工程随机数学(2011-4)PPT课件

解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
则X~b(5,0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P (Y10)P (X0)(10.2)50.328, 其 余 同 理 可 得 ， 于 是 Y的 分 布 率 为 ：
Y 2 0 5 10
pk 0.0570.2050.4100.328
于 是 E (Y ) 5 .2 1 （ 6万 元 ）
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§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成
绩பைடு நூலகம்
如下：
甲 8 9 10 次数 10 80 10
乙 8 9 10 次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。
解：计算甲的平均成绩： 8 1 0 9 1 0 8 0 0 1 0 1 0 8 1 1 0 0 0 9 1 8 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 9
pk 4 5 8 45 1 45
E (X ) 0 4 1 8 2 12 5 4 5 4 5 9
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例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生
故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万 元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3 次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？
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例5：设 X(),求 E (X)。
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e k 0 , 1 , 0 k ! X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) k ke
k0 k!
e
k1
k1
(k 1)!
ee
即E(X)
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例6：设 X U (a ,b )， 求 E (X )。
Fmin(x)1(1F(x))2 1e2 x x0 fmin(x) 2 e2x x 0
密 度 函
0
x0
0
x0 数
只要求出一般指数分布的期望（即E(X1))，就可得到E(N).
E(X1) 0x1exdx xe x|0 0 e xd x e x|0
从而E(N) 2
问题：将2个电子装置并联联接组成整机，
整机的平均- 寿命又该如何计算？
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例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时， 从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到 正品之前已取出的废品数X的期望。
解：X的分布律为：
X 01 2
X 01 2
8 28 21
pk 10 10 9 10 9
对 于 乙 来 说 , 1 2 0 0 0 、 1 6 0 5 0 、 1 1 0 5 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
若 用 它 们 相 应 的 概 率 表 示 ， 就 得 到 了 数 学 期 望 ， 也 称 为 均 值 。
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定义：设离散型随机变量X的分布律为：P(Xxk)pk k1,2,
X 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 它 的 分 布 律 为 ：
P (Xxk)p k, k 1 ,2 ,
若 g ( x k ) p k 绝 对 收 敛 ， 则 有 E ( Y ) E [ g ( X ) ] g ( x k ) p k
k 1
k 1
X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 它 的 概 率 密 度 为 f( x )
计算乙的平均成绩： 8 2 0 9 6 5 1 0 1 5 8 2 0 9 6 5 1 0 1 5 8 . 9 5
1 0 0
1 0 01 0 0 1 0 0
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对 于 甲 来 说 , 1 1 0 0 0 、 1 8 0 0 0 、 1 1 0 0 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接
f
(x)
1
0
ex
x0 x0
0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
解： Xk (k1,2)的 分 布 函 数 F(x) 1ex x0
是 指 数
0 x0
分
串 联 情 况 下 ， N m i n X 1 , X 2 , 故 N 的 分 布 函 数 为 ： 布的
解 ： X 的 概 率 密 度 为 ： f(x) b－ 1a axb 0 其 他
X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) xf(x)dx
b
x dx a b
a ba
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即 数 学 期 望 位 于 区 间 ( a ,b ) 的 中 点
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定 理 ： 设 Y 是 随 机 变 量 X 的 函 数 ： Y g ( X ) g 是 连 续 函 数 ,
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问题的提出： 在一些实际问题中，除了需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例：
在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；
在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；
考察市区居民的家庭收入情况，既知家庭的年平 均收入，又要研究贫富之间的差异程度；
数学期望简称期望，又称均值。
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说明
[1]定义是结构性的 [2]要求绝对收敛 [3]力学解释—质量重心 [4]并非所有随即变量都存在期望 [5]是随机变量的概率平均，并非算术平均 [6]是随机现象所固有的数字特征，是客观存在的理论值
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例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk k 1,2,
工程随机数学
赵正予 2011 - 4
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第四章 随机变量的数字特征
关键词：
数学期望 方差 协方差 相关系数
数字特征：联系随机变量分布函数的某些数
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研究数字特征的意义
[1] 是随机变量统计特征的一种表述 [2] 大部分重要的随机变量的分布函数可以用其表征 [3] 是随机变量取值规律平均状态的描述 [4] 在工程上具有实际应用价值，具有良好的分析性质 均值：静态分量 方差：动态分量 相关系数：两个随机变量取值的线性依从关系
若级数 xkpk绝对收敛，则称级数 xkpk的和为随机变量X
k1
k1
的数学期望，记为EX,即EXxkpk k1
定义： 设连续型随机变量X的概率概率为f x,若积分
xf (x)dx
绝对收敛 (即
x f xdx<)
则称积分
xf (x)dx
的值为随机变量X的数学期望
即E(X)
xf (x)dx