高等数学下——级数审敛法
审敛法 课件
定理4 定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 . 证: (1) 当ρ <1时,
un+1 知存在N ∈Z , 当n > N时 < ρ + ε <1 , un
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数+ − 1− p−1 ∑p−1 − p−1 +L+ 的部分和 (n −1) p−1 n p−1 p−1 − p−1 2 n=22 3 (n +1) n
∞
1 1 n →∞ 1 − = 1− σ n = ∑ p−1 1 p−1 p−1 (k +1) (n +1) k =1 k
∞
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 定理8. 定理 *定理 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 定理9. 定理 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S,σ , 按任意顺序排列得到的级数
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 Sσ . 说明: 说明 证明参考 P203～P206, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
用Leibnitz 判别法 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n−1 1 n +1 1 1) 1− + − +L+ (−1) +L n+1 收敛 2 3 4 un+1 n (n +1)! 1 1 +1 n 10 = = n = 10 ⋅+1 1 1 1 un n−1 1 1 n n 收敛 2) 1− + − +L+ (−1) +L n 2! 3! 4! n!10! n 1 2 3 4 n−1 n 3) − + − +L+ (−1) +L收敛 10 102 103 104 10n
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
11常数项级数审敛法-PPT课件
4.比较审敛法的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1
则(1) 当 0 时, 二级数有相同的敛散性; l
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 n1
n1
u n 收敛;
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
u l 证明 (1 )由 lim n l 对于 0 , n v 2 n
l u l n N, 当 n N 时 , l l 2 vn 2
l 3 l 即 v u v n N ) n n n ( 2 2
(3)
n ! 故级数 . n 发散 n 110 u ( 2 n 1 ) 2 n 1, n 1 lim lim n n u ( 2 n 1 ) ( 2 n 2 ) n
比值审敛法失效, 改用比较审敛法 1 1 1 2, 级数 收敛 , 2 (2 n 1 )2 n n n 1n
1 例 2 证 明 级 数 是 发 散 的 . ( n 1 ) n 1n
1 1 , 证明 n (n 1 ) n 1
1 级数 发散 . ( n 1 ) n 1 n
1 而级数 发散 , 1 n 1n
比较审敛法是一基本方法，虽然有 用，但应用起来却有许多不便，因为它 需要建立定理所要求的不等式，而这种 不等式常常不易建立，为此介绍在应用 上更为方便的极限形式的比较审敛法
由
n N 1
r n 收敛及比较审敛法得
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
无穷级数的审敛法与收敛性判别
无穷级数的审敛法与收敛性判别无穷级数是数学中的一个重要概念，利用无穷级数可以逼近函数的值。
但无穷级数是一个无限求和的概念，有可能会出现发散的情况，因此就有了收敛性判别和审敛法这两种方法来判定无穷级数是否收敛。
首先，让我们来看一下什么是无穷级数。
无穷级数是由无限多个数相加或相减所得到的一种数列求和方式，可以表示为以下形式：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots$$其中，$a_n$ 表示第 $n$ 个数。
接下来，我们来介绍几种判定无穷级数收敛的方法。
一、正项级数判别法如果一个无穷级数的每一项都是非负数，即 $a_n\geq 0$，那么我们可以使用正项级数判别法来判断无穷级数是否收敛。
正项级数判别法的结果是，如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛，那么 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=0$。
这个结论非常重要，因为如果 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0$，那么级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 一定发散。
