一元一次方程模型
一元一次方程九宫格
一元一次方程九宫格
一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
九宫格是一个3x3的方格，我们可以用九宫格来解一
元一次方程。
下面我会从多个角度来解释如何将一元一次方程和九
宫格联系起来。
首先，我们可以将一元一次方程的解法与九宫格联系起来。
对
于方程ax+b=0，我们可以通过移项和合并同类项的操作，将方程的
解表示为x=-b/a。
在九宫格中，我们可以将a和b的值分别填入九
宫格的相应位置，然后通过计算-b/a来求得x的值，从而得到方程
的解。
其次，我们可以将九宫格应用于一元一次方程的教学中。
通过
将方程的系数和常数项填入九宫格中，学生可以更直观地理解方程
的结构和解法。
这种视觉化的方法有助于学生加深对一元一次方程
的理解，并且可以帮助他们更好地掌握方程的求解方法。
此外，九宫格还可以用于解决一元一次方程的实际问题。
例如，我们可以将一个实际问题转化为一元一次方程，然后将方程的系数
和常数项填入九宫格中，通过计算得到未知数的值，从而解决实际
问题。
总的来说，一元一次方程和九宫格可以联系起来，通过九宫格的形式化和可视化特点，有助于学生更好地理解和掌握一元一次方程的求解方法，同时也可以应用于解决实际问题。
希望这些解释能够帮助你更好地理解一元一次方程和九宫格的关系。
建立一元一次方程模型教学课件
【跟踪训练】
1.判断下面的方程是不是一元一次方程.
(1) 23 x 7 (3) y 3 6y 9 （5）x2 1
(2) 2a b 3
（4）0.32m - (3 0.02m) 0.7
（6）1 y - 4 1 y
2
3
2.根据下列问题，设未知数并列出方程. （1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方
【跟踪训练】
你知道什么 叫方程吗？
含有未知数的等 式—方程
你能举出一些方 程的例子吗？
１．判断下列式子是不是方程,是的打“√”,不是
的”×”.
(1)1+2=3 ( × ) (2)1+2x=4 ( √ )
(4) x 2 1 ( × ) (5)x+y=2 ( √ )
(3)x+1-3 ( × )
(6)x2-1=0 ( √ )
1.方程x=3是下列哪个方程的解？（ C ）
(A)3x+9=0
(B)x=10-4x
(C)x(x-2)=3 (D)2x-7=12
2.方程 x 6 的解是（ C ）
2
(A)-3
(B)12
(C)-12
(D) 1
3
3.小芬买15份礼物，共花了900元，已知每份礼物内有1
包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支，若每包饼干的售价
形的边长是多少？
解：设正方形的边长为x c丝围成一个长方形，使它 的长是宽的1.5倍，长方形的长，宽各是多少？ 解：设长方形的宽为x cm，则它的长为1.5x cm，
根据题意得：2(x+1.5x)=24
（2）一台计算机已用了1 700小时，估计每月再使 用150小时，经过多少月后这台计算机的使用时间 到达规定的检修时间2 450小时？
一元一次方程模型的应用(四)行程问题
总结
行程问题是数学中的一类常见实际问题，通过数学模型的建立与求解，可以应对日常生活中的各种问题， 如计算旅途中剩余路程和到达目的地的时间，分析汽车行驶状态等，展现了数学在实际社会中的广泛应 用价值。谢谢大家的聆听！
行程问题的例子
假设一个人步行4公里需要1个小时，那么他每小时步行多少千米？
行程问题的解法
将条件转换为一元一次方程： 距离 = 速度 × 时间，即 4 = v × 1。解出速度后，即可得知这个人每小时步 行的千米数为4。
利用表格解决行程问题
使用表格也可以解决一些行程问题。将已知的值放在表格中的对应位置，可以方便地得出某个未知量。
草原上跑车问题
问题：
一辆Jeep在草原上通过了一个长方形的区域，周 长1800米，其中两边长，两个相邻的短边都是 100米长，宽是什么？
解法：
设长为x，宽为y，则2x + 2y = 1800, x + y = 900。 又(x-100)²+y²=x²+(y-100)² 求解出 y，即为草原的宽度。
行程问题中的相关变量
其中，行程指物体所行走的路程；速度指物体每单位时间所行走的路程长度； 时间指物体运动所用的时间。这三个变量是求解行程问题所必需的。
确定方程式的步骤
1. 确定未知量及其代号 2. 列出已知条件，将其转换成运算式 3. 利用未知量和运算式拼凑出未知量的表达式 4. 解方程，得到未知量的值 5. 检验解答，看是否符合实际情况
汽车加速问题
问题：
一辆汽车从停车状态开始以4m/s²的加速度行驶， 15秒后它的速度为36km/h，求汽车所行驶的距 离。
解法：
