一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系习题配答案
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x ∙等于（ D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++kx x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是89->k 。
3、已知21x x ，是方程04722=+-x x的两根，则21x x +＝27，21x x ＝2，221)(x x -＝ 4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝3-。
5、当m ＝4±时，方程042=++mx x 有两个相等的实数根；当m 04≠<m 且时，方程0142=++x mx 有两个不相等的实数根；6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为－35 ，则m =9-，这时方程的 两个根为15821=-=x x ，.10301+=+m x ① 53-原方程两根之和为10701-=∙m x ② 53103-=+=+m b a 由②，得：7=m 9-=∴m 代入将7=m ①，得： 08352=-+∴x x 原方程可化为：7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m =2；8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m =2;9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m =2;10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为16-; 是方程的两根、解：n m 代入将8=m ①，得：6=+n m ① 2-=nk mn = ② 代入，将28-==n m ③，得： 2023=+n m ③ 16)2(8-=-⨯=k①×2-③，得： 043616>-=∆-=k k 时，当11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是43-≤m ; 12、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p=4-,q=1;解之，得： 13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，那么它的另一个根是316=x ，m=16;31911=+x ① 16=m 31m x = ② 01219162>-=∆=a a 时，当 由①，得：3161=x 。
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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
一元二次方程根与系数关系及应用题 (讲义及答案)
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）➢ 课前预习1. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，请你用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式．2. 已知x 1+x 2=5，x 1·x 2=6，请利用完全平方公式及分式运算知识求解下列各式的值．（1）x 1-x 2； （2）1211x x +；（3）x 12-x 22．➢ 知识点睛1. 从求根公式中我们发现x 1+x 2=________，x 1·x 2=__________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是____________． 2. 一元二次方程应用题的常见类型有：①__________；②__________；③_________；④_________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．双循环制 例如：每两队之间都进行两场比赛 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3. 应用题的处理思路：①理解题意，梳理信息； ②建立数学模型； ③求解验证，回归实际．➢ 精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2x 2-7x =4的两根，则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是（ ）A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22.若12x =x 2+ax +1=0的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程x 2+2x +a -1=0有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +a =0的两实数根x 1，x 2满足x 1·x 2+x 1+x 2＞0，则a 的取值范围为__________．5. 若x 1，x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）x 12+x 22；解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____， ∵Δ=b 2-4ac= =______0∴x 1+x 2= ，x 1·x 2= ．（1）原式= （2）原式= = = = =（3）|x 1-x 2|．6.已知关于x的方程(m-1)x2-x-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且2212121 8x x x x+=-，求实数m的值．7.某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289(1-x)2=256 B．256(1-x)2=289C．289(1-2x)=256D．256(1-2x)=2898.为了做好“精准扶贫”，某市2016年投入资金1 200万元用于异地安置，此后投入资金逐年增加，2016年到2018年，该市投入异地安置资金的总金额达5 700万元．设该市投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．1 200(1+x)2=5 700B．1 200(1+2x)=5 700C．1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 700D．1 200+1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 7009.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________个人．10.2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．1(1)3802x x-=B．x(x-1)=380C．1(1)3802x x+=D．x(x+1)=38011.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人12.如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6-4×6x=32 B．(10-2x)(6-2x)=32=32C．(10-x)(6-x)=32 D．10×6-4x213.如图，在一块长92 m，宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？14.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_______元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】解：15. 某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？ 【分析】16. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x 元时宾馆当天的利润为10 890元，则有（ ）A ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭C ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【参考答案】 ➢ 课前预习1. 有实数根的条件：b 2-4ac ≥0；求根公式：2b x a-±=（b 2-4ac ≥0）2. （1）原式=±1；（2）原式=56；（3）原式=±5．➢ 知识点睛1. b a -；ca；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理；Δ≥02. ①增长率型；②双循环制；③面积型；④经济型➢ 精讲精练1. D2.2；-4 3. 1＜a ≤2 4. -2＜a ≤15. 解：由原方程知：a =2，b =4，c =-3， ∵Δ=b 2-4ac =42-4×2×(-3) =40 ＞0∴x 1+x 2=-2，1232x x ⋅=-．1212123243x xx x +=-=-=（）原式（2）7；（36. （1）78m >且m ≠1； （2）m =5． 7. A 8. D9.1010.B11.C12.B13.水渠应挖1 m宽．14.（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．15.每件售价定为12元时，才能使每天的利润达到640元．16.C。
一元二次方程根与系数的关系(5种题型)-2023年新九年级数学(苏科版)(解析版)
一元二次方程根与系数的关系（5种题型）1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a −+=≠的两个根,由解方程中的公式法得,12x x ==． 那么可推得1212b cx x x x a a+=−⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．题型1：求根与系数关系例1．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若1x ，2x 是一元二次方程2230x x −−=的两个根，则12x x +的值是（ ） A ．2 B ．2− C ．3 D ．3−【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得12x x +的值．【详解】解：一元二次方程2230x x −−=的二次项系数是1a =，一次项系数2b =−，∴由根与系数的关系，得122x x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12b x x a +=−，12cx x a =，牢记公式是解题的关键．12x x 是【答案】D【分析】利用两根之积等于ca 即可解决问题．【详解】解：一元二次方程22410x x −+=的两个根为1x、2x ，1212x x ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于ba −，两根之积等于c a ”是解题的关键．题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值【答案】4/0.75【分析】根据根与系数的关系求出12x x +和12x x ⋅的值，然后代入221212x x x x +计算即可．【详解】解：∵22310x x +−=，∴1232x x +=−，1212x x ⋅=−，∴()2212121212313224x x x x x x x x ⎛⎫==−⨯−=⎪⎝++⎭． 故答案为：34．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若1x ，2x 为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则1x ，2x 与系数的关系式：12b x x a +=−，12cx x a ⋅=． 例4．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若m ，n 分别是一元二次方程2410x x −+=的两个根，则23m m n −+的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2410m m −+=，m ＋n ＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m ，n 分别是一元二次方程2410x x −+=的两个根，∴2410m m −+=，m ＋n ＝4， ∴241m m −=−，∴2234143m m n m m m n −+=−++=−+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a +=−，12cx x a ⋅=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 例5.已知12x x ，是方程2133022x x −−=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x −；（3）2212x x +；（4）12||x x−．【答案】（1）2−；（2）−3）42；（4）． 【解析】解：由韦达定理，得：126x x +=，123x x =−．原式=12122x x x x +=−；原式()()()1212126x x xx x x=+−=−=±6=±=±•=±原式=()21212242x x x x +−=；原式12x x −==．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用．例6.已知2212510520.1m m n n mn n m−−=+−=≠+，，求的值． 【答案】5−．【解析】由22510m m −−=，可得：25120m m −−=，整理得：21520m m +−=，又由于2520n n +−=，所以可知1m 、n 是方程2520x x +−=的两根， 由韦达定理，可得：15n m +=−．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．例7.已知αβ，是方程：2240x x −−=的两根，求代数式3+8+6αβ的值． 【答案】30．【解析】由题及韦达定理可得：2240αα−−=，2αβ+=，得：224αα=+．3+8+6αβ=286ααβ⋅++=()2486ααβ+++=22486ααβ+++=()224486ααβ++++=()81430αβ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，运用了降次等的思想方法．题型3：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值例8．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程220x x a +−=的一个根为2，则另一个根是______． 【答案】4−【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：设方程220x x a +−=的另一个根为2x ，则222x +=− 解得：24x =−， 故答案为：4−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200axbx c a ++=≠的两根，12b x x a +=−，12cx x a =，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9.若方程：2980kx x −+=的一个根为1x =，则k =________；另一个根为________． 【答案】1；8x =．【解析】将1x =代入方程，可得：1k =，再由韦达定理可得：128x x =，得另一根为8x =．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的应用．题型4：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题例10.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x −+=两个根，求这个直角三角形的周长． 【答案】7．【解析】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ，且c 是斜边长，由题知，4a b +=，72ab =，由勾股定理，可得：222c a b =+，所以3c =，所以直角三角形的周长7a b c ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．例11．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m >，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值． 【答案】（1）见详解；（2）1m =【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为12,x x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得212124,3x x m x x m +=⋅=，进而可得()2124x x −=，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：21,4,3a b m c m ==−=，∴22224164134b ac m m m ∆=−=−⨯⨯=，∵20m ≥，∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为12,x x ，则有：212124,3x x m x x m +=⋅=，∵122x x −=，∴()()2222121212416124x x x x x x m m −=+−=−=，解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =．根与系数的关系是解题的关键．【答案】(1)③；(2)4；(3)10【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；（2）设关于x 的方程260x x c −+=的两个根为12,x x ，然后根据“三倍根方程”可令213x x =，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；（3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解．【详解】（1）解：由2320x x −+=可得：121,2x x ==，不满足“三倍根方程”的定义；由230x x −=可得：120,3x x ==，不满足“三倍根方程”的定义；由28120x x −+=可得：122,6x x ==，满足“三倍根方程”的定义；故答案为③；（2）解：设关于x 的方程260x x c −+=的两个根为12,x x ，由一元二次方程根与系数的关系可知：126x x +=，12x x c =，令213x x =，则有146x =， ∴132x =，292x =， ∴274c =； （3）解：由()20x m n x mn −++=可得：()()0x m x n −−=，∴12,x m x n==，令3m n =，则有：2222233910mn n m n n n ==++．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）关于下列一元二次方程，说法正确的是（ ） A ．2560x x ++=的两根之和等于5 B ．231x x −=的两根之积等于1C ．20x x m ++=两根不可能互为倒数D ．210x mx ++=中m =0时，两根互为相反数【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系进行判断即可求解．【详解】A. 2560x x ++=的两根之和等于5−，故该选项不正确，不符合题意；B. 231x x −=，即方程2310x x −−=的两根之积等于1−，故该选项不正确，不符合题意；C. 20x x m ++=，∵1,1,a b c m ===，24140b ac m ∆=−=−≥，解得14m ≤，∵1m ≠，两根之积为m ，∴方程两根之积不可能互为倒数，故该选项正确，符合题意；D. 210x mx ++=中0m =时，即21x =−，此方程无实根，故该选项不正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12bx x a +=−，12c x x a =．一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【答案】A【分析】利用根与系数的关系12bx x a +=−即可求解．【详解】解：利用根与系数的关系，可得：1222b a a x x a +=−−=−=，x 的方程220ax ax c −+=的一个解为11x =−，()212213x x ∴=−=−−=，故选：A ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．【答案】D【分析】根据两根之和为10−，以及两根之间的数量关系，求出两个根，再根据两根之积等于26a +，求出a 的值即可．【详解】解：设方程的两个根为,m n ，4=m n ，由根与系数的关系可得：10m n +=−，即：410n n +=−， 解得：2n =−， ∴()428m =⨯−=−，∵()268216mn a =+=−⨯−=，∴5a=； 故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于ba −，两根之积等于c a ，是解题的关键．【答案】A【分析】根据：若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 两根分别为12x x ，，则有：1212b x x a c x x a ⎧+=−⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 代入数据计算即可.【详解】解：设方程的另一根为1x ，由根据根与系数的关系可得：11115x mx +=⎧⎨⨯=⎩，解得：156x m =⎧⎨=⎩故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键要理解一元二次方程的两根之和只与二次项系数和一次项系数有关，两根之积只与二次项系数和常数项有关，从而快速计算结果.5．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）方程()()1210x x +−+=的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A ．两个正根 B ．两个负根 C ．一个正根，一个负根 D ．无实数根【答案】C 【分析】先把方程()()1210x x -++=化为210x x +−=，再根据2Δ41450b ac =-=+=>可得方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵()()1210x x -++=（p 为常数），∴210x x +−=，∴2Δ41450b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为1−， ∴一个正根，一个负根． 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数关系，注意利用偶次方的非负性判断代数式的符号是解决问题的关键． 二、填空题6．（2023·江苏盐城·统考一模）已知关于x 的一元二次方程280x kx +−=的一个根是2-，则它的另一个根为______． 【答案】4【分析】利用根与系数之间的关系来求解． 【详解】解：设方程的另一个根为m ，关于x 的一元二次方程280x kx +−=的一个根是2-，由根与系数之间的关系可得 28m −=− 4m ∴=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系．解题的关键是一元二次方程20ax bx c ++=的两根如果为1x 、2x ，则有12b x x a +=−，12cx x a ⋅=． 7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知一元二次方程2202210x x −−=的两个根分别是1x 、2x ，则代数式221212x x x x +的值为______． 【答案】2022−【分析】结合题意利用一元二次方程根与系数的关系求得122022x x +=，121x x =−，代入即可求解．【详解】解：一元二次方程2202210x x −−=的两个根分别是1x、2x ，122022x x ∴+=，121x x =−，()2212121212x x x x x x x x ∴+=+12022=−⨯2022=−，故答案为：2022−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值；熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【答案】2【分析】由根与系数的关系可得12123x x x x m+==，，结合12121x x x x +−=可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵12x x ，是方程230x x m −+=的两个根，∴12123x x x x m+==，， ∵121231x x x x m +−=−=，∴2m =． 