晶体几何学基础

二+才举L兰吉-t~白匀层罢技之
第2 篇晶体物相芳析
第 5章物相分析概论 第 6章 晶体几何学基础 第 7 章 电磁波及物质波的衍射理论 第 8章 X射线物相分析 第 9章 电子衍射及显微分析
第6 章晶体Jt..何学
一 、正空间点阵 二 、倒易点阵
第 21庸
第6 章晶体Jt..何学
1. 晶体结 构和空间 点阵
图 6-2 空间 点阵
1.2 晶向和晶面
p
d
y
y
Directio n: [11 1]
x Plane: (110)
13 晶带
· 晶带定理 hu+kv+lw=O
2.1 倒易点阵的引入
••在量
晶 、
在 的 果
电 ' ，
体 产 子 而 反
对 生 衍 该 映
入 衍 射 衍 该
射 射 花 射 组
波 的 样 波 晶
第 21庸
( 1 )晶态与非晶态
固态物质
J、
石英 - 晶态
非晶态 .... 玻璃
J
宏 观具有规
微观具 有格
则几何外形
子 构造
第6 章晶体Jt..何学
( 2 ) 晶体结 构和 空间点阵
第 21庸
. -Na+
O Cl-
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
晶体结构可示意为 : 晶体点阵+ 结构基元 = 晶体结构
与这组晶面正交，并且其长度与面 间距的倒数
成正 比
.1
161 - ' "_
u-
z
/ MY
。
X
b
...l且
a
2.3 倒易点阵与正空间点阵的关系
只需证明 δ .l ZXδ 土豆子， 则 δ 肯定垂直于 (hkl)， _~面 。
ã I Ib I I ε
若离原点最近的 (hkl) 晶面 ， 在3 、 6 、 5 三个品轴上 的制巨为 : 1万1 1τ 1 1，
代表正 空间 的 一 族晶面。 矢量的长度代表晶面 间距的倒数， 矢量 的方向代表 晶面 的 法线。 正空间 的 一组二 维晶 面就可用 一 个 倒空间的 一 维矢量或零 维的点来表 示 ， 正空间的 一 个晶'常所属的晶 面 可用倒空间的 一 个 平面表示 ， 使晶 体学关系简单化。
Real
等司「拳也习I!~碍F虫己;jj含量t
用倒易点阵 处 理衍 射问 题 时，能使几何概念 更清楚 ， 数字' 推理简化。可以简单地想象 ， 每一幅单晶的衍 射花样就是 倒 易点阵在该花样?面 上 的投影。
如何实现晶体结构和衍射花样的对应
晶 体 结 构c==>衍射波c==>衍射花样
2.2 倒易点阵定义
假定 晶 体点阵基矢 为 a 、 iE ， 倒 易 点阵基矢
晶体结 构 中 同 类等同点 (阵点)构成的几何图形
·有规律
· 宇间无限
第6 章晶体.Il.何学
(3) 空间点阵的元素
军2 :1前
第6 章晶体凡，帘学
( 4 ) 布拉格点阵
· 单位 平行六面体选取规则 :
1f;21庸
点阵常数 :
a 、 b 、 C;α 、 p 、 y
第6 章晶体Jt..何学
七大晶系
V*
-今-今-今-今-今-今-今-今-今
V*= α*. (b *x c *) = b *. (c *x a *) = c *. (a *x b *)
第6 章晶体.Il.何学
|α*1 =bcsin α / V Ib*1=casin β / V
Ic*1= αbsin y/ V
军2 :1前
sα丰 =cos βcos y - cosα
. 倒易点阵是相对于正空间中的晶体点阵而 言 的。
第6 章晶体.Il.何学
预备知识:
(1)点积: a.b= 1a 11 b 1 cose
( a.a=a2 a l_ b充要条件 : a.b=OI 0
② cosθ= 主主
lallb
军2 :1前
a
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
C
(2)叉积 : 矢量 对日 b 的夹角为 8 ， 0<8<π
f
、"
正 交底心格子
正交面心格子
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
立方原始格子 立方体心格子
立方面 I[J格子
四方原始格子四方体心格子六方和三方原始格子 三方菱面体格子
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
2 . 晶向 和晶面
( 1 )晶体定向
在晶体结构空间中引入坐标系的步骤
· 才巴布拉格点阵(平行六面体)的 三 边选作基矢
·周密勒 ( Miller ) 指数表示品面 的空间取向 ， 规定如下 :
1. 以占百胞三个基矢 的 方向为坐标轴 的方向 ，以 基 矢长度a 、 b 、 C分别作为各自的衡量单位 。
2. 童 出晶面与三轴的截距相对基矢长的分数或倍数
3. 取各数的倒数 ， 并求山倒数的最小整数比
4. 核对应轴的顺序写在 圆 括号内 ( hkl )
第六章晶体几何学基础
• 1. 正空间点阵
• 1.1 晶体结构与空 间点 阵 主l
1.2 晶向和 晶面 ，
• 1.3 晶带 E
• 2. 倒易点阵
2.1 倒易点阵的引入 '
