高考数学专题复习指数对数幂函数

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高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数

高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数【要点】考点1：指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数。

考点2：对数函数定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数。

1>a 10<<a1>a 10<<a图象性质定义域： R 值域：（0，+∞）①过点（0，1），图象都在第一、二象限； ②指数函数都以x 轴为渐近线； ③对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxay a y -==与的图象关于y 轴对称。

(,0)x ∈-∞时y ∈（0，1）； ),0(+∞∈x 时 y ∈（1，+∞）。

(,0)x ∈-∞时 y ∈（1，+∞）； ),0(+∞∈x 时y ∈（0，1）。

在R 上是增函数。

在R 上是减函数。

考点3：幂函数 1．幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数．要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象。

2．观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点；在(0,)+∞上是函数；（2）当0α<时，图象过定点；在(0,)+∞上是函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近。

【课堂精练】 1．=3log 9log 28（）A ．32 B ． 1 C ．23D ．2 2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使幂函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（） A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3 D ．-1,1,3 3．函数2x y =-的图象（）A ．与2x y =的图象关于y 轴对称B ．与2x y =的图象关于坐标原点对称C ．与2x y -=的图象关于y 轴对称D ．与2x y -=的图象关于坐标原点对称 4．(2010年重庆卷)函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 5．已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则)(a f -=（） A ．b B ．b - C ．b 1D ．1b-6．已知10<<a ，1-<b ，则函数b a y x+=的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设02log 2log <<b a ，则（）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 8．函数lg y x =( )A ．是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增B ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减C ．是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 8．（06天津卷）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（） A ．R Q P << B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<9．(2010年全国卷)设a=3log 2，b=In2，c=125-，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a10．（2009宁夏海南卷）用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{})0(10,2,2m in )(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）711．（2008年山东卷文）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<12．(2010年全国卷)已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是( )(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞13．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是。

指数对数幂函数知识点总结9篇

指数对数幂函数知识点总结9篇第1篇示例：指数对数幂函数是高中数学中非常重要的内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

指数对数幂函数是一种特殊的函数形式，通过指数、对数、以及幂运算的组合，可以描述各种复杂的变化关系。

在本文中，我们将对指数对数幂函数的相关知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这一重要内容。

一、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的特点是底数a是一个固定的正数，指数x可以是任意实数。

指数函数的图像通常表现为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，其增长趋势取决于底数a的大小。

指数函数的性质有：1. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a小于1且大于0时，函数呈现下降趋势。

2. 指数函数在x轴上的水平渐近线为y=0，在y轴上的垂直渐近线为x=0。

3. 在0<a<1时，指数函数是单调递减的；在a>1时，指数函数是单调递增的。

4. 指数函数的导数为f'(x)=a^x * ln(a)，导数的值等于函数在该点的斜率。

1. 对数函数的图像是一条左开右闭的单调增函数。

2. ln(x)函数在x=1处的值为0，log(x)函数在x=1处的值也为0。

4. 对数函数的反函数是指数函数，即对数函数与指数函数是互为反函数的关系。

三、幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为一个实数。

幂函数可以是单项式函数、分式函数以及多项式函数的基础函数形式。

幂函数的性质有：1. 当n为偶数时，幂函数呈现奇次函数的特点，曲线两侧对称于y 轴；当n为奇数时，幂函数呈现偶次函数的特点。

四、指数对数幂函数的综合应用指数对数幂函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。

在生态学中，人口增长规律可以用指数函数来描述；在物理学中，无阻射下的自由落体运动可以用幂函数来描述；在金融领域中，复利计算和收益增长也可以用指数函数和对数函数来分析。

指数与对数函数幂函数知识点总结

指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。

下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。

1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。

通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。

-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。

-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。

指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。

2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。

对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。

- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。

- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。

-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。

对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。

3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。

幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。

-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。

-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。

幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。

幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。

指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。

在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。

高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析

高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析高考数学中的幂函数和指数函数是非常重要的知识点。

这两种函数在数理化等学科中都有广泛的应用，因此在高考中也成为了不可忽视的重点。

掌握它们的性质，不仅可以解决一些基本的计算问题，还可以引申出很多思维难度较大的问题。

本文将对幂函数和指数函数的性质进行深入的解析。

一、幂函数的性质幂函数是一种非常基础的函数类型。

它的形式可以表示为$y = x^a$，其中$x$为自变量，$a$为指数。

幂函数的性质有以下几个方面。

1. 定义域：幂函数的定义域为$x>0$或$x<0$，即幂函数不能为负数。

2. 制图特点：当$a>1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递增；当$0<a<1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递减；当$a<0$时，幂函数的图像则关于$x$轴对称。

3. 奇偶性：当$a$为偶数时，幂函数关于$y$轴对称；当$a$为奇数时，幂函数关于原点对称。

4. 渐进线：当$a>0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$；当$a<0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$。

