例谈求线段和的最小值问题

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“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

“求两线段长度之和的最小值”问题全解析“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．第 2 页第 3 页解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．第 4 页第 5 页分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ，交AB 于点P ，此时PC ＋PD 和最小，为线段CE ．因为AD ＝4，所以AE=4．因为∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE ＝∠BPC,所以△APE ∽△BPC ，所以.因为AE=4，BC ＝6，所以，所以，所以,因为AB ＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值第 6 页为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ，此时PA ＋PB 和最小，为线段BD ．过点D 作DG ⊥BC ，垂足为G ，因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC ＝60°，AD ∥BC ，所以∠BAD ＝120°．因为AB=AD ，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE ＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD 是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值第 7 页第 8 页例6 如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D 关于直线AC 的对称点为B ，连接BM ，交AC 于点N ，此时DN ＋MN 和最小，为线段BM ．因为四边形ABCD 是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN 的最小值为10. 例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．第 9 页分析：在这里△PBQ 周长等于PB+PQ+BQ ，而BQ 是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ 的和最小问题．因为题目中有一个动点P ，两个定点B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B 与点D 关于AC 对称，连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB ．所以BP=DP ，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ ．在Rt △CDQ 中，DQ== ，所以△PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN 是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B)(C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB 的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．第 10 页四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB 的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB 的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC 的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。

线段和的最小值万能方法

M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为．2、如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为． 3、如图，在锐角三角形ABC 中，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

例说利用几何变换求线段和的最小值

例说利用几何变换求线段和的最小值作者：张海华潘从清来源：《教育界·中旬》2015年第05期新课程改革及新中考改革，都要求学生学会自主学习，尝试探疑，发现知识，寻找规律。

故近年各地中考热点之一是动手操作性的探索问题，即通过已知条件，结合数学经验，经过几何图形变换探索其内在联系，发现规律，得出结论。

利用几何变换求线段和的最小值，就属于此类题型。

本文结合具体的例子说明如何利用几何变换求线段和的最小值。

一、利用图形的对称变换1.求两条线段和的最小值例1.如图1已知AB为⊙O的直径，AB=4，OC⊥AB于O，点D在弧BC上，2倍的弧BD等于弧DC，点P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为。

解析：由OC⊥AB于O知，延长CO交⊙O于点E，则点C、点E关于AB对称，连接DE交OB于P，则PC=PE，此时PC+PD=DE最小，连接DC，则∠CDE=90°，又因为2倍的弧BD等于弧DC，所以∠E=30°，则DE=CE·cos30°=4×=，则PC+PD的最小值为。

例2.（2004年黑龙江省中考试题）如图2，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为。

解析：注意到正方形关于对角线AC对称性，连接BN、BM，则DN+MN=BN+MN≥BM （B、M、N共线时等号成立）。

又根据两点间线段最短知，当B、M、N共线时，DN+MN转化为线段BM，此时最短，由条件可得BM=10。

所以DN+MN的最小值为10。

2.求几条线段和的最小值例3.（初中数学奥林匹克竞赛教程）如图3，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，两边上各有点Q、R（均不同于O），则△PQR周长的最小值为。