• 2.2 倒易点阵定义 份
2.3 倒易点阵与 正空间点阵的关系 '
1.1 晶体结构与空间点阵
. -Na+
OC1-
图 6-1 NaCI 晶体结构
A- ã = 土三乙 ã = 1
bxε .l b
bxc .l c
同理 :
A.b = 土三乙 S= 0
ã.bxë
A.c= 土主_ .c= O
B.b = 1
B. ε= 0
B .a=O
C.c =1
C 'a =0 C.b =0
表 明倒易 点阵任一 基矢和晶 体点阵中 的两 基矢正交。
2.2 倒易点阵定义
与正点阵相同，由倒易点阵基矢 A 、 B 、 C 可以定义倒
为 λ 、 i C ， 由下 式 定 义 :
-: A=
b- x:.. ë一=一1 (, :b;" xë)
ã .bx ë 只
δ
B = 2万二三三 = 生 (ε xa) a.bx ε 只
:;:_ _ ãxb 2万 C = 21C --._.一 = 一 (axb)
à.bxc ~
2.2 倒易点阵定义
这样定义的倒易 点阵基矢和晶体 点 阵基矢性质如 下 :
2. 用直线联结坐标原点和空间点阵中其他某个阵点 ， 该直线方向即为品向
3 . 确定该点坐标(xyz) ( 以点阵常数a、 b、 C为单位)
4. 将xyz化为 最简整数比 [uvw]
宽6 章晶体凡，帘学
C玄ss]
÷ 12
::Jfi21庸
面
且言@
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
( 3 ) 晶 面指数
s mβsmy
mβ* - ωαcos y - cos β
s mαsmy
cosγ* _ cosαcosβ - cos y
'
s in αs m β
直角坐标系中:立方、四方、正交
a * // a , a*=I/a; b女儿I b ， b *=I/b
c* // c , c*=I/c; V*=1八7
第6 章晶体Jt..何学
立方晶系: a=b=c， α= ß = y= 900 四方晶系 : a= b:起， α= R = γ=900 正交晶系 : a*b剖， α = ß = y= 900 单斜晶系 : a均坷， α = y= 900 ，如900
三斜晶系 : a* b;t:c, rJ;i;如y学900
三 方晶系 : a=b=c， α= ß= "f*9 00 六方晶系: a=b妃， α = ß =900γ=1200
法线方向就是 δ 的方向 ， 此时原点也在 (hkl )
晶面族的某一个平面上 ， 因此只要求出原点与( hkl l:
晶面之间的距离即可。
IGI d
-
-
5… X一.
旦旦
-一
旦
(hA +kB+IC) 一 土
~4 ~ I 弘 h
IδI
。
z /'月
a...
2.3 倒易点阵与正空间点阵的关系
倒空间的一个点或一个矢量{; = hà + kË + lë
第6 章晶体Jt..何学 c轴
a 车由
第 21庸 b轴
第6 章晶体.Il.何学
叫uv 坐
b
lIk
第6 章晶体Jt..何学
一 、正空间点阵 二 、倒易点阵
第 21庸
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
· 为了研究衍射波的特性，简化衍射问题， 1921
年德国物理学家厄瓦尔德引入了倒易点阵的概念。
第 21庸
第6 章晶体Jt..何学
· 空间格子种类 · 原始格子
. 1本 J心格子
· 面 J心格子 ·底 Jb格子
第 21庸
布拉格晶胞有 1 4种类型 ， 分属七大 51 系 。
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
三斜原始格子单斜原始格子单斜底心格子
~
仑/
/
三;;{"
t
飞、
j
J
、"
>
正交原 始格子正 交体心格子
为了研究衍射波的特性， 1921 年德国 物 理学家厄瓦尔 德
(P. P. Ewald) 引入了倒易点阵的概念。
倒易点阵 是相对于正空 间中的晶体点阵而 言的 ， 它是衍 射 波的方向与强度在空 间的分布 。 由于衍 射波 是由正空 间 中的晶 体 点阵与入射波作 用形成 的，正空间中的 一组平 行晶面就可以 用 倒 空间中的一 个 矢 量或阵点 来表示 。
发 晶 中 是 面
生 面 ' 一 的
衍 三 每 组 取
射 者 一 特 向
的 之 个 定 和
时 间 衍 取 面
候 存 射 ' 问 问
' 在 斑 的距
衍 严 点 晶 。
射 格 是 面
图 的 由 对
谱 对
、应
一支
入射
衍 关 衍 波
射 系 射 衍
波 。 波 射
的 造 的
波 成 结
矢
/
。
2.1 倒易点阵的引入
-今 -今
-→ -→
-今 -→
α*. a = b *. b = c *. c = 2万(或1)
-今 -今
-今 -今
-今 -今 -今
-今
-今 -今
-今 -今
。*. b = a *. c = b *. a = b *. c =c *. a = c *. b = 0
α『
b『 E
LV-- or ..