故答案为2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212cb a a x x x x +=−=，．9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）已知1x、2x 是关于x 的方程2250x x −−=的两个根，则12x x +值等于________． 【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和即可求解． 【详解】解：1x 、2x 是关于x 的方程2250x x −−=的两个根，12221x x −∴+=−=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与系数的关系为：12b x x a +=−，12cx x a ⋅=．【答案】6【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵1x ，2x 是一元二次方程2560x x +−=的两个根，∴12551x x +=−=−，12661x x −==−，∴121212115566x x x x x x +−+===− 故答案为：56．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握12b x x a +=−，12cx x a =．11．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）关于x 的方程221x x p −−=（p 为常数）有两个不相等的正根，则p 的取值范围是______． 【答案】21p −<<−【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数得关系解答即可．【详解】由题意得： 221x x p −−=，∴22(1)0x x p −−+=，∴[]224(2)41(1)48b ac p p ∆=−=−−⨯⨯−+=+，∴122b x x a +=−=，12(1)cx x p a ⋅==−+，∵关于x 的方程221x x p −−=（p 为常数）有两个不相等的正根，∴480(1)0p p +>⎧⎨−+>⎩，解得：21p −<<− ∴p 的取值范围是：21p −<<− 故答案为：21p −<<−【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【答案】1−/1−【分析】依据根与系数的关系即12bx x a +=−，12c x x a =代入即可求出m n 、的值，最后代入计算即可．1是方程20x mx n ++=的两个根，))11m∴+=−，)()1·1n=，即m =−1n =，1m n ∴+=−， 故答案为：1−．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次根式的混合运算；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．13．（2023·江苏南京·统考二模）若α、β为2240x x +−=的两根，则22ααβα++的值为______． 【答案】0【分析】由已知中α，β是方程2240x x +−=的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．【详解】解：α，β是方程2240x x +−=的两个实数根，可得2αβ+=−，∴22()2220ααβαααβααα++=++=−+=．∴22ααβα++的值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，b a αβ+=−，ca αβ=．14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）设12,x x 是关于x 的方程2320x x −+=的两个根，则12x x +=_____________．【答案】3【分析】直接利用根与系数的关系12bx x a +=−求解．【详解】解∶根据根与系数的关系12bx x a +=−得123x x +=．故答案为：3．【点睛】本题考車了根与系数的关系∶若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−=．15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）设1x 、2x 是方程230x mx m +−+=的两个根，则1212x x x x +−=___________． 【答案】3−【分析】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积即可． 【详解】解：1x 、2x 是方程230x mx m +−+=的两个根，所以，12x x m+=−，123x x m =−+，1212(3)3x x x x m m +−=−−−+=−，故答案为：3−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题根据是熟记根与系数关系，求出两根之和、两根之积．16．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）若一元二次方程2220x x −−=有两个实数根1x ，2x ，则1212x x x x +−的值是________． 【答案】4【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得．【详解】解：一元二次方程2220x x −−=有两个实数根1x ，2x，122x x ∴+=，122x x =−，()1212224x x x x ∴+−=−−=，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 三、解答题17．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m −−+−=(1)求证：该方程总有两个实数根．(2)若该方程两个实数根的差为3，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)0或6【分析】（1）由()2120x m x m −−+−=，可知1a =，()1b m =−−，2c m =−，根据()()()222414230b ac m m m =−=−−−−=−≥⎡⎤⎣⎦，证明即可；（2）由()2120x m x m −−+−=，可得121bx x m a +=−=−，122c x x m a ⋅==−，由该方程两个实数根的差为3，可得()2129x x −=，即()()221212124x x x x x x −=+−⋅，()()21429m m −−−=，计算求解即可．【详解】（1）证明：()2120x m x m −−+−=，1a =，()1b m =−−，2c m =−，∴()()()222414230b ac m m m =−=−−−−=−≥⎡⎤⎣⎦，∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵()2120x m x m −−+−=，∴121b x x m a +=−=−，122cx x m a ⋅==−，∵该方程两个实数根的差为3，∴()2129x x −=，∵()()221212124x xx x x x −=+−⋅，∴()()21429m m −−−=，解得0m =或6m =， ∴m 的值为0或6．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18．（2020秋·江苏南京·九年级统考期中）已知关于x 的方程()220x mx m −+=−．(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析(2)m 的值为2，另一个根为0【分析】（1）先计算判别式的值得到2(2)4m ∆=−+，然后根据判别式的意义得到结论； （2）设方程的另一个为t ，利用根与系数的关系得到2,22t m t m +==−，然后解方程组即可． 【详解】（1）证明：∵1,,2a b m c m ==−=−，∴22224()41(2)48(2)4b ac m m m m m −=−−⨯⨯−=−+=−+， ∵2(2)0m −≥， ∴2(2)40m −+>，∴0∆>，∴不论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个为t ，根据根与系数的关系得：2,22t m t m +==−， ∴222t t +−=，解得0=t ， ∴2m =，∴m 的值为2，另一个根为0．【点睛】本题考查了判别式的意义以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−=．一、单选题1．（2022·江苏·九年级专题练习）设一元二次方程2210x x −−=的两根为1x ，2x ，则1122x x x x −+的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．3【答案】D【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得122x x +=，121x x =−，再变形得到11221212x x x x x x x x −+=+−，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得122x x +=，121x x =−，∴1122x x x x −+1212x x x x =+−()21=−−3=，故选：D ．【点睛】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，则12b x x a +=−，12cx x a =，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．2．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）若m 、n 是方程210x x +−=的两个实数根，则22m m n ++的值为( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．-1【答案】C【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义即可求解．【详解】∵m 、n 是方程210x x +−=的两个实数根，∴210m m +−=，1bm n a +=−=−，∴21m m +=，∴()()222110m m n m m m n ++=+++=−=，故选：C ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系、一元二次方程根的定义． 3．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）若关于x 的方程260x mx =--的一个根是2−，则另一个根是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．﹣3 D ．3【答案】D【分析】根据根与系数关系得出两根之积为-6，进而可以求出另一个根． 【详解】解：关于x 的方程260x mx =--的一个根是2−， 根据根与系数关系可知，两根之积为-6，则另一个根为632=−-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是利用根与系数关系求出两根之积为-6． 4．（2022秋·九年级课时练习）若α和β是关于x 的方程210x bx +−=的两根，且2211αβαβ−−=−，则b 的值是（ ） A ．－3 B ．3C ．－5D ．5【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ−=−，代入2211αβαβ−−=−得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：∵α和β是关于x 的方程210x bx +−=的两根，∴+=,1b αβαβ−=−，∴222()1211b αβαβαβαβ−−=−+=−+=− ∴=5b − 故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为ca 是解题的关键．5．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）设x 1，x 2是方程x 2＋5x ﹣6＝0的两个根，则x 12＋x 22的值是（ ） A ．5 B ．13C ．35D ．37【答案】D【分析】根据根与系数的关系可以得到x1+x2=-5，x1x2=-6，然后利用将代数式的值代入，计算x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2的值．【详解】解：根据题意得x1+x2=-5，x1x2=-6， x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=25+12=37． 故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，12bx x a +=−，12cx x a •=．【答案】C【分析】设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ．根据一元二次方程根与系数关系可得8a b +=，14ab =．再根据勾股定理即可求．【详解】解：设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ，直角三角形两直角边是方程28140x x −+=的两根，8a b ∴+=，14ab =，根据勾股定理可得：2222()2642836c a b a b ab =+=+−=−=，6c ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．7．（2020秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）两根均为负数的一元二次方程是（ ） A ．2712+5=0x x - B ．26135=0x x -- C ．24215=0x x ++ D ．2158=0x x -+【答案】C【分析】因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和ba −是否小于零，及两根之积ca 是否大于零．【详解】解：A.125>07x x =，1212>07x x +=，两根均为正数；B.125<06x x =-，1213>06x x +=，两根为一正一负；C.125>04x x =，1221<04x x +=-，两根均为负数；D.128<0x x =-，1215<0x x +=-，两根为一正一负．故答案为：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()2=00ax bx c a ++¹的两根时，12=bx x a +−，12=c x x a ．二、填空题8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若a ，b 是方程2220x x +−=的两个实数根，则代数式23a a b ++的值为______． 【答案】0【分析】由一元二次方程的解的定义可得出2220a a +−=，即得出222a a +=．根据一元二次方程根与系数的关系可得出2a b +=−，从而即可求出22320a a b a a a b ++=+++=．【详解】∵a ，b 是方程2220x x +−=的两个实数根，∴2220a a +−=，221a b +=−=−，∴222a a +=，∴22322(2)0a b a a a a b ++=+++=+−=． 故答案为：0．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a +=−、12cx x a ⋅=是解题关键． 9．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）设方程2202310x x −−=的两个根分别为12x x 、，则1212x x x x +−的值是___________． 【答案】2024【分析】先根据根与系数的关系可求121220231x x x x +==−，，再把12x x +，12x x 的值整体代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵方程2202310x x −−=的两个根分别为12x x、，∴121220231x x x x +==−，，∴1212202312024x x x x =−++=．故答案是：2024．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系：若方程的两根为12x x、，则1212b cx x x x a a +=−⋅=，．10．（2023·江苏南京·九年级专题练习）已知1x 、2x 是一元二次方程250x x −−=的两个实数根，则221122x x x x −+的值是________．【答案】16【分析】先根据根与系数的关系得到121215x x x x +==−，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得121215x x x x +==−，，所以()222211221212313516x x x x x x x x −+=+−=−⨯−=（）．故答案为：16．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−⋅=．11．（2022春·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知：m 、n 是方程2310x x +−=的两根，则22(33)(33)m m n n ++++=_____．【答案】16【分析】根据m 、n 是方程2310x x +−=的两根，即可得到3m n +=−，1mn =−，2310m m +−=，2310n n +−=，从而得到231m m +=，231n n +=，代入计算即可得到答案．【详解】解：∵m 、n 是方程2310x x +−=的两根，∴3m n +=−，1mn =−，2310m m +−=，2310n n +−=，∴231m m +=，231n n +=，∴()()22(33)(33)131316m m n n ++++=++=，故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x ． (1)求m 的取值范围；(2)当11x =−时，求另一个根2x 的值． 【答案】(1)3m ≤ (2)23x =【分析】（1）根据题意得()()22420m ∆=−−−≥，解不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得122x x +=，根据11x =−，即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x∴()()22420m ∆=−−−≥，解得3m ≤，所以m 的取值范围为3m ≤；（2）解：∵关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x∴122x x +=， ∵11x =−， ∴23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．13．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0m >，且该方程的两个实数根的平方和为10，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)1m =【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为1x，2x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得124x x m+=，2123x x m ⋅=，再根据两个实数根的平方和为10，可得()222121212210x x x x x x +=+−=，由此可解．【详解】（1）证明：由题意得：1a =，4b m =−，23c m =，∴22224164134b ac m m m ∆=−=−⨯⨯=，∵20m ≥，∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为1x ，2x ，则有124x x m +=，2123x x m ⋅=，∵221210x x +=，∴()222222121212216231010x x x x x x m m m +=+−=−⨯==，解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21360x m x m −++−=．(1)求证：方程总有两个实数根； (2)若12127x x x x ++=，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)3m =【分析】（1 （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得1212136x x m x x m +=+=−，，整体代入12127x x x x ++=中，解出m 的值即可．【详解】（1）∵该一元二次方程为()21360x m x m −++−=，∴()1136a b m c m ==−+=−，，，∴()()2222414361025(5)0b ac m m m m m ⎡⎤−=−+−⨯−=−+=−≥⎣⎦，∴该方程总有两个实数根； （2）∵1212136b cx x m x x m a a +=−=+==−，，又∵12127x x x x ++=，∴1367m m ++−=，解得：3m =．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系．掌握一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a +=−和12cx x a ⋅=是解题关键． 15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x 的方程：2（x ﹣k ）＝x ﹣4①和关于x 的一元二次方程：（k ﹣1）x 2+2mx+（3﹣k ）+n ＝0②（k 、m 、n 均为实数），方程①的解为非正数． （1）求k 的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k ﹣m ＝2，2k ﹣n ＝6且k 为整数，求整数m 的值；（3）当方程②有两个实数根x 1、x 2，满足（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2m （x 1﹣x 2+m ）＝n+5，且k 为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．【答案】（1）k≤2且k≠1；（2）m ＝﹣2或﹣3；（3）成立，见解析【分析】（1）先解出方程①的解，根据一元二次方程的定义和方程①的根为非正数，得出k 的取值范围，即可；（2）先把k ＝m+2，n ＝2m ﹣2代入方程②化简，通过因式分解法，用含m 的代数式表示出一元二次方程的两个实数根，根据方程②的解为负整数，m 为整数，即可求出m 的值；（3）根据（1）中k 的取值范围和k 为正整数得出k ＝2，化简一元二次方程，并将两根和与积代入计算，得出关于m 、n 的等式，结合根的判别式，即可得到结论． 【详解】（1）∵关于x 的方程：2（x ﹣k ）＝x ﹣4， 解得：x ＝2k ﹣4，∵关于x 的方程2（x ﹣k ）＝x ﹣4的解为非正数， ∴2k ﹣4≤0，解得：k≤2， ∵由一元二次方程②，可知k≠1， ∴k≤2且k≠1；（2）∵一元二次方程（k ﹣1）x2+2mx+（3﹣k ）+n ＝0中k ﹣m ＝2，2k ﹣n ＝6， ∴k ＝m+2，n ＝2k ﹣6＝2m+4﹣6＝2m ﹣2，∴把k ＝m+2，n ＝2m ﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m ﹣1＝0， 因式分解得，[（m+1）x+（m ﹣1）]（x+1）＝0，∴x1＝﹣11mm−+=211m−+，x2＝﹣1，∵方程②的解为负整数，m为整数，∴m+1＝﹣1或﹣2，∴m＝﹣2或﹣3；（3）|m|≤2成立，理由如下：由（1）知：k≤2且k≠1，∵k是正整数，∴k＝2，∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝21mk−−＝﹣2m，x1x2＝31k nk−+−＝1+n，∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，∴2m2＝n+5 ①，△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，∴|m|≤2．【点睛】本题主要考查一元一次方程与一元二次方程，涉及解一元一次方程，一元二次方程以及一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，是解题的关键．16．