15秒 = 15/3600小时 36km/h = 10m/s 由 v = at + v0 求得初速度： 10 = 4 × (15/3600) + v0 即 v0 = 0.333m/s 由 S = vt + 1/2at²求得所行驶的距离： S = 10 × (15/3600) + 1/2 × 4 × (15/3600)²+ 0.333 × 15/3600 即 S = 99.9米。
七年级数学上册第24课时建立一元一次方程模型说课稿新)湘教版
七年级数学上册第24课时建立一元一次方程模型说课稿新）湘教版一. 教材分析《湘教版七年级数学上册》第24课时是关于建立一元一次方程模型的教学内容。
这部分内容是在学生已经掌握了代数基础知识、有理数的混合运算、以及图表坐标知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，让学生能够理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法，能够运用一元一次方程解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于新的知识有一定的接受能力。
但是，由于年龄特点，学生可能对于一些理论知识的理解还有一定的困难，因此，在教学过程中，需要将理论知识与实际问题相结合，让学生在解决问题的过程中理解一元一次方程的概念和解法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元一次方程的概念，了解一元一次方程的解法，能够运用一元一次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 说教学重难点1.重点：一元一次方程的概念，一元一次方程的解法。
2.难点：一元一次方程的解法，运用一元一次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、教学视频等，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入一元一次方程的概念。
2.新课导入：讲解一元一次方程的概念和解法。
3.案例分析：通过实例，让学生了解如何运用一元一次方程解决实际问题。
4.小组讨论：让学生分组讨论，总结一元一次方程的解法。
5.课堂练习：让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
6.总结：对本节课的内容进行总结。
七. 说板书设计板书设计主要包括一元一次方程的定义、一元一次方程的解法、以及一元一次方程的应用。
通过板书，让学生能够清晰地了解一元一次方程的全貌。
湘教版七年级数学上册一元一次方程模型的应用行程问题课件
回校取一件物品，取得物品后又立即以同样的速度追赶队伍，
结果在距农场1.5千米的地方追上了队伍.求学校到农场的路程.
−−.
+−.
解:学校与农场相距s千米，根据题意，得
＝
，
解这个方程，得s＝10.5.
答:学校与农场相距10.5千米.
第三章
3.4
一元一次方程
一元一次方程模型的应用
第3课时
行程问题
素养目标
1.知道行程问题中的三个量及其关系:路程＝速度×时间.
2.说出行程问题中的几种类型:相遇问题、追及问题、航
行问题.
3.会列一元一次方程解决实际生活中简单的行程问题.
◎重点:列一元一次方程解决实际生活中的行程问题.
◎难点:找行程问题中的等量关系.
已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，
求A、B两地间的距离.
解:设A、B两地间的距离为x千米，
分层作业
当C地在A、B两地之间时，依题意得
−
.+.＋.−.＝4，解得x＝20.
分层作业பைடு நூலகம்
当C地在A地上游时，依题意得
+
＋
＝4，解得x＝ .
.+. .−.
km，一列快车从乙站出发，每小时行驶80 km，如果两车同时
开出，相向而行，那么两车相遇时离甲站的距离是
A.120 km
B.140 km
C.160 km
D.180 km
(
A )
分层作业
4一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米，则再过
一元一次方程模型
多
来
(3) x＋y＝5， 来
(5) x 6 2多
(4) 2x＋1 来
(6) 1 3 x来
方程两边都是整式
一元一次方程的特征 只含有一个未知数
未知数的次数是1
知识点三：方程的解
在方程2x +60= x+120中，有两位同学分别 得出不同的答案: 甲同学 x=60,乙同学x=30. 请问，哪个同学的对？哪个的不对？
(5) 2x-2=6 叫做方程。
方程特征:
知识点二：建立方程
甲
乙 如图，甲乙两站之间的高速
铁路长1068km,高速列车从 行驶2.5 h 318 km 甲站开出2.5h后，离乙站还