5. 导数规律：当$y=x^a$，则$\dfrac{dy}{dx}=ax^{a-1}$。

在幂函数的导数规律中，指数减1并乘以常数，就是导数。

以上是幂函数的几个常见性质，可以根据具体问题作出判断。

下面将重点介绍指数函数的性质。

二、指数函数的性质指数函数是另一种基础的函数类型。

它的形式可以表示为$y = a^x$，其中$a$为底数，$x$为自变量。

指数函数的性质有以下几个方面。

1. 定义域：指数函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$，可以为任意实数。

2. 制图特点：当$0<a<1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递减，且关于$y$轴对称；当$a>1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递增。

3. 反函数：指数函数的反函数为对数函数，即$y = \log_{a}x$。

指数对数幂函数知识点总结8篇

指数对数幂函数知识点总结8篇第1篇示例：指数对数幂函数是高等数学中重要、常用的一类函数。

它们是解决数学问题和建立数学模型中不可或缺的工具。

在学习指数对数幂函数的知识时，需要掌握函数的定义、性质、图像、导数等方面的内容。

本文将对指数对数幂函数进行系统总结，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、指数函数指数函数是形如y = a^x（其中a>0且a≠1）的函数，其中a称为底数，x称为指数。

指数函数的图像通常是一个以底为a的指数曲线，其特点是随着x的增大，y值迅速增大。

指数函数的性质有：1.当底数a>1时，函数y = a^x是递增函数；当0 0时，函数y = a^x是减函数。

2.指数函数的定义域是所有实数，值域是所有大于0的实数。

3.指数函数的图像通常是通过点(0,1) 并且随着x的增大发生指数增长。

4.指数函数满足f(x) * f(y) = f(x+y)。

5.指数函数的反函数是对数函数，即y = loga(x)。

3.对数函数的图像是一个S形曲线，随着x的增大，y值逐渐增大。

5.对数函数的导数为1/x*ln(a)。

三、幂函数幂函数是形如y = x^a（其中a为常数）的函数，其特点是x的次方为a。

幂函数的性质有：3.幂函数的特殊情况之一是y = x^2，即二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。

第2篇示例：指数对数幂函数是数学中常见的一类函数，主要包括指数函数、对数函数和幂函数。

在数学中，这些函数在图像、性质和应用等方面都有着重要的作用。

本文将从定义、性质和应用三个方面对指数对数幂函数进行总结。

一、指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1，x为指数。

指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。

指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特点，当底数a>1时为指数增长；当底数0<a<1时为指数衰减。

指数函数的特点包括：单调性、奇偶性、零点、渐近线等。

数学高考知识点幂函数

数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。

在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。

一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。

2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。

当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。

3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。

4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。

二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。

这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。

2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。

这一性质在求解极限时常常会被用到。

3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。

三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。

2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。

在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。

幂函数指数函数和对数函数知识点梳理

幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。

2.性质：-当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛物线形状。

-当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直线形状。

-当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛物线形状。

-当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直线形状。

-当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。

3.应用：-幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。

-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。

二、指数函数1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。

2.性质：-指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。

-当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。

-当0<a<1时，指数函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的曲线形状。

-当a=1时，指数函数f(x)=1^x恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。

3.应用：-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况，如人口增长、放射性物质衰变等。

-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。

三、对数函数1. 定义：对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。

2.性质：-对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。

-对数函数关于直线y=x对称。

-对数函数的导数为1/x。

3.应用：-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式，将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。