解析：作P关于OA、OB的对称点，根据对称性质可知PQ=P1Q，PR=P2R。

即求P1Q+QR+ P2R的最小值，由两点间直线距离最短，可知当Q、R分别为P1 P2与OA、OB的交点时，P1Q+QR+ P2R值最小。

也谈三条线段和的最小值

也谈三条线段和的最小值作者：邓文忠来源：《数理化学习·初中版》2013年第04期在中考中频现三条线段和的最小值问题，这类题往往基于二次函数且与动点结合，考察综合运用数学知识解题的能力和探究推理能力，对能力要求较高.本文以近几年中考题为例，从定点、动点角度予以归类解析，供学习参考和触类旁通.一、两定一动，动点在直线上[TP.tif>，Y#][TS（][HT5”SS][JZ]图1[TS）]例1 （2010东营）如图1，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）.（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.解析：（1） y=x2-4x-5；（2）令y=0，得二次函数y=x2-4x-5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）.由于P是对称轴x=2上一点，连结AB，由于AB=OA2+OB2=26，要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小.由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连结BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC =BC，根据两点之间线段最短，可得PA+PB的最小值为BC.因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点.设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意，可得b=-50=5k+b，解得k=1b=-5.所以直线BC的解析式为y=x-5.因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组x=2y=x-5的解，解得x=2y=-3.所求的点P的坐标为（2，-3）.点评：由于AB是定值，关键求PA+PB最小.PA、PB都在对称轴同侧，把其中一条如PA 关于对称轴反射为PC，这里借助了轴对称，这样化同侧为异侧，化“两折线”为“直”，属常见的典型的“将军饮马”型问题.二、两定一动，动点在抛物线上例2 （2010南通）如图2，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点.（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积.解析：（1）y=-12x+1；y=14x2-1.（2）略.（3）如图2，把x=-1代入y=-12x+1，得y=32，所以D（-1，32）.过点P作PH⊥直线l于H，则PH=n+2，即14m2+1.又因为PO=m2+n2=m2+（14m2-1）2=14m2+1，所以PH=PO.因为DO的长度为定值，所以当PD+PO即PD+PH最小时，△PDO的周长最小.所以当D、P、H三点在一条直线上时，由垂线段最短，PD+PH最小.所以点P的横坐标为-1，代入抛物线解析式，得n=-34.所以P（-1，-34）.此时四边形CODP的面积为：S四边形CODP=S△PDO+S△PCO=12×（32+34）×1+12×2×1=178.点评：此题中动点在抛物线上运动着实令人眼前一亮——原来还可以这样命题！若受将军饮马模型的干扰，如作点O关于抛物线顶点的对称点O′，DO′交抛物线于点P；或作点D关于x轴的对称点D′，D′O交抛物线于点P，都是错误的，属机械模仿，未看清本质.本质是求PD+PO最小值，把PD或PO关于抛物线反射走，这里借助了等量代换PH=PO，这样化同侧为异侧，把“两折线”转“直”.三、两定两动，两个动点分别在两条直线上例3 （2011福州）如图4，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=33x+3对称.（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；[TP.tif>，Y#][TS（][HT5”SS][JZ]图5[TS）]（3）如图5，过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、 N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、 MK，求HN+NM+MK和的最小值.解析：（1）A（-3，0），B（1，0）；（2）y=-32x2-3x+332；（3）可得H（-1，23）.所以直线AH的解析式为y=3x+33；直线BK的解析式为y=3x-3.由y=33x+3y=3x-3，解得x=3y=23，即K（3，23），则BK=4.过点K作KD⊥x轴于D，则KD=23.过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E；连接QM，则QM=MK.又因为点H、B关于直线AK对称，连接NB，则HN=NB.所以HN+NM+MK=QM+MN+NB.由于点M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，所以当QM、MN、NB在一条直线上时，由两点之间线段最短知此时其和最小.连接QB，则HN+NM+MK的最小值=QB.因为点H、B关于直线AK对称，所以AH=AB.所以∠HAN=∠BAN.所以KE=KD=23.所以QK=43.因为AE⊥QK，BK∥AE，所以∠BKQ=90°.在Rt△BKQ中由勾股定理得QB=8，所以HN+NM+MK的最小值为8.点评：HN、NM、MK均在两直线AH和l之间，借助于轴对称把其中两条如HN、MK反射走，反射到两直线外，保留两动点之间的线段MN，这样化“三折线”为“直”.四、两定两动，两个动点在同一条直线上，且两个动点的距离为定值例4如图6，Rt△AOB的顶点坐标为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD.（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，当点E、F在何位置时，AF+FE+EC的和最小，并求出最小值.解析：（1）C（0，2），D（4，0）；（2） y=-12x2+x+4；（3）要使AF+FE+EC的和最小，由于EF=1为定值，就要使AF+EC最小，因此要设法把AF、EC转化到同一直线上.由于点D和点A关于抛物线的对称轴x=1对称，把点D向上平移到D′，使DD′=1，连接CD′，与对称轴的交点即为所求的点E，此时四边形EFDD′为平行四边形.所以AF+EC=FD+EC=ED′+EC=CD′.由两点之间线段最短知AF+EC最小.因为D（4，0），所以D′（4，1）.又C（0，2），所以直线CD′的解析式为y=-14x+2.所以E（1，74）.所以F（1，34）.因为AF+EC=CD′=42+12=17，所以当E（1，74），F（1，34）时，AF+FE+EC的和最小，最小值为17.点评：因EF为定长，关键求AF+EC最小.AF、EC均在直线EF同侧，借助轴对称把其中一条如AF反射为FD，化同侧为异侧.考虑到EF=1，故把点D向上平移1，先反射再平移使问题迎刃而解.也可先平移再反射.。