有318km,该高速列车的平
均速度是多少？ 还有其他方法
建立方程吗？
已行驶的路程+剩余的路程=全长
设高速列车的平均速度为Xxkkmm/h ,则根据题
3.1 一元一次方程模型
大树坳中学 肖亮民
方程史话
. “元”的概念：
宋元时期，中国数学家创立了 “天元术”，用“天元”表示未知 数进而建立方程。这种方法的代表 作是数学家李冶写的《测圆海镜》 （1248），书中所说的“立天元一” 相当于现在的“设未知数x。”所以 现在在简称方程时，将未知数称为 “元”，如一个未知数的方程叫 “一元方程”。而两个以上的未知 数，在古代又称为“天元”、“地 元”、“人元”。
所以，有：2.4x+2x+2.4 = 6.8
像上面这样，把所要求的量用字母x（或 y ……）表示，根据问题中的等量关系列 出方程，这个过程叫做建立方程。
知识点三：一元一次方程
学生活动：讨论下列方程有什么共同特点 （1）3+b=2b+1 （2）4+x=7 (3) 2x-2=6
一元一次方程模型听课笔记
一元一次方程模型听课笔记
一元一次方程是初中阶段数学中的重要内容之一，它是代数学中最简单的一类方程模型。
在学习一元一次方程时，我们需要掌握方程的基本概念、解题方法和实际应用等方面的知识。
首先，我们需要了解一元一次方程的基本概念。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程就是要找到使方程等式成立的未知数的值。
解一元一次方程有多种方法，常用的有倒退法、加减消元法和代入法等。
倒退法是指通过逆向操作使方程化简得到未知数的值，加减消元法是通过加减运算将含有未知数的项消去得到最终结果，代入法则是将已知数代入方程中求解未知数。
在实际应用中，一元一次方程有着广泛的应用。
例如，在商业领域中，我们可以利用一元一次方程模型来解决一些实际问题，如计算折扣、利润和成本等；在物理学中，一元一次方程也有重要的应用，如速度、距离和时间的关系等。
在学习一元一次方程模型时，我们还需要掌握一些解题技巧。
首先要仔细阅读题目，了解问题所涉及的内容和要求；其次要确定未知数的
含义，并建立方程模型；然后选择合适的解题方法进行求解；最后要对解的合理性进行检验，并给出问题的实际意义。
总之，学习一元一次方程模型需要掌握方程的基本概念、解题方法和实际应用等方面的知识。
通过多做练习题和实际应用问题，可以提高解题能力和应用能力。
实际问题与一元一次方程公式总结
b、工程款=工程单价*工作时间S 总= S甲+S乙=甲单价*T甲+乙单价*T乙
c、合作类题型
S 总= S甲+S乙= V甲t甲合作时间+V乙t甲合作时间
三、和倍分差问题
加(和)—+ 减(差)－- 乘(倍)—* 分(除)—/
四、数字问题
123= 1*100+2*10+3*1
实际问题与一元一次方程公式模型总结
一、行程问题(路程=速度*时间)
a、相遇问题
S 总= S甲+S乙 S 总= (V甲+V乙)T
b、追击问题
S 差= S甲-S乙 S 总= S甲+S乙 S 总= (V甲-V乙)T
c、顺逆流问题
V顺=V船+V水
V逆=V船-V水
二、工程问题(a、工程总量=工作时间*工作效率)
xyz=100x+10y+z
五、利润问题
利润=售价-进价(标价-成本)
售价=标价*折数
利润金*期数*利率*(1-利息税)
本息和=本金+利息
年利率=月利率* 12
143个高中高频数学解题模型
143个高中高频数学解题模型一、一元一次方程与一元一次方程组1. 一元一次方程的定义一元一次方程指的是只含有一个变量，并且最高次数为一的方程，通常表示为ax+b=0。
解一元一次方程的方法主要有求解法和图解法。
2. 一元一次方程组的概念一元一次方程组指的是由若干个一元一次方程组成的方程组，通常表示为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2解一元一次方程组的方法主要有代入法、加减法和等系数消去法。
二、一元二次方程与一元二次不等式1. 一元二次方程的特点一元二次方程指的是最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法主要有配方法和求根公式。
2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是最高次数为二的不等式，通常表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
解一元二次不等式的方法主要有因式分解法和图像法。
三、二元二次方程与二元二次不等式1. 二元二次方程的定义二元二次方程指的是含有两个变量且最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0。
解二元二次方程的方法主要有配方法和消元法。
