三角形“四心”的向量表示

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三角形“四心“的向量统一形式及证明

三角形“四心“的向量统一形式及证明三角形的“四心”是指三角形内部的四个特殊点：重心、外心、垂心和内心。

以三角形的三个顶点A、B、C为坐标原点，分别取AD、BE、CF 为坐标轴，其中D、E、F分别为BC、AC、AB的三个中点。

则A、B、C的坐标分别为A(0, 0)B(1, 0)C(k, m)其中k、m为未知数，待求。

重心的坐标为三个顶点坐标的平均值，即G((0+1+k)/3, (0+0+m)/3) = (1/3*k, m/3)外心的坐标可以通过垂直平分线的交点求得。

设AB的垂直平分线为x=1/2，AC的垂直平分线为y=mx+b，交点为(Ox, Oy)。

由于垂直平分线是两条对称轴，所以可以得到下面两个方程：(1/2 + k) / 2 = Oxm * Ox + b = Oy解方程可以得到Ox = 1/4 + k/2Oy = m/4 + b垂心的坐标可以通过高的垂直线交点求得。

设高的垂直线分别为x=c1和y=mc2+b2，两条垂直线的交点为(Hx, Hy)。

由于高的垂直线是两条轴线，所以可以得到下面两个方程：c1 = 0mc2 + b2 = 0解方程可以得到Hx = 0Hy = -b2/m内心的坐标可以通过三条角平分线的交点求得。

设角A的平分线为y=mx+b1，角B的平分线为y=mx+b2，角C的平分线为y=mx+b3，三条平分线的交点为(Ix, Iy)。

由于角平分线相交于内心，所以可以得到下面三个方程：Ix = (k+b2-b1) / (2*m)Iy = m * Ix + b2由以上分析可以得到“四心”的坐标：重心G：(1/3*k, m/3)外心O：(1/4 + k/2, m/4 + b)垂心H：(0, -b2/m)内心I：((k+b2-b1) / (2*m), m * ((k+b2-b1) / (2*m)) + b2)证明这些点的向量统一形式，可以分别计算这些点和三个顶点之间的向量，观察它们是否有统一的形式。

向量与三角形四心的关系

向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。

作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。

使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。

一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。

在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。

一、线共点问题。

解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。

=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。

因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。

类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。

(2)三角形的三条中线交与一点。

二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。

分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。

拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。

(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。

分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。

拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。

三角形四心的向量性质及应用学生版

---1---
五．欧拉线： △ABC 的外心 O ，重心 G ，垂心 H 三点共线(欧拉线)，且 OG 1 GH ． 2
测试题
一．选择题
1． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC) ， 0, ，
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )
A．外心
B．内心
8．在 △ABC 中，动点
P
2
满足： CA
2
CB
2 AB
CP
，则
P
点轨迹一定通过△ABC
的(
)
Ａ．外心Ｂ．内心 C．重心 D．垂心
9．已知 ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ，满足 PA PB PC 0 ，若实数满足： AB AC AP ，
则的值为(
A．2
)
B． 3 2
，若
2
AB
AB
AC
AB CB
BC CA ，则 ABC 为(
)
A．等腰三角形二．填空题
C．重心
D．垂心
2．(03 全国理 4) O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0, ，
AB AC
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的(
)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， R ， AB cosB AC cosC
变式：已知 D，E，F 分别为 △ABC 的边 BC，AC，AB 的中点．则 AD BE CF 0 ．
二、三角形的外心的向量表示及应用
2
2

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD+=，由平行四边形性质知12OE OD=，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1.0是的重心；若0是的重心，则故；为的重心.2.0是的垂心；若0是（非直角三角形）的垂心，则故3.0是的外心（或）若0是的外心则故4. 0是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才0是内心的充要条件可以写成，0是内心的充要条件也可以是。

若0是的内心，则故；是的内心；向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；xx 例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P 点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，贝卩知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点，点H是厶ABC的垂心.由,同理，.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.（xx）P 是厶ABC所在平面上一点，若，则P是厶ABCF（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析: 由. 即贝S所以P为的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点，=0点G是厶ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE贝S CE=GB BE=GCBGCE平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0,故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心.证明••*是厶ABC的重心/• =0=0,即由此可得. （反之亦然（证略））例6 若为内一点, ,则是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由得，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，贝卩，由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用AB uuu uuu uuur解析：因为AB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为HPGABC 的重心OAOB OC0；ABC 的重心, UT i 3则SU UIL (PABOCAOCAOBABC 的垂心 OAU ULT PBPCur)i-- S AB C--- " ■ - ------- ' i 3故 OA OB OC 0；ABC 的重心.OB OB 0C 0C 0A ；ABC （非直角三角形）的垂心，则SBOC - AOC -S AOB tan A : tan B : tan C故tan AOA tan BOB tan COC 03. O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC|(或OA OB------ 2OC )若 O 是 ABC 的外心则 S BOC :S AOC :S AOB sin BOC :sin AOC :sin AOBsin2A : sin2B : sin2C故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 0矿（旦竺）阪（旦仝）4. O 是内心ABC 的充要条件是|AB | AC |BA | |BC |CB ) 0 I CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记 AB,BC,CA 的单位向量为e i ，e 2，e 3 , 则刚才0是ABC 内心的充要条件可以写成 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2) OC (e 2 e 3)ABC 内心的充要条件也可以是aOAbOB cOC 0。