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程2220x ax a−++=有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：（1）两根都小于0；（2）两根都大于1；（3）方程一根大于1，一根小于1．【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3【分析】由关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，利用根与系数的关系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分别根据：（1）由两根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范围；（2）由两根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴212a−−>，依此求出a的取值范围；（3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范围；【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0，∴a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，α+β=2a，αβ=a+2．（1）∵两根都小于0，∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，解得：-2＜a＜0，又22a−−<，a＜0；∵a＜-1或a＞2，∴-2＜a＜-1；（2）∵两根都大于1，∴（α-1）（β-1）＞0，∴αβ-（α+β）+1＞0，∴a+2-2a＞-1，∴a＜3，又212a−−>，a＞1；又a＜-1或a＞2，∴2＜a＜3；（3））∵一根大于1，一根小于1，∴（α-1）（β-1）＜0，∴αβ-（α+β）+1＜0，∴a+2-2a＜-1，∴a＞3.【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=ba−，x1x2=ca.17．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：【答案】（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，1212212x xy yx x−−=【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出a bb a+的值．（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=16c，a、b是方程x2+cx+16c=0的解，再根据c2-4•16c≥0，即可求出c的最小值．（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1•x2=k+1，再解y1y2-1221x xx x−=2，即可求出k的值．【详解】（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，∴a+b=﹣15，ab=5，∴a bb a+=()22a b abab+−215255−−⨯=43，故答案是：43；（2）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=16 c，∴a、b是方程x2+cx+16c=0的解，∴c2﹣4•16c≥0，c2﹣34c≥0，∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．（3）存在，当k=﹣2时，1212212x xy yx x−−=．由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k ，由x ﹣y=1变形得：y=x ﹣1，把y=x ﹣1代入y=x2+k ，并整理得：x2﹣x+k+1=0， 由题意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：()()()()()()()212112121221212121212211214101112112k x x x x k y y x x x x x x x x y y x x x x x x =⎧−−+>⎪+⎪⎪=+⎪⎪=−−⎨⎪+−⎪−−=−−−=⎪⎪⎪⎩即：23420k k k ⎧<−⎪⎨⎪+=⎩解得：k=﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【答案】(1)x1x2=x3x4= (2)454．【分析】（1）利用换元法解方程，设y ＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解关于y 的方程得到y1＝2，y2＝3，则x2＝2或x2＝3，然后分别解两个元二次方程即可；（2）根据已知条件，把a2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的两不相等的实数根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】（1）解：42560x x −+=，设2y x =，则原方程可化为2560y y −+=，解得12y =，23y =，当=2y 时，22x =，解得1x 2=x当=3y 时，23x =，解得3x 4=x −所以原方程的解为1x 2=x 3x 4x =故答案为：1x ，2=x 3x =4x =（2）解：∴实数a ，b 满足：422710a a −+=，422710b b −+=且a b ≠，2a ∴、2b 可看作方程22710x x −+=的两不相等的实数根，2272a b ∴+=，2212a b =g ；∴2424222714522224a b a b a b +=+-=-´=g （）（）； 故答案为：454．【点睛】本题主要考查了用“换元法”把高次方程转化为一元二次方程，韦达定理，完全平方公式，其中转化思想是解决问题的关键．。
2023年中考数学----《一元二次方程之根与系数的关系》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----《一元二次方程之根与系数的关系》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 根与系数的基本关系：若21x x ，是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，则这两个根与系数的关系为：ac x x a b x x =⋅−=+2121，。
同时存在：00222121=++=++c bx ax c bx ax ，。
2. 常考推广公式：①()2122122212x x x x x x −+=+。
②()1221221221x x x x x x x x +=+。
③21212112122111x x x x x x x x x x x x +=+=+。
④()21212212122212121212221122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x −+=+=+=+。
⑤()()()2212121p x x p x x p x p x +++=++。
⑥()()212212214x x x x x x −+=−。
专项练习题1、（2022•益阳）若x ＝﹣1是方程x 2+x +m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x 2+x +m ＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．2、（2022•青海）已知关于x的方程x2+m x+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，所以1+m+3＝0解得m＝﹣4．故选：B．3、（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为a，∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，∴4﹣4+m＝0，解得m＝0，则﹣2a＝0，解得a＝0．故选：B．4、（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．5、（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（）A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6【分析】根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a，∵x1＝﹣1，∴x2＝3，x1•x2＝﹣3＝﹣a，∴a＝3，∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32＝3﹣1﹣9＝﹣7．故选：B ．6、（2022•宜宾）已知m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，则m 2+m n +2m 的值为（ ）A ．0B ．﹣10C ．3D ．10【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m +n ＝﹣2，mn ＝﹣5，而m 是方程的一个根，可得m 2+2m ﹣5＝0，即m 2+2m ＝5，那么m 2+mn +2m ＝m 2+2m +mn ，再把m 2+2m 、mn 的值整体代入计算即可．【解答】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，∴mn ＝﹣5，∵m 是x 2+2x ﹣5＝0的一个根，∴m 2+2m ﹣5＝0，∴m 2+2m ＝5，∴m 2+mn +2m ＝m 2+2m +mn ＝5﹣5＝0．故选：A ．7、（2022•乐山）关于x 的一元二次方程3x 2﹣2x +m ＝0有两根，其中一根为x ＝1，则这两根之积为（ ）A ．31B ．32C ．1D ．﹣31 【分析】直接把x ＝1代入一元二次方程即可求出m 的值，根据根与系数的关系即可求得．【解答】解：∵方程的其中一个根是1，∴3﹣2+m ＝0，解得m ＝﹣1，∵两根的积为，∴两根的积为﹣，故选：D ．8、（2022•巴中）α、β是关于x 的方程x 2﹣x +k ﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k 的值为 ．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k 的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x 2﹣x +k ﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k ﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k +1﹣1＝﹣k ＝4，∴k ＝﹣4，故答案是：﹣4．9、（2022•日照）关于x 的一元二次方程2x 2+4mx +m ＝0有两个不同的实数根x 1，x 2，且x 12+x 22＝163，则m ＝ ． 【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝，再由x 12+x 22＝变形得到（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝，即可得到4m 2﹣m ＝，然后解此方程即可．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝，∵x 12+x 22＝，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝，∴4m 2﹣m ＝，∴m 1＝﹣，m 2＝，∵Δ＝16m 2﹣8m ＞0，∴m ＞或m ＜0，∴m ＝不合题意，故答案为：﹣．10、（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为 ．【分析】根据x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，可得x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，把+＝x 12+2x 2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k ，解出k 的值，并检验即可得k ＝2．【解答】解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∴x 12＝2x 1﹣k +1，∵+＝x 12+2x 2﹣1，∴＝2（x 1+x 2）﹣k ，∴＝4﹣k ，解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k ＝2，故答案为：2．10、（2022•绥化）设x 1与x 2为一元二次方程21x 2+3x +2＝0的两根，则（x 1﹣x 2）2的值为 ．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，故答案为：20．11、（2022•鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则a 1+b1的值为 ．【分析】由实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，知a 、b 可看作方程x 2﹣4x +3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a +b ＝4，ab ＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．【解答】解：∵实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，∴a 、b 可看作方程x 2﹣4x +3＝0的两个不相等的实数根，则a +b ＝4，ab ＝3，则原式＝＝，故答案为：．12、（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3，故答案为：3．。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本一元二次方程根与系数的关系题一、单项选择题：1.关于方程 $ax-2x+1=0$，如果 $a<0$，那么根的情况是（）A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根C) 没有实数根 (D) 不能确定2.设 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-6x+3=0$ 的两根，则$x_1+x_2$ 的值是（）A) 15 (B) 12 (C) 6 (D) 33.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A) $2y+5=6y$ (B) $x+5=25x$ (C) $3x^2-2x+2=0$ (D)$3x^2-26x+1=0$本题为找出 $\Delta$ 的方程即可)4.以方程 $x^2+2x-3=0$ 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A) $y^2+5y-6=0$ (B) $y^2+5y+6=0$ (C) $y^2-5y+6=0$ (D) $y^2-5y-6=0$5.如果 $x_1,x_2$ 是两个不相等实数，且满足 $x_1-2x_1=1$，$x_2-2x_2=1$，那么 $x_1\cdot x_2$ 等于（）A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1二、填空题：1、如果一元二次方程 $x^2+4x+k=0$ 有两个相等的实数根，那么 $k=$ _____。
2、如果关于 $x$ 的方程 $2x^2-(4k+1)x+2k-1=0$ 有两个不相等的实数根，那么 $k$ 的取值范围是______。
3、已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-7x+4=0$ 的两根，则$x_1+x_2=$ _______。
4、若关于 $x$ 的方程 $(m-2)x^2-(m-2)x+1=0$ 的两个根互为倒数，则 $m=$ _____。
5、当 $m=$ _______ 时，方程 $x^2+mx+4=0$ 有两个相等的实数根；6、已知关于 $x$ 的方程 $10x^2-(m+3)x+m-7=0$，若有一个根为 $1$，则 $m=7$，这时方程的另一个根是 $7/5$；若两根之和为 $-5/3$，则 $m=-9$，这时方程的两个根为 $1/2,-7/5$。
一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)
第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】 设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-． 故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______． 【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003． 故答案为：2003． 三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-． 【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=， 即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=， 又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
专题根与系数的关系含答案
数的关系含文档编制序号:IKK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于X的方程也左-（2z5-l）x+m-2=（）.（1）当也取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若益、Ah为方程的两个不等实数根，且满足盘疔2,求也的值. 例2.已知关于X的方程f -4血Y+4力-9二0.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为益，X],其中Xi<X2.若2為二上+1,求?也的值.例3.已知关于X的方程zttY「+ （4-3也）屮2矿8二0 （7»>0）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为広、xz（爲<圧），若rrxdm,且点B （也,27?）在X轴上，求也的值.例4.已知关于A■的一元二次方程：x'-2 （盼1）卅力+5二0有两个不相等的实数根.（1）求也的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为益、X],且满足盘+应'二|益| + |则+2爲疋，求也的值.例5.已知关于X的方程（2A+1）卅4 （以）=0.（1）求证：无论A取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 *的值；若不能，请说明理由.（3）当等腰三角形ABC的边长沪4,另W边的长方、C恰好是这个方程的两根时，求△AEC的周长.训练，1.已知关于A■的方程血（加*2）屮2二0 5工0）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有W个不相等的实数根a , P,满足-+-=1,求也的值.2.已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求也的范围；（2）若方程的两个实数根为X】和也，且及+3疔3,求加的值.（3）若方程的两个实数根为和血且盘-应‘二0,求加的值.3. 已知关于/的方程;f+（.01-3） x-m （2Z 9-3） =0（1） 证明：无论也为何值方程都有两个实数根；（2） 是否存在正数血使方程的两个实数根的平方和等于26?若存在，求 出满足条件的正数刃的值；若不存在，请说明理由.4. 已知关于龙的一元二次方程-6尸F 二0 （A ■为常数）.（1） 求证：方程有两个不相等的实数根；（2） 设益、疋为方程的两个实数根，且2馅+XF 14,试求出方程的两个实数 根和k 的值.5. 已知关于左的方程+-（2肛3）屮F+1二0有两个不相等的实数根為、X ：.（1） 求*的取值范围：（2） 若益、必满足\xi.\ + \xz\=2 X 必-3,求A 的值.6. 己知关于/的一元二次方程yL （277-2 ） A+4zr3=02（1） 求证：无论也取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2） 如果方程的两个实数根为益，血 且2xi+Ai ：二卅1,求也的值.7. 已知关于龙的一元二次方程（旷1） Y-5卅4旷2二0的一个根为A =3.（1）求臼的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相 等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长• 8.设為，应是关于X 的一元二次方程Z+2$x+才+4旷2二0的两实根，当盘为何 值时，*1+石有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系/. A=Z/-4a<?=[- (2zzrl) ]'-4z9 (矿2)二4硏1>0,解得：加＞7，T 二次项系数H0, •••azHO,/・•・当血＞冷且也H0时，方程有两个不相等的实数根;—2 — 9X1+X2=- - ，X\X2 ~-：Xi, 例1. 解：（1）・・・方程有两个不相等的实数根,例2. 例3. 例5. （2）・・51、疋为方程的两个不等实数根,( Xi+Xz ) 2-3乂疋=( ~ —— 2,例& 解得J 位处（舍去）；:解：（1）•••△= （-4加）2-4 （4力-9） =36>0, 例10.二此方程有两个不相等的实数根;例H.例12.•••為=2也-3,必=2加"3,例13. A 2 （2沪3） =2时3+1,例14.例15.解：（1）：•△= （4-3刃）--4/n（2/3-8）,例16.二力+8肘 16=（血4）■例17.乂T加>0・・・（时4） '>0即△>（）例18.•••方程有两个不相等的实数根;例19.（2） V方程的两个根分别为X】.疋（拓V疋），例20.7— $ 0 —a /. Xi+X2=-- , XiX：=例21.77=上-X1-切，且点B （刃，n）在X轴上,例22.例23.解得J沪-2,沪4,例24.例25.•解：（1）T方程Y-2 （於1） W+5=0有两个不相等的实数根，例26.•••△=[-2 （加4） ]M （力+5） =8矿 16>0,解得：7Z?>2. 例27.（2） V原方程的两个实数根为屋、d例28./. &+必=2 （於 1），X\X手金+5.例29.例30.•••&+疋=2 （M1） >0,益尼=2卄5>0,例31.X2>Q.2 + F - 4 2 工）—><口-异0证明：（1） •••△= （2A+1） -16 （4® = （243） '20,•\Xi+X2=2k+l=Qt 解得 A=-0. 5；方程可化为y-4x+4=0，/.X I =X2=2»而b=c=2, •:決c=4二a 不适合题意 舍去:例42.②当 Ka=4,贝 1J4L4 （2A+1） +4 （4彳）=0,c=a=4时，同理得辰2, •••C AABC =10,综上所述，△ABC 的周长为10. 训练 1. (1)证明；T 方程血；-(加"2)屮2=0 (也工0)是一元二次方程, •:△二（时2） L8/ZF 力+4卅4-8沪加-4肘4=（矿2） 'NO, •:方程总有两个实数根:(2)解：T 方程有两个不相等的实数根a , P, •:由根与系数的关系可得a+B=上，aP=A+2丁二子 1,例32. */ 打+卅=（2 + 抡二 I Xi ； +:卫 I +2*必,例33. A4 （zzr^l ） '-2 （力+5） =2 （研1） +2 （力+5）,即 6zzrl8=0, 例34.例35.例36. •••方程总有实根;例37. 解：(2) V 两实数根互为相反数, 例38. 例39. (3)①当d=c 时，则△=()， 例40. 即（243） -=0, : 例41. 例43. ・・・碍,例44. 方程化为Y-6A +8=0,解得益=4，必二2,例45. ««c^2» C AAK ^ 10,例46.2•解：(1) V方程Y-2卅沪0有两个实数根,•••△= (-2 )二4心0,(2)由两根关系可知，X1+疋=2，X'XFiB、2 + 2=2解方程组；+ 5 2= 3 解得［•5^ 7 5••/ZFX片?X 話；(3)*/Xi-Xz-^»/. (X1+X2) (X1-X2) =0, T X I+X2=2 HO, •: Xi-x：=0，•••方程左-2屮ZZF O有两个相等的实数根,/. A= (-2) 2-4/ZF O,解得/n=i.3. (1)证明J T关于/的方程Y+ (矿3) x-m (2沪3) =0的判别式^=(沪 3) '+4刃(2矿3) =9 (zrl) -$0, •••无论刃为何值方程都有两个实数根;(2)解：设方程的两个实数根为XI. XA 则Xi+X2=-(沪3) , X1X xF-iB (2zzr 3), 令屛+疋2=26，得；(xi+js^) '-2x^2=(沪3) "+2/ff (2矿3) =26, 整理，得5力T2/zrl7=0,解这个方程得， Zff= ¥或沪T,所以存在正数沪#,使得方程的两个实数根的平方和等于26.4.(1)证明：在方程 Y-6尸应0 中，△= (-6) MXIX=4"+36N36,•:方程有两个不相等的实数根.(2)解:*2为方程的两个实数根,•：益+疋二6①，X\X亍一丘,联立①②成方程组｛/:+二寫解之得： 1 = 82= -2'•"必二一斤二-⑹/.A=±4,5•解：(1) V原方程有两个不相等的实数根,•:△二[- (2^-3) ]M (j^+l) =4J^-12対9-4F-4A12A+5>0, 解得：备(2)•：Xi+&=243 VO,乂 Tx昂=A^+l>0,•: ! xj +1 xj =-Xi-A5=-( X1+X2) =-2k+3,T I xj +1X』=21X1X21 -3•••-2奸3=2p+2-3,即/c+k-2=Q.•:血=1,妒一2,:冷一2・6•解：(1) •••△= (zr2) MX (妇3)=(沪3) -+3>0.•:无论刃取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根;2 加+疋=A^+ (xi+xz) =/zrH,把必代入方程有:9-3 (沪2) +”3=07•解：（1）将#3代入方程中，得：9 （旷1） -15+4旷2=0, 解得J a=2.•:原方程为*・-5屮6二（#2）（尸3） =0, 解得 J -¥1=2, X2=3.••，的值为2,方程的另一个根为A=2・（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3, AC=2+2+3=7或C=3+3+2=& •••三角形的周长为S或7.8..«-： VA=(2a)M(aM^2)丸，二三乂 T Xi+x2=-2a, X必二£+4a-2./. Xi'+-^'= (Xi+Xz) '-2x必=2 (旷2) 2-4 •设尸2 （旷2） =4,根据二次函数的性质•V <22当=£时，*』+疋2的值最小.此时f+討2（^-4=2,即最小值为右。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)