2. 二元二次不等式的概念二元二次不等式指的是含有两个变量且最高次数为二的不等式。
解二元二次不等式的方法主要有图解法和代数法。
四、指数与对数1. 指数的基本性质指数是幂运算的一种表示方式，有基本性质包括乘法法则、除法法则和零指数法则。
2. 对数的基本概念对数是幂运算的逆运算，有基本性质包括对数的乘除法则和对数的换底公式。
五、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，有基本性质包括奇偶性、周期性和对称性。
2. 解三角形的基本方法解三角形主要包括利用三角函数和利用三角恒等式两种方法，主要应用于解直角三角形和不定角三角形。
六、平面向量的运算1. 平面向量的基本定义平面向量是具有大小和方向的量，有基本运算包括数乘、加法和减法。
3.4一元一次方程模型的应用-和、差、倍、分问题教案
在今天的教学中，我发现学生们对一元一次方程解决和、差、倍、分问题的应用表现出很大的兴趣。他们能够在小组讨论和实验操作中积极参与，尝试将实际问题转化为方程模型。这一点让我感到很欣慰，因为这说明学生们开始理解数学与生活之间的联系。
不过，我也注意到在授课过程中，部分学生对从问题中抽象出方程模型这一步骤感到困惑。他们知道需要用方程来解决问题，但在确定未知数和关系式时却犹豫不决。针对这一点，我在接下来的教学中需要更加注重引导学生如何从问题中提取关键信息，帮助他们建立方程。
2.培养学生通过抽象、建模等数学思维方法，将现实问题转化为数学方程，提升数学建模素养。
3.培养学生在一元一次方程求解过程中，运用逻辑推理和数学运算能力，增强数学逻辑思维和精确计算能力。
4.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高学生的团队协作和问题解决能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元一次方程在实际问题中的应用，特别是和、差、倍、分问题的求解方法。
b.差问题：甲比乙多几个苹果？
c.倍问题：甲的苹果是乙的几倍？
d.分问题：若将一些苹果平均分给若干人，每人能分到多少个？
本节课将结合具体实例，引导学生运用一元一次方程解决以上问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的பைடு நூலகம்力，提高数学应用意识。
2.教学难点
-难点内容：从实际问题中抽象出一元一次方程模型，以及对方程的正确理解和求解。
-难点举例与解释：
a.抽象能力：学生需要学会从描述性的问题中提取关键信息，这是难点之一。例如，从“甲有5个苹果，比乙多3个”中抽象出方程式x - 3 = 5。
七年级数学上册《一元一次方程模型的应用》教案、教学设计
4.小组合作题：布置一道需要小组合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同分析问题、构建方程并求解。这样的题目有助于培养学生的团队合作意识和交流能力。
5.思考反思题：请学生回顾本节课的学习内容，写一篇学习心得，内容包括对一元一次方程的理解、解题过程中的困惑和收获，以及对接下来的学习的期望。
作业要求：
1.请学生按时完成作业，保持书写工整、清晰。
2.对于应用提高题和创新思维题，鼓励学生展示解题思路，提倡多种解法。
3.小组合作题需注明小组成员姓名，每个成员都要参与讨论和解答。
七年级数学上册《一元一次方程模型的应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法，并能熟练运用到实际问题中。
2.培养学生运用方程模型解决实际问题的能力，使学生能够将现实生活中的问题转化为数学方程，进而求解。
3.通过一元一次方程的学习，让学生掌握基本的数学运算规律，提高学生的运算速度和准确性。
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，使学生树立自信心，勇于面对数学难题。
2.通过解决实际问题，让学生认识到数学在现实生活中的重要性，增强学生的应用意识。
3.在教学过程中，注重培养学生的诚信品质和责任感，使学生养成严谨、踏实的学术态度。
教学设计：
1.导入：以生活中的实际问题为例，引导学生思考如何运用数学知识解决问题，从而引出一元一次方程的概念。
4.思考反思题要求真实反映学习情况，不少于200字。
一元一次方程模型
课题:一元一次方程模型教学目标:(1).了解从实际问题入手，建立方程模型的过程，理解方程、方程的解、一元一次方程等概念。
能正确检验一个数是否为方程的解。
(2).培养学生运用数学知识解决实际问题的能力及分析、综合、概括的能力.(3).结合编应用题列方程，培养学生的合作精神。
(4).培养学生积极思考，刻苦钻研的精神，并让他们体验成功的喜悦。