这是因为无穷级数的每一项都是非负数，如果$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\neq 0$，那么随着$n$ 的增大，$a_n$ 的大小也会越来越大，因此级数就会发散。
二、比较判别法比较判别法是一种常用的判定无穷级数收敛性的方法。
比较判别法的基本思想是，将待判定的级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，从而得出原级数的收敛性。
比较判别法分为两种情况：比较判别法一和比较判别法二。
比较判别法一表述如下：对于两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$，如果存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n\leq kb_n$，其中 $k$ 是一个正常数，那么有以下结论：- 当级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛时，级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛。
高等数学下册必背公式
高等数学公式空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u KK K KK K K K K K K K K K K K KK KK K K K K K K ⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=−+−+−== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A K K多元函数微分法及应用z y z x y x y x y x y x F F yzF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx xudu y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x zdz −=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y −=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线KK ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学课件下第112数项级数及审敛法
计算方法：直接求和法需要计算级数的每一项，然后将它们相加得到级数 和。
注意事项：直接求和法需要保证级数的每一项都可以计算，否则无法使用 该方法。
裂项求和法的定义：将数项级数中的每 一项进行拆分，使其成为两个或多个部 分，然后分别求和，最后将结果合并。
步骤：将两个 级数相减，得 到新的级数， 然后对新的级
数进行求和
优点：简单易 行，适用于大
多数情况
逐项积分法：将级数每一项进行积分，得到新的级数，然后对新的级数进行求和
部分分式法：将级数每一项进行部分分式分解，得到新的级数，然后对新的级数进行求和
逐项积分法与部分分式法的区别：逐项积分法适用于收敛的级数，部分分式法适用于发 散的级数 逐项积分法与部分分式法的应用：在求解数项级数的和时，可以根据级数的性质选择合 适的方法进行求解
裂项求和法的应用：适用于等差数列、等 比数列等特殊形式的数项级数。
裂项求和法的步骤：首先将数项级数中的 每一项进行拆分，然后程， 提高计算效率。
原理：将两个 级数相减，得 到新的级数， 然后对新的级
数进行求和
适用条件：两 个级数具有相 同的收敛半径， 且其中一个级 数的收敛半径 大于另一个级 数的收敛半径
审敛法定义：判断数项级数是否收敛的方法 审敛法分类：包括比较审敛法、根值审敛法、积分审敛法等 比较审敛法：通过比较两个级数的收敛性来判断原级数的收敛性 根值审敛法：通过计算级数的根值来判断原级数的收敛性 积分审敛法：通过计算级数的积分来判断原级数的收敛性 审敛法的应用：在数学分析、函数论、微积分等领域有广泛应用
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性质：幂级数的收敛性、可导性、 可积性等
常数项级数的审敛法
原理
原理
审敛法的原理基于无穷级数的性质和极限理论。通过分析级数的各项和其极限之间的关系，我们可以 判断级数的收敛性。
极限的存在性
审敛法通常涉及到分析级数的各项和其极限之间的关系。如果级数的各项趋于一个有限的数，则级数 收敛；如果级数的各项趋于无穷大，则级数发散。
条件收敛
如果常数项级数的每一项取绝对值后不收敛，但原级数收敛，则 称为条件收敛。
性质
绝对收敛的级数一定是收敛的，但条件收敛不一定是绝对收敛。
判别方法
1 2
比值法
比较相邻两项的比值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
根值法
比较相邻两项的根值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
应用
应用
审敛法在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。例如，在解决物理问 题时，我们经常需要用到审敛法来判断 无穷级数的和是否存在，从而得到物理 量的精确解。
VS
实例
在求解量子力学中的薛定谔方程时，我们 经常需要用到审敛法来判断无穷级数的和 是否存在，从而得到波函数的精确解。