线段和的最小值问题

课堂小结
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求线段和的最小值问题。
达标检测
已知平面直角坐标系内两点A(1，2), B(2，-1),点P在y轴上运动，求当PA+PB取得最小值时P点的坐标。
（第 1 题）
能力提升：已知A(0,5),EF=2,且EF在x轴上平行移动，当AE+AF最小时求E、F 坐标。
典例一：两定一动,求和最小
例1：如图矩形顶点O在坐标原点，OA=6，OB=8，D为OB边的中点，若E为OA边上的一个动点，当△DCE的周长最小时，在图中画出E点的位置并求点 E的坐标；
变式练习1：已知平面直角坐标系中的两点A （1，2），B（4,2），点P在x轴上运动，则 PA+PB的最小值是_5__。
典例二：两定两动,求和最小
作图2：已知线段EF=1且EF在直线a上平行移动，A 、B为两个定点，E点在什么位置时，使得AE+BF最小，请在图中画出点来
• 变式练习2：如图矩形OACB，OA=6， OB=8，D为OB边的中点，若E、F为OA边上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标。
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求线段和的最小值问题。
自主学习
作图1：已知直线l，在直线l同侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使+PB的值最小。
·B A﹒
l
知识点拨：
1、轴对称性； 2、三角形两边之和大于第三边。

线段差的最大值与线段和的最小值问题

线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。

2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。

3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。

作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。

即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。

证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。

一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。

作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。

点P即为所求。

︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。

，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。

作法：1、作B关于直线L的对称点B。

B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。

点P即为所求。

︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。

，连结PA、PB、PB。

︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。

（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。

（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。

提示：EF长不变。

即求F N＋NM＋MF的最小值。

利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。

一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。

线段和的最小值问题

线段和的最小值问题一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一。

学生在这方面常常出现丢分，问题是找不到解题的突破口。

怎样解决这个突破口呢？本人把它们归结为两个“典型题型”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。

所谓“典型题型”，就是某些题例它不是公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题解答。

下面就“线段和的最值”问题，运用两个“典型题型”的原命题进行探讨。

1.关于线段和的最小值问题例1：如图1所示，要在河边修建一个水站，向A、B区的居民提供自来水，水站应建在什么地方，才能使A、B区的居民到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B的轴对称点 ,连接交直线于点P，则点P就是所求的水站位置。

利用这一题例的结论，可以解决类似的关联题。

图1[ 类型1：]如图2，菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、AC的中点，则PM+PN的最小值是________。

分析：根据菱形的对称性，在AD上找出的M关于AC的对称点（即AD的中点）,连结交AC于P，则PM+PN的最小值就是线段的长，等于菱形的边长5. 图2[ 类型2：]如图3，MN是的直径，MN=2，点A在上，∠AMN=，B为弧AN的中点，P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值是________。

分析：连结OA，由∠AMN=得∠AON=，取点B关于MN的对称点 ,连结 , ,则交MN于点P,则的长为PA+PB的最小值，且∠ ,即△为等腰直角三角形，故。

图3[ 类型3：]如图4，在等腰△ABC中，∠ABC=，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）。

A.2 B. C.4 D.分析：把等腰△ABC沿AC翻折可得一个菱形，由上面[类型：1]的解图4答可知，PM+PN的最小值就是菱形的边AB的长，故AB=2，由AB=BC=2,∠ABC=120°，易求得AC=，因此△ABC的周长是。

换一种思路求线段和的最小值

2020^.^1i m换一种思路求战段和的最小值■马先龙摘要：解答几何题时，经常需求线段和的最小值. 对于有的问题，直接求解，非常困难；若换一种思路，则柳暗花明，别有洞天.关键词：线段和；最小值;折叠解线段和的最小值问题时，换一种思路，往往别有洞天，易于求解.一、加上定长线段例1 如图丨，矩形中，/lB JM D ==6,点 M 、/V 分别是边 4Z )、 \ 'P <Q nC D 上的动点，且M i V =4,点五是线段”M N 的中点，点P 是边B C 上的动A , B c求P/l +■的最小值.分析:如图1，直接求+洲的，最小值比较困难.依题意，易知线段图！况的长为定值，故欲求/M +P £的最小值，可加上定长线段£>£，先求出+ /^ + 的最小值，然后再减去线段的长即可.解：如图1，因为四边形4B C D 为矩形，所以乙S /1D =/1/1B C = zlCZM = 90。