. . .一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1， x2=2，则这个方程是（）2 2 ﹣ 3x+2=0 2 2A ．x +3x ﹣ 2=0B ． xC ． x ﹣ 2x+3=0D ．x +3x+2=02．（ 2014?昆明）已知x 1， x 2 是一元二次方程 x 2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2 等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ． 1D ．43．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使 + =0 成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B ． m=2 时成立C ． m=0 或 2 时成立D ．不存在4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 2 2 ）x ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则 α+β 的值为（ A ．10 B ． 9 C ． 7 D ．55．（ 2014?贵港）若关于2的两个实数根分别为 x1=﹣2， x2=4，则 b+c 的值是（）x 的一元二次方程 x +bx+c=0A ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣16．（ 2014?烟台）关于 x 的方程x 2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣17．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣18．（ 2014?威海）方程 x 2﹣（ m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x 2=x 1x2，则 m 的值是（ ）A ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 9．（ 2014?长沙模拟）若关于 2（ k+3） x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x 的一元二次方程 x + A ．2 B ． 1 C ．﹣1 D ．0 2 2）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣ 2015=0 的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．201511．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（ ）A ．﹣6B ． 6C ． 3D ．﹣312．（ 2014?峨眉山市二模）已知 x 1、 x 2 是方程 x 2﹣（ k ﹣ 2） x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D．1313．（ 2014?陵县模拟）已知：x1、 x2是一元二次方程2 的两根，且 x1+x 2=3， x1x2=1，则 a、 b 的值分别x +2ax+b=0是（）参考学习A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1a=﹣ ， b=﹣ 114．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程222）x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，则 α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23D ．2715．（ 2013?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 2﹣ 1=0 有两根为 x12 ﹣x1x2=0，则 a 的值是 （ ）x +2x+a 和 x2，且x1A ．a=1B ． a=1 或 a=﹣ 2C ． a=2D ．a=1 或a=2 16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0 两根为 x 1、x 2，则 x 1+x 2=（ ） A ．4 B ． 3 C ．﹣4 D ．﹣317．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x2﹣ 5x ﹣ 3=0 的两根，则 的值等于（）A ．B ．C ．D ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x+2A ．9B ． ±3C ．3 D ．519．（ 2012?天门）如果关于x 的一元二次方程 2x +4x+a=0 的两个不相等实数根 x1， x2 满足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣5=0， 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣1320．（ 2011?锦江区模拟）若方程x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x 1、 x 2，则（ x 1+2）（ x 2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ．8 D ．1221．（ 2011?鄂州模拟）已知 p 2﹣ p ﹣ 1=0 ， 1﹣q ﹣q 2=0，且 pq ≠1，则的值为（ ） A ．1B ． 2C ．D ．22．（ 2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为 4，另两边 b 、c 分别满足2 2，则 △ ABC 的周b ﹣ 5b+6=0，c ﹣5c+6=0 长为（ ）A ．9B ． 10C ．9 或 10D ．8或 9或 10二．填空题（共 4 小题）2 223．（ 2014?莱芜）若关于k= _________ ．x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则24．（ 2014?呼和浩特）已知2 2﹣mn+3m+n= _________ ．m ，n 是方程 x +2x ﹣ 5=0 的两个实数根，则m25．（ 2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2 +3m﹣2=0 有两个实数根x1、 x2，则 x1（ x2+x 1） +x22的最小值为_________ ．26．（2014?桂林）已知关于x 的一元二次方程x2+（ 2k+1 ）x+k2﹣ 2=0 的两根为 x1和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1﹣x2）=0，则 k 的值是_________ ．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 22 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（ 1）若（ x 1﹣ 1）（ x 2﹣1） =28 ，求 m 的值；（ 2）已知等腰 △ ABC 的一边长为 7，若 x 1， x 2 恰好是 △ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（ 2014?日照二模）已知 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 2 2的两个实数根，其满足（ 3x 1 x +（ 3a ﹣ 1） x+2a ﹣1=0 ﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x1，x2． x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 （ 1）求实数 k 的取值范围；2﹣ x 22≥0 成立？若存在，请求出 （ 2）是否存在实数 k 使得 x 1 ?x 2﹣ x 1 k 的值；若不存在，请说明理由．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程 ， （ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x 1 、x 2 是方程的两个根，且 x 12﹣ 2kx 1+2x 1x 2=5，求 k 的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为x =1， x =2，则这个方程是（）1 22 2 ﹣3x+2=02D ．x2A ．x +3x ﹣ 2=0 B． x C． x ﹣ 2x+3=0 +3x+2=0 考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2 ．解题时检验两根之和是否为 3 及两根之积是否为 2 即可．解答：解：两个根为 x1=1，x2=2 则两根的和是3，积是 2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于 3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选： B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．（ 2014?昆明）已知 x1， x2 是一元二次方程x2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C． 1 D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1?x2=1．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．3．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使+ =0成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B． m=2 时成立C． m=0 或 2 时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x 2=m， x1x2=m ﹣2．假设存在实数m 使+ =0 成立，则=0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵ x1，x2是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，∴x1+x 2=m ， x1x2=m﹣ 2．假设存在实数 m 使 +=0 成立，则=0，∴ =0，∴ m=0．当 m=0 时，方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 即为 x 2﹣ 2=0，此时 △ =8＞ 0，∴ m=0 符合题意．故选： A ．点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果22=﹣ p ， x1， x2 是方程 x +px+q=0 的两根时，那么 x1+x x1x2=q ．4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则2 2）x α+β 的值为（A ．10B ． 9C ． 7D ．5 考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据根与系数的关系求得 α+β=2，αβ=﹣ 3，则将所求的代数式变形为（ α+β）2﹣ 2αβ，将其整体代入即可求值．解答： 解：∵ α，β是方程 x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 的两个实数根，∴ α+β=2 ， αβ=﹣3，2 2 2 ﹣ 2αβ=2 2∴ α+β=（ α+β） ﹣ 2×（﹣ 3）=10． 故选： A ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．2125．（ 2014?贵港）若关于 x 的一元二次方程 x +bx+c=0 的两个实数根分别为 =4，则 b+c 的值是（ ） x =﹣2， xA ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣1 考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据根与系数的关系得到﹣2+4= ﹣ b ，﹣ 2×4=c ，然后可分别计算出 b 、 c 的值，进一步求得答案即可． 解答： 解：∵关于 x 的一元二次方程 x 2 +bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=﹣ 2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣ 2+4= ﹣b ，﹣ 2×4=c ， 解得 b=﹣2， c=﹣ 8∴ b+c= ﹣ 10．故选： A ．点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系： x1+x 2=﹣ ，x1x2= ．6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣1 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 计算题．2 2分析： 设方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系得到 x1+x 2=a ，x1?x2=2a ，由于 x1 +x 2 =5 ，变形得到（ x1+x 2）2 2△≥0 的 a 的值为所求．﹣2x1?x2=5，则 a ﹣ 4a ﹣5=0 ，然后解方程，满足解答： 解：设方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=a ， x1?x2=2a ，2 2∵ x1 +x 2 =5，∴（ x 1+x 2）2﹣ 2x 1?x 2=5， ∴ a 2﹣ 4a ﹣ 5=0，∴ a1=5 ， a2=﹣ 1，∵△ =a 2﹣ 8a ≥0， ∴ a=﹣ 1．故选： D ．点评： 本题考查了一元二次方程 2 （ a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣ ，ax +bx+c=0x ?x = ．也考查了一元二次方程的根的判别式． 1 27．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 先根据根与系数的关系得到2 2 2 ﹣2αβ，利用 α+β=﹣1，αβ=﹣ 1，再利用完全平方公式变形 α +β 得到（ α+β） 通分变形+ 得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答： 解：根据题意得α+β=﹣ 1， αβ=﹣1．2 2 2 2；所以 α+β=（ α+β） ﹣ 2αβ=（﹣ 1） ﹣ 2×（﹣ 1）=3 + ===1．故选： D ．点评：本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=．2﹣（ m+6）x+m 21 2 1 x 2，则 m 的值是（ ） 8．（ 2014?威海）方程 x =0 有两个相等的实数根，且满足 x +x =xA ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 判别式法．2，再根据 x1+x 2=x 1 分析： 根据根与系数的关系有：x1+x 2 =m+6 ， x1x2=m x2 得到 m 的方程，解方程即可，进一步由2 +m 2 有两个相等的实数根得出 2方程 x ﹣（ m+6）=0 b ﹣ 4ac=0，求得 m 的值，由相同的解解决问题． 解答：解：∵ x1+x2=m+6 ， x1x2=m 2， x 1+x 2=x 1x 2，∴ m+6=m 2，解得 m=3 或 m=﹣2，2 ﹣（ m+6 ） x+m 2∵方程 x =0 有两个相等的实数根，∴△ =b 2﹣ 4ac=（ m+6） 2﹣ 4m 2=﹣3m 2 +12m+36=0解得 m=6 或 m=﹣ 2∴m=﹣ 2．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程2 2ax +bx+c=0 （ a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△ =b ﹣ 4ac．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1?x2= ．9．（ 2014?长沙模拟）若关于x 的一元二次方程2 ）x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x +（ k+3A ．2 B． 1 C．﹣1 D ．0考点 ： 根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?x 2= 来求方程的另一个根．2解答： 解：设 x 1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x +（ k+3 ）x+2=0 的两个根， 由韦达定理，得 x1?x2=2 ，即﹣ 2x2=2， 解得， x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣ 1．故选 C ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系 x1+x 2=﹣ 、 x1?x2= 时，要注意等式中的 a 、 b 、c 所表示的含义．2 的两个实数根，则 2 的值为（ ）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣2015=0 a +2a+b A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．2015 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解．专题 ： 计算题．2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a ﹣ 2015=0 ，即 a +a=2015，则 a +2a+b 变形为 a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b=﹣ 1，然后利用整体代入的方法计算．2 ﹣ 2015=0 的根， 解答： 解：∵ a 是方程 x+x2 2∴ a +a ﹣ 2015=0，即 a +a=2015，2∴ a +2a+b=a+b+2015 ，∵ a ， b 是方程 x 2+x ﹣2015=0 的两个实数根∴ a+b=﹣ 1，2∴ a +2a+b=a+b+2015= ﹣ 1+2015=2014 ．故选 C ．点评： 本题考查了根与系数的关系： 若 x1，x2 是一元二次方程ax 21 2 1 2 ．也 +bx+c=0（a ≠0）的两根时， x +x = ，x x = 考查了一元二次方程的解．11．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（）A ．﹣6B ． 6C ．3D ．﹣3考点 ： 根与系数的关系．分析： 由一元二次方程 x 2﹣2x ﹣ 3=0 和 3x 2﹣ 11x+6=0 先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答： 解：由一元二次方程 x 2﹣ 2x ﹣3=0 ，∵△ =4+16=20 ＞ 0，∴ x1x2=﹣ 3，由一元二次方程 3x 2﹣11x+6=0 ，∵△ =121﹣ 4×3×6=49＞ 0，∴ x1x2=2∴﹣ 3×2=﹣6故选 A．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．（ 2014?峨眉山市二模）已知x1、 x2是方程 x2﹣（ k﹣ 2）x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D ．13考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值． 2 2） =0 的两个实根，由 △ ≥0 即可求出 k 的取值范围，然后根据 分析： 根据 x 1、x 2 是方程 x ﹣（ k ﹣ 2） x+（ k +3k+5根与系数的关系求解即可．解答： 解：由方程有实根，得 2 2 △ ≥0，即（ k ﹣2） ﹣ 4（ k+3k+5 ）≥0所以3k 2+16k+16 ≤0，所以 （ 3k+4 ）（ k+4）≤0解得﹣ 4≤k ≤﹣ ．2又由 x1+x2 =k ﹣ 2， x1?x2=k +3k+5 ，得 2 2 2 2 2 2 2x1 +x 2 =（ x1+x2） ﹣ 2x 1x2=（ k ﹣ 2） ﹣ 2（ k +3k+5 ）=﹣ k ﹣10k ﹣ 6=19﹣（ k+5） ，2 2当 k= ﹣ 4 时， x1 +x 2 取最大值 18．故选： B ．点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△ ≥0 先求出 k 的取值范围再根据根与系数的关系进 行求解． 13．（ 2014?陵县模拟）已知： x 1、 x2 是一元二次方程x 2 1 2 =3 1 2 +2ax+b=0 的两根，且 x +x ， x x =1，则 a 、 b 的值分别是（ ）A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1 a=﹣ ， b=﹣ 1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 根据根与系数的关系得到得 x1+x 2=﹣ 2a ， x1x2=b ，即﹣ 2a=3， b=1，然后解一次方程即可．解答： 解：根据题意得 x1+x2=﹣ 2a ， x1x2=b ，所以﹣ 2a=3， b=1 ，解得 a=﹣ ， b=1．故选 D ．点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax 21 2=1 2= ．+bx+c=0 （a ≠0）的两根时， x+x ，x x14．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程 2 ﹣ 2=0 的两个实数根，则 2 2 ）x ﹣ 5x α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23 D ．27考点 ： 根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系 α+β=﹣ ， αβ= ，求出 α+β和 αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．2解答： 解：∵ α，β是方程 x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，2 2 2 ﹣βα， 又∵ α+αβ+β=（ α+β）2 2 2∴α+αβ+β=5 +2=27 ；故选 D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1 x2= ．15．