-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。

综上所述，幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。

高考数学专题复习抽象函数

高考数学专题复习抽象函数高考常考抽象函数模型：1. 正比率函数型： f (x) kx(k 0)f (x y)f ( x)f ( y)2. 一次函数型：fx kx b f xyf x f y b 幂函数型：f ( x)x 2f ( xy)f (x) f ( y) ，f ( x)f ( x)3. yf ( y) 4.指数函数型：5.对数函数型：6.三角函数型：f ( x f (x)f ( x) a xy)f ( x y)f ( x) f ( y) ， f ( y)f ( xf ( x) log a xf ( xy)f (x)) f (x) f ( y)f ( y) ，yf (x y)f ( x)f ( y)f ( x) tan x1 f ( x) f ( y)1、直线型抽象函数例1.已知函数 f (x) 对随意实数 x, y ，均有 f ( x y)f ( x) f ( y)，且当 x0 时，f ( x)0 ，f ( 1) 2 ，求 f ( x) 在2,1 的值域2、指数函数型抽象函数 f ( x)知足：对随意实数 m ， n ，总有f ( m n)f (m) f (n) ，且当 x例 2.定义在 R 上的函数时，0 f ( x) 1 ．(1) 试求f (0)的值(2) 判断f (x)的单一性并证明3、对数函数模型1; ②对随意实数 b ，f ( x b)例 3.定义在R上的函数 f ( x) 知足：① f (10)bf ( x) ，当 x 1 时，f x 0f (1), f ( 1), f ( 1)(1) 求24 x, y, f ( xy) f (x)f ( y)(2) 求证：对随意正实数(3) 求证：f (x)是R上的增函数4、幂函数模型例 4.已知函数f ( x)对随意实数 x, y 都有 f ( x y)f (x) f ( y) 且 f ( 1) 1, f (27)9.当 0x 1时，0 f (x) 1判断f ( x)的奇偶性判断 f ( x) 在 0, 上的单一性，并证明若 a 0 ，且f ( a1) 39，求 a 的取值范围5、正切函数模型1 f ( x)f ( x m)例 5.若对常数m和随意实数x，都有等式1f ( x)建立，求证: f ( x) 是周期函数14,2 . 2 f 01, nmnm. 3 f 10. f1lg 1, f 12 lg 1. f xyf 10 lg xy f m nf n22 42f 10 lg xf 10 lg yxyx2 lg xy右 4 y1fxf x ,0 xxy. f xx 3 .0 a 2f f x1f ( x m) 1 1 f ( x)15 f (x2m)f (xm) m1 f ( x)4m1 f ( x m)1 f ( x)T1 f ( x)1 f ( x)练习：1.若xR ，f ( x)知足f ( xy) f ( x)f ( y)，若 x 0 时， f x，比较大小f2 , f 0 , f 12.若xR ， f ( x) 知足f x1x 2f x 1f x 21,，则以下说法正确的选项是（）A.fx为奇函数B.f x为偶函数C.f x1为奇函数D.f x1为偶函数3.f (x)的定义域为 R ,fxy()fx( )fy( )对一确实数x, y建立，若f (8) 4，f (2)4.f (x)定义域为 R ，对随意x, yf ( x) f ( x) f ( y)，x1 时，f (x)0 ，f ( 1) 1R，都有y2，2（ 1）求证f (x)为减函数（ 2）解不等式f ( x) f (5 x)2f (x) 是定义在 R 上的偶函数，图像对于 x 1对称， x 1 , x 2 [ 0, 1]，有 f ( x1 x2 ) f (x 1) f ( x 2 ), f x 05.2 (1) 设f (1)2，求f ( 1)f7， f 2f 20152 ，4，3(2) 求函数yf xm. m1,2 在区间0,8上各零点之和fx 6.若f ( x)是定义在0,f x f y上的增函数，且y（ 1）求 f1 的值（ 2）若f61，解不等式 f x 3 f x27.函数f x对随意的实数m, n有f m nf mf n，当 x 0 时，有f x 0（ 1）求证 :f 0 0（ 2）求证 :f x在 R 上为减函数．（ 3）若 f 32 ，解不等式 f x 2 6f x 48.f (x)定义在 R 上不恒为零的偶函数，且对随意实数 x 都有xf ( x 1)(1 x) f (x) f ( 5)，则 2=19.已知函数fx知足：f 14 f x f yf x y f x y . x, y R ，则 f 20154 ， _____f 2 1 f 2f 2 2f 4 f 2 3 f 610.函数f ( x)知足：f ( a b)f (a ) f (b) ， f (1)2 ，则f 1f3f 5f 2 1005f 2010 f200911.函数f ( x)对随意的m, nR，都有f (m n) f (m) f (n) 1，而且当 x 0 时，f ( x) 1（ 1）求证：f ( x)在 R 上是增函数（2）若 f (3) 4 ，解不等式 f ( a 2a 5) 2x, y ( 1,1)有 f ( x) f ( y)x y12.f ( x)在f (),1,1上为奇函数1,1上有定义，知足1xy 求证： f (x) 在13.函数f x对随意的实数m, n，有f m n f mf n，当x 0 时，有f x（ 1）求证：f 0 0（ 2）求证：f x在 R上为增函数．（ 3）若 f 11 ，解不等式 f 4 x2 x214. f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数， f (xy)f ( x) f ( y) ， f (3) 1，解不等式 f ( x) f (x 8) 215.已知定义在, 1 (1, )上的奇函数，且知足：①f (3) 1②对随意的 x 2 ，均有f ( x) 0③对随意的 x, y R ，均有 f ( x 1) f ( y 1) f ( xy 1)（ 1）求f (2)的值（ 2）求证： f ( x) 在 (1,)上是单一递加16.设f ( x)是定义在 R 上的偶函数，且f x 31f ( x)，则f (7.5) 的值为 _____1 奇，f2f0 f 1.2 C.3 1,0 40，14，552, 42,1,3 2 ,32. 6 0,3,357, 16,. 8 0. 9 f 01, f 11 241111111f 2 x1 f x1f 2, f 34, f5, f67T6f2015y2x,24S40204, f44, f4. 10f x 2241 1 令 m x , n0 . f 3 3 f 12 f 12a3,2 . 12 x y0 f 00, x0 f y f y13 m n 0 f 0 0, x1m, x2x1n, n 0x2x1, 2x22x2 1 2x2x 1 f x2f x1f n014 f 9 2 f 3 2x808 x 9. 15 x y 1 f 2 0, x 0, y 1f y10f x 1 f xy 1 x x89x1xy116 f7.51f 1.5f 1.51 2。