•在 R t A M /V D 中，因为乙M Z W = 90。

，£；为 M)V 的中点，MTV = 4,所以 £>£ =^■娜=2.延长仙到点水,使似，=仙，则点关于直线B C 对称.连接/M '，则/M = /M ',所以/M +P £ + Z )£ =凡4' + P £ +连接I D ，根据“两点之间线段最短”，知线段的长就是W +洲+训即/M +洲+ £>£ 的最小值•在 Rt中，= 90°，/i4,== 8,/lD = 6,由勾股定理，得 47) = VAA'2 + AD2=782 + 62 = 10,所以（以+J P £ + £)£)mm = 10,所以 (/M +P £；)m i … = 10-2 =8,即/M +™的最小值为8.点评:本题把求两条线段和的最小值问题转化为求三条线段和的最小值问题.其中，发现定长线段并能灵活转化是解题的关键.本题考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”这一重要性质，考查了矩形的性质，考查了勾股定理的应用，考查了“两点之间线段最短”这一公理，考查了转化、轴对称、等线段代换、化折为直等基本的数学思想和方法[1].例2 如图2,矩形4BCZ?中 ==5,A/、7V 分别是边上的动点，点£在边上，且=1，将沿财£所在的直线折叠得到 A /4'O Z ,连接 n/V D ，求/t 'i V+ /V D 的最小值.分析:如图2,直接求A W +图2的最小值比较困难.由图形的折叠,知线段的长为定值，故欲求的最小值，可加上定长线段 ^先求出f /V + /VZ)的最小值，然后再减去线段4'£的长即可.解:如图2,由图形的折叠，知= 1.因为四边形为矩形，所以乙fiCD == 90。

线段和最小值问题

线段与最小值问题问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．题型一：两定一动一线例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是______．方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点与对称点，与线的交点即为所求。

跟踪练习：如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为______．题型二：一定两动一线例2：如图，在矩形ABCD中，AB=10 ,BC=5 ．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______．方法总结：点P在AD上运动，则作线段AD关于线AE的对称线段，结合垂线段最短求最小值。

跟踪练习如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD与AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______．拓展提升题型三：三动一线（做法参照题型二）例3：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于______．题型四：一定两动两线例4：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值______．方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段与的最小值。

题型五：两定两动两线例5：如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_______.方法总结：分别作两定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段与的最小值。

“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以∠AME∠∠AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF∠BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∠BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∠BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以∠APE∠∠BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG∠BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∠BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE∠AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，果不取近似值）．分析：在这里∠PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt∠CDQ中，DQ==，所以∠PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的∠O的直径，点A在∠O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），∠AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使∠AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里∠AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时∠AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为∠BCE∠∠BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当∠CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以∠的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∠EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。

求线段和的最小值

运用图形的轴对称求线段和的最小值学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题.学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和最小值问题.学习方法：自主探究法、合作交流法学习过程：一、知识链接1、已知直线l及其两侧两点，在直线l上求作一点P，使PA+PB和最小。

2、如图，已知点A,B在直线l的同一侧，在l上求作一点P，使得PA+PB最小。

二、知识应用如图，铁路l同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE分别为500m,300m,DE=600m.现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB最小，求这个最小值。

三、自主探究知识链接：在等腰三角形，等边三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有__________________ _________ 。

1、如图1，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点。

连接EP,CP,则EP+CP的最小值是_________2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E为AD的中点，M为AC上一动点，则EM+DM的最小值是_________3、如图3，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则其最小值为_________4、如图，⊙O直径AB为2，∠COB=60°，D是弧BC中点，P是直线AB上一动点，则PC+PD的最小值为_________总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。

四、研讨1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x轴上找一点D,使得四边形ABCD的周长最小，求点D的坐标。