C『
*
、E ·
. zx = o王 一 oz = a _ c
hL
-E= -M
一 但
70 d c
-k
一
-
而 G=hA+kB+IC
/ 闽 z
Y
。
... GEE=(码 +KS+lC)(主 - 三)= 1 - 1=0
b
h1
同理 G.ZY = O 二 G j_ (hkl)
cτ
_.
a
2.3 倒易点阵与正空间点阵的关系
面问距 d 就是 ox 或 OY在法线方向的投影，
2.倒易点阵与正空间点阵的关系
( 1) 倒易矢量的定义
第 21庸
由倒易原点 向 任意倒易阵点(坐标 为 H ， K, L)
的 连接矢量称为倒 易矢量 ， 用 R*皿L表示 ， 其坐
标表达式 为 : R*皿L=Ha*+Kb*+Lc*
H 、 K、 L: 倒易阵点在倒易点阵中的方位 ， 整数。 a* 、 b* 、 c* 是倒易点阵的 3 个基本的单位矢量。
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军2 :1前
222
100
200
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(2) 倒易矢量的性质
第 21庸
A. 倒 点阵矢量 与 正点阵矢 量 的点积必为 整数。若
E
-
· -
一
பைடு நூலகம்
--
A υ
1
AVAU 1
n υ o v ­
E d
A U
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军2 :1前
从倒点阵的定义式中 a飞 b飞 c* 与 a 、 b 、 c 的位置对 称可知， 正 点阵与倒点阵是互为 倒易
•
-今-今
b*xc*
α=
•b 一一
→ V*→ 沪 ×川 * i 71
•
c=
A→ U
×
→ 俨
3、 b 、 5
·用 三基矢定出 三坐标轴 ， 此三坐标轴称为 品制|
lTl 体定向后 ， 空间某点的坐标即可写出
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军2 :1前
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第 21庸
( 2 ) 晶 向指 数
通过点阵中任意一点的直线方向 ，用 [uvw]表示
确定方法:
1. 以品胞三个基矢的方向为坐标轴 的方向，以 基 矢长度a 、 b 、 C分别作为各自的衡量单位 。
V
(2)倒易 基矢 垂直于正点阵中和 | 乒 =c fiG
自己异名的二基矢组成的平面 |
•'•
→;α xb
c 于 --
V
~ ~~
~ ~~
~ ~~
v = α .(bx c ) = b. (cx a)= c.( αx b)
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军2 :1前
倒易基矢性质 : 正点阵 与 倒点阵同名基矢点 积 为 2π或 1， 异名 基矢点积 为 0 。
模
c==α b s În θ
方向 c垂直a和b所在的平面
~
不尔c 为 a与 b 的叉积 ， 记作 : C == α x b
注 : a与 b平行的充要条件为 : α xb==O
第6 章晶体凡，帘学
1f;21庸
1. 倒易点阵的定义
(1)倒易点阵是量纲为长度倒数 μtk = bxc
的 三 维空间点阵
|I
易点阵矢量 。 =hÂ+kB+lê Ch 、 k、 l为整数) ,
同晶体点阵类似 ， 倒易点阵就是由 倒易点 阵矢量所联系的诸 点的列阵。
2.3 倒易点阵与正空间点阵的关系
将正点 阵和倒易 点 阵的 原点重 合，则有
以 正空 间 ( hK 1 ) 晶面 的指数为 指数的倒 易矢量
Ghkl = hA+kB + IC