若O 是ABC 的内心，则BOC -SAOC:SAOBa: b : c故 aOA bOB cOC 0或 sinAOAsin BOB sinCOC 0；uiur uuu uuu uur uuu uur r| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0P 是 uuu uuur向量（-AB m ）（ 0）所在直线过|AB| |AC|分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查ABC 的内心；ABC 的内心（是 BAC 的角平OP OA(A ) .O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，(AB AC ) (AB AC )，0, 则P 点的轨迹一定通过 ABC 的（）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心动点P 满足COP OA AP ，则原式可化为 AP （e e 2），由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 ABC 中，AP平分 BAC ，则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”同理HC AB ，HA BC .故H 是厶ABC 的垂心.（反之亦然（证略））例3.（湖南）P 是厶ABC 所在平面上一点，若 PA PBA. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心则PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P 为 ABC 的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4. 6是厶ABC 所在平面内一点，GA GB GC =0 点6是厶ABC 的重心.证明作图如右，图中GB GC GE连结BE 和CE 则CE=GB BE=GC BGC 助平行四边形 D 是BC 的中点, 线• 将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，得GA EG =0 GA GE 2GD ，故6是厶ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5.P 是厶ABC 所在平面内任一点.G 是厶ABC 的重心PG 1 （P A PB PC ）.3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)•/ G 是厶 ABC 的重心 .I GA GB GC =0 AG BG CG =0，即卩 3PG PA PB PC 由此可得PG 1(PA PB PC).(反之亦然(证略))3例6若0为ABC 内一点， uuu OA uuu uur rOB OC 0，则 0 是 ABC 的()A.内心B . 外心C .垂心D .重心uuu uuu LULT r uuu uuuruuu解析：由OA OB OC 0 得 OB OC OA ，如图以 OB OC 为相邻两边构作平行四边形，则解析：由PA PBPB PC 得 PA PBPB PC0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0例2.H 是厶ABC 所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA点H 是厶ABC 的垂心.由 HA HB HB HCPP■!HB (HC HA) 0HB AC 0HBAC ,PB PC PC PA ，贝U P 是厶 ABC ^( D )AD 为BC 边上的中OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 且 | OP 1 | = | OP 2 | = | OP 3 | 点 O 是正△ P 1P 2P 3 的中心.例9.在△ ABC 中，已知Q G H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

运用平面向量判断三角形的四心公式

运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。

三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。

下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。

首先，我们需要了解什么是三角形的四心。

在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。

在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。

接下来，我们来推导三角形的四心公式。

设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。

那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。

该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。

根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。

三角形中的四心与向量

三角形中的四“心”与向量平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心）。

在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一、重心：例1、已知O 是ABC V 所在平面上的一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则O 是ABC V的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则=OA OB OC +-u u u r u u u r u u u r ，以,OA OB u u u r u u u r 为邻边作平行四边形'OAC B ，设OC 与AB 交于点D ，则D 为AB 中点，有'=OA OB OC +u u u u r u u u r u u u r ，得'=OC OC -u u u u r u u u r ，即',,,C O D C 四点共线，故CD 为ABC V 的中线，同理,AE BF亦为ABC V 的中线，所以O 是ABC V 的重心。

例2、已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足(),(0,)OP OA AB AC λλ=++∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过ABC V 的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】上式可化为()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0,)λ∈+∞时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r 表示BC 边上的中线所在直线的方向向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC V 的重心。

高中数学：三角形四心与向量

三角形四心的向量表示知识点总结奔驰定理：O 为ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=1.重心（1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;说明：若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;（2）P 为ABC 所在平面内的一点，1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 证明：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））2．垂心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++;说明：若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan=++（2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;3．外心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的外心⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++;说明：若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++（2）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OCOB OA ==)4．内心（1）O 是ABC ∆内心⇔0OC c OB b OA a =++ 。