2023年高考分类题库考点6 指数函数、对数函数、幂函数

考点6指数函数、对数函数、幂函数10.(2023·新高考Ⅰ卷·T10)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级L p =20×lg 0,其中常数不妨设p 0(p 0>0)是听觉下线阈值,p 是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1,p 2,p 3,则()A .p 1≥p 2B .p 2>10p 3C .p 3=100p 0D .p 1≤100p 2【命题意图】本题考查对数的运算法则、对数与指数的转化、对数函数的性质、对数模型的应用,考查学生的逻辑推理能力、运算能力、数据分析能力、建模素养.【解析】选ACD .燃油汽车 1=20×lg 1 0∈[60,90],所以1 0=10 120, 1∈[60,90],①同理2 0=10 220, 2∈[50,60],②3 0=10320=102=100.③对于A ,由题表知 1≥ 2,所以A 正确;对于B ,②÷③得, 2 3=10 2- 320∈[1012,101],所以 2 3≤10,所以B 错误;对于C , 3 0=10 320=102=100,所以C 正确;对于D ,①÷②得, 1 2=10 1- 220∈[100,102],所以 1 2∈[1,100],p 1≤100p 2,所以D 正确.3.(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则()A .c>a>bB .c>b>aC .a>b>cD .b>a>c【解析】选D .y=1.01x ,在R 上单调递增,0.6>0.5,故1.010.6>1.010.5,所以b>a ;y=x 0.5,在[0,+∞)上单调递增,1.01>0.6,故1.010.5>0.60.5,即a>c ,所以b>a>c.。

