2017-2018学年成都市金牛区九年级(上)期末(一诊)数学(详解)

2017-2018学年成都市金牛区九年级（上）期末数学试卷A 卷（100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图所示，圆柱体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=1，则cosA 的值是（ ）A ．√154 B ．14C ．√15D ．43．如图，BC 是圆O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠ACB=30°，则∠AOB=（ ） A ．60° B ．30° C ．45° D ．90°4．已知反比例函数y=kx的图象过点A （﹣1，﹣2），则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣√2D ．﹣15．如图，△A′B′C′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是16：25，则OB′：OB 为（ ）A ．2：3B ．3：2C ．4：5D ．4：96．关于x 的一元二次方程x 2+3x +m=0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ≤94B ．m ＜94C ．m ≤49D ．m ＜497．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm ，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ）A ．3cmB ．2.5cmC ．2.3cmD ．2.1cm8．如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC=5cm，DC=2cm，则AB=（）A．6B．8C．10D．129．一件衣服的原价是500元，经过两次提价后的价格为621元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．500（1+x）2=621B．500（1﹣x）2=621C．500（1+x）=621D．500（1﹣x）=62110．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③a+b+c＜0；④2a+b=0．其中正确的是（）A．①②③B．②④C．②③D．①③④二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．关于x的方程x2+5x﹣2m=0的解是x=﹣1，则m=．12．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=5，AE=2，则BE=．13．把抛物线y=12x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为．14．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若DC=3QC，BC=6，则平行四边形ABCD 周长为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：|1−√8|−(π−2018)0−2cos45°+(−1 2)−1（2）解方程：3x2﹣4x+1=016．（6分）化简求值：x2−xx+2x+1÷(1−2x+1)，其中x=√3﹣1．17．（8分）如图，在成都地铁6号线某站通道的建设中，建设工人将坡长为10米（AB=10米），坡角60°（∠BAE=60°）的斜坡通道改造成坡角为45°（∠BDE=45°）的斜坡通道，使斜坡的起点从点A处向左平移至点D处，求截面图上AD的长．（结果保留根号）．18．（9分）某校为了解九年级女同学的体育考试准备情况，随机抽取部分女同学进行了800米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有300名女生，请估计成绩未达到良好有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会800米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人没有分在同一组的概率是多少？19．（9分）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出y1＜y2时x的范围．20．（10分）如图1，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=4，CD=16．（1）求圆O的半径r的长度；（2）求tan∠CMD；（3）如图2，直径BM交直线CD于点E，直线MH交圆O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，圆O是Rt△ABC的外接圆，如果在圆O内随意抛一粒小麦，则小麦落在△ABC内的概率为．23．如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE=4CE，四边形ODBE的面积是8，则k=．24．如图，已知△AOD是等腰三角形，点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1，和过P、A两点的二次函数y2，的开口均向下，它们的顶点分别为B，C，点B，C分别在OD、AD上．当OD=AD=10时，则两个二次函数的最大值之和等于．25．如图，正方形ABCD中，AD=8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F是AB的中点，则（1）FM=；（2）tan∠MDE=．二、解答题（共30分）26．（8分）某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，且不高于90元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克；（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣成本），并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？