教学重点：(1).从实际问题中建立数学模型，并列出方程。
(2).一元一次方程的定义的理解。
教学难点：(1).从实际问题中建立数学模型。
(2).理解列方程解应用题的优越性。
教学方法：探究法，问答法，启发式教学法导学途径：一．说一说让学生观看师生准备乘车外出春游的动画问题１：某校初中一年级３２８名师生乘车外出春游，已有2辆校车共可乘坐６４人，还需租用４４座的客车多少辆？提问：（１）你能列综合算式解决这个问题吗？（２）你还能想到其它的解法吗？问题2:某种型号的海信电视机的包装盒呈长方体形，它的底面宽为１米，长为１.2米,且包装盒的表面积为Array能算出这个电视机包装盒的高吗?让学生讨论,得出方程8.6x+x+4.22=4.2二、议一议1.什么叫方程?2.在8.64.24.22=++x x 中，未知数是什么？哪些是已知数？3.观察方程 3246444=+x 1464)198(412=-+x x 8.64.24.22=++x x 的特点，总结得出一元一次方程（Linear equation with one unknown ）的定义: 只含有一个未知数，未知数的次数是1，并且含未知数的式子都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
4.试举出一些一元一次方程的例子.三、想一想以唐诗《早发白帝城》为情境，建立一元一次方程模型（假设水流速度为 10千米/小时）四、学一学1．什么是方程的解？2．什么是解方程？3．如何检验一个未知数的值是否是某一个方程的解。
让学生讨论得出：把未知数的值代入方程的左右两边，看方程的左右两边的值是否相等。
初一常见的数学模型
初一常见的数学模型
1. 一元一次方程模型：用一个未知数和常数系数构成的一次方程式来描述问题，如a*x+b=c。
2. 百分数模型：用百分数来表示一个数对另一个数的比例关系，例如70%的学生选择了B选项。
3. 比例模型：用两个数之间的比值表示它们之间的关系，如1︰2表明第一个数是第二个数的一半。
4. 面积和体积模型：用数学方法描述不同形状的物体的面积和体积，如正方形的面积为一边长度的平方。
5. 图形模型：用图形来描述不同的形状、角度和比例，如正弦函数的图形。
6. 几何模型：用几何知识来描述空间中的形状和关系，如勾股定理用于计算直角三角形的斜边长。
7. 统计模型：用数学方法来描述数据的分布和变化，例如柱状图用于表示不同类别的数据的数量对比。
8. 概率模型：用概率理论来描述事件的可能性和概率，例如掷骰子的概率为1/6。
9. 函数模型：用不同类型的函数来描述变量之间的关系，例如y=x^2的函数图形是一个抛物线。
10. 等式模型：用等式来描述两个数或两个变量之间的关系，例如x+y=10。
湘教版数学七年级上册同步课件：建立一元一次方程模型
抓关键句子找等量关系
实际问题
一元一次方程
设未知数列方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关 系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
随堂演练
1.小悦买书花费48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币
共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程
正确的是( A ) A．x＋5(12－x)＝48
随堂演练
1.下列方程中，解为x＝－2的是( C )
A.3x－2＝2x
B．4x－1＝2x＋3
C.3x＋1＝2x－1 D．5x－3＝6x－2
2.若x＝4是关于x的方程a x＝8的解，则a的值为
___2___.
获取新知
请同学们思考： （1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？ （2）列方程的根据是什么？
获取新知
说一说 方程①、②中，每个方程含有几个未知数，每个未知数 的次数是多少?
像方程2.5x＋318＝1068，2.4y＋2y＋2.4＝6.8这
样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是___1___ ， 我们把这样的方程叫做一元一次方程．
随堂演练
判断下列各式是不是一元一次方程.
①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1；
第3章 一元一次方程
3.1 建立一元一次方程模型
旧知回顾
根据条件列出等式：
1．x的5倍比x的2倍大12.
解：5x－2x＝12.
2．某数的 23比它的倒数小5.
2
解： 3x＋5＝
1x .
3．x的20%与15的差的一半等于－2.
1 解：2(20%x－15)＝－2.