指数、对数、幂函数-解析版

基础回顾知识一、幂函数(1)幂函数的定义“”如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质特征函数性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0，0)，(1，1)(1，1)常用结论：(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增加的；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减少的．二、指数函数1.根式:(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，na n＝a，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a ＞0，b ＞0，r ，s ∈Q . 3.指数函数的图象与性质三、对数函数1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数． 2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)；③零和负数没有对数. (2)对数的运算性质(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d＝log a d .3.对数函数的图象与性质(0，＋∞)指数、对数、幂函数一、选择题1．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图像都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图像可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析：当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图像不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R )，y >0，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D 不正确．答案： C2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4 C ．y ＝x －2D ．y ＝x 13解析：函数y ＝x 12定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A 不正确；函数y ＝x 4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，故B 正确；函数y ＝x－2不过点(0,0)，故C 不正确；函数y ＝x 13是奇函数，故D 不正确．答案： B3．设a ＝⎝⎛⎭⎫1234，b ＝⎝⎛⎭⎫1534，c ＝⎝⎛⎭⎫1212，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：由y ＝x 34是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫1534<⎝⎛⎭⎫1234，由y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234<⎝⎛⎭⎫1212.∴b <a <c .答案： D4．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c 0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂函数的幂指数大，其函数值就大，则a >b . 综上所述，可知c <b <a . 答案： A5. 将3－22化为分数指数幂，其形式是( )A ．212B ．－212C ．2－12D ．－2－12解析：3－22＝(－22)13＝(－2×212)13 ＝(－232)13＝－212. 答案： B6. 化简－x 3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD ．－x 解析：依题意知x <0，所以－x 3x ＝－－x 3x 2＝－－x . 答案： A 7.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：原式＝a 3a 12·a 45＝a 3－12－45＝a 1710. 答案： D8．下列结论正确的是( )A ．对于x ∈R ，恒有3x >2xB ．y ＝(2)－x 是增函数 C ．对a >1，x ∈R ，一定有a x >a－xD ．y ＝2|x |是偶函数解析： A ．当x <0时，2x>3x；B.y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝⎝⎛⎭⎫22x在R 上单调递减；C.当x ＝0时，就有a x ＝1，a －x ＝1；D.符合偶函数的定义．答案： D 9．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >c D ．b >a >c解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5<1，所以a >b >c . 答案： C10．函数y ＝3x 与y ＝3－x 的图像关于下列哪条直线对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x解析： y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，由y ＝3x与y ＝⎝⎛⎭⎫13x关于y 轴对称，所以y ＝3x 与y ＝3－x 关于y 轴对称．答案： B11．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x 的图像可能是( )解析：需要对a 讨论：①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x 是递增的．②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x 是减函数．显然B 正确．答案： B12．已知2x ＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．6B ．8C ．4D ．log 48解析：由2x ＝9，得log 29＝x ， ∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283＝log 29＋log 2649＝log 264＝6. 答案： A13．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．1＋3a －a 2 解析： ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 答案： A 14. .1log 1419＋1log 1513＝( ) A ．lg 3 B ．－lg 3 C.1lg 3D ．－1lg 3解析：原式＝log 1914＋log 1315＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg 3.答案： C15．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( )A.12 B ．9 C ．18D ．27 解析：由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝lg m lg 3＝log416＝log442＝2，∴lg mlg 3＝2，即lg m＝2lg 3＝lg 9.∴m＝9.答案：B16．若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x(a>0，且a≠1，x>0)，则2＝log a4＝log a22＝2log a2，即log a2＝1，a＝2.故所求解析式为y＝log2x.答案：A17．已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足g(2)<0，则函数g(x＋1)的图像是下图中的()解析：由y＝a x解得x＝log a y，∴g(x)＝log a x.又∵g(2)<0，∴0<a<1.故g(x＋1)＝log a(x＋1)是递减的，并且是由函数g(x)＝log a x向左平移1个单位得到的．答案：A18．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是()解析： ∵a >1，不妨取a ＝2，找出函数y ＝2－x 与y ＝log 2x 的图像即可．答案： D 二、填空题19．已知幂函数f (x )＝xm 2－1(m ∈Z )的图像与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．解析： ∵函数的图像与x 轴，y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1； ∵图像关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 答案： f (x )＝x －120．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，如图(1)所示，要使得y ＝2a 与y ＝|a x －1|有两个交点，需0<2a <1，故0<a <12.当a >1时，如图(2)所示，由于y ＝2a >2，所以y ＝2a 与y ＝|a x －1|不存在两个交点，故a 的取值范围为0<a <12.答案： 0<a <1221．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________．解析：法一：∵a 23＝49，∴log a 49＝23，∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13，∴1log a 23＝3，∴log 23a ＝3. 法二：∵a 23＝49，∴a 2＝64729，∴a ＝827＝⎝⎛⎭⎫233，∴log 23a ＝log 23⎝⎛⎭⎫233＝3. 答案： 322．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5＝________．解析： ∵原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5 ＝1×[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5 ＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2 ＝(lg 2＋lg 5)2＝1. 答案： 123 .lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________．解析：原式＝lg （2×5）－0lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4. 答案： 4 三、解答题 24．化简求值：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12·⎝⎛⎭⎫－56x 13y －16； (2)23a ÷46a ·b ×3b 3.解析： (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×⎝⎛⎭⎫－14×⎝⎛⎭⎫－56·x －23＋(－1)＋13·y 12＋12－16＝2524x －43·y 56. (2)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32 ＝32a 16b 43. 25．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)．若f (x )的图像如图所示，(1)求a ，b 的值；(2)解不等式f (x )≥2.解析： (1)由图像得，点(1，0)，(0，－1)在函数f (x )的图像上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2， ∴f (x )＝2x －2.(2)f (x )＝2x －2≥2，∴2x ≥4，∴x ≥2.26．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，求实数a 的值．解析：当a >1时，f (x )在[0，2]上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （2）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2.∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝3；当0<a <1时，f (x )在[0，2]上递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2，f （2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2，a 2－1＝0.解得a ∈∅. 综上所述，实数a 的值为 3.27．求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解析： (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2·3)2]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62（log 62＋log 632）÷2log 62 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2·log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2·3)＝1.28．计算下列各式的值：(1)log 2125·log 318·log 519；(2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．解析： (1)log 2125·log 318·log 519 ＝log 25－2·log 32－3·log 53－2＝－12log 25·log 32·log 53＝－12·lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝－12.(2)原式＝(log 23＋log 3232)(log 322＋log 2323＋log 32) ＝53log 23·92log 32＝152·1log 32·log 32＝152.29．函数f (x )＝log 2x 在区间[a ，2a ](a >0)上最大值与最小值之差为________．解析： ∵f (x )＝log 2x 在区间[a ，2a ]上是增函数， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 2(2a )－log 2a ＝1. 答案： 1。

专题24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习

（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N ．
3、对数式与指数式的互化
x loga N a x N
对数式
指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1,
2
3
10 49 5 3
3
3
47
10．化简
（1）
2
5 3
0
22
2
1 4
1
2
1
0.01 2
4
3
（2） 3 8 4 3 2 3 2 3
16
【答案】（1）；（2）-2.
15
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
1
1
（1）原式 1
当 x 0 时， 0 y 1 ；
当 x 0 时， 0 y 1 。
当 x 0 时， y 1。
在 , 上是增函数。在 , 上是减函数。
11．函数 y 3 x 的大致图像是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【分析】根据函数的最大值排除 A B D 可得答案. 【详解】
因为 | x | 0 ，所以 y 3|x| 30 1，排除 A B D.
log a M N log a M log a N
16．已知 a log3 2 1 ，则 2a （）
专题 24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题（解析版）
幂函数图像及性质分析
y1 x