（ 2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程2﹣ 1=0 有两根为2﹣x1x2=0，则 a 的值是（）x +2x+ax1 和 x2，且x1A ．a=1 B． a=1 或 a=﹣2C． a=2 D ．a=1 或 a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据 x12﹣ x1 x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x 2，所以①把 x1=0 代入原方程可以求得a=1；② 利用根的判别式等于 0 来求 a 的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0 ，或 x1=x2，①把 x1=0 代入已知方程，得a﹣ 1=0 ，解得： a=1；②当 x1=x 2时，△ =4﹣ 4（ a﹣ 1） =0，即 8﹣4a=0，解得： a=2．综上所述， a=1 或 a=2．故选： D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值．16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0 两根为 x1、x2，则 x1+x2=（）A ．4 B． 3 C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，直接利用 x1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，∴ x1+x 2=﹣=4．故选 A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x 2﹣ 5x﹣ 3=0 的两根，则的值等于（）A ．B．C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n= ， mn=﹣，再变形+ 得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得 m+n= ， mn= ﹣，所以+ = = =﹣．故选 D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x +2 A ．9B ． ±3C ． 3D ．5考点 ： 根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题 ： 整体思想．分析：根据一元二次方程 2 ，mn=1 ，再变形 得 ax +bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系得到 m+n= ﹣ 2，然后把 m+n= ﹣2，mn=1 整体代入计算即可．解答： 解：∵ m 、 n 是方程x 2+2 x+1=0 的两根，∴ m+n= ﹣ 2 ， mn=1 ，∴ = == =3．故选 C ．点评： 本题考查了一元二次方程ax 2x1，x2，则x1 2+bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两根分别为+x =﹣ ，x 1?x2= ．也考查了二次根式的化简求值．19．（ 2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 2 的两个不相等实数根 x 1， x 2 满足 x 1x 2﹣ 2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=0，x +4x+a=0 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣13考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 利用根与系数的关系求得x1x2=a ， x1+x 2=﹣ 4，然后将其代入 x 1x 2﹣2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（x 1+x 2）﹣ 5=0 列 出关于 a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值．解答： 解：∵ x1，x2 是关于 x 的一元二次方程2 的两个不相等实数根， x +4x+a=0 ∴ x1x2=a ， x1 +x2=﹣ 4， ∴ x 1x 2﹣ 2x 1﹣2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（ x 1+x 2）﹣ 5=a ﹣2×（﹣ 4）﹣ 5=0 ，即 a+3=0， 解得， a=﹣3；故选 B ．点评： 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（ 2011?锦江区模拟）若方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x1、 x2，则（ x1+2）（ x2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ． 8D ．12考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据（ x1+2）（ x2+2） =x1 x2+2x 1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可． 解答： 解：∵ x 1、x 2 是方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两个实数根．∴ x1+x 2=3， x1?x2=﹣ 2．又∵（ x1+2）（ x2+2）=x 1x2+2x 1+2x2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4．将x1+x 2=3、x1?x2=﹣ 2 代入，得（x1+2）（ x2+2 ） =x 1x2 +2x1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x2） +4= （﹣ 2） +2×3+4=8．故选 C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（ 2011?鄂州模拟）已知p 2﹣ p﹣ 1=0 ， 1﹣q﹣q2=0，且 pq≠1，则的值为（）A ．1 B． 2 C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把 1﹣q﹣ q2=0 变形为，然后结合 p2﹣ p﹣ 1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：2 2，可知 p≠0，q≠0，解：由 p ﹣p﹣1=0和 1﹣ q﹣q=0又∵ pq≠1，∴，∴由方程 1﹣ q﹣ q2=0 的两边都除以q2得：，∴ p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+ =1，∴=p+ =1．故选 A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把2变形为是解题的关键，然后利用1﹣ q﹣q =0根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（ 2010?滨湖区一模）若△ ABC 的一边 a 为 4，另两边b、c 分别满足2﹣5b+6=02b， c ﹣ 5c+6=0，则△ ABC的周长为（）A ．9 B． 10 C．9 或 10 D．8或 9或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边 b、c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣ 5c+6=0 ，那么 b、c 可以看作方程x2﹣ 5x+6=0 的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 ， bc=6，而△ABC 的一边 a 为 4，由此即可求出△ABC 的一边 a 为 4 周长．解答：解：∵两边 b、 c 分别满足 b2﹣5b+6=0 ，c2﹣ 5c+6=0，∴b、 c 可以看作方程 x2﹣ 5x+6=0 的两根，∴b+c=5 ， bc=6，而△ ABC 的一边 a 为 4，①若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2 ，但 2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+2②若 b≠c，∴△ ABC 的周长为4+5=9 ．故选 C．点评： 此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来， 利用根与系数的关系来三角形的周长． 此 题要注意分类讨论． 二．填空题（共 4 小题） 2 2k= ﹣ 1 ． 23．（ 2014?莱芜）若关于 x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则 考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 判别式法．分析： 根据已知和根与系数的关系x 1x 2= 2得出 k =1，求出 k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k 的值．2，两根互为倒数，解答： 解：∵ x 1x 2=k∴ k 2=1，解得 k=1 或﹣ 1；∵方程有两个实数根， △＞0， ∴当 k=1 时， △ ＜ 0，舍去，故 k 的值为﹣ 1．故答案为：﹣ 1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a ≠0， a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2=﹣ ， x1x2= 进行求解．24．（ 2014?呼和浩特）已知 2 ﹣ 5=0 的两个实数根，则 2 ﹣mn+3m+n= 8 ．m ，n 是方程 x +2x m考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题 ： 常规题型．分析：根据 m+n= ﹣ =﹣ 2， m?n=﹣ 5，直接求出 m 、 n 即可解题．解答： 解：∵ m 、 n 是方程 x 2+2x ﹣ 5=0 的两个实数根，∴ mn=﹣ 5， m+n=﹣ 2，∵ m 2+2m ﹣ 5=0 ∴ m 2=5﹣ 2mm 2﹣mn+3m+n= （ 5﹣ 2m ）﹣（﹣ 5）+3m+n =10+m+n =10﹣2 =8故答案为： 8．点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和n 的值是解决问题的关键．2 2﹣2=0 有两个实数根x1、x ，则 x （ x）+x 2 的最小值为． 25．（ 2014?广州）若关于 x 的方程 x +2mx+m +3m 21 2+x 12考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值．专题 ： 判别式法．分析：由题意可得△ =b 2﹣ 4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程2 2x +2mx+m +3m﹣ 2=0 有两个实数根，则△ =b2﹣ 4ac=4m2﹣ 4（ m2+3m﹣ 2） =8﹣ 12m≥0，∴ m≤，∵ x1（ x2+x 1）+x 22=（ x2+x 1）2﹣ x1x2=（﹣ 2m ） 2﹣（ m 2+3m ﹣2） =3m 2﹣3m+2=3 （ m 2﹣ m+ ﹣ ） +2 2=3 （ m ﹣ ） + ； ∴当 m= 时，有最小值 ； ∵ ＜ ，∴ m= 成立；∴最小值为 ；故答案为： ．点评： 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（ 1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（ 2） △ =0? 方程有两个相等的实数根；（ 3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．26．（2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +（ 2k+1 ）x+k 2﹣ 2=0 的两根为 x1 和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1 ﹣x2）=0， 则 k 的值是 ﹣ 2 或﹣ ．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 先由（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0，得出 x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0，再分两种情况进行讨论：① 如果 x 1﹣2=0 ，将 x=2代入 x 22﹣ 2=0，得 4+2（2k+1 ）+k 2﹣ 2=0 ，解方程求出 k= ﹣ 2；② 如果 x1﹣ x21 2 = +（ 2k+1 ）x+k =0 ，那么将 x +x﹣（ 2k+1 ）， x 1x 2=k2﹣ 2 代入可求出 k 的值，再根据判别式进行检验．解答： 解：∵（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0， ∴ x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0 ．① 如果 x1﹣2=0，那么 x1=2，2 2将 x=2 代入 x +（ 2k+1 ） x+k ﹣2=0，得 4+2 （ 2k+1） +k 2﹣2=0 ，2整理，得 k +4k+4=0 ， 解得 k= ﹣2； ② 如果 x1﹣x2=0，那么（ x1﹣x2）2=（ x1+x 2）2﹣ 4x1x2=[ ﹣（ 2k+1 ）] 2﹣ 4（k2﹣ 2）=4k+9=0 ，解得 k= ﹣．又∵△ =（2k+1 ）2﹣4（ k2﹣ 2）≥0．解得： k≥﹣．所以 k 的值为﹣ 2 或﹣．故答案为：﹣2 或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 2x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（1）若（ x1﹣ 1）（ x2﹣1） =28 ，求 m 的值；（2）已知等腰△ ABC 的一边长为 7，若 x1， x2恰好是△ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（ 1）利用（ x1﹣ 1）（x2﹣ 1） =x1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m 2+5﹣2（ m+1） +1=28，求得 m 的值即可；（ 2）分 7 为底边和7 为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．2 2解答：解：（ 1）∵ x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根，2∴ x1+x 2=2（ m+1）， x1?x2=m+5，∴（ x1﹣ 1）（ x2﹣ 1）=x 1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m2+5﹣2（ m+1） +1=28，解得： m=﹣ 4 或 m=6；当 m=﹣ 4 时原方程无解，∴ m=6；（ 2）①当 7 为底边时，此时方程2 2x﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 有两个相等的实数根，∴△ =4（ m+1）2﹣2，4（ m +5）=0解得： m=2，2∴方程变为 x ﹣ 6x+9=0 ，∵ 3+3＜ 7，∴不能构成三角形；②当 7 为腰时，设x1=7，2代入方程得：49﹣ 14（ m+1） +m +5=0 ，解得： m=10 或 4，当m=10 时方程变为 x2﹣22x+105=0 ，解得： x=7 或 15∵ 7+7＜ 15，不能组成三角形；当m=4 时方程变为 x2﹣10x+21=0 ，解得： x=3 或 7，此时三角形的周长为 7+7+3=17 ．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（ 2014?日照二模）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 23x1 x +（ 3a﹣ 1）x+2a﹣1=0 的两个实数根，其满足（﹣ x2）（ x1﹣ 3x2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 计算题．x 2 2﹣ 1=0 的两个实数根得到 △ ≥0，即（ 3a ﹣ 1）2﹣4（2a 2﹣1）分析： 根据 △ 的意义由一元二次方程+（ 3a ﹣ 1）x+2a=a2﹣ 6a+5≥0，根据根与系数的关系得到 x1+x2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣1，由（ 3x 1﹣x 2）（ x 1﹣ 3x 2）=﹣ 8022 2 ，变形得到 3（ x 1+x 2） ﹣ 16x 1x 2=﹣ 80，于是有 3（3a ﹣ 1） ﹣ 16（2a ﹣ 1）=﹣ 80，解方程得到a=3 或 a=﹣然后代入 △验算即可得到实数 a 的值．解答： 解：∵ x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程2 2﹣ 1=0 的两个实数根， x +（ 3a ﹣ 1） x+2a222∴△ ≥0，即（ 3a ﹣ 1） ﹣ 4（ 2a ﹣1） =a ﹣ 6a+5≥0∴ x1+x 2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣ 1，∵（ 3x 1﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80，即 3（ x 12+x 22）﹣ 10x 1x 2=﹣ 80， ∴ 3（ x1+x2 ）2﹣ 16x1x2 =﹣ 80， ∴ 3（ 3a ﹣ 1） 2﹣ 16（2a 2﹣ 1） =﹣ 80，2整理得， 5a +18a ﹣ 99=0，∴（ 5a+33）（ a ﹣ 3） =0，解得 a=3 或 a=﹣ ，当 a=3 时， △ =9 ﹣ 6×3+5= ﹣ 4＜0，故舍去， 当 a=﹣ 时， △=（﹣ 2）+6=（2+6＞ 0，） ﹣ 6×（﹣ ） +6× ∴实数 a 的值为﹣点评： 本题考查了一元二次方程 2x1，x2，则 x1+x 2=﹣ ， ax +bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 如果方程的两根为x1?x2= ．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 x1，x2． （ 1）求实数 k 的取值范围； 2﹣x22 （ 2）是否存在实数 k 使得 x1 ?x2﹣ x1 ≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 压轴题．△ ≥0，据此列出关于 k 的不等式 [﹣（ 2k+1 ） ]2分析： （ 1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式2k 的取值范围； ﹣ 4（ k +2k ） ≥0，通过解该不等式即可求得（ 2）假设存在实数 k 使得≥0 成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得 k 的值．解答： 解：（ 1）∵原方程有两个实数根，2 2∴ [﹣（ 2k+1 ）] ﹣ 4（k +2k ） ≥0，2 2﹣8k ≥0 ∴ 4k +4k+1 ﹣ 4k∴ 1﹣ 4k ≥0，∴ k ≤ ．∴当 k≤时，原方程有两个实数根．（ 2）假设存在实数k 使得≥0 成立．∵ x1， x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．2 2 2∴ 3（ k +2k）﹣（ 2k+1）≥0，整理得：﹣（ k﹣ 1）≥0，∴只有当 k=1 时，上式才能成立．又∵由（ 1）知 k≤，∴不存在实数 k 使得≥0 成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程，（ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x1、x2是方程的两个根，且x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=5，求 k 的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ 1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0 恒成立；（ 2）欲求 k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（ 1）已知关于 x 的一元二次方程，∴△ =（﹣ 2k）2﹣ 4×（ k2﹣ 2）=2k2+8，2∵ 2k +8＞ 0 恒成立，∴不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵ x1、 x2是方程的两个根，∴ x1+x 2=2k， x1?x2= k2﹣2，∴ x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=x 12﹣（ x1+x 2） x1+2x1x2=x1x2=k2﹣ 2=5，解得 k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．欢迎您的光临，Wor文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。
(完整版)一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．。
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练(含答案)
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
一元二次方程的根与系数的关系-2021年中考数学一轮复习命题点分类解读(解析版)
命题点23 一元二次方程的根与系数的关系1．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)ac b 42-ac b 42- 称为根的判别式．2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系（1）b 2－4ac >0⇔（2）b 2－4ac ＝0⇔（3）b 2－4ac <0⇔【注意】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件．3.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2x 1x 2 【注意】利用根与系数的关系解题的前提是方程的两根存在，即根的判别式b 2－4ac ≥0.4．一元二次方程根与系数关系的运用（1）已知一元二次方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求关于一元二次方程的根x 1，x 2的代数式的值，例如：a ．x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；b ．(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；c ．(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1；d ．1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； e ．x 1x 2＋x 2x 1＝x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2；f ．|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 .一、单选题1．已知矩形的长和宽是方程2780x x -+=的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ） A ．6 B ．7 CD【答案】D【解析】设矩形的长和宽分别为a 、b ， ⇔矩形的长和宽是方程2780x x -+=的两个实数根， ⇔a+b=7，ab=8，⇔===． 故选D ．2．已知1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则12112121x x +--的值是（） A ．27- B ．27 C ．2- D ．6-【答案】A【解析】⇔1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根， ⇔1x +2x =2，1x 2x =-1，⇔12112121x x +--。
完整版一元二次方程根与系数关系附答案