三角形的四心的三种向量表示

万方数据
·解题研究·
中。７擞·７（２００９年第４期·高中版）
２５
所在平面内一点，且劢·（蔫＋婴ＩＡＢＩ）＝
一ＢＯ·（篙＋骂ＩＢＣＩ）＝茄·（盖＋熹删Ｄ是
ＡＢＣ的（
）
Ａ．内心
Ｂ．外心
Ｃ．重心Ｄ．垂心
解如图２，丽Ａ两Ｂ衣不－－早化１．１ａＪ萤Ａ廿’，婴ＩＣＡＩ表示
单位向量才，
Ｃ
图２
．．．粤＋望：詹＋才：劢．ＩＡ日ＩＩ翻１．·．ＡＤ为［Ａ的外角平分线，同理ＣＥ为ＬＣ的外角平分线．
．·．苦缶＋苦岳的方向与￡ＢＡＣ的平分线同向，
即ＡＯ为￡ＢＡＣ的平分线，同理可得ＢＯ为ＬＡＢＣ的平分线，
．·．０为ＡＡＢＣ的内心，故选Ａ．点评由于内心是三角形三内角平分线的交点，因而要确定内心，必须会用向量表示某一内角平
分线，而丽ａ＋面ｂ龙以口，西为邻边的内角平分线的
最佳表示．变式４（２００８年黄冈中学模拟）若０为ＡＡＢＣ
心．
图５
．－。ｓ△删。＝｜ｓ△烈口Ｃ，半一△ＯＡＯ
：一土，鱼：一１３
’ＳＡ槲￡一
２，’从∥瓣川
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＳＡ＾蝴３Ｓ△＾ｏｃ一２‘
点评这里先确定０点的位置是解题成败的关
键，可见，灵活“用心”也不可忽视．变式２（２００８年黄冈谲考）在△ＡＢＣ孛，０兔
外心，Ｐ是平面内一点，满足葫＋０－７３＋旋＝历，则Ｐ
解如图３，设Ｄ为
＾
ＢＣ的中点，由向量的加
法法则可得Ａ雪＋ＡＣ＝
Ｃ
２ＡＤ，依题意知ＡＰ＝
２ＡＡＤ，又ＡＥ０，＋∞）．Ｂ
．。．Ｐ，Ａ，Ｄ三点共线，
图３
又ＡＤ为ＡＡＢＣ的中线，故点Ｐ的轨迹一定通过

三角形的四心之向量关系式

⇒ a△P AB : a△P BC : a△P CA = n : l : m
(2) P 在 △ABC 的外部, 則 l < 0, m, n > 0
(l > 0, m, n < 0 亦同), 如右圖
取
−−⇀ P A′
= −−P⇀A,
⇒P
在
△A′BC
的內部,
且∵
−−⇀ (−l)P A′
+
−⇀ mP B
+
(三) 公式 3: 三角形四心與三頂點連線所成三角形之面積比
已知 △ABC 的重心 G, 內心 I, 垂心 H 及外心 O, 則
(1) a△ABG : a△BCG : a△CAG = 1 : 1 : 1。 (2) a△ABI : a△BCI : a△CAI = c : a : b。 (3) a△ABH : a△BCH : a△CAH = c4 −(a2 −b2)2 : a4 −(b2 −c2)2 : b4 −(c2 −a2)2。 (4) a△ABO : a△BCO : a△CAO = c2(a2 +b2 −c2) : a2(b2 +c2 −a2) : b2(c2 +a2−b2)。
△=
2 b2 + c2 − a2
b2
b2 + c2 − a2 c2 2
= 4 − b2 + c2 − a2 2 bc
= [(b + c)2 − a2][a2 − (b − c)2] b2c2
=
(b
+
c
+
a)(b
+
c
−
a)(a b2c2
−
b
+
c)(a
+

(完整版)向量四心问题

向量中的三角形“四心"问题学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。

结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心.证明：由,得，即，所以。

同理可证。

故O为△ABC的垂心.结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。

证明：由,得，所以。

同理可证。

容易得到由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点,满足,则点G为△ABC的重心。

证明：由，得。

设BC边中点为M，则，所以，即点G在中线AM上。

设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上,故点G为△ABC的重心。

结论4:若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心.证明：由，得,得。

由结论3知点G为△ABC的重心。

结论5:若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足，则点P为△ABC的内心。

证明：由于,可得。

设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。

因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。

由，知点P在∠A的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上.故点G为△ABC的内心。

结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点,满足，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。

故点O为△ABC的外心.说明:以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质-三角形中心矢量

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O是ABC∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==) 若O是ABC∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O是内心ABC∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。

若O是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOBAOC BOC ：：：：=∆∆∆故C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；范例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选 D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明+=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

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