情景引入
动脑筋
请你表示出下面两个问题中的等量关系。 （1）如图，甲、乙两站之间的高速铁路长1068km,“和 谐号”高速列车从甲站开出2.5h后，离乙站还有318km, 该高速列车的平均速度是多少？
七年级数学上册-难点探究：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略(解析版)
专题13难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一一元一次方程的应用--古代问题】 (1)【类型二一元一次方程的应用--销售问题】 (5)【类型三一元一次方程的应用--方案问题】 (11)【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】 (18)【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 (25)【典型例题】【类型一一元一次方程的应用--古代问题】答：大和尚有25人，小和尚有75人．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．【变式训练】【类型二一元一次方程的应用--销售问题】【变式训练】【类型三一元一次方程的应用--方案问题】例题：（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A 方案：买一个篮球送一条跳绳；B 方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x 条（50x >）(1)若按A 方案购买，一共需付款_________元（用含x 的代数式表示）；若按B 方案购买，一共需付款_________元（用含x 的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当100x =时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？【答案】(1)()300010x +，()31509x +(2)购买150根跳绳时，A 、B 两种方案所需要的钱数一样多(3)按A 方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B 方案购买，付款3950元【分析】（1）由题意按A 方案购买可列式：()50705010x ⨯+-⨯，在按B 方案购买可列式：()5070100.9x ⨯+⨯；（2）由（1）列等式求解即可；（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A 方案是买一个篮球送跳绳，B 方案是篮球和跳绳都按定价的90%付款，考虑可以按A 方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B 方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．【详解】（1）解：A 方案购买可列式：()50705010300010x x ⨯+-⨯=+元；按B 方案购买可列式：()()5070100.931509x x ⨯+⨯=+元；故答案为：()300010x +，()31509x +；（2）由（1）可知，当A 、B 两种方案所需要的钱数一样多时，即30001031509x x+=+解得150x =．答：购买150根跳绳时，A 、B 两种方案所需要的钱数一样多．（3）当100x =时，按A 方案购买需付款：3000103000101004000x +=+⨯=（元）；按B 方案购买需付款：31509315091004050x +=+⨯=（元）；按A 方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B 方案购买50个跳绳合计需付款：5070105090%35004503950⨯+⨯⨯=+=（元）；∵395040004050<<，∴省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．【变式训练】方案二：联合购买门票需()5040504500(+⨯=元)；方案三：联合购买101张门票需101404040(⨯=元)；综上所述：因为540045004040>>．故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用.解答时建立方程求出各单位人数是关键．2．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x 只（20x ＞），现从A 、B 两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元．A 超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；B 超市的优惠政策为所有商品八折．(1)若学校到同一家超市选购所有商品，则到A 超市购买费用是______元（用含x 的式子表示），到B 超市购买费用是_____元（用含x 的式子表示）；(2)在（1）的条件下，当购买书架x 多少只时？到A 、B 两家超市购买费用相等．(3)学校要购买20张书柜和60只书架．①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A 超市购买费用是______元，到B 超市购买费用是____元；②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并求出购买费用是多少元？【答案】(1)(804400)(644800)x x ++，(2)25只(3)①9200，8640②8560元【分析】（1）根据两个超市的优惠政策列代数式即可；（2）根据购买费用相等以及（1）题中的代数式列方程求解即可；（3）①将书架数量为60分别代入（1）题中的代数式求解即可；②选择最便宜的方案后再代入计算即可．【详解】（1）解：A 超市：由题意得，在A 超市只需买20张书柜及()20x -只书架，∴A 购买费用为：()()2030080206000801600804400x x x ⨯+-=+-=+元B 超市费用为：()203000.8800.8480064x x ⨯⨯+⨯⨯=+元故答案为：(804400)x +，(644800)x +（2）解：由题意得：804400644800x x +=+某校七年级（(3)设主叫时间为t 分钟，直接写出t 满足什么条件时，B 套餐省钱．【答案】(1)40(2)400分或900分(3)400900t <<【分析】（1）根据“A 套餐”“B 套餐”的计费方式，分别求得通话时间200分钟时的计费，再进行比较即可得出结论；（2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x 分，分别讨论若100500x <≤和500x >，根据“A 套餐”“B 套餐”的计费方式，列出关于x 的一元一次方程，解之即可，（3）根据（2）所求即可得出结论．