一元二次方程根与系数的关系〔附答案〕评卷人得分一 .选择题〔共6小题〕1.关丁x的一元二次方程3x2+4x-5=0,下歹0说法正确的选项是〔〕A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2.关丁x的一元二次方程x2+2x - m=0有实数根,贝U m的取值范围是〔A. m> - 1B. m>- 1C. m< - 1D. m< - 13.关丁x的一元二次方程x2+3x - 1=0的根的情况是〔〕A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定4.设x〔、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根,那么x12+x22的值是〔A. 2B. 4C. 5D. 65.假设a、6是一元二次方程x2 - 5x- 2=0的两个实数根,贝U a+6的值为〔A. - 5B. 5C. - 2D.56.关丁x的方程x2- 4x+c+1=.有两个相等的实数根,贝U常数c的值为〔A. - 1B. 0C. 1D. 3评卷人得分二.填空题〔共1小题〕7.假设关丁x的一元二次方程x2-3x+a=0 〔a^0〕的两个不等实数根分别为p, q, 且p2-pq+q2=18,那么丑产的值为.P Q评卷人得分三.解做题(共8小题)8 .关丁x 的方程x2- (2k+1) x+k2+1=0.(1)假设方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围；(2)假设方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长.9 .关丁x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)假设该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.10.关丁x的一元二次方程(x- m) 2 - 2 (x-m) =0 (m为常数).(1)求证：不管m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；(2)假设该方程一个根为3,求m的值.11.关丁x的一元二次方程x2-x+a- 1=0.(1)当a=- 11时,解这个方程；(2)假设这个方程有两个实数根x〔,x2,求a的取值范围；(3)假设方程两个实数根x〔,x2满足[2+x1 (1 - x〔)][ 2+x2 (1 - x2)] =9,求a的值. 12.x〔,x2是关丁x的一元二次方程4kx2 - 4kx+k+1= 0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1 - x2) (x1 - 2x2)=-音成立？假设存在,求出k的值；假设不存在,说明理由；(2)求使打+挡-2的值为整数的实数k的整数值；七(3)假设k=- 2,入机,试求入的值.s213.关丁x的方程(k+1) x2 - 2 (k- 1) x+k=0有两个实数根x〔,x2.(1)求k的取值范围；(2)假设x〔+x2=x1x2+2,求k 的值.14.关丁x 的方程x2 - 2 (m+1) x+m2-3=0.(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值.15.关丁x的一元二次方程x2-2x+m- 1=0有两个实数根x i、X2.(1)求m的取值范围；(2)假设x/+x22=6x i x2,求m 的值.参考答案与试题解析一 .选择题〔共6小题〕1.关丁x的一元二次方程3x2+4x-5=0,以下说法正确的选项是〔〕A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【解答】解：：A =42 - 4X 3X 〔 - 5〕 =76>0,方程有两个不相等的实数根.应选：B.2.关丁x的一元二次方程x2+2x - m=0有实数根,贝U m的取值范围是〔A. m> - 1B. m> - 1C. m< - 1D. m< - 1【解答】解：•.•关丁x的一元二次方程x2+2x- m=0有实数根,. =22- 4X 1X〔 - m〕 =4+4m>0,解得：m>-1.应选：A.3.关丁x的一元二次方程x2+3x - 1=0的根的情况是〔〕A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定【解答】解：a=1, b=3, c=T,. =b2- 4ac=32- 4X 1X 〔 - 1〕 =13>0,方程有两个不相等的实数根.应选：A.4.设x〔、x2是一元二次方程2x2-4x- 1=0的两实数根,那么x12+x22的值是〔A. 2B. 4C. 5D. 6【解答】解：x〔、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根,X I+X2=2, XlX2=-—, 2•• X i2+X22=〔X1+X2〕2—2X I X2=22— 2X 〔—=5.2应选：C.5 .假设a、6是一元二次方程X2 - 5X- 2=0的两个实数根,贝U a+6的值为〔〕A. - 5B. 5C. - 2D.5【解答】解：：a、6是一元二次方程X2- 5X- 2=0的两个实数根,•■-计 6 =5应选：B.6.关丁X的方程X2-4X+C+1= 0有两个相等的实数根,贝U常数c的值为〔〕A. - 1B. 0C. 1D. 3【解答】解：•.•关丁X的方程X2-4X+C+1= 0有两个相等的实数根, = 〔- 4〕2 -4X 1X 〔C+1〕 =12-4C=0,解得：C=3.应选：D.二.填空题〔共1小题〕7.假设关丁X的一元二次方程X2-3x+a=0 〔a^0〕的两个不等实数根分别为p, q, 且p2-pq+q2=18,那么■的伯为-5 .p q【解答】解：..•关丁X的一元二次方程X2 - 3x+a=0〔a冬0〕的两个不等实数根分别为p、q,••• p+q=3, pq=a,. p2-pq+q2= 〔p+q〕2-3pq=18,即 9 -3a=18,••a=- 3,•,- pq=- 3,2 2 j -..早4^=些1祟=—5.p Q PQ pq -3故答案为：-5.三.解做题(共8小题)8.关丁x 的方程x2- (2k+1) x+k2+1=0.(1)假设方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围；(2)假设方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长.【解答】解：(1):方程x2- (2k+1) x+k2+1= 0有两个不相等的实数根,. =[ - (2k+1) ]2-4X 1X (k2+1) =4k-3>0,. . k> 里. 4(2)当k=2时,原方程为x2-5x+5=0,设方程的两个为m、n,m+n=5, mn=5,-父2板皿=^^9.关丁x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)假设该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.【解答】(1)解：将x=1代入原方程,得：1+a+a-2=0,解得：a：. 2(2)证实：△ =a2 — 4 (a— 2) = (a— 2) 2+4..• (a-2) 2>0,(a-2) 2+4>0,即/\> 0,•••不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.10.关丁x的一元二次方程(x- m) 2 - 2 (x-m) =0 (m为常数).(1)求证：不管m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；(2)假设该方程一个根为3,求m的值.【解答】(1)证实：原方程可化为x2- (2m+2) x+m2+2m=0,a=1, b=- ( 2m+2), c=m2+2m,. =b2 - 4ac=[ - (2m+2) ] 2- 4 (m2+2m) =4> 0,•••不管m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：将x=3代入原方程,得：(3-m) 2-2 (3 - m) =0,解得：m i=3, m2=1.m的值为3或1.11 .关丁x的一元二次方程x2-x+a- 1=0.(1)当a=- 11时,解这个方程；(2)假设这个方程有两个实数根x〔,x2,求a的取值范围；(3)假设方程两个实数根x〔,支满足[2+x1 (1 - x〔)][ 2+x2 (1 - x2)] =9,求a的值.【解答】解：(1)把a=- 11代入方程,得x2-x- 12=0,(x+3) (x- 4) =0,x+3=0 或x- 4=0,x〔 = — 3, x？=4;(2)方程有两个实数根X], 3 •••△ »0,即(一1)2-4X 1X (a— 1) >0,解得a<|-;(3) L X], X？是方程的两个实数根,x乂] +己一 1二0,入：-耳2+日一1二.,.• [ 2+x1 (1 — x〔)][ 2+x2 (1 — x2)] =9,•• [2+工]-工1勺[2+区2“2勺=9,把：, I :. [- •-代入,得:[2+a- 1][ 2+a- 1]=9,即(1+a) 2=9,解得a=- 4, a=2 (舍去),所以a的值为-412 .x1, x2是关丁x的一元二次方程4kx2 - 4kx+k+1= 0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2xi - x？) (xi - 2x2)=-—成立？假设存在,求出k的值;2假设不存在,说明理由；(2)求使旦+竺-2的值为整数的实数k的整数值；翌们(3)假设k=- 2,入兰！,试求入的值.x2【解答】解：(1) x1> x2是一元二次方程4kx2- 4kx+k+1= 0的两个实数根,x1 +x2=1 , x1 x2=*' 1 ,(2x1 - x2)( x1 - 2x2)=2x12- 4x1x2 - x1x2+2x22=2(x1+x2)2 - 9x1x2 =2X 12 - 9X J E±!=24k4k假设2一丝虫_ =-兰成立4k 2解上述方程得,k=',5. △ =16k2-4X4k (k+1) =- 16k>0,. kv 0, • k=,' 5'矛盾,...不存在这样k的值；幻2& 之) ~2x 1 Xn (Xi + Xn) 2+Xi Xni(2)原式= ------------------- 2= ----------------------------- 2= -------------------------- 4=-X I X 2 S J X 2寿,•.•k+1=1 或—1,或2,或—2,或4,或-4解得k=0或-2, 1, - 3, 3, - 5.kv 0.. .k=— 2, —3 或—5;Y(3) k=— 2,入二,x i+X2=1,x2入2+X2 = 1, X2 —, X i --------------- ,人+1 A+l 5, , X1X2」' I-X1X2一一、4k 8. * J(X+1)2 8'入=3 3血.13.关丁X的方程(k+1) X2 - 2 (k- 1) X+k=0有两个实数根Xi, X2.(1)求k的取值范围；(2)假设X1+X2=X1X2+2,求k 的值.【解答】解：(1) 关丁X的方程(k+1) X2- 2 (k-1) X+k=0有两个实数根,[A=[-2(k-l)]2-4k(k+l)>0 解得：k<-且k^- 1.3(2) 关丁X 的方程(k+1) X2- 2 (k- 1) X+k=0 有两个实数根X1？ X2.中1), X1X2 =<^-.•,- X1 +X2=Zk+1 ' k+1X1 +X2=X1 X2+2,即2d)=上+2,I 1：+解得：k=- 4,经检验,k= - 4是原分式方程的解, • • k=— 4.14.关丁X的方程X2 - 2 (m+1) X+m2- 3=0.(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设X1、X2是方程的两根,且X12+X22=22+X1X2,求实数m的值.【解答】解：(1) △=[ - 2 (m+1) ]2-4 (m2-3) =8m+16,当方程有两个不相等的实数根时,那么有△>0,即8m+16>0,解得m>-2;(2)根据一元二次方程根与系数之间的关系,得x1+x2=2 (m+1), x i x2=m2 - 3,x12+x22=22+x i x2= (x1 +x2) 2 - 2x1x2,. .[2 (m+1) ] - 2 (m2-3) =6+ (m2-3),化简,得m2+8m - 9=0,解得m=1或m=- 9 (不合题意,舍去),实数m的值为1 .15.关丁x的一元二次方程x2-2x+m- 1=0有两个实数根x〔、x2.(1)求m的取值范围；(2)假设x『+x22=6x1x2,求m 的值.【解答】解：(1)..•方程有两个实数根,. » 0,即(-2) 2-4 (m- 1) >0,解得m< 2;(2)由根与系数的关系可得x〔+x2=2, xg=m- 1,.. 2 2 -x1 +x2 =6x1x2,•,- (x〔+x2)2- 2x〔x2=6x1x2,即(x〔+x2)2=8x1x2,•,- 4=8 (m- 1),解得m=1.5.。
一元二次方程根与系数关系习题(含答案)
一元二次方程及一元二次方程与根与系数关系一. 选择题。
（第1题2分其余每题3分，共53分） 1.（2009，清远）方程216x =的解是（ ）A ．4x =±B ．4x =C ．4x =-D ．16x = 2.（2009，云南）一元二次方程2520x x -=的解是（ ）A ．x 1 = 0 ，x 2 =25 B ． x 1 = 0 ，x 2 =52-C ．x 1 = 0 ，x 2 =52D ． x 1= 0 ，x 2 =25-3.（2009，河南）方程2x =x 的解是 （A ）x =1 （B ）x =0 (C) x 1=1 x 2=0 (D) x 1=﹣1 x 2=0 4.（2009，台州）用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x 5.（2009，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=6.(2009,深圳)用配方法将代数式a 2+4a -5变形，结果正确的是（ ）A.(a +2)2-1 B. (a +2)2-5C. (a +2)2+4D. (a +2)2-97.（2009，荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．8.（2009，长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-9.（2009，武汉）已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A ．3-B ．3C ．0D ．0或310.(2009,南充)方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =11. （2009，东营）若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（A ）1 （B ）2（C ）-1 （D ）-212.（2009，济南）若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．613.（2009，眉山）若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．13-14.（2009，烟台）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．200915.（2009，青海）方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定16.（2009，包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．2517.（2009，株洲）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==18.（2009，黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对 二. 填空题。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=02．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．55．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．010．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．202111．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．1313．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．2715．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．519．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．1221．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=_________．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=_________．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为_________．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是_________．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2那么两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，应选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．应选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，那么将所求的代数式变形为〔α+β〕2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=22﹣2×〔﹣3〕=10．应选：A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．应选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，那么a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到〔α+β〕2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣1〕2﹣2×〔﹣1〕=3；+===1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣〔m+6〕+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=〔m+6〕2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．应选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，那么a2+2a+b变形为a+b+2021，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2021=0的根，∴a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，∴a2+2a+b=a+b+2021，∵a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2021=﹣1+2021=2021．应选C．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6应选A．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+〔k2+3k+5〕=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即〔k﹣2〕2﹣4〔k2+3k+5〕≥0所以3k2+16k+16≤0，所以〔3k+4〕〔k+4〕≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=〔k﹣2〕2﹣2〔k2+3k+5〕=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣〔k+5〕2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．应选：B．点评：此题考查了根与系数的关系，属于根底题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．应选D．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=〔α+β〕2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；应选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=．15．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4〔a﹣1〕=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．应选：D．点评：此题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．应选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．应选D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．19．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=a﹣2×〔﹣4〕﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；应选B．点评：此题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4=〔﹣2〕+2×3+4=8．应选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．应选A．点评：此题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①假设b=c，那么b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②假设b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．应选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=﹣1．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=〔5﹣2m〕﹣〔﹣5〕+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，那么△=b2﹣4ac=4m2﹣4〔m2+3m﹣2〕=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1〔x2+x1〕+x22=〔x2+x1〕2﹣x1x2=〔﹣2m〕2﹣〔m2+3m﹣2〕=3m2﹣3m+2=3〔m2﹣m+﹣〕+2=3〔m﹣〕2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：此题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣〔2k+1〕，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2=[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2﹣2〕=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=〔2k+1〕2﹣4〔k2﹣2〕≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，求得m的值即可；〔2〕分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：〔1〕∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2〔m+1〕，x1•x2=m2+5，∴〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；〔2〕①当7为底边时，此时方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+5〕=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14〔m+1〕+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：此题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，由〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80变形得到3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，于是有3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…〔3分〕∴x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，∵〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80，即3〔x12+x22〕﹣10x1x2=﹣80，∴3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，∴3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴〔5a+33〕〔a﹣3〕=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=〔﹣〕2﹣6×〔﹣〕+6=〔〕2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：〔1〕根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：〔1〕∵原方程有两个实数根，∴[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3〔k2+2k〕﹣〔2k+1〕2≥0，整理得：﹣〔k﹣1〕2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由〔1〕知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：此题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：〔1〕要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：〔1〕关于x的一元二次方程，∴△=〔﹣2k〕2﹣4×〔k2﹣2〕=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣〔x1+x2〕x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】(解析版)--九年级数学
