高等数学下——级数审敛法

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高等数学-无穷级数简要讲解-2

4n
(2) n1 5n 3n
解：(1)
lim n
n
un
1 lim
n ln n
0，该级数收敛。
4n
4
(2) lim n
lim[
1
] 4 ,该级数收敛。
n 5n 3n n 5 n 1 ( 3 )n
5
5
二、交错级数
1 定义：交错级数：u1－u2 + u3－…+ (－1)n-1 un+ …
234
n

更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理

对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1

当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
例7 判断下列各级数的敛散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3)
(a 0)
nn
n1
解：（1）

11-2高数下常数项级数的审敛法

判别法;
看部分和Sn是否有上界; 用Cauchy收敛原理;
用定义,求和s.
高等数学（下）
例 7 判别下列正项级数是否收敛.
1
4n
n1
tan
1 3n
1
2
3 n1
n4 1
n2 cos 2 n
3
n2
2n
1
4 n1 3n 1 n n
ln n
5
8
n2 n 7
1
6
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 0 (n ) 级数收敛. n

高等数学级数的概念和敛散性

n
1)!]2 nn
(n!)2
lim 1 (11)n nn1 n
0
级数
nn
收敛.
2021/4/14
n1 (n!)2
31
第八章无穷级数
课题二十三级数的概念和敛散性
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1 时级数收敛 ;
1 时级数发散 ; 1 时失效 .
( 3 ) 1 x x 2 ( 1 ) n 1 x n 1
( 4 ) c x c o 2 x o c s 3 x o s c n s o x
上述数列中, (1)、(2)是数项级数，(3)、(4) 是函数
项级数.
2021/4/14
4
第八章无穷级数
课题二十三级数的概念和敛散性
当q1时,lim qn0 n
ln im sn
a 1q
收敛
当q1时,ln i m qnln i m sn 发散
如果 q1时
当q1时, snn a 发散
当q1时, 级a 数 a a a 变发散为
2021/4/14
8
第八章无穷级数
课题二十三级数的概念和敛散性
综上知,等比级数（几何级数） aq n ,

高等数学

∞
的敛散性。的敛散性。发散，而级数 ∑ 发散，
n =1 ∞
所以 ∑ sin
n =1
1 1 lim 解：因为 n→∞ sin / = 1, n n ∞
1 级数发散。级数发散。 n
∞ n =1
1 n
例5
判断级数 ∑ ln(1 +
1 ) 的敛散性。 2 的敛散性。 n
1 1 lim 解：考察 n→∞ ln(1 + 2 ) / 2 , 由于 n n
| u n | 收敛，则 ∑ u n 收敛。收敛，收敛。
n =1
∞
这个定理的意思是：收敛，这个定理的意思是：如果级数 ∑ | u n | 收敛，则绝对收敛；称级数 ∑ u 绝对收敛；
n =1 n ∞
∞
n =1
收敛，发散，如果级数∑ u 收敛，而级数 ∑ | u n |发散，则称
n =1 n
若满足
(1)un ≥ un+1 ;
(2) lim un = 0
nΒιβλιοθήκη Baidu→∞
则此交错级数收敛，则此交错级数收敛，其和 S ≤ u1 ，且余项 rn的绝对值 | rn |≤ un +1.
例9 判断级数 ∑1 n=
∞
( − 1) n −1
1 n
的敛散性。的敛散性。
解：此级数是交错级数，因为此级数是交错级数，

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解(无穷级数)【圣才出品】

n0
an xn
nan xn1
n1
x R
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
（4）幂级数 an xn 的和函数 s（x）在其收敛区间（－R，R）内具有任意阶导数。 n0
5 / 87
n 1
n1
b．如果
lim
n
un vn
l
0
或
lim
n
un vn
，且级数 vn
n 1
发散，则级数 un
n1
发散。
③比值审敛法（达朗贝尔判别法）
设
un
n1
为正项级数，如果
lim
n
un1 un
，则当ρ＜1
时级数收敛，ρ＞1（或
lim
n
un1 un
）
2 / 87
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（5）如果级数
un
收敛，则
lim
n
un
0。
n1
二、常数项级数的审敛法
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1．正项级数及其审敛法
（1）定理
正项级数 un 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界。 n1
（2）正项级数的审敛法
①比较审敛法

考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章

第十二章无穷级数【本章网络构造图】

第一节常数项级数概念与性质

一、常数项级数收敛与发散

给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。

当级数收敛时, 称差值为级数余项。显然。

【例1】〔93三〕级数与为 .