2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D,E分别是AB,AC的中点，点F是BC上的一动点，则△DEF的周长的最小值是_________3、如图抛物线y=a x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C，且A(-1,0) B(3,0) C(0,-3)（1）在对称轴上是否存在一点P使△PAC周长最小，若存在，请求出P的坐标。

求线段和最小值三例

点，当ＣＰ＝
时，△ＡＰＥ的周长最小．
ＣＥ，得到ＥＣ＝ＥＦ，因此ＥＣ＋ＥＤ＝ＥＦ＋ＥＤ＝ＦＤ．在Ｒｔ△ＢＤＦ中，利用勾股定理，可得
ＦＤ＝槡５．
二、直线外一点与直线上各点的连线中，
垂线段最短
例３如图５，在锐角 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝
４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，∠ＢＡＣ的平分线交ＢＣ于
思路与方法
江苏省姜堰市励才实验学校（２２５５００）张宇石
在几何问题中，有一类求线段和最小值的问题，本文试举三例．
一、利用轴对称求线段之和最短
例１如图１，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，
ＢＣ＝８，Ｅ为ＣＤ的中点，点Ｐ为ＢＣ上的动
∴ ＢＨ＝ＡＢ·ｓｉｎ４５°＝４， ∴ ＢＭ＋ＭＮ的最小值是ＢＭ′＋Ｍ′Ｎ′ ＝ＢＭ′＋Ｍ′Ｈ＝ＢＨ＝４．点评解此题是受４５°和角平分线启发，分别构造直角三角形和利用角平分线定理，把ＢＭ＋ＭＮ进行转化，把两条线段的和的最小值转化为点到直线的距离．构造和转化法是解题中常用的一种方法，对于最值的求解是考查的重点也是难点．
图５

图６
解如图６，作ＢＨ⊥ＡＣ，垂足为Ｈ，交ＡＤ于Ｍ′点，过Ｍ′点作Ｍ′Ｎ′⊥ＡＢ，垂足为Ｎ′，
则线段ＢＨ的长为所求的最小值．因为∠ＢＡＣ的平分线交ＢＣ于点Ｄ，由角平分线性质可知，Ｍ′Ｈ＝Ｍ′Ｎ′，当ＢＨ是点Ｂ到直线ＡＣ的距离时（垂线段最短），
∵ ＡＢ＝４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，