专题对数函数、幂函数(教案)高考数学二轮重难点复习专题

对数与对数运算1.在指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)中，幂指数x ，又叫做以a 为底y 的对数．2.一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数．3.对数恒等式a log aN ＝N .4.对数与指数间的关系：a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，a ≠1)．5.常用对数/自然对数以10为底的对数叫做常用对数，通常把log 10N 记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，通常把log e N 记作ln N . 6.对数运算性质 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ⇔log a (MN )＝log a M ＋log a N ；⇔log a MN ＝log a M －log a N ；⇔log a M n ＝n log a M (n ⇔R )． (2)对数的性质 ⇔log a Na＝ N ；⇔log a a N ＝ N (a >0且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．对数函数1.一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．2.对数函数的图象与性质a >10<a <1(1)(0，＋∞) 习题1.对数式lg(2x －1)中实数x 的取值范围是________；2.对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是______．3.下列函数表达式中，是对数函数的个数有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ； ⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ； ⑦y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4.若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.5.若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.6.函数f (x )＝log 3(2x －1)的定义域为______．7.函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为______． 8.函数y ＝log 32x －1的定义域为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1 9.已知a ＞0且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )10.当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)11.函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（）A.(,2)-∞-B. (,1)-∞-C. (1,)+∞D. (4,)+∞12.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________. 13.若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( )A ．a log b 13>0，则 a ，b 之间的大小关系是 ( )A. 10且a ≠1) 恒过定点，其坐标为．幂函数1.一般地，函数y ＝x α(α⇔R )叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2.幂函数的图像3.幂函数的性质4.“对号”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：习题1.在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.3.若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________. 4.当x ∈(1,+∞)时，下列函数中图象全在直线y =x 下方的增函数是（）A. y =x 12B. y =x 2C. y =x 3D. y =x −1 5.若(2m ＋1)21>(m 2＋m －1)21，则实数m 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，26.已知α⇔{－1，1，2，3}，则使函数y x α＝的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，37.已知幂函数f (x )＝x 12)(-+m m (m ⇔N ＋)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．8.已知f (x )＝x 21，若0<a 2 时，a,b,c 的大小关系为（）A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. c <a <b 10.已知函数12)15()(++-=m x m m x h 为幂函数，且为奇函数(1)求m 的值(2)求函数]21,0[,)(21)()(∈-+=x x h x h x g 的值域。

高三数学幂函数、指数函数与对数函数,函数的最值,函数的图像知识精讲

高三数学幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像知识精讲一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质（1）定义形如y x a =（a 是常数，a R ∈）的函数叫做幂函数，定义域是使x a有意义的x 的取值范围。

（2）图像和性质①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。

②a =1312123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，+∞上是增函数。

③a =---2112，，时幂函数图像不过原点且在[)0，+∞上是减函数。

④任何两个幂函数最多有三个公共点。

二、函数的最值1. 值域与最值值域的概念：即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合{|()}}y y f x x A =∈，，值域是函数值的变化区域。

函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。

因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。

2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法（1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。

（2）逆求法：通过反解x ，把x 用含有y 的式子表示出来，使含有y 的式子有意义，求出y 的范围，其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来，并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。

（3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

（4）判别式法：把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。

（5）基本不等式法：利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥，≥233()a b c R ，，∈+可以求函数y 的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。

指数对数幂函数总结归纳

指数对数幂函数总结归纳一、指数函数：1.定义与性质：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数。

当底数为正数且不等于1时，指数函数是增函数；当底数为0和1之间的正数时，指数函数是减函数。

指数函数在x轴的值为1，右侧的值逐渐增加或递减。

它具有这样的性质：a^x * a^y = a^(x+y)，(a^x)^y = a^(xy)。

2.图像：指数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线，称为指数增长曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线，称为指数衰减曲线。

图像通过点(0,1)，且在x轴右侧逐渐上升或递减。

指数增长曲线在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；指数衰减曲线在x趋近无穷大时接近x轴。

3.应用：指数函数的应用十分广泛。

它可以用于描述一些增长或衰减的现象，如人口增长、物质衰变等。

在金融领域，指数函数可以用于计算复利。

在工程中，它可以用于描述电荷的衰减和放电等。

二、对数函数：对数函数是指数函数的反函数。

它的一般形式为y = loga(x)，其中a是底数，x是真数，y是函数值。

1.定义与性质：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

当底数a大于1时，对数函数是增函数；当底数在0和1之间时，对数函数是减函数。

对数函数具有这样的性质：loga(x) + loga(y) = loga(xy)，loga(x^y) = yloga(x)。

2.图像：对数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线。

图像通过点(1,0)，且右侧的值逐渐增大或减小。

对数函数在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；在x轴右侧，它的值逐渐增大。

3.应用：对数函数在数学和科学中有广泛的应用。

它可以用于简化复杂的乘法和除法运算，将其转化为加法和减法。

在计算中，对数函数可以用于求解指数方程，解决一些复杂的问题。

在物理学中，对数函数可以用于描述一些指数增长的现象，如地震的震级等。

三、幂函数：幂函数是以x为底数的多项式函数。

高中数学幂函数指数函数对数函数三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法

高中数学幂函数指数函数对数函数三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法高中数学中，幂函数、指数函数、对数函数和三角函数是常见的函数类型。

