例谈求线段和的最小值问题

例谈求线段和的最小值问题

□广西何广保

平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了05年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。

一、以正方形为载体，求线段和的最小值

例1. 如图1，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P 是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。

图1

分析：由于BD是正方形ABCD的对角线，连接AP，易证△ADP≌△CDP，所以PA ＝PC，此时求PE＋PC的最小值就转化为求PA＋PE的最小值，连接AE，在△PAE 中，因为PA＋PE以AE，故当点P为A与BD的交点时（即当A、P、E三点共线时），PA＋PE的最小值为AE，由勾股定理可求AE，所求问题可解。

解：连接PA，∵BD为正方形ABCD的对角线

∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP

又DP＝DP，∴△ADP≌△CDP

∴PA＝PC

连接AE

∵CE＝1，∴BE＝3

在Rt△ABE中，

根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为AE与BD的交点时，PA＋PE的最小值为AE，即PA＋PE≥AE，∴PA＋PE≥5，即PE＋PC≥5，∴PE＋PC的最小值为5（仅当A、P、E三点共线时取等号）。

例2. 如图2，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，CF ＝1，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PF的最小值是（）

图2

A. B. C. D.

分析：因为动点P在正方形ABCD的对角线AC上，在AD边上取点G，并截取AE ＝AG，易证△PGA≌△PEA，所以PG＝PE，所求PE＋PF的最小值就转化为求PG ＋PF的最小值，连接FG，在△PFG中，PG＋PF的最小值就是FG（仅当F、P、G 三点共线时取得最小值）。

解：在AD边上取点G，并截取AG＝AE，连接PG

∵AC是正方形ABCD的对角线

∴∠PAG＝∠PAE，又AP＝AP

∴△PAG≌△PAE，∴PG＝PE

连接FG，过点G作GH⊥BC，垂足为H

∵AG＝AE＝3，而四边形ABHG为矩形，

∴BH＝AG＝3，GH＝AB＝8

又CF＝1，HC＝5，∴HF＝5－1＝4

在Rt△FHG中，由勾股定理，得

在△PFG中，PG＋PF≥GF（仅当F、P、G三点共线时取等号）

，即PE＋PF的最小值为

故应选D。

二、以菱形为载体，求线段和的最小值

例3. （05，南充）如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是（）

图3

A. 2

B. 1

C.

D.

分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，取CD边的中点G，连接PG，则易证△PCG≌△PCN，从而PG＝PN，因此求PM＋PN的最小值就转化为求PM＋PG 的最小值，连接MG，在△PMG中，PM＋PG的最小值就是MG，即PM＋PG≥MG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）。

解：取CD的中点G，连接PG

∵AC是菱形ABCD的对角线

∴∠PCG＝∠PCN

又CB＝CD，N是BC边的中点

∴CN＝CG

又PC＝PC，∴△PCG≌△PCN

∴PG＝PN

连接MG。∵

∴四边形AMGD为平行四边形

∴MG＝AD＝1

在△PMG中，（仅当P、M、G三点共线时取等号）

∴

即，故PM＋PN的最小值为1。

故应选B。

三、以等腰梯形为载体，求线段和的最小值

例4. （05，河南）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为

_____________。

图4

分析：在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连接PD，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC＋PA的最小值，即求AC的长度即可。

解：连接PD

∵AB＝CD＝AD＝1，∴梯形ABCD是等腰梯形

又直线MN是梯形ABCD的对称轴

∴PA＝PD

过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，E、F为垂足，易证△ABE≌△DCF，∴BE＝CF

在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，AB＝1

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

即PA＋PC的最小值为（当A、P、C三点共线时取得最小值）。

四、以任意四边形为载体，求线段和的最小值

例5. 已知：如图5，在四边形ABCD中，AD、BC不平行，F、E分别是AB、CD 的中点，若EF＝m，则的最小值是_____________。

图5

分析：构造以的长为三边的三角形，再利用三角形的中位线将问题解出。

解：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG。

∵E、F分别是CD、AB的中点

∴EG、FG分别是△BCD、△ABD的中位线

在△EFG中，（仅当E、G、F三点共线时取得最小值）

例谈求线段和的最小值问题专题辅导不分版本

平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了05年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。

一、以正方形为载体，求线段和的最小值

例1. 如图1，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。

图1

分析：由于BD是正方形ABCD的对角线，连接AP，易证△ADP≌△CDP，所以PA ＝PC，此时求PE＋PC的最小值就转化为求PA＋PE的最小值，连接AE，在△PAE中，因为PA＋PE以AE，故当点P为A与BD的交点时（即当A、P、E三点共线时），PA＋PE的最小值为AE，由勾股定理可求AE，所求问题可解。

解：连接PA，∵BD为正方形ABCD的对角线

∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP

又DP＝DP，∴△ADP≌△CDP

∴PA＝PC

连接AE

∵CE＝1，∴BE＝3

在Rt△ABE中，

根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为AE与BD的交点时，PA＋PE的最小值为AE，即PA＋PE≥AE，∴PA＋PE≥5，即PE＋PC≥5，∴PE＋PC的最小值为5（仅当A、P、E三点共线时取等号）。

例2. 如图2，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，CF＝1，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PF的最小值是（）

图2

A. B. C. D.

分析：因为动点P在正方形ABCD的对角线AC上，在AD边上取点G，并截取AE