求线段最小值

求线段最小值————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中,经常遇到求PA＋PB最小型问题,为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解,我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析,希望对同学们有所帮助.一、在三角形背景下探求线段和的最小值１.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ＡＢC中,ＡB＝4,∠BＡC=45°，∠ＢＡC的平分线交BＣ于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为.分析：在这里,有两个动点,所以在解答时,就不能用我们常用对称点法.我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.解：如图1，在ＡC上截取AＥ=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点Ｄ，所以∠EAM=∠NAM,又因为ＡM=AM，所以△ＡME≌△ＡＭN，所以ME＝MＮ．所以ＢM＋MN=BM＋ME ≥BE．因为BM+MＮ有最小值．当ＢE是点B到直线AC的距离时,ＢＥ取最小值为4，以BM+M Ｎ的最小值是4．故填4.1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（２010 山东滨州）如图4所示,等边△ＡBC的边长为6,ＡD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,Ｅ是AＣ边上一点．若AＥ=２，ＥM+CM的最小值为 .分析:要求线段和最小值,关键是利用轴对称思想,找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6，ＡD是BC边上的中线，所以点Ｃ与点B关于AD对称，连接BE交AD于点Ｍ,这就是EＭ＋CＭ最小时的位置,如图5所示,因为CM＝BM,所以EM+ＣM=BE,过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2,AＣ＝6,所以EC＝4，在直角三角形ＥFC中,因为ＥC＝４, ∠ECＦ=60°,∠FEC=30°，所以FＣ＝2,EF==2．因为BC=6,ＦC=2,所以ＢF=４．在直角三角形ＢＥF中，BE==．二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.１在直角梯形中探求线段和的最小值例３（2０10江苏扬州）如图3，在直角梯形AＢCD中,∠ＡBＣ=90°,AＤ∥BＣ,AD＝４,AB=5,ＢC＝6，点Ｐ是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为_＿_____＿_＿.分析：在这里有一个动点,两个定点符合对称点法求线段和最小的思路,所以解答时可以用对称法.解：如图3所示，作点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点E,连接CＥ，交AＢ于点P，此时ＰC ＋PＤ和最小,为线段CＥ.因为ＡD＝4，所以AE=4.因为∠AＢＣ=90°，ＡＤ∥BC,所以∠EAP ＝90°．因为∠ＡＰＥ＝∠BPC,所以△ＡPE∽△BＰＣ，所以.因为AE=4，BC＝６,所以,所以，所以,因为AB＝5,所以PB=3．2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例４如图4，等腰梯形ABCD中,AＢ=AＤ=ＣD＝1，∠AＢC=60°，P是上底,下底中点EF直线上的一点，则PA＋PB的最小值为 .分析：根据等腰梯形的性质知道,点A的对称点是点D,这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图４所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD,交ＥF于点P，此时P Ａ＋ＰＢ和最小,为线段BＤ．过点D作ＤG⊥BC,垂足为G,因为四边形ABＣD是等腰梯形，且ＡB=ＡD=ＣＤ=1，∠AＢC＝6０°,所以∠C=60°，∠GDC=３0°，所以GC=,DG=．因为∠ＡBC=60°,AD∥BＣ,所以∠BAD＝1２0°.因为AB=AD,所以∠ABＤ=∠ADB=30°，所以∠ADBＣ=３0°,所以BD=2DＧ=2×＝．所以ＰＡ+PＢ的最小值为．2．3在菱形中探求线段和的最小值例5如图５菱形AＢCD中,AB=２，∠ＢAD=60°，Ｅ是ＡB的中点，P是对角线AＣ上的一个动点,则PＥ+PB的最小值为．分析:根据菱形的性质知道,点Ｂ的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解:如图5所示,因为点B关于直线AＣ的对称点为D，连接DE,交AC于点P,此时ＰE+ＰB和最小，为线段EＤ.因为四边形AＢCＤ是菱形,且∠ＢAD=６０°,所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，ＡB=2，所以AE=1,ＤＥ⊥AB,所以ＥD==．所以ＰE+ＰB的最小值为.2.４在正方形中探求线段和的最小值例6如图６所示，已知正方形AＢＣD的边长为8，点M在DC上,且DM=2，Ｎ是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为.分析：根据正方形的性质知道,点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点．解:如图６所示,因为点Ｄ关于直线ＡＣ的对称点为Ｂ，连接BM,交AC于点Ｎ，此时ＤN+MN和最小，为线段BM.因为四边形ＡＢCD是正方形，所以ＢC=CD＝8.因为DM=2,所以ＭＣ=6,所以ＢM==１0．所以DN+ＭN的最小值为10．例7(２0０９?达州）如图７,在边长为2cm的正方形ＡBＣD中，点Q为ＢＣ边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、ＰQ，则△PＢQ周长的最小值为ｃｍ.(结果不取近似值)．分析：在这里△PBQ周长等于PＢ+PQ+BQ,而BＱ是正方形边长的一半,是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小,问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点Ｂ，Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图7所示，根据正方形的性质知道点Ｂ与点D关于ＡC对称，连接DＱ,交AC于点P,连接PB.所以BP＝DP，所以ＢP+PＱ=DP+ＰＱ=DQ.在Rt△CDQ中,ＤＱ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+ＰQ+BQ=ＤQ+BＱ= ＋1.故答案为+1.三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（２01０年荆门）如图８，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上,∠ＡMN=30°,Ｂ为AN弧的中点，P是直径MN上一动点,则ＰＡ＋PB的最小值为（）（A)２ (B) (Ｃ）1 (D）2分析：根据圆的对称性,作出点A的对称点Ｄ，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB 的长度．解:如图8,作出点A的对称点D,连接DB,OB,OD．因为∠AＭN=３０°,Ｂ为AＮ弧的中点,所以弧AＢ的度数为30°，弧ＡB的度数为3０°，弧AN的度数为６０°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到:∠BOＮ＝30°．由垂径定理得:弧DN的度数为60°．