03 正项级数的审敛法
常数项级数是数学分析中研究无穷序 列的一种工具，其研究内容包括级数 的收敛性、和的求解等。
分类
按照项的正负性，常数项级数可以分 为正项级数、负项级数和交替级数。
正项级数是指所有项都为正数的级数 ，负项级数是指所有项都为负数的级 数，交替级数是指项的正负号交替变 化的级数。
收敛与发散
01
收敛性是常数项级数的一个重要属性，如果一个级数的和存在， 则称该级数收敛。
级数的积分审敛法
级数的积分审敛法
1、比值判别法由于是正项级数，根据收敛的基本定理，级数收敛[公式]其部分和数
列收敛，因此对于正项级数，如果其部分和有上界，则可判别其收敛，反之发散。
即正项
级数收敛部分和数列有上界。
2、根值判别法。
3、对数审敛法
级数的敛散性定义：[公式]收敛[公式]部分和数列[公式]收敛，[公式].若级数[公式]收敛，则必有[公式]，反之未必（如：调和级数）.由此可知，若[公式]，则级数[公式]
必发散。
方法二：比值辨别法
对于正项级数[公式]，[公式]则该正项级数发散；[公式]则该正项级数收敛；[公式]
或[公式]不易计算或不存在，此方法失效。
注：对于多个式子连乘的，适合用比值判别法。
方法三：根值辨别法
对于正项级数：[公式]则该正项级数发散；[公式]则该正项级数收敛；[公式]或[公式]不易计算或不存在，此方法失效。
注：对于通项中含有以[公式]为指数幂的，适合用
根值判别法。
方法四：对数欧拉变换法
（1）若存在[公式]，使当[公式]时，[公式]，则正项级数[公式]收敛；（2）若[公式][公式][公式]，则正项级数[公式]发散。
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
极限审敛法的三种情况
极限审敛法的三种情况极限审敛法，听起来挺高大上的，但其实呢，就像我们生活中的许多事，掌握了其中的诀窍，问题就迎刃而解。
想象一下，你在一个热闹的聚会上，听到朋友们讨论一些晦涩的数学问题，突然冒出来一句“极限审敛法”。
哦，这可真让人一头雾水。
不过别急，咱们就像喝酒聊天一样，轻松聊聊这个话题。
极限审敛法的基本思想就是通过比较来判断数列或级数是否收敛。
就像你在逛街的时候，看到一件漂亮的衣服，心里想着“要是这件衣服能打折就好了”，这时候你就开始和其他商店的衣服比价。
收敛和发散的问题，差不多也是这样的道理。
你得看看某个数列的极限，才能判断它是不是在向某个方向靠拢。
简单来说，就是拿两个数列来比比，看哪个更厉害，谁能在极限的世界里占据上风。
说到极限审敛法，有三种情况值得我们好好琢磨。
第一种嘛，大家都很熟悉，就是直接比较法。
就像你朋友聚会时总是点同样的饮料，大家都能接受。
他们喝的饮料如果总是比你这瓶便宜的酒要好，那你肯定得考虑换一瓶了。
数列之间的比较也是一样，看看它们的大小关系，找到一个稳定的、可以依靠的参考点。
这样就能判断出数列的收敛性，简直是省时省力。
第二种情况就有点意思了，叫做极限比较法。
这里的逻辑是，假设你在参加一个比赛，最后的结果不仅看你个人的表现，还要看其他选手的成绩。
如果大家的表现都很优秀，最后你也有可能上榜。
就像数列A和B，如果A的极限大于B的极限，那么A的收敛性就可以通过B来判断。
反之亦然，数列的表现常常是相辅相成的。
所以在这条路上，绝不能孤军奋战，得有个好搭档。
咱们得提提极限的比值法。
这个法子就像你在菜市场挑菜，得看新鲜度和价格。
想要买到最划算的菜，得认真比较各种蔬菜的品质和价钱。
如果你发现某种菜总是便宜又新鲜，那你可得捧着它回家。
数列的比值法也是如此，通过比较相邻项的比值，判断整个数列的行为模式。
这样，你就能清楚地知道这个数列是往哪儿走，收敛还是发散，简直就像在逛超市时，找到了最划算的优惠。
高等数学第二节 正项级数审敛法1
1
）;
n 1
n
1
(6)n2 (ln n)2 .
解
(1)因为
sin
n2
1 a2
1 n2
,
级数
n 1
1 n2
收敛，因此该级数收敛；
(2 )因为 n 1 1 , n2 1 n
级数
1发散，因此该级数发散；
n=1 n
1
(3) 因为
lim 3n n 1, n 1
~
k np
(k
0)，那么当p>1时级数
un 是收敛的，当p≤1时级数
n 1
un是发散的．
n 1
例 4 设 an 为正项级数，下列正确的是( )． n1
（A）若
lim
n
nan
0
，则级数
n1
an
收敛
（B）若存在非零常数
，使得
lim
n
nan
，则级数
n1
则则当当rr<<11时时级级数数收收敛敛；；当当rr>>11((或或lnnilnmimnnnuunnn ))时时级级数数发发散散；；当当rr11
k 1
n 1
若ρ>1,则…………
例６ 判别下列级数的敛散性：
(1)
ann!(a 0),并在a e时求极限 lim ann!;
(2) 4 4 7 4 7 10
nn
n1
n n n
2 2 6 2 610
(3)
n 1
n 3n
sin2
高等数学同济大学版10.2 常数项级数的审敛法
n
1
1,
1
而级数
发散,
n1 n 1
级数
1
发散.
n1 n(n 1)
完
例5
判别级数
2n 1
n1 (n 1)2 (n 2)2
的敛散性.
解 运用比较判别法. 因
(n
2n 1 1)2(n
2)2
(n
2n 2 1)2(n
2)2
(n
2 1)3
2 n3
,
而
1 n3
n1
是收敛的,
所以原级数收敛.
,
1
1
而级数 n1 2n
(| q | 1)收敛, 2
1 级数 n1 2n 1
收敛.