【答案】

结论：等比〔几何〕级数：收敛当时

发散当时

二、收敛级数与

假设收敛，那么其与定义为。三、无穷级数根本性质

学习笔记：

〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所

得级数也收敛，其与为。

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。

注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减

相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。

〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。【例】取，，而。

〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。

推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。

【例】，但发散。

【例2】判断级数敛散性：

【解析与答案】

学习笔记：

不存在

故原级数发散

四、级数收敛必要条件

必要条件：假设收敛，那么。

逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。【例】，其一般项为

，当时，不趋于0，因此这个级数发散。注：并非级数收敛充分条件

【例】调与级数，虽然

，但是此级数发散。事实上，假设调与级数收敛于，那么，

但，矛盾！所以假设不真。【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：

《高等数学(下册)》课件高等数学第7章

1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 1 n 1
1 n
1 n 1
于是
lim
n
Sn
lim
n
1
1 n 1
1
所以这个级数收敛，其和为1。
例3 讨论级数 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 的敛散性。
123
n
解级数的局部和为
Sn
ln
2 1
ln
3 2
ln
4 3
付余额的
1 2
2
2
给学院，第三个月再支付余额的
1 2
给学院，以后如此
支付。那么第 n 个月学院已收到的资金数为：
10 2
10 22
10 2n
10
1 2
1 22
1 2n
10
1 2
1
1 2n
1 1
101
1 2n
2
如果 n 无限大，在上式两边取极限有
lim
n
10
1 2
1 22
1 2n
lim10
n 1
1 n2
收敛，由比
较审敛法可知，级数 n1 (n 1)(n 3) 收敛。
在应用比较审敛法时，需要先找一个敛散性的级数作为比较对象，通常选用 p- 级数和等比级数．但在不少情况下，找比较对象的级数是比较困难的。下面介绍应用较为方便的比值审敛法。

同济-高等数学-第三版(10.2) 第二节常数项级数的审敛法

特殊优势级数 p - 级数的敛散性设有正项级数 un，如果存在 p > 1 ，使得
un 1p ，则级数 un 收敛； n n1 1 如果 un ，则级数 un发散。 n n1
n1
P - 级数和几何级数相类似，也是处于敛散性临界位置的一类正项级数。其形式简单，讨论方便，常可直接作为优势级数判别其它正项级数的敛散性。
限来讨论级数要方便得多。
• 比较审敛法的应用
比较审敛法是通过与某已知敛散性的级数的比较
来确定给定级数的敛散性的，因而必需掌握一些常用的“标准”级数，并利用这些级数去判别其它级数的敛散性。
• 比较审敛法的不足
用以确定未知级数敛散性的已知级数通常称为“优
势级数”，常用的优势级数有几何级数、p - 级数等。
n1

n
这是个正项级数，故可直接通过通项形式考察级数的敛散性。由于通项 un 含有参数级数，此级数通项的变化不仅取决于 n ，还取决于参数 p . 因此该级数的敛散性需根据参数 p 的不同取值进行讨论。由幂函数性质容易看出，参数 p 含有两个影响通项变化的临界点，p = 0，p = 1，于是可根据这两个临界点对通项展开讨论。若由通项讨论尚不能确定级数敛散性，则需对级数余项作进一步的分析。
根据 p 的不同取值考察通项及余项
• 当 p 0 时， un 1p 0，级数发散。

数项级数敛散性判别法。(总结)

Key words:A number of series, convergence and divergence of judgment.
引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通
过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
-2-
以下介绍相关定义及定理
一、常数项级数的概念定义：无穷多常数项累加求和
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。（总结）
课程名称：专业班级：成员组成联系方式：
高等数学（下）
2012 年 5 月 18 日
-1-
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家
都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。

11-2常数项级数审敛法

:
limn
n
p
un
l
p1, 0l p1, 0l
un发散 un收敛
17
例 3 判定下列级数的敛散性 :
(1) si1 n;
n1 n
1 (2) n13nn;
1
解
(1)
limnsin1
n
n
lim
n
sin 1
n
1,
原级数发散.
证明当为有限数,时对 0, N, 当nN时, 有un1 ,
un
即 un1 (nN )
un
22
当1时, 取 1, 使 r1,
uN 2rN u 1, u N 3 rN u 2 r 2 u N 1 , ,
u N mrm 1u N 1,
20
例5 判别级数

n1 1
1 an
（
a 0）的敛散性．
解当
0a1 时，
n l i m unn l i m 11an 10
当 a 1 时， n l i m unn l i m 1 111 20
当
a 1
时，
1 1 收敛 1an an
所以当 0a1时， 1 发散； n1 1 a n
；（5）
n2 ；
n1 n(n1)
n1 n(n1)

