始位置到终点位置的位移以及与距离

的区别。

2. 平均速度和瞬时速度：描述物体运动的速度概念。

3. 加速度：速度随时间的变化率，可以是正值、负值或零。

4. 一维曲线运动：描述物体在一条直线上的运动，如匀速运动和变

速运动。

5. 二维曲线运动：描述物体在平面上的运动，如圆周运动和抛体运动。

第三节：牛顿运动定律的应用

1. 平面运动：应用牛顿运动定律解决平面上匀速直线运动和曲线运动问题。

2. 弹力和重力：弹力由弹性物体恢复形状产生，重力是地球对物体的吸引力。

3. 摩擦力：物体之间表面接触产生的阻碍运动力，可以分为静摩擦力和动摩擦力。

4. 斜面运动：分析物体在斜面上的运动情况，考虑斜面的倾角和摩擦力的影响。

5. 圆周运动：物体围绕固定轴的运动，通过角速度和圆周加速度等参数来描述。

第四节：功、动能和机械能守恒

1. 功：力对物体做功的量度，与力的大小、物体的位移以及力和位移之间的夹角有关。

2. 动能：描述物体运动能量的概念，包括动能定理和动能守恒。

3. 功率：描述功在单位时间内所做的工作量。

4. 动量：物体运动的量度，由质量和速度的乘积得出。

动能定理

A
dr OA OC rB rB rA dr dr rB rA AB dr rB rA BC
B C
5
rA
O
3. 定轴转动刚体上力和力偶矩的功
ω
z
w F dr F ds F Rd M z d
显然, 这里约束反力的功之和为零.
B
C
理想约束: 若约束反力的功或约束反力的功之和为零 , 则这一类约束称为理想约束.
除了弹性约束和摩擦面约束, 我们所见到的约束大都是理想约束.
7. 纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功
11
作纯滚动的刚体在与地面接触的那一点上作用有法向反力和静摩擦力.
O D
VO
对于任何刚性支撑面, 法向反力的功一定是零. 注意这里VD =0 . 于是对于作用在D点的静滑动摩擦力FD 的功, 我们有:
n n
微分形式积分形式 2. 质点系的动能定理:
dT w i w i
i 1 i 1
A
N w i i 1
n
微分形式
在理想约束下
n
N w i 0
i 1
n
A dT w i
积分形式
T2 T1 w i1A 2
A
c . 活动铰支座及光滑面

理论力学第13章动能定理

理论力学第13章动能定理
目录
动能定理的概述动能定理的基本内容动能定理的应用动能定理的推导和证明动能定理的深入理解
01
CHAPTER
动能定理的概述
合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
动能定理定义
W=ΔE_k
表达式
动能定理的定义
Hale Waihona Puke Baidu
动能定理的物理意义
动能定理揭示了功与能之间的关系，即合外力对物体做的功等于物体动能的增加量。
适用于解决各种动力学问题，如运动分析、碰撞、摩擦等。
总结词
动能定理在动力学问题中有着广泛的应用。通过应用动能定理，可以分析物体的运动状态、求解力的大小和方向、研究碰撞和摩擦等复杂问题。此外，动能定理还可以与其他力学定理结合使用，如动量定理和角动量定理，以解决更复杂的问题。
详细描述
动能定理在动力学问题中的应用
过程的连续性
在证明过程中，需要注意过程的连续性，即力对质点的作用是连续的，没有突然的跳跃或突变。
能量守恒的运用
在证明过程中，需要注意运用能量守恒定律，确保推导过程的正确性和严密性。
动能定理证明中的注意事项
03
02
01
05
CHAPTER
动能定理的深入理解
牛顿第二定律
物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。

理论力学——第13章动能定理

设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，
根据质点的动能定理的微分形式，有
d(
1 2
mi
vi2
)
δWi
式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将n个方程相加，得
d(
1 2
mi
vi2
)
δWi
d
(
1 2
mivi2
)
δWi
dT δWi
质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所作的元功之和。对上式积分，得
T2 T1 W12
质点系在某一运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。
13-2 已知：轮O 的R1 、m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C 的R2 、m2 纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度
6．理想约束反力的功（反力1），光总滑是面和支它承作、用活点动的支微座小、位轴移承、dr销相钉垂的直约束
[图（a）(b) (c)]，所以这些约束反力的功恒等于零。
（a）
(b)
(c)
(2）光滑铰链约束反力。对于系统的光滑铰链约束如图，其约束反力是一等值、反向、共线的内力，当铰链中心产生位移时 d,r这两个力所作的
试写出在θ=450瞬时的系统动能。