27．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=4√5，点D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①求AC的长；②试猜想四边形BCPD的形状，并加以证明；（3）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求CH的长．28．（12分）如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求二次函数解析式；（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．2017-2018学年成都市金牛区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1．D ． 2．A ． 3．A ． 4．B ． 5．C ． 6．A ． 7．D ． 8．B ． 9．A ．10．解：①∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=1，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣b2a=1，c ＜0，∴b=﹣2a ＜0，∴abc ＞0，结论①正确；②∵二次函数图象与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，结论②错误； ③∵当x=1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，结论③正确； ④∵b=﹣2a ，∴2a +b=0，结论④正确．综上所述：正确的结论有①③④． 故选：D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．﹣2． 12．10．13．y=12（x +3）2﹣2．14．解：∵由题意可知，AQ 是∠DAB 的平分线， ∴∠DAQ=∠BAQ ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，BC=AD=6，∠BAQ=∠DQA ， ∴∠DAQ=∠DQA ，∴△AQD 是等腰三角形， ∴DQ=AD=6． ∵DC=3QC ，∴QC=12DQ=3，∴CD=DQ +CQ=6+3=9，∴平行四边形ABCD 周长=2（DC +AD ）=2×（9+6）=30． 故答案为：30．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．解：（1）原式=2√2﹣1﹣1﹣2×√22﹣2=2√2﹣2﹣√2﹣2 =√2﹣4； （2）（3x ﹣1）（x ﹣1）=0， 3x ﹣1=0或x ﹣1=0，所以x 1=13，x 2=1．16．解：原式=x(x−1)(x+1)2÷x+1−2x+1=x(x−1)(x+1)2•x+1x−1=xx+1，当x=√3﹣1时，原式=√3−1√3=3−√33．17．解：过点B 作BC ⊥DE 于点C ，∵∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°，∴AC=12AB=5（m ），∴BC=AB•sin60°=10×√32=5√3（m ），∵∠D=45°，∴DC=BC=5√3m ，∴DA=DC ﹣AC=5√3﹣5=5（√3﹣1）（m ）， 答：截面图上AD 的长为5（√3﹣1）m ．18．解：（1）抽取的学生数：16÷40%=40（人）； 抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2=10， 合格所占百分比：10÷40=25%， 优秀人数：12÷40=30%， 如图所示：；（2）成绩未达到良好的女生所占比例为：25%+5%=30%， 所以300名九年级女生中有300×30%=90（名）；（3）如图：可得一共有9种可能，甲、乙两人没有分在同一组的有6种，所以甲、乙两人没有分在同一组的概率为69=23．19．解：（1）把A （﹣3，2）代入y 2=mx得m=﹣3×2=﹣6，∴反比例函数解析式为y 2=﹣6x ；把B （n ，﹣6）代入y 2=﹣6x得﹣6n=﹣6，解得n=1，∴B 点坐标为（1，﹣6）， 把A （﹣3，2），B （1，﹣6）代入y 1=kx +b 得{−3k +b =2k +b =−6，解方程组得{k =−2b =−4，∴一次函数解析式为y=﹣2x ﹣4；（2）当x=0时，y=﹣2x ﹣4=﹣4，则AB 与y 轴的交点坐标为（0，﹣4），∴△AOB 的面积=12×4×（3+1）=8；（3）当﹣3＜x ＜0或x ＞1时，y 1＜y 2． 20．解：（1）如图1中，连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴∠CHO=90°，在Rt △COH 中，∵OC=r ，OH=r ﹣4，CH=4， ∴r 2=42+（r ﹣4）2，∴r=10． 答：圆O 的半径r 的长度为10； （2）如图1中，连接OD ． ∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∠COA=AC ̂，∠M=12CD̂=AC ̂， ∴∠COA=∠CMD ，∴tan ∠CMD=tan ∠COA=CH HO =43；（3）如图2中，连接AM ．∵AB 是直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB +∠ABM=90°，∵∠E +∠ABM=90°，∴∠E=∠MAB ，∴∠MAB=∠MNB=∠E ，∵∠EHM=∠NHF∴△EHM ∽△NHF ，∴HE•HF=HM•HN ，∵HM•HN=AH•HB ，∴HE•HF=AH•HB=16•4=64．答：HE•HF 的值为64．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．