这些函数求导的公式常用于解决函数的速率和变化率等问题。

同时，积与商的函数导数求法也是数学中常用的方法之一1.幂函数的导数：幂函数的一般形式为y = ax^n (a ≠ 0, n为实数)。

其导数可以通过求导公式来计算。

对于幂函数 y = ax^n，其导数为 dy/dx = anx^(n-1)。

例如，对于函数 y = 2x^3，其导数为 dy/dx = 3*2x^(3-1) = 6x^2 2.指数函数的导数：指数函数的一般形式为y=a^x(a>0,a≠1)。

其导数可以通过自然对数的导数来计算。

对于指数函数 y = a^x，其导数为 dy/dx = ln(a) * a^x。

例如，对于函数 y = e^x，其导数为 dy/dx = ln(e) * e^x = e^x。

3.对数函数的导数：对数函数的一般形式为y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。

其导数可以通过换底公式和幂函数的导数来计算。

换底公式：log_a(x) = ln(x) / ln(a)对于对数函数 y = log_a(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(a))。

例如，对于函数 y = log_2(x)，其导数为 dy/dx = 1/(xln(2))。

4.三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的导数可以通过基本导数公式来计算。

正弦函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)余弦函数的导数：d(cos(x))/dx = -sin(x)正切函数的导数：d(tan(x))/dx = sec^2(x)5.积的函数导数求法：对于两个函数相乘的情况，可以使用乘积的求导法则来计算。

设函数 y = f(x) * g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 为可导函数，则它们的乘积的导数为 dy/dx = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