1
例3 判断级数
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1
1
n(n 1) n2 ,
1
而级数
n2
n1
收敛,
1
级数
收敛.
n1 n(n 1)
完
例4 判断级数
1
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1 n(n 1)
从而得到下述重要定理:
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
正项级数
定理1 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
数列 {Sn }有界.
证: “
” 若 收敛 ,
故有界.
“
”
∴部分和数列
单调递增,
又已知
有界, 故
收敛 , 从而
也收敛.
完
比较审敛法
定理2 设 un , vn均为正项级数, 且 un vn(n 1,2,).
数项级数审敛法
(c
n 1
n
an ) 为正项级数，
且由正项级数的比较判 别法知其收敛 . 由 (cn an )及 an 的收敛性知原级数收敛 .
n 1 n 1
4.设 an
n 1
2
| an | 收敛, 证明 收敛 n n 1
| an | 1 2 1 1 2 (an 2 ), 而 an 及 2 均收敛， n 2 n n 1 n 1 n 故由正项级数的比较判 别法知原级数绝对收敛 .
n
lim S 2 n 1 lim( S 2 n u2 n 1 ) S
n n
则
lim S n S u1
n
交错级数
同理
例如 1
| rn | un1 un2 un1.
1 1 1 n 1 1 (1) 2 3 4 n
定理3(比较审敛法极限形式)
un l (0 l ) 设 u n 和 vn 都是正项级数, 如果 lim n v n 1 n 1 n
则 证
u
n 1
n
和
v
n 1
n
同时收敛或同时发散.
l 2
l un l l l 2 vn 2
un lim l n v n
(i).un un1; (n 3,4,...) (ii).lim un 0
n
f ( x)
ln x .( x 2) 单调减少 x
f ( x)
1 ln x 0.( x e) 2 x
思考
f ( x) 1.设 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 , 且 lim 0, x0 x 1 证明 f ( )绝对收敛. n n 1 f ( x) lim 0 及 f ( x) 在 x 0 邻域内有连续二阶导数 x 0 x f (0) 0, f ' (0) 0 从而
级数审敛法
级数审敛法介绍级数是数学中重要的概念，它是由一系列数相加得到的。
级数的审敛法是用来判断一个级数是否收敛或发散的方法。
在实际的数学应用中，我们经常需要判断级数的收敛性，以便得到准确的结果或做出正确的推理。
基本概念在讨论级数审敛法之前，我们首先需要了解一些基本概念。
级数的定义给定一个数列 {an}，我们将其求和得到的数列称为级数，表示为 S = a1 + a2 + a3 + … + an + …部分和级数的部分和是指从第一项到第 n 项的和，表示为Sn = a1 + a2 + a3 + … + an收敛和发散如果级数的部分和 {Sn} 极限存在，那么我们称该级数收敛，并将收敛的值作为该级数的和。
如果级数的部分和没有极限或极限为无穷大，那么我们称该级数发散。
级数审敛法级数审敛法是一组用于判断级数收敛性的方法，不同的方法适用于不同的情况。
下面将介绍几种常用的级数审敛法。
正项级数审敛法如果级数的每一项都是非负的（即 an >= 0），并且级数的部分和是有界的，那么该级数收敛。
比较审敛法比较审敛法是通过与已知级数进行比较来判断级数的收敛性。
1.如果级数的每一项都大于（或等于）一个收敛的级数的对应项，那么该级数发散。
2.如果级数的每一项都小于（或等于）一个发散的级数的对应项，那么该级数收敛。
3.如果级数的每一项与一个收敛级数的对应项同阶无穷（即两个项的比的极限为正无穷或负无穷），那么该级数与这个收敛级数的收敛性相同。
比值审敛法比值审敛法（又称达朗贝尔审敛法）是通过计算级数中相邻两项的比值或比值的极限来判断级数的收敛性。
1.如果存在一个常数 r，使得级数的相邻两项的比值的绝对值小于 r，那么该级数收敛。
2.如果级数的相邻两项的比值的绝对值大于 1，那么该级数发散。
3.如果级数的相邻两项的比值的绝对值等于 1，那么比值审敛法无法确定级数的收敛性，可能收敛，也可能发散。
根值审敛法根值审敛法（又称柯西审敛法）是通过计算级数中项的根值或根值的极限来判断级数的收敛性。
级数审敛法
;
n=1 n!
n!