【详解】（1）根据题意得：∵200100>∴A 套餐需交费：38(200100)0.258+-⨯=（元），∵200500<∴B 套餐需交费98元所以，选用A 套餐比选用B 套餐节省的费用为：985840-=（元）故答案为：40；（2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x 分，若100500x <≤，根据题意得：()381000.298x +-⨯=，解得：400x =，若500x >，根据题意得：()381000.298+(500)0.25x x +-⨯=-⨯，解得：900x =，综上所述，小宇的爸爸7月份的主叫时间为400分或900分（3）当400900t <<，选择B 套餐省钱【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，正确掌握分类讨论思想是解题的关键．【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】180∴>，x∴-=，0.618126x∴=．x240答：该户12月用电量为240度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．【变式训练】(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x 元()1250x >的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？【答案】(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元(2)当0.81500x >时，顾客获得的优惠额是()0.2150x +元，当10000.81500x <<时，顾客获得的优惠额是()0.2100x +元(3)这名顾客第一次购买商品的标价是1990元【分析】（1）根据已知条件列出算式求出结果；（2）①分情况讨论当0.81500x >时，②10000.81500x <<时，列出算式；（3）在（2）的基础上列出方程解出符合条件的数．【详解】（1）∵商场内所有商品按标价的80%出售，∴180080%1440⨯=（元），∵100014001500<<，∴顾客获得的优惠额是100元，打折后优惠额：()1800120%360⨯-=（元），∴购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是360100460+=（元），答：购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元；（2）∵顾客在该商场购买一件标价x 元()1250x >的商品，①当0.81500x >时，顾客获得的优惠额是()0.2150x +元，②当10000.81500x <<时，顾客获得的优惠额是()0.2100x +元，综上所述：当0.81500x >时，顾客获得的优惠额是()0.2150x +元，当10000.81500x <<时，顾客获得的优惠额是()0.2100x +元；（3）①0.81500x >时，0.21508000.260768x ++⨯+=，解得1990x =，②10000.81500x <<时，0.21008000.260768x ++⨯+=，解得2240x =（舍去），综上所述这名顾客第一次购买商品的标价是1990元．【点睛】本题考查一元一次方程应用、列代数式，掌握列代数式的关键条件，分情况讨论是解题关键．【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）[应用意识]如图，数轴上,A B 两点所表示的数分别为5,10,O -为原点，C 为数轴上一动点且表示的数为x ．点P 以2个单位长度/秒的速度，点Q 以3个单位长度/秒的速度，分别自,A B 两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为t 秒．(1)若点,P Q 在点C 处相遇，求点C 所表示的数x ；(2)若OP OQ =，求t 的值；(3)当5PQ =时，求t 的值；(4)若同时一只宠物鼠以4个单位长度/秒的速度从点B 出发，与点P 相向而行，宠物鼠遇到点P 后立即返回，又遇到点Q 后立即返回，又遇到点P 后立即返回……直到点,P Q 相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的路程．【答案】(1)点C 所表示的数是1(2)t 的值是3或5(3)t 的值是2或4(4)12个单位长度【分析】（1）根据相遇时P ，Q 表示同一个数得：52103t t -+=-，解得t 的值，即可得到答案；（2）P 运动后表示的数为52t -+，Q 运动后表示的数为103t -，故52103t t -+=-，或521030t t -++-=，可解得答案；（3）由5PQ =，得()()231055t +=---或()()231055t +=--+，可解得答案；（4）用时间乘以速度即可．【详解】（1）解：依题意，得()32105t t +=--，解得3t =，即点,P Q 运动3秒后相遇．532561-+⨯=-+=．故点C 所表示的数是1．（2）依题意，得52103t t -+=-，解得3t =；或521030t t -++-=，解得5t =．故t 的值是3或5．（3）依题意，得()()231055t +=---，解得2t =；或()()231055t +=--+，解得4t =．故t 的值是2或4．（4）由（1）知，点,P Q 同时出发，相向而行，经过3秒后相遇，即宠物鼠运动的时间为3s ．4312⨯=．故宠物鼠在整个过程中所经过的路程是12个单位长度．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，表示出P 运动后表示的数为52t -+，Q 运动后表示的数为103t -.【变式训练】1．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，数轴上点A 表示的为8，B 是数轴上一点，点B 在点A 左边且点A 点B 的距离14AB =，动点P 、Q 分别从点A 、B 两点同时向左移动，点P 的度为每秒3个单位长度，点Q 的速度为每秒1个单位长度．(1)求出数轴上点B 表示的数；(2)求经过几秒点P 追上点Q ？(3)经过几秒，P 、Q 两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P 表示的是多少？【答案】(1)6-(2)7秒(3)经过4秒，P 、Q 两点的距离为6个单位长度，此时点P 表示的数是4-；经过10秒，P 、Q 两点的距离为6个单位长度，此时点P 表示的数是22-【分析】（1）根据数轴上表示数的方法和14AB =求解即可；（2）设经过t 秒以后，点P 追上点Q ，根据题意列出方程求解即可；问题探究：(1)动点P从点A运动至E点需要______秒，此时点Q(2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？(3)求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与【点睛】本题考查了动点问题，相遇、相距问题及几何问题的数量关系．5．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，数轴上的点(1)填空；=a______，b=______，当t=______(2)当电子蚂蚁D与C相距20个单位长度时，求(3)在（1）的条件下，电子蚂蚁D与C相遇后，各自分别按原方向、原速度继续运动．若在。
湘教版七年级数学上册《建立一元一次方程模型》课件(共21张PPT)
（2） 如图，一个长方体的包装盒，长为1.2m，高为1m， 表面积为6.8平方米. 这个包装盒的底面宽是多少？
这个问题等量关系是： 底面积+侧面积＝表面积.