合肥工业大学《理论力学》m第十三章动能定理

⒎质点系内力的功
设质点A、B之间的相互作用力
drA FA
分别为 FA 和FB ，在dt内质点A、B A
的位移为drA 和drB ，则FA 、FB 的
元功之和为
rA
δW = FA·drA + FB·drB ∵FA =－FB
= FA·drA － FA·drB
= FA·d (rA－rB)
O
FB
B
rB
1 2
JC 2
1 2
m(d
)2
P (瞬心)
vC2
即
T
1 2
mvC
2
1 2
JC 2
结论：
•作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。
T
1 2
mvC
2
1 2
JC 2
例13-2 计算下列各物体的动能。
• 均质圆轮质量为m，半径为r；绕O轴转动，
角速度为ω，求其动能。
T
2 1
•见续后
续例13-3 已求得角后系统动能
T
2m 9m1 12
(r1
r2 ) 2
由于系统在水平面内，重力不作功，理想约束反力不作功，所以只有M作功：
W12= M
根据质点系动能定理的积分形式，有
T－T0 = W10
2m 9m1 12

第13章动能定理习题答案

第13章动能定理

13-1 圆盘的半径r = 0.5 m ，可绕水平轴O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A 、B ，质量分别为m A = 3 kg ，m B = 2 kg 。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按ϕ4=M 的规律变化（M 以m N ⋅计，ϕ以rad 计）。试求由π20==ϕϕ到时，力偶M 与物块A 、B 重力所作的功之总和。解：作功力M ，m A g ，m B g

1105.0π28.91π8π2)(π8π2)(d 40

222=⨯⨯⨯+=⋅-+=⋅-+=⎰

g m m r g m m W B A B A ϕϕ

13-3 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为m 1。车轮被看成均质圆盘，半径为R ，两车轮间的距离为R π。设坦克前进速度为v ，试计算此质点系的动能。

解：系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为四部分，如图所示。履带动能： IV III II I 2

1T T T T v m T i i +++=∑=履

由于v v v 2,0IV 1==，且由于每部分履带长度均为R π，因此

IV IV IV 2

I I I IV III II I 2

)2(421210214

v m v m v m T v m T m m m m m =⨯====

==== II 、III 段可合并看作一滚环，其质量为2m ，转动惯量为2

R m J =，质心速度为v ，角

速度为R

=ω

则

22222222

2III II 2

202221421221mv v m

(13)动能定理

7
扑克穿木板
动能和动能定理
大口径穿甲弹
知识回顾：一.知识回顾：知识回顾
1.在本章“追寻守恒量” 1.在本章“追寻守恒量”中，已经知道：在本章已经知道：动能的表达式可能与那几个物理量有关？动能的表达式可能与那几个物理量有关？
物体由于运动而具有的能叫做动能
与物体的质量和质量和速度有关
例题2：例题：一辆质量为m，速度为一辆质量为，速度为v0的汽车在关闭发动机后于水平地面滑行了距离l后停闭发动机后于水平地面滑行了距离后停下来，试求汽车受到的阻力．下来，试求汽车受到的阻力．
四、动能定理解题步骤：动能定理解题步骤：
1. 选取研究对象，确定始末状态，选取研究对象，确定始末状态， 2. 分析研究对象的受力情况和各个力的做功情受哪些力?每个力是否做功每个力是否做功，况：受哪些力每个力是否做功，做正功还是做负功?做多少功做多少功?然后求各个力做功的代是做负功做多少功然后求各个力做功的代数和 3. 明确物体在过程的始未状态的动能 K1和EK2 明确物体在过程的始未状态的动能E 4. 列出动能的方程列出动能的方程∑WF=EK2-EK1，及其他必要辅助方程，进行求解求出合功. 要辅助方程，进行求解求出合功
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3. 对动能定理的理解 W总=Ek2-Ek1 对动能定理的理解:

第十三章动能定理2

vA
§12-4 功率方程
一、功率力在单位时间内所做的功，称为功率，以P表示。 W w d w F d r d r P* P lim F F v F v t t 0 t dt dt dt 功率等于力在速度方向上的投影与速度大小的乘积
2 .弹性力场势能: 取点 M 0 为零势能点， V
若取弹簧自然位置为零势能点， 0 0 k V 2 2 3.万有引力场
k 2 ( 02 ) 2
1 d V d w Gm 0 m d( ) r 1 o d V Gm 0 m d( ) v r r
例12-11：重P=100N、长l=20cm的匀质杆，被刚性系数为k 的弹簧系在点A 。试求：1.初始杆为水平位置（弹簧具有原长），然后放松点A后的最大位移。2.将点A拉到=60°时然后放手，则 =30°时的角速度值。解：以初始位置为零势能位 1.
T1 T2 0
V1 0
h
k
平衡位置

P
3P (R r)2 2 4g
以平衡位置为零势能位
V Pzc P（R r） cos ) (1
3P ( R r ) 2 2 P( R r )(1 cos ) C 4g
T V C
两边求导：
3P ( R r ) 2 P( R r ) sin 0 2g

理论力学动能定理

T1 0
( h/R)
h a v
Q
B
C1
Байду номын сангаас
1 1Q 2 1 2 2 T2 J O A v J CB 2 2g 2
由运动分析知：
v 1 P 2 2 1Q 2 1 3P 2 2 A R A v R B R 2 2g 2g 2 2g vB v v2 B (8Q 7 P) 2R 2 R 16g
§13-1 力的功 3．万有引力的功质量为m2的质点M受到另一质量为m1的固定点O的引力F的作用。由牛顿万有引力定律知 M
F f m1m2 mm r0 f 1 3 2 r r2 r
M1
r1
M2
F
r0 o
式中f 为万有引力常数 f =6.667×10-11m3/（kg· 2） s 当质点从M1运动到M2时，引力F作的功为
mzc mi zi
mg( z c1 z c 2 )
12
根据质心坐标公式，有
所以
W
§13-1 力的功 2．弹性力的功弹性范围内，弹性力大小为 F k 弹性力
F k (r l0 )r0
k——弹性刚度系数（或刚性系数）。
质点M 由M1 运动到 M2时，弹性力作功为
W12 M1 F d r r k (r l0 )r0 d r

山东大学《理论力学》教案第13章动能定理

第13章动能定理

一、目的要求

1．对功和功率的概念有清晰的理解，能熟练地计算重力、弹性力和力矩的功。

2．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。

3．熟知何种约束反力的功为零，何种内力的功之和为零。

4．能熟练地应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。

5．能熟练地应用动力学基本定理解动力学的综合问题。

二、基本内容

1．基本概念

力的功；质点和质点系的动能；动能定理；功率、功率方程、机械效率；势力场、势能、机械能守恒定律；动力学基本定理的综合应用。

2．主要公式

微分形式 ∑==n

i Fi W dT 1δ

积分形式 ∑=-Fi W T T 12

具有理想约束的质点系，其动能的改变（增量或对时间的一阶导数），等于作用于质点系的主动力的元功之和；在理想的约束条件下，质点系在某一段运动过程中起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的主动力在这段过程中所作的功的和。

三、重点和难点

1．重点：（1）力的功和物体动能的计算。

（2）动能定理和机械能守恒定律的应用。

（3）动力学基本定理的综合问题。

2．难点：综合应用动力学基本定理求解动力学问题，运动学补充条件（方程）的提出。

四、教学建议

1.教学提示

（1）讲清力的功的一般形式，反复练习重力的功、弹性力的功和力矩的功的计算，搞清圆轮纯滚时摩擦力为什么不作功。

（2）在复习物理课程有关内容的基础上，熟练计算刚体系统的动能，强调动能表达式中的速度（角速度）一定用绝对速度（绝对角速度）；反复练习取整体为研究对象，用动能定理求运动的问题；强调用动能定理的积分形式可求解任何运动问题；强调用动能定理解题是以整体为研究对象。

第13章功和机械总结知识点

第十五章机械能一、功

1、物理意义：表示物体做功的多少的物理量.