[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法

1.当ρ = 1时比值审敛法失效;
1 例级数 ∑ 发散 , n =1 n
∞
级数 ∑
n =1
∞
n
⎫ ⎬ ( ρ = 1) 1 ⎭ 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要.
2 + ( −1)n 3 例 ∵ un = ≤ n = vn , n 2 2
2 + ( −1)n ∴ 级数 ∑ un = ∑ 收敛 , n 2 n =1 n =1
§2. 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法定义:
如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0，
n =1 ∞
这种级数称为正项级数. 部分和数列 { sn } 为单调增加数列.
s1 ≤ s2 ≤
≤ sn ≤
正项级数收敛的充要条件: 定理正项级数收敛 ⇔ 部分和所成的数列 sn有界 .
1.比较判别法设 ∑ un和 ∑ vn均为正项级数，
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!

高等数学同济大学版10.2 常数项级数的审敛法

2,
n3
而
1 n3
n1
是收敛的,
所以原级数收敛.
完
2n 3
例6 判别级数
的敛散性.
n1 5n(n 1)
解运用比较审敛法的极限形式.
(p
1)
设 p 1,
由图可知
1 np
n1 n1 x p dx
o 1 2 3 n1 n
x
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 1
dx xp
n dx n1 x p
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
解
设 p 1,
Sn 1
1, p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
有
un vn
1,
得
un 1, vn
即 un vn ,
由比较审敛法即可得证.
(3) 当l 时, 取 M 1, 则存在正数 N , 当 n N 时,
有
un vn
1,
即 un vn ,
由比较审敛法即可得证.
比较判别法的极限形式
注: 在情形 (1)中,
lim un l, v n
n
可理解为: lim un 1,
则 un 也收敛 (发散). n1

高等数学第二节正项级数审敛法1

n1

若级数 vn 发散，且当 nN 时有 unkvn (k>0) 成立，则级数 un
n1
n1
发散．

推论 2 设 un 与 vn 为两个正项级数，且当 n N (N 为某一正整
n1
n1
数）时，存在常数 C1 0,C2 0 ，使得
C1vn un C2vn ，

（1）如果要说明级数 un 是收敛的，则要将 un 放大到 vn ，并说明级 n1

数 vn 是收敛的； n1

（2）如果要说明级数 un 是发散的，则要将 un 缩小到 vn ，并说明级 n1

数 vn 是发散的； n1
（3）如果存在常数
k

0,
p

0
，当
n
时 un
~
k np
解 (1)
lim
n
(n 1)n1 ann!
lim a a n (1 1 )n e
a e 时,级数收敛,
a等>e于时e，，级故数有发(n1散ne，1 )an =e1时，，因由此n 于当数a=列e时{(级1 数1n )发n }散单．增，且它的极限
n 由级数收敛的必要条件知
n1

vn 收敛，由上已证明的结论，将有级数un 也收敛，与假设

高等数学-120302-比较审敛法

例题
1 1 1 1 1 解例判定调和级数 2 3 n n 1 n 的敛散性

百度文库
解：易见，调和级数加括号后的各项，均大于后一个级数的对应项，而后一个级数发散，故调和级数发散
高等数学 120302 比较审敛法
思考题
1 1证明级数 2 收敛 n 1 n 1 2判定 p-级数 p 的敛散性 n 1 n

高等数学 120302 比较审敛法

1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 > ( ) ( ) 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 2 2 2
高等数学 120302 比较审敛法
高等数学 120302 比较审敛法
比较审敛法
高等数学 120302 比较审敛法
正项级数的比较审敛法
定理如果有两个正项级数 u n和 vn 满足关系式：
n 1
n 1
un vn ( n 1, 2, )，那么
(1)当级数vn 收敛时级数 un 也收敛
n1 n1
n1 n1
n1
n1
(2)如果数un 发散则 Sn 无界因此 Wn 也无界
所以级数vn 发散
n1