设包装盒的底面宽是y m，则等量关系可表示为
1.2×y×2+y×1×2+1.2×1×2 = 6.8， 即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8
买4枝铅笔的钱+买一枝钢笔的钱=10-2
设1枝铅笔x元，得方程 4x+(x＋4) ＝10-2
总结
问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？ 问题2：用方程的方法来解决实际问题，一般要经 历哪几个步骤？
设未知数 列方程
实际问题
一元一次方程
总结
问题3：算术方法解题和用方程解题的区别是什么？
（1）形式上，一个是算式，一个是含未知数的等式（方程）； （2）列出的算式只能含有已知数，而方程中既含有已知数， 又含有用字母表示的未知数； （3）思考问题的角度不同，前者是用已知数表示未知数，适用 于关系简单的问题；后者重在寻找题中的等量关系，借助于字 母表示未知数，列式表示等量关系．都是一种用于解决问题的 工具．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2．初一年级的女生占全年级学生数的52%，比全年级的男 生多31人，初一年级共有多少学生？设初一年级共有学生x 人，可列出方程 __5 __% _2 _x _ __4 __% _8 x __31
3．根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长 是多少？ 设边长为xcm
4. 将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱
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一元一次方程模型
教学目标：
1．在具体情景中感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
2．通过观察，归纳一元一次方程的概念。
教学重难点
重点：体会方程模型的重要性，了解一元一次方程的概念。
难点：正确理解方程作为解决实际问题的数学模型的作用。
教学过程
一、创设情境，展现方程是刻画现实生活的有效模型
1．(出示投影1)．
如图是一个长方体形的电视机包装盒，它的底面宽为1米，长为1.2米，且包装盒的表面积为6.8平方米，求这个电视机包装盒的高。
学生活动：学生分小组讨论．
师生共同分析：设包装盒的高为x米，用代数式表示这六个长方形面积的和为(2x＋2.4x ＋2.4)平方米，而我们已知这个包装盒的表面积为6.8平方米，依题意得：2x＋2.4x＋2.4＝6.8
2．投影课本P103的插图并提问：铅笔多少钱1枝?
学生活动：分析等量关系，尝试列出如问题1一样的式子。
教师活动：引导学生分析得到：4x＋(x＋4)＝10－2
3．引入方程概念．
⑴在等式2x＋2.4x＋2.4＝6.8中，2，2.4，6.8叫已知数，字母x表示的数叫未知数。
⑵我们把含有未知数的等式叫作方程，如：x＋5＝8，x－2y＝6，3x＋2y＝120中，x、y都是未知数，这些等式都是方程。
⑶像问题1和问题2那样，把所要求的量用字母x(或y等)表示，根据问题中的数量关系列出方程，这叫作建立方程模型。
二、议一议，认识一元一次方程
1．展示出上述列出的方程：
2x＋2.4x＋2.4＝6.8；4x＋(x＋4)＝10－2．
2．学生活动：分组讨论，以上的方程有什么共同特点。
3．组织学生进行全班交流，得出以上方程的特点是：⑴方程中不含分母或分母中不含未知数；⑵只含有一个未知数；⑶未知数的指数都是1。
4．归纳一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程。
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。
5．学生活动：判断下列各式是不是方程，如果是，指出哪些是一元一次方程?如果不是，说明为什么?
⑴5x －3＝x ＋3，⑵2y2＋3y －1＝0，⑶x ＋y ＝5，⑷2x ＋1， ⑸ 32x ＝3，⑹0.3x ＋2＝23
x
教师组织学生交流，共同评析。
三、做一做，检验一个数是否为方程的解
例：检验下列各数是不是方程x －3＝2x －8的解?
1．x ＝5 2．x ＝－2
师生共同分析：
解：1．把x ＝5代入方程左右两边．
左边＝5－3＝2，右边＝2×5－8＝2
左边＝右边
所以x ＝5是方程x －3＝2x －8的解。
2．把x ＝－2代入方程左右两边。
左边＝－2－3＝－5，右边＝2×(－2)－8＝－12．
左边≠右边
所以x ＝－2不是方程x －3＝2x －8的解。
四、随堂练习
课本P104练习1、2题．
五、小结
师生共同小结本节课学习的内容：
1．实际生活中很多问题可以利用方程来解决。
2．方程，一元一次方程，方程的解等概念。
六、作业
课本P 105习题4．1A 组第1、2、3题．
补充题：
一、判断下列方程是不是一元一次方程．
1．3x 2－2x ＝4； 2．x ＝5； 3．x 3＝2x －1； 4．2x ＋3y ＝0； 5．x －3＝1y
； 6．4x ＝5y ． 二、检验下列各小题括号里数是不是它们前面的方程的解．
1．x ＝10－4x (x ＝1，x ＝2)；
2．x(x ＋1)＝12 (x ＝3，x ＝－4)。
三、根据题意，列出方程
1．在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问：我今年45岁，经过几年你们的年龄正好是我年龄的三分之一。
2．某班分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，若要将第一组人数调为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组?。