2、定义：在物理学中，把作用在物体上的力和物体在力的方向上移动的距离的乘积.

3、公式：W=Fs

对公式W＝Fs的理解

A.公式一般式 W＝Fs

常用式 W＝Gh(克服重力做功) 或 W＝f阻s(克服摩擦阻力做功)

B.注意事项

A.有力才有可能做功,没有力根本不做功.

B.F与s的方向应在同一直线上(初中要求)(比如一个人提着一重物G,从山脚顺

着一之字形的山路爬到山顶,此时人克服重力做功所移动的距离并不是山路的长,而是从山脚到山顶的高)

C.做功的多少,由W＝Fs决定,而与物体的运动形式无关.

4、单位：主单位：焦耳（J），1J= 1N·1m常用单位：千瓦时（kwh） 1 kwh=3.6x106J

5、判断力对物体做功的方法：

(1)看是否具备做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离。若同时具备，则力做了功。

(2)物体在力的作用下动能或势能是否发生变化，若有变化，则力做了功。

6、功的原理：使用任何机械都不能省功。理想情况下：W机械= W人即：Fs=Gh 7．不做功的三种情况：有力无距离、有距离无力、力和距离垂直。

巩固：☆某同学踢足球，球离脚后飞出10m远，足球飞出10m的过程中人

不做功。（原因是足球靠惯性飞出）。

8．应用功的公式注意：①分清哪个力对物体做功，计算时F就是这个力；②公式中S一定是在力的方向上通过的距离，强调对应。③功的单位“焦”（牛·米=焦），不要和力和力臂的乘积（牛·米，不能写成“焦”）单位搞混。

华北电力大学理论力学第13章动能定理(动)

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20
§13.3 质点系动能定理
1. 质点动能定理
d mv F dt v dmv F vdt F dr
1 d mv 2 F dr 2
1 1 2 mv 2 mv 0 W 2 2 T T0 W
质点的动能改变等于运动过程中力对质点所作的功
弹簧力的功
2 k 2 k 2 2 Ws A B 2 R R R 2 2 kR 1 2

重力所作的功
Wg W z A z B WR
13
② 作用于运动刚体上力系的功力系对刚体的元功
δW Fi dri
弹性的力功：
r F k r r0 r
k——为弹簧刚度 r0——弹簧原长

2 1

k 2 2 W δ1 δ2 2

弹性力的功与弹簧变形的平方之差成正比，与路径无关。
12
1—— 初位置弹簧变形量 2—— 末位置弹簧变形量
例：求力的功
套筒重W 在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为R，当套筒从 A运动到B时，求弹簧力所作的功以及重力所作的功。
W FR v C M C ω dt
0
t

第13章质点系动能定理

dt
dt
力(偶)矩的功率: P W M d M
质点系动能定理 dt
dt
质点： m dv F m dv v F v
d( 1 mv 2 ) 2
P

dt
质点系：d(
1
2 dt
mv
2
)

dt
P
dT dt
dt
P — 功率方程
dT Pdt dT W －微分形式
结论与讨论
关于动量和动能的再讨论
关于汽车驱动问题的结论
发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功使汽车的动能增加；
与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。
如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大汽车也只能打滑，而不能向前行驶；反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。
2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。
对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。
如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。

第13章 动能定理

理论力学---第十三章动能定理

第13章 动能定理1

13第十三章 动能定理

物理13章知识点归纳总结

动能定理

理论力学第13章动能定理

理论力学——第13章 动能定理

合肥工业大学《理论力学》m第十三章动能定理

第13章动能定理习题答案

(13)动能定理

第十三章 动能定理2

理论力学 动能定理

山东大学《理论力学》教案第13章 动能定理

第13章功和机械总结知识点

华北电力大学理论力学第13章 动能定理(动)

第13章质点系动能定理

第13章动能定理

第13章动能定理1

13第十三章动能定理

理论力学——第13章动能定理

第十三章动能定理2

理论力学动能定理

山东大学《理论力学》教案第13章动能定理

华北电力大学理论力学第13章动能定理(动)