(2) n=1 10n ; 1
1
(3)
.
n=1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
=
(n 1)! 1
=
1
0
n1
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n=1 n!
(2)
un1 un
=
(n 1)! 10n1
10n n!
= n1 10
(n ),
故级数
n=1
n! 10n
n=1
n=1
(3) 当 l = 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n=1
n=1
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n=1
如果lim n
nun
=l0
(或lim n
nun
= ),
则级数 un 发散;
n=1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n=1
例 3 判定下列级数的敛散性:
设
n=1
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
=
(可为 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; = 1时失效.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n=1 n
(
=
1)
级数
n=1
1 n2
收敛,
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
x)
=
0
(x在收敛域上)
7.2 正项级数及其审法敛
收敛。
2)
n.
n1 2 n5
因为
0
n
2 n5
n n5
1 n2
n 1,2,,
1
而级数
n2
n 1
是收敛的 p 级数 p 2 1,
由比较审敛法知级数
n
收敛。
n1 2 n5
例2 判断下列级数的敛散性:
1） sin 1；
n 1
n
2）
2n 1 .
n1 n5 2
解： 1） sin 1；
所以由比较审敛法知正项级数
n n
n1 2n 1
也收敛。
课堂练习：
判断级数 n! 的敛散性，并说明理由。 nn n 1
小结: 1.正项级数的比较审敛法； 2.正项级数的比值审敛法；
作业: P150. 1（2）；2（2）；3（2）.
因为单调有界数列必有极限所以收敛二正项级数的比较审敛法定理比较审敛法一是两个正项级数且若级数收敛则级数若级数发散则级数上述定理可以简单地这样记忆
§7.2 正项级数及其审敛法
对于一个无穷级数，通常需要考虑解决两个问题： 1. 如何判别级数是否收敛？ 2. 如果收敛，怎样求和？
第二个问题通常比第一个问题要难得多，本节将介绍 如何判别正项级数是否收敛的方法，即审敛法。
大收小收，小发大发
定义. 形如
1 1 1 1 1
np
n 1
2p 3p
np
1
的级数称为 p 级数． p=1 时 n1 n 称为调和级数。
p 级数的敛散性有如下定理：
定理 当
p
1时，p
级数
n 1
1 np
收敛；
当
p 1
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注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
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五、函数展开成幂级数
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式
1 2 3 n 1 x x x x , x ( 1 , 1) 1 x
比较级数
1 p n 1 n
p 1 时收敛，p 1 时发散（p-级数）
aq
n 1
n 1
| q | 1 时收敛， | q | 1 时发散 (等比级数)
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二 、交错级数及其审敛法
设 u n 0 , n 1 , 2 , , 则各项符号正负相间的级数
f (x ) f (x ) ,
2
f ( x) ,
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
（满足狄利克雷定理条件时）
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 时， (3) 当 l 时， 对一切 (1) 若强级数 (2) 若弱级数 有 (常数 k > 0 ),
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也收敛 ;
也发散 .
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逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
n S ( x ) an x nan x n 1 , n 0 n 1
x ( R , R )
0 S ( x) d x
n 0
x
x n an x 0
an n 1 x , dx n 0 n 1 x ( R , R )
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六、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x ) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 右端级数可逐项积分, 下页
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f (x) 是周期为2 的 周期函数, f (x) 的傅里叶级数
n 1 1 1 ( 1 ) n 1 ln(1 x) x x 2 x 3 x 4 x 2 3 n 1 4 x ( 1 , 1 ]
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ex 1 x
1 2 1 n x x , 2! n!
一、正项级数审敛法 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
1
时, 比较判别法
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比较审敛法
x ( , )
2 n 1 x3 x5 x 7 x ( 1) n sin x x 3! 5! 7 ! ( 2n 1) ! x ( , ) 2n x2 x4 x6 x n ( 1) cos x 1 2! 4! 6 ! ( 2n) ! x ( , )
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则原级
收敛，称
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
n 1 1
例如 ： ( 1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
( 1)
n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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级数收敛的必要条件
设收敛级数 （当 则必有 时，级数 发散）
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四、幂级数收敛性及运算
an 的收敛半径为 R lim n a n 1
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幂级数的运算
定理 若幂级数 的收敛半径 则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) u n u n 1 ( n 1 , 2 , ) ;
2)
n
lim u n 0 ,
n 1 ( 1 ) u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数 n 1
rn u n 1 .