一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】 (3)【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 (4)【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 (6)【题型5 由一元二次方程的两根求值】 (8)【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】 (10)【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 (12)【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 (15)【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】 (18)【题型10 一元二次方程中的新定义问题】 (20)知识点1：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−b a，x1⋅x2=c a．注意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程xx2+xx=5xx+6的两根分别为m、n，则1mm+1nn=．【答案】−23．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0),，若xx1，xx2是该方程的两个实数根，则xx1+xx2=−bb aa,xx1xx2=cc aa.直接根据一元二次方程根与系数的关系得到mm+nn=4，mmnn=−6，再根据1mm+1nn=mm+nn mmnn进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程xx2+xx=5xx+6可化为xx2−4xx−6=0，这个方程的两根分别为m，n，∴mm+nn=4，mmnn=−6，故答案为：−23．【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程xx2−2xx−5=0的两个实数根，则(aa−2)(bb−2)的值为．【答案】−5【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得aa+bb=2，aabb=−7，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵a，b是方程xx2−2xx−5=0的两个实数根，∴aa+bb=2，aabb=−7，∴(aa−2)(bb−2)=aabb−8(aa+bb)+4=-5−7×2+4=−5．故答案为：−5．【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程2xx2+3xx+1=0的根为xx1、xx2，则xx12+xx22=．【答案】54【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵方程2xx2+3xx+1=0的根为xx1、xx2，∴xx1+xx2=−32，xx1xx2=12，则xx12+xx22=(xx1+xx2)2−2xx1xx2=(−32)2−2×12=94−1=54．故答案为：54．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程−因式分解法，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知xx1，xx2是方程2xx2+3xx−7=0的两个根，则xx13xx2+xx1xx23【变式1-3】的值为（）A．214B．−2598C．−638D．−1338【答案】B【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出xx1+xx2和xx1xx2，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】∵xx1，xx2是方程2xx2+3xx−7=0的两个根，∴xx13xx2+xx1xx23=xx1xx2(xx12+xx22)=xx1xx2[(xx1+xx2)2−2xx1xx2]=−72×��−32�2−2×�−72��=−2598，故选：B．【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于xx的方程3(xx−1)(xx−2mm)=(mm−12)xx的两根之和与两根之积相等，则方程的根为．【答案】xx=9±3√7【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m的方程，解出方程，求出m的值，再将m代入原来方程，解出方程．【详解】解：将已知方程化简可得：3x2＋（9－7m）x＋6m＝0，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝-9-7m3，x1x2＝2m，根据已知条件可得∶-9-7m3＝2m，解出：m＝9，将m＝9代入化简后的方程可得：x2－18x＋18＝0，化成完全平方得：（x－9）2＝63，解得x＝9±3√7．故答案为∶xx=9±3√7．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的根与一元二次系数的关系．【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于xx的一元二次方程xx2+mmxx−6=0有一个根为xx=2，则该方程的另一个根为xx=．【答案】−3【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)两根分别是xx1,xx2，则xx1+xx2=−bb aa,xx1xx2=cc aa，进行解题即可．【详解】解：设关于x的一元二次方程xx2+mmxx−6=0的另一个根为t，则2tt=−6，解得tt=−3，故答案为−3【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于xx的一元二次方程aaxx2=bb(aabb>0)的两个根分别是mm 与2mm−6，则mm的值为，方程的根为．【答案】2xx1=2,xx2=−2【分析】若一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)的两个根为xx1,xx2，则xx1+xx2=−bb aa,xx1·xx2=cc aa．【详解】解：整理方程得：aaxx2−bb=0由题意得：mm+2mm−6=0∴mm=2故两个根为：xx1=mm=2,xx2=2mm−6=−2故答案为：2；xx1=2,xx2=−2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程aaxx2=cc(aa≠0)的一根为2，则另一根为．【答案】−2【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到2+mm=0是解题的关键．【详解】解：设方程的另一个根为mm，则2+mm=0，解得：mm=−2，故答案为：−2．【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知mm、n是关于xx的方程xx2−2xx−2021=0的根，则代数式mm2−4mm−2nn+2023的值为（）A．2022 B．2023 C．4039 D．4040【答案】D【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出mm2−2mm=2021，mm+nn=−bb aa=2，将原式化简求值即可．【详解】解：∵mm、n是关于xx的方程xx2−2xx−2021=0的根，∴mm2−2mm=2021，mm+nn=−bb aa=2，mm2−4mm−2nn+2023=mm2−2mm−2(mm+nn)+2023=2021−2×2+2023=4040，故选：D．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设xx1、xx2是方程xx2−3xx−2020=0的两个根，则xx12−2xx1+ xx2=．【答案】2023【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到xx1+xx2=3，之后将xx1代入方程中得到xx12−3xx1−2020=0，变形为xx12−3xx1=2020，两式相加即可得到答案．【详解】解：∵xx1、xx2是方程xx2−3xx−2020=0的两个根，∴xx1+xx2=3，xx12−3xx1−2020=0∴xx12−3xx1=2020∴xx12−2xx1+xx2=(xx12−3xx1)+(xx1+xx2)=2020+3=2023．故答案为：2023．【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设αα，ββ是xx2+xx+18=0的两个实数根，则αα2+3αα+2ββ的值是．【答案】−20【分析】本题考查了根与系数的关系：若xx1，xx2是一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)的两根时，则xx1+xx2=−bb aa，xx1xx2=cc aa．利用整体代入法是本题的关键．【详解】解：∵αα，ββ是xx2+xx+18=0的两个实数根，∴αα2+αα=−18，αα+ββ=−1，∴αα2+3αα+2ββ=(αα2+αα)+2(αα+ββ)=−18+2×(−1)=−20，故答案为：−20．【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知aa，bb是方程xx2−5xx+7=0的两个根，则aa2−4aa+bb−3=．【答案】−5【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握aaxx2+bbxx+cc=0的两根xx1，xx2满足xx1+xx2=−bb aa，xx1xx2=cc aa是解题的关键．【详解】解：∵aa，bb是方程xx2−5xx+7=0的两个根，∴aa2−5aa=−7，aa+bb=5，∴(aa2−5aa)+(aa+bb)−3=−7+5−3=−5，故答案为：−5．【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程xx2−3xx+1=0的根，则代数式1aa2+1+ 1bb2+1的值是（）A．3 B．1 C．−3D．−1【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得aa+bb=3，aabb=1，再整体代入求解即可．【详解】解：∵a、b是一元二次方程xx2−3xx+1=0的根，∴aa+bb=3，aabb=1，∴1aa2+1+1bb2+1=1aa2+aabb+1bb2+aabb=1aa(aa+bb)+1bb(aa+bb)=13aa+13bb=aa+bb3aabb=33×1=1，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知mm,nn是方程xx2+xx−3=0的两个实数根，则mm3−3mm+nn+2024的值是．【答案】2020【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得mm+nn=−1，mm2−3=−mm，再代入求值即可．【详解】解：∵mm，nn是方程xx2+xx−3=0的两个实数根，∴mm+nn=−1，将xx=mm代入方程xx2+xx−3=0，得mm2+mm−3=0，即mm2−3=−mm，mm2=3−mm∴mm3−3mm+nn+2024=mm(mm2−3)+nn+2024=−mm2+nn+2024，∵mm2=3−mm，∴−mm2+nn+2024=−3+mm+nn+2024=mm+nn+2021，∵mm+nn=−1，∴mm+nn+2021=−1+2021=2020．故答案为：2020．【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知xx1,xx2是方程xx2−xx−2024=0的两个实数根，则代数式xx13−2024xx1+xx22的值为（）A．4049 B．4048 C．2024 D．1【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵xx1，xx2是方程xx2−xx−2024=0的两个实数根，∴xx12−2024=xx1，xx1xx2=−2024，xx1+xx2=1xx13−2024xx1+xx22=xx1(xx12−2024)+xx22=xx12+xx22=(xx1+xx2)2−2xx1xx2=1−2×(−2024)=4049故选A【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：mm、nn是方程xx2+3xx−1=0的两根，则mm3−5mm+ 5nn=．【答案】−18【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到mm2+3mm−1=0，即mm2=−3mm+1，mm3=−3mm2+mm，再把mm3−5mm+5nn化简为用mm和nn的一次式表示得到5(mm+nn)−3，再根据根与系数的关系得到mm+nn=−3，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵mm、nn是方程xx2+3xx−1=0的两根，∴mm2+3mm−1=0，且mm≠0，mm+nn=−3，∴mm2=−3mm+1，∴mm3=−3mm2+mm，∴mm3−5mm+5nn=−3mm2+mm−5mm+5nn=−3(−3mm+1)−4mm+5nn=5mm+5nn−3=5(mm+nn)−3，∴原式=5×(−3)−3=−18，故答案为：−18．【点睛】本题考查根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+x2=−b a，x1x2=c a．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．【题型5 由一元二次方程的两根求值】【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于xx的一元二次方程aaxx2=bb(aabb>0)的两个根分别是mm与2mm−6，则mm的值为，方程的根为．【答案】2xx1=2,xx2=−2【分析】若一元二次方程aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)的两个根为xx1,xx2，则xx1+xx2=−bb aa,xx1·xx2=cc aa．【详解】解：整理方程得：aaxx2−bb=0由题意得：mm+2mm−6=0∴mm=2故两个根为：xx1=mm=2,xx2=2mm−6=−2故答案为：2；xx1=2,xx2=−2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于x的方程2xx2+bbxx+cc=0的根为xx1=−2，xx2=3，则b+c的值是（）A．-10 B．-7 C．-14 D．-2【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x的方程2xx2+bbxx+cc=0的根为xx1=−2，xx2=3，∴xx1+xx2=−bb2，xx1xx2=cc2∴−2+3=−bb2，−2×3=cc2，即b=-2，c=-12∴bb+cc=−2−12=−14．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-bb aa，x1•x2=cc aa．【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝．【答案】﹣2【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，解得p＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣bb aa，两根之积等于cc aa．”是解题的关键．【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．设x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，则k的值为．【答案】±√14【分析】先计算出一元二次方程判别式，即△=2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x12-2kx1=-12k2+2，根据根与系数的关系可得x1x2=12k2-2，则-12k2+2+2·(12k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.【详解】（1）证明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2+8＞0，所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）∵x1是方程的根，∴x12-2kx1+12k2-2=0，∴x12-2kx1=-12k2+2，∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2-2，∴-12k2+2+2·(12k2-2)=5，整理得k2-14=0，∴k=±√14．故答案为±√14.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知ss满足2ss2−3ss−1=0，tt满足2tt2−3tt−1=0，且ss≠tt，则ss+tt=．【答案】32【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到ss+tt=32,sstt=−12是解题的关键．由题意可知实数ss、tt是关于xx的方程2xx2−3xx−1=0的两个不相等的实数根，由此可得答案．【详解】解：∵实数ss、tt满足2ss2−3ss−1=0，2tt2−3tt−1=0，且ss≠tt，∴实数ss、tt是关于xx的方程2xx2−3xx−1=0的两个不相等的实数根，∴ss+tt=32．故答案为：32．【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足mm2=mm+1，nn2−nn=1，则mm2+nn2=．【答案】3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．【详解】解：由题可得：mm2−mm−1=0，nn2−nn−1=0，∴m、n是关于x的一元二次方程xx2−xx−1=0的两个不等实数根，∴mm+nn=1,mmnn=−1，∴mm2+nn2=(mm+nn)2−2mmnn=122×(−1)=3，故答案为：3．【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数aa、bb分别满足aa=16aa2+13和12bb2=3bb−1，那么bb aa+aa bb的值是．【答案】2或16【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当aa=bb时，bb aa+aa bb=2；当aa≠bb时，a和b是方程xx2−6xx+2=0的两个根，再由根与系数的关系求出aa+bb和aabb，再将bb aa+aa bb变形为(aa+bb)2−2aabbaabb，即可求解．【详解】解：分两种情况：当aa=bb时，bb aa+aa bb=1+1=2；当aa≠bb时，∵12bb2=3bb−1，∴bb=16bb2+13，∴bb2−6bb+2=0，又∵aa=16aa2+13，∴aa2−6aa+2=0，∴a和b是方程xx2−6xx+2=0的两个根，∴aa+bb=−−61=6，aabb=2，∴bb aa+aa bb=bb2+aa2aabb=(aa+bb)2−2aabb aabb=62−2×22=16，故答案为：2或16．【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若aa4−3aa2=1，bb2−3bb=1，且aa2bb≠1，则bb aa2的值是．【答案】−1【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意先化为1aa4−3aa2−1=0，bb2−3bb−1=0，可以得到1aa2和b是方程xx2−3xx−1=0的两根，然后根据两根之积为cc aa解题即可．【详解】解：∵aa4−3aa2=1，∴1aa4−3aa2−1=0，∵aa2bb≠1，又∵bb2−3bb−1=0，∴1aa2和b是方程xx2−3xx−1=0的两根，∴bb aa2=−1，故答案为：−1．【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程aaxx2+2aaxx+cc=0(aa≠0)的一个根为m，则方程aa（xx−1）2+2aa（xx−1）+cc=0的两根分别是（）．A．mm+1，−mm−1B．mm+1，−mm+1C．mm+1，mm+2 D．mm−1，−mm+1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程aaxx2+2aaxx+cc=0的另一个根，设xx−1=tt，根据方程aaxx2+2aaxx+cc=0的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程aaxx2+2aaxx+cc=0(aa≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，∴nn+mm=−2aa aa=−2，解得：nn=−2−mm，设xx−1=tt，方程aa（xx−1）2+2aa（xx−1）+cc=0变形为aatt2+2aatt+cc=0，由一元二次方程aaxx2+2aaxx+cc=0(aa≠0)的根可得，tt1=mm，tt2=−2−mm，∴xx−1=−2−mm，xx−1=mm，∴xx1=−mm−1，xx2=1+mm，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程xx2+ccxx+aa=0的两个整数根恰好比方程xx2+aaxx+bb=0的两个根都大1，则aa+bb+cc的值是．【答案】-3或29【分析】设方程xx2+aaxx+bb=0的两个根为αα，ββ，其中αα，ββ为整数，且αα≤ββ，则方程xx2+ccxx+aa=0的两根为αα+1，ββ+1，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．【详解】解：设方程xx2+aaxx+bb=0的两个根为αα，ββ，其中αα，ββ为整数，且αα≤ββ，则方程xx2+ccxx+aa=0的两根为αα+1，ββ+1，由题意得αα+ββ=−aa,(αα+1)(ββ+1)=aa，两式相加得ααββ+2αα+2ββ+1=0，即(αα+2)(ββ+2)=3，所以{αα+2=1，ββ+2=−1.ββ+2=3；或{αα+2=−3，解得{αα=−1，ββ=−3.ββ=1；或{αα=−5，又因为aa=−(αα+ββ),bb=ααββ,cc=−[(αα+1)+(ββ+1)]所以aa=0，bb=−1，cc=−2；或者aa=8，bb=15，cc=6，故aa+bb+cc=−3或29．故答案为-3或29【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程xx2−8ccxx−9dd=0【变式7-2】的解，c、d是方程xx2−8aaxx−9bb=0的解，则aa+bb+cc+dd的值为．