所以∠BＯD=∠ＢＯN +∠DON= 30°＋６０°=９0°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（201０山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠０）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（２）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合),且B点的横坐标为１,在x轴上求一点P，使PＡ＋ＰB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点Ａ的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA＋ＰB的最小值,关键是明白怎样才能保证PA＋PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题,明白了最小的内涵,解题的过程就迎刃而解了.解:(1）设点A的坐标为（x，ｙ）,且点A在第一象限，所以ＯM=ｘ,ＡM=y．因为三角形OAＭ的面积为１,所以所以xy=2,所以反比例函数的解析式为y＝．(２）因为y＝x与y=相交于点A，所以＝x,解得x=2，或ｘ=-2．因为ｘ＞0，所以x＝2，所以y=１，即点A的坐标为(2,1）.因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上,所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1,2)，所以点Ｂ关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kｘ+b，所以,解得ｋ=3,b=－５，所以函数的解析式为ｙ=3ｘ-５，当y＝0时,x＝，所以当点P在(,０)时,PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10(201０年玉溪改编)如图10，在平面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（1，) ,△AOB的面积是.(1)求点B的坐标；（2）求过点Ａ、O、B的抛物线的解析式;(3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△ＡOＣ的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在，请说明理由;分析：在这里△AOC周长等于ＡC+ＣO+AＯ,而A,O是定点,所以ＡO是一个定长,所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC＋CO的和最小问题.因为题目中有一个动点C，两个定点A，O符合对称点法求线段和最小的思路,所以解答时可以用对称法.解:(1)由题意得:所以ＯB＝2.因为点B在ｘ轴的负半轴上，所以点B 的坐标为(－2，)；(2）因为B(-2，0),O(０,0),所以设抛物线的解析式为：y=aｘ（ｘ＋２),将点A的坐标为(1，)代入解析式得:３a=，所以ａ＝，所以函数的解析式为y=＋x．（3)存在点C．如图10,根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AＢ与抛物线的对称轴x= － 1交AＣ于点C,此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E.过点A作ＡF垂直于x轴于点F，则ＢＥ=ＥO＝EＦ＝１.因为△BＣE∽△BAF,所以,所以,所以CE＝.因为点C在第二象限,所以点C的坐标为(-１,).六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11(２0１0年天津)如图11，在平面直角坐标系中,矩形的顶点Ｏ在坐标原点,顶点Ａ、B分别在x轴、ｙ轴的正半轴上,ＯＡ＝３，OＢ=4，D为边OB的中点.（1）若E为边ＯA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2）若E、F为边OA上的两个动点,且EＦ＝2,当四边形CＤEF的周长最小时,求点Ｅ、F的坐标．分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中.解:（１)如图12，作点D关于ｘ轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DＥ.若在边OA上任取点(与点E不重合）,连接C、D、.由Ｄ＋Ｃ=＋Ｃ>C= D+CE=DE+CＥ，所以△的周长最小．因为在矩形OACB中,ＯA=3,OB＝4， D为OＢ的中点,所以ＢC=3,ＤO＝O=2.所以点C的坐标为（3，４)，点的坐标为(0,-2）,设直线C的解析式为y＝kｘ＋b，则,解得k=2，b＝-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令ｙ=０,则ｘ＝１,所以点E的坐标为（1,０）;（2）如图1３，作点Ｄ关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2,连接Ｇ与x轴交于点E，在ＥA上截ＥF＝2.因为GC∥EF，GC=ＥF,所以四边形GEＦＣ为平行四边形，有ＧＥ=CＦ.又DC、ＥF的长为定值,所以此时得到的点E、F使四边形CＤEＦ的周长最小．因为在矩形OACＢ中,OA＝3，OB=4, D为OB的中点,ＣG=２,所以ＢC=3，ＤO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1,4)，点的坐标为（0，－2)，设直线Ｇ的解析式为y=kx+b，则，解得k＝6,b＝-2,所以函数的解析式为y=6x-２，令y=0,则x=，所以点E 的坐标为（，０），所以点Ｆ的坐标为（＋2，0）即Ｆ的坐标为(，0）。

初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P 点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：练习题1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值为．2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．Q6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA —PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

[整理]“求两线段长度之和的最小值”问题全解析.

“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以, 所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。

例谈求线段和的最小值问题

“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

线段和的最小值 万能方法

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

例说利用几何变换求线段和的最小值

也谈三条线段和的最小值

线段和的最小值问题

线段差的最大值与线段和的最小值问题

线段和的最小值问题

换一种思路求线段和的最小值

线段和最小值问题

“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

求线段和的最小值

求线段和最小值三例

求线段最小值

初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全

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线段和的最小值万能方法