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2015高考数学专题复习：指数函数一，定义：函数叫做指数函数， R x ∈ 指出下列哪些是指数函数（1）x y 4= （2）4x y = （3）x y 4-= （4）x y )4(-= （5）x y π=（6）24x y = （7）xx y = （8）)121()12(≠>-=a a a y x 且.填空：1.=⋅n m a a 2.=n a a 3.()=m ab 4.=-m a = 5.=mna6.=-mn a7.()=nm a = 8.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-mb a()x a x f =，则有()()=⋅n f m f ()()=n f m f ()()=nm f指出下列函数所经过象限及值域：（1）131-=+x y （2）21-=-x e y （3）23.0-=x y ()14+=xy π练习：1.下列命题中，正确的是（）A ．函数x y 2=，当0<x 时，1>y B.函数xy 2=，当0>x 时，10<<yC ．函数x y )21(=，当0>x 时，1>y D.函数xy )21(=，当0>x 时，10<<y 2.已知函数b a x f x+=2)(的图像过点)3,21(和)2,0(（1）求)(x f 的解析式（2）画函数)(x f y =的图像 3.比较大小，解不等式（1）5.27.1 37.1 （2）e -8.0 38.0- （3）3.07.1 1.39.0（4）91322≥-x （5）12432<--x x （6）33135≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x4.计算：（1）=328 (2)=-2125 (3)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-521 (4)=⎪⎭⎫ ⎝⎛35278 (5) 3264-(6) =⋅⋅323a a a (7)=⋅⋅2332aa a a (8)213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab =()()21406343383213212015238116--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--===-+x x 10,25102则(11)==-x x 10,25102则 5.已知10<<a ，比较aa aaa a ,,的大小关系6.函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值之和为3，则=a7.函数12311-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 的定义域是8.函数32-=-x a y (0>a ，且1≠a )的图像必经过点9.（1）函数()x f 对任意实数满足()()()y x f y f x f +=⋅，且()643=f ，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.（2）函数)(x f 满足：对任意的实数b a ,，都有,2)1(),()()(=⋅=+f b f a f b a f 且则)3()0(f f +=10.作出函数xy 3=的图像并求值域若函数()11x mf x a =+-是奇函数，则m =__________12.若函数)10(1)(≠>-+=a a b a x f x且的图像经过第二、三、四象限，则一定有（） A ．010><>b a 且 C ．010<<b a 且13.函数bx a x f -=)(的图像如图，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是（）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><=a xxa x f x 的图像的大致形状是（）16.若函数()mx f x+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-121的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是17.求函数xx y 4232+-=+在(]1,∞-∈x 上的值域18.已知函数x x y 4233+⋅-=的值域为[]7,1，求x 的取值范围19.若()1,0,021212≠>≤-⋅+a a a a x x ，求4322+-=xx a a y 的值域20.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a +-+=+是奇函数（Ⅰ）求,a b 的值（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(32)(2+)0f t t f t k -+-≤恒成立，求k 的取值范围()()()()[)()(]()()()()()()()()()[)()()()()()()[)()[)()[]()[)()()()()()()[)+∞∈⇒-≤-==⇒=+-=⎥⎦⎤⎝⎛∈-->>>+∞=-⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞>>∞--+∞><<+=-,1223,1,20,0020.4321,091.4,2813,171.0,116.15.14.13.12.211.,110.949.2,28.,217.265.51,4,98,254,161,24332,32,51442,,4,1,,0,,,3142122371223k k t f t t f b a x f x f f t B b a d c D C x f aa a a a x f D xa a x a ，，，，， 2015高考数学专题复习：对数函数1.对数函数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N a b=，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作（0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数. 底数 1>a10<<a图象3对数运算： 1.log MN a= 2.=N M alog 3.=na M log4.=n a b m log 5.换底公式：=N a log b a log = 6.=M a a log()x x f a log =，则有()=⋅n m f =⎪⎭⎫⎝⎛n m f ()=n m f练习： 1.已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示（1）=35log 14 （2）=57log 14（3）=25log 14（4）=175log 14 （5）=7log 5 （6）=49log 125（7）=2log 14 （8）=28log 35 （9） =125log 22.已知ba ab ,,53,2log 3用==表示：（1）=15log 3 （2）54log 3（3）=50log 8（4）=30log 3 （5） =45log 6 （6） =3320log3.计算：（1）()=+⋅+5lg 5lg 2lg 2lg 2（2）1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+=（3）3log 9344127log 9log ⎪⎭⎫ ⎝⎛++（4）=⋅--+2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 2132（5）=-++9log 6log 8lg 325lg 242（6）001.0lg 72785lg 264lg 313log 317-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=（7）002.0lg 6lg 43lg 431lg 001.0lg 12-++⋅-⎪⎭⎫⎝⎛++=(8)()()=++4.0log 2log 2.0log 5log 25442（9）已知==+==m b a b m a m ,311,log ,log 1644.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A.c b a <<B.b a c <<C.c a b <<D.a c b <<5.比较大小：（1）3ln ,2ln ==b a （2）5log ,4log 3.03.0==b a （3）55ln ,33ln ,22ln ===c b a（4）4log ,3.0log 3.04==b a （5）215,2log ,ln -===e c b a π （6）3.02131)21(,3log ,2log ===c b a（7）2ln =a ，2ln 2=b ，()2ln ln =c （8）ee d c b a ln ,28log ,27log 2log ,4log 3.053=====，π6.已知函数()x f 对任意实数满足()()()y x f y f x f ⋅=+，且()416=f ，求)64(f ，)41(f 的值.并解不等式()322<-x x f7.设1>a ，函数x y a log =在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =8.设2lg ,(lg ),lg a e b e c === （）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>9.下列四个数最大的是（）（A ）6lg （B ）6log 2 （C ）6log 21 （D ）6log2210.3)32(log 23=-x ，则x ＝，若0)lg(lg =x ，则x ＝11.解不等式：3)2(log 3>+x1)1(log 21>-x()041log 25.0≤-x12.已知153log >a，则a 的取值范围是13.若011log 22<++a a a ，则a 的取值范围是（）A ．),21(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21( D ．)21,0(14.设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________15.函数2)13(log +-=x y a 的图像必过定点16.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图像过两点(1,0)-和(0,1)，则（）A ．2,2a b == B．2a b == C ．2,1a b == D．a b ==17.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞ D ．),3(log +∞a18.若奇函数在0≥x 时()a x x f x++=32，则()=x f __________19.若函数()log (a f x x =是奇函数，则a =20.函数)22(log 221+-=x x y 的值域21.方程式2lg =+x x 的解属于区间（）A ．()10，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛451，C.⎪⎭⎫⎝⎛4745， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛247， 22.作函数lg y x=及x y x y lg ,lg ==,1lg -=x y 的图像23.已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是（）A ．11()(2)()43f f f >>B ．11(2)()()34f f f >>C ．11()()(2)43f f f >>D ．11()(2)()34f f f >>24.若函数()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->=0,log 0,log )(212x x x x x f ，若()()a f a f ->,则实数a 的取值范围是（）A ．()()100,1，Y - B.()()∞+-∞-，11,Y C.()()∞+-，10,1Y D.()()101,，Y -∞-25.若,18lg ,12lg b a ==则24lg = （）A.32b a -B.32a b - C. 35b a - D. 35ab - 26.方程032=-+x x的根为α，方程03log 2=-+x x 的根为β，则=+βα27.已知()02lg 3lg lg 2lg 3lg lg 2=⋅+⋅++x x 的解是21,x x ，求=⋅21x x已知()()x yy x y x y x 求,lg lg 2lg 2lg lg ++=++-=29.设m ba ==52，且211=+b a ，则=m （） A ．10 B ．10 C ．20 D ．10030.已知()y x y x lg lg 2lg 2+=-，则y x的值为31.从2013年开始，每一年山东人均收入比上年增加8%，至少要经过年，平均收入才能翻两番. (.48.03lg ,3.02lg ==)32.不等式)210(0log 2，在<-x x a 内恒成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1161， B ．),1(+∞ C ．)1,161(D ．()21121，，Y ⎪⎭⎫⎝⎛33.已知函数()xx f lg =.若b a <<0,且()()b f a f =,则b a 2+的取值范围是（）A ．()+∞,22B ．[)+∞,22C ．()+