【答案】648【分析】由根与系数的关系得aa+bb，cc+dd的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得aa2−8aacc−9dd=0，代入可得aa2−72aa+9cc−8aacc=0，同理可得cc2−72cc+9aa−8aacc=0，两式相减即可得aa+cc的值，进而可得aa+bb+cc+dd的值．【详解】解：由根与系数的关系得aa+bb=8cc，cc+dd=8aa，两式相加得aa+bb+cc+dd=8(aa+cc)．因为aa是方程xx2−8ccxx−9dd=0的根，所以aa2−8aacc−9dd=0，又dd=8aa−cc，所以aa2−72aa+9cc−8aacc=0①同理可得cc2−72cc+9aa−8aacc=0②①-②得(aa−cc)(aa+cc−81)=0．因为aa≠cc，所以aa+cc=81+bb+cc+dd=8(aa+cc)=648．故答案为648【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程xx2+ppxx+qq=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程yy2+qqyy+pp=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．(pp−2)2+(qq−2)2＜8C．q是正数，p是负数D．(pp−2)2+(qq−2)2>8【答案】D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB 的长分别是关于xx的方程xx2+(2mm−1)xx+mm2+3=0的根，则mm等于()A．−3B．5C．5或−3D．−5或3【答案】A【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AAOO2+BBOO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AAOO+BBOO=−2mm+1，AAOO×BBOO=mm2+3；代入AAOO2+BBOO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：AAOO2+BBOO2=25，又有根与系数的关系可得：AAOO+BBOO=−2mm+1,AAOO×BBOO=mm2+3，∴AAOO2+BBOO2=(AAOO+BBOO)2−2AAOO×BBOO=(−2mm+1)2−2(mm2+3)=25，整理得：mm2−2mm−15=0，解得：m=−3或5.又∵Δ>0,∴(2mm−1)2−4(mm2+3)>0,解得mm<−114，∴mm=−3.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用. 【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程xx2−11xx+30=0的两个根，则该三角形第三边mm的取值范围是．【答案】1<mm<11【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x＋30＝0的两个根，∴x1＋x2＝11，x1x2＝30，∵（x1−x2）2＝（x1＋x2）2−4x1x2＝121−120＝1，∴x1−x2＝1，又∵x1−x2＜m＜x1＋x2，∴1＜m＜11．故答案为：1＜m＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．【变式8-2】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形AABBAAAA的两邻边AABB，AAAA的长度恰为方程xx2−mmxx+ 1=0的两个实数根，则正方形AABBAAAA的周长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.首先根据正方形的性质得到AABB=AAAA，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到AABB⋅AAAA=1，进而求出AABB=AAAA=1，即可得到正方形AABBAAAA的周长．【详解】∵四边形AABBAAAA是正方形∴AABB=AAAA∵正方形AABBAAAA的两邻边AABB，AAAA的长度恰为方程xx2−mmxx+1=0的两个实数根，∴AABB⋅AAAA=1，∴AABB=AAAA=1∴正方形AABBAAAA的周长为4．故选：B．【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于xx的一元二次方程xx2−3xx+kk=0有两个实根xx1和xx2．(1)求实数kk的取值范围；(2)是否存在矩形，xx1和xx2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为√2？若存在，求kk的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)kk≤94(2)不存在，理由见解析【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．（1）求出Δ的值，根据已知得出不等式，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出xx1+xx2=3，xx1xx2=kk，根据已知得出xx12+xx22=�√2�2，变形后代入求出kk的值，进行判断即可．【详解】（1）解：∵关于xx的一元二次方程xx2−3xx+kk=0有两个实根xx1和xx2，∴Δ=(−3)2−4×1×kk≥0，解得：kk≤94；（2）xx1和xx2一元二次方程xx2−3xx+kk=0的两根，∴xx1+xx2=3，xx1xx2=kk，∵xx1和xx2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为√2，∴xx12+xx22=�√2�2，∴(xx1+xx2)2−2xx1xx2=2，∴9−2kk=2，解得：kk=72，∵kk≤94，72>94，∴kk=72不符合题意，∴不存在矩形，xx1和xx2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为√2．【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于xx的一元二次方程xx2+aaxx+bb=0有两个根xx1，xx2，且满足1< xx1<xx2<2．记tt=aa+bb，则tt的取值范围是．【答案】−1<tt<0【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，xx1+xx2=−aa，xx1xx2=bb，得到tt=(xx1−1)(xx2−1)−1，由1<xx1<xx2<2可得0<(xx1−1)(xx2−1)<1，即得到−1< (xx1−1)(xx2−1)−1<0，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：由根和系数的关系可得，xx1+xx2=−aa，xx1xx2=bb，∴aa=−(xx1+xx2)，bb=xx1xx2，∴tt=aa+bb=−(xx1+xx2)+xx1xx2=(xx1−1)(xx2−1)−1，∵1<xx1<xx2<2，∴0<xx1−1<1，0<xx2−1<1，∴0<(xx1−1)(xx2−1)<1，∴−1<(xx1−1)(xx2−1)−1<0，即−1<tt<0，故答案为：−1<t<0．【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程4xx2−5xx−(mm+5)=0的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是．【答案】mm≥−5【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得mm的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到�Δ=(−5)2−4×4×[−(mm+5)]≥0−mm+54≤0．【详解】解：∵关于xx的方程4xx2−5xx−(mm+5)=0的解中，仅有一个正数解，∴�Δ=(−5)2−4×4×[−(mm+5)]≥0−mm+54≤0，解得mm≥−5．故答案为：m≥−5．【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·阶段练习）若关于xx的方程xx2+ppxx+qq=0的两根同为负数，其中pp2−4qq≥0，则（）A．pp>0且qq>0B．pp>0且qq<0C．pp<0且qq>0D．pp<0且qq<0【答案】A【分析】据pp2－4q≥0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和<零时，由此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围即可.【详解】∵pp2－4q≥0，∴方程有两个实数根.设xx1，xx2是该方程的两个负数根，则有xx1+xx2＜0，xx1xx2＞0，xx1+xx2=-p,xx1xx2=q，∴-p<0，,q>0.∴p>0，,q>0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式. 【变式9-3】（23-24九年级··期中）若关于xx的一元二次方程xx2+2xx+1−2mm=0的两个实数根之积为负数，则实数mm的取值范围是（）A．mm>0B．mm>12C．mm<12D．mm<0【答案】B【分析】利用根的判别式Δ>0及两根之积为负数，即可得出关于mm的一元一次不等式组，解之即可得出实数mm的取值范围．【详解】解：∵关于xx的一元二次方程xx2+2xx+1−2mm=0的两个实数根之积为负数，∴�Δ=22−4×1×(1−2mm)>01−2mm<0解得：mm>12，∴实数m的取值范围是mm>12．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于c a”是解题的关键．【题型10 一元二次方程中的新定义问题】【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程aaxx²+bbxx+cc=0(aa≠0)的两个实数根，若满足|xx1−xx2|=|xx1⋅xx2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：�xx−12�(xx−1)=0是差积方程．(1)判断方程6xx2−5xx+1=0是否为“差积方程”？并验证；(2)若方程xx2−(mm+2)xx+2mm=0是“差积方程”，直接写出m的值；(3)当方程(aaxx²+bbxx+cc=0(aa≠0)为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．【答案】(1)是，证明见解析(2)mm=23或−2(3)bb2−4aacc=cc2【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得xx1，xx2【详解】（1）方程6xx2−5xx+1=0是“差积方程”，证明：6xx2−5xx+1=0，即(2xx−1)(3xx−1)=0，解得xx1=12，xx2=13，∵|12−13|=|12×13|，∴6xx2−5xx+1=0是差积方程；（2）解：xx2−(mm+2)xx+2mm=0，(xx−mm)(xx−2)=0解得方程的解为：xx1=2，xx2=mm，∵xx2−(mm+2)xx+2mm=0是差积方程，∴|2−mm|=|2mm|，即：2−mm=2mm或2−mm=−2mm．解得：mm=23或−2，（3）解：∵aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)，解得xx1=−bb+√bb2−4aacc2aa，xx2=−bb−√bb2−4aacc2aa，∵aaxx2+bbxx+cc=0(aa≠0)是差积方程，∴|xx1−xx2|=|xx1⋅xx2|，即|√bb2−4aacc aa|=|cc aa|，即bb2−4aacc=cc2．（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例【变式10-1】如xx2+xx=0是“差1方程”．已知关于xx的方程xx2−(mm−1)xx−mm=0（mm是常数）是“差1方程”，则mm的值为【答案】−2或0/0或−2【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为xx1,xx2(xx1<xx2)，由题意，得：xx1+xx2=mm−1,xx1xx2=−mm，xx2−xx1=1，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．【详解】解：设方程的两个根为xx1,xx2(xx1<xx2)，由题意，得：xx1+xx2=mm−1,xx1xx2=−mm，xx2−xx1=1，∴(xx2−xx1)2=(xx1+xx2)2−4xx1xx2=(mm−1)2+4mm=1，解得：mm=−2或mm=0，故答案为：−2或0．【变式10-2】（23-24九年级·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数aa、bb，定义一种新的运算：aa@bb=√aabb aa+bb，如6@15=√6×156+15=3√1021=√107，已知mm，nn是一元二次方程xx2−21xx+7=0的两个不相等的实数根，则[(mm+ nn)@mmnn]@√3=．【答案】25【分析】首先根据根与系数的关系求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由mm，nn是xx2−21xx+7=0的两个不相等的实数根可得：mm+nn=21，mmnn=7故[(mm+nn)@mmnn]@√3=(21@7)@√3=�√21×721+7�@√3=�√14728�@√3=7√328@√3=√34@√3=�√34×√3√34+√3=√32×45√3=25【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知xx1，xx2是关于x的一元二次方程aaxx2+bbxx+cc= 0(aa≠0)的两个实数根，若xx1<xx2<0，且3<xx1xx2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程xx2+ 13xx+30=0的两根为xx1=−10，xx2=−3，因为−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程xx2+13xx+ 30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程xx2+9xx+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程xx2+(kk+9)xx+kk2+8=0是“限根方程”，且方程的两根xx1、xx2满足11xx1+ 11xx2+xx1xx2=−121，求k的值．【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)5【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．（1）因式分解法解一元二次方程得xx1=−7，xx2=−2，根据定义，求解作答即可；（2）由xx2+(kk+9)xx+kk2+8=0，可得xx1+xx2=−kk−9，xx1xx2=kk2+8，代入11xx1+11xx2+xx1xx2=−121，整理得，kk2−11kk+30=0，解得，kk=5或kk=6，分当kk=5时，当kk=6时，两种情况求解，然后判断作答即可．。
一元二次方程根与系数的关系
12.4 一元二次方程的根与系数的关系中考考点1. 理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2. 会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求岀另一个根与未知系数3. 会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1. 若一元二次方程ax2+bx+c=0 （a HO ）的两根为xi,x 2,2. 以x 】,x2为根的一元二次方程是（x ・x 】）（X-X2）=0 ,展开代入两根和与两根积，仍 得到方程 ax2+bx+c=0 （a HO ）。
3.对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为xi,X2时，那么xi+X2=-p , xi ・X2=q 。
反 之，以X1,X2为根的一元二次方程是：（X-X1）（X-X2）=0 ,展开代入两根和与两根积，仍 得到方程：x2+px+q=0 04. 一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2） 已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3） 已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2・3x+l= 0的两根为XbX2,不解方程，求X12+X22的值。
X1・X2=,・•・ X I 2+X22= （X 1+X2） 2-2XI X2= （ ） 2-2 X =] 验根、求根、确定根的符号。
己知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）0 己知两数和与积，求这两个数。
解特殊的方程或方程组。
考点：一元二次方程的根与系数关系。
贝(J X 1+X2=- , X1'X2= o XbX 2 [VX1+X2=, (4)(5)(6)(7) 考题评析1.（北京市东城区）如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为X1-X2的值分别为（）（A ） 3, 2 （B ） -3 , -2 X1, X2,男P 么 X1+X2 与 (C) 3, -2 (D) -3 , 2评析：由一元二次方程ax +bx+c=O （a HO）的两根xi,x2,满足Xi+X2= , xiX2=可直XbX 2,接计算，答案为B。
一元二次方程根与系数的关系及应用题(增长率型)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：从求根公式中我们发现_______，_________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________．问题2：使用韦达定理的前提是_________________．关键在于找准方程中的a，b，c，需要先把方程化简整理为______________的形式．问题3：应用题的处理流程：①_____________________；②_____________________；③_______________．问题4：一元二次方程应用题的常见类型有：①______________；②______________；③______________．________型例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．_________型例如：“每涨价××元，则销量减少××件”．一元二次方程根与系数的关系及应用题（增长率型）一、单选题(共9道，每道8分)1.已知关于x的一元二次方程的两根分别为，则b与c的值分别为( )A.b=-1，c=2B.b=1，c=-2C.b=1，c=2D.b=-1，c=-2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：根与系数的关系2.钟老师出示了小黑板上的题目（如图）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”，你认为( )A.只有小敏回答正确B.只有小聪回答正确C.小敏、小聪的回答都正确D.小敏、小聪的回答都不正确答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的解3.已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为( )A.-1B.9C.23D.27答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的解4.已知关于x的一元二次方程的两根为和，且，则a 的值是( )A.a=1B.a=1或a=-2C.a=2D.a=1或a=2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的解5.若关于x的一元二次方程有两个正实数根，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：根与系数的关系6.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，已知全班共送了2 070张相片，如果设全班有x名学生，根据题意可列方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：由实际问题抽象出一元二次方程7.某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x%，则下面所列方程中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程应用增长率型8.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程应用增长率型9.如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分所示，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是( )A.(40-x)(70-x)=350B.(40-2x)(70-3x)=2 450C.(40-2x)(70-3x)=350D.(40-2x)(70-2x)=2 450答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的应用二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长为____m（可利用的围墙长度超过6m）．答案：1解题思路：试题难度：知识点：一元二次方程的应用11.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将新增____人患流感．答案：448解题思路：试题难度：知识点：一元二次方程的应用12.某剧场共有1 161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，则每行的座位数为____个．答案：27解题思路：试题难度：知识点：因式分解法解一元二次方程。
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一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定·2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》A．﹣1 B．0 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人·得分三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．·10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；:（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．"参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．~故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）$A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，（∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．、6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，#∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；？（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．：（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．&（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．'11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；…（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．"（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，^∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，|∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．"（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．(【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=．。