解：∵α，β是方程x 2﹣3x ﹣4=0的两个实数根，∴α+β=3，αβ=﹣4∴α+β﹣αβ=3﹣（﹣4）=7．故答案为：722．解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC=√AB 2−AC 2=√102−82=6，∴S △ABC =12AC•BC=12×6×8=24， ∵S ⊙O =π•（102）2=25π， ∴小麦落在△ABC 内的概率为S △ABC S 圆O =2425π， 故答案为：2425π． 23．解：设E （a ，k a）， ∵BE=4CE ，∴B （5a ，k a）， ∵四边形ODBE 的面积=S 矩形ABCO ﹣S △OCE ﹣S △AOD ，∴5a•k a ﹣12k ﹣12k=8，解得k=2． 故答案为2．24．解：过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ，∵OD=AD=10，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=6， 由勾股定理得：DE=√OD 2−OE 2=8．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，∴BF DE =OF OE ，CM DE =AM AE， ∵AM=PM=12（OA ﹣OP ）=12（12﹣2x ）=6﹣x ， 即BF 8=x 6，CM 8=6−x 6， 解得：BF=43x ，CM=8﹣43x ， ∴BF +CM=8．故答案为：8．25．解：（1）如图，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，∵四边形APEQ 是正方形，∴DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG =DG FG =DC AF=2， ∵AC=8√2，DF=4√5∴CG=23×8√2=16√23， ∴EG=16√23﹣2√2=10√23， AG=13AC=83√2，过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH=FK=83，HF=MK=43， ∴FM=√FK 2+MK 2=4√53；（2）∵ML=AK=AF +FK=4+83=203，DL=AD ﹣MK=8﹣43=203， 即DL=LM ，∴∠LDM=45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过M 作MK ⊥AB ，过N 作NI ⊥AB ，则BK=MK=43， ∵BF=12AB=4， ∴FK=83NI=IB ， ∴设NI=y ，∵NI ∥EP∴NI EP =FI FP， ∴y 6=4−y 2， 解得y=3，所以FI=4﹣y=1，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN=12EF=√10， ∴tan ∠MDE=EN DE =√102√10=12． 故答案为：4√53，12．二、解答题（共30分）26．解：（1）设y=kx +b ，把x=50，y=80；x=60，y=60得：{50k +b =8060k +b =60， 解得：{k =−2b =180， 故y=﹣2x +180；（2）由题意可得：W=（x ﹣30）（﹣2x +180）=﹣2x 2+240x ﹣5400=﹣2（x 2﹣120x ）﹣5400=﹣2[（x ﹣60）2﹣3600]﹣5400=﹣2（x ﹣60）2+1800，故售价为60元时获得最大利润，最大利润是1800元．27．解：（1）①在Rt △ABC 中，∵BC=4，AB=4√5，∴AC=√(4√5)2−42=8，②如图1中，四边形BCPD 是平行四边形．理由：∵AC=8，AD=DC ，∴DC=AD=4，∵BC=4，∴BC=CD=4，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP ∥BC ，∵PD=AD=BC=2，∴四边形BCPD 是平行四边形．（2）如图2中，作DN ⊥AB 于N ，PE ⊥AC 于E ，延长BD 交PA 于M ．设BD=AD=x，则CD=8﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（8﹣x）2+42，∴x=5，∵DB=DA，DN⊥AB，由△ADN∽△ABC，可得ANAC=ADAB，∴AN8=4√5∴BN=AN=2√5，在Rt△BDN中，DN=√BD2−BN2=√5，由△BDN∽△BAM，可得DNAM=BDAB，∴√5AM=4√5，∴AM=4，∴AP=2AM=8，由△ADM∽△APE，可得AMAE=ADAP，∴4AE=58，∴AE=32 5，∴PE=√PA2−AE2=24 5易证四边形PECH是矩形，∴CH=PE=24 5．28．解：（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，解得：a=1，c=﹣6，故：二次函数解析式为y=x2+x﹣6；（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），点B、D坐标所在的直线方程为：y=﹣3x+6，则：点M坐标为（m，﹣3m+6），点Q为（m，m2+m﹣6），∴MQ=y M﹣y Q=﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）=﹣（m+2）2+16，在﹣6≤m ≤2时，函数顶点处，取得最大值，即MQ 的最大值为16；（3）①当BC 边为菱形的边时，情况一：N 点应该在x 轴，关于B 点对称，即点N 坐标为（﹣2，0）， 情况二：BC 、MB 是菱形两条邻边，且BC=BM ，则点N 为（2，﹣12）； ②当BC 边为菱形的对角线时，作BC 的垂直平分线MH ，则直线DB 与MH 的交点为M ，M 关于BC 的对称点为N ，H 为BC 的中点， ∴H 坐标为（1，﹣3），直线BD 的方程为：y=﹣3x +6，直线MH 的方程为：y=﹣13x ﹣83， 联立以上两个方程，解得：M 坐标为（134，﹣154）， 同理得N 坐标为（﹣54，﹣94）， 故：N 坐标为（﹣54，﹣94）或（﹣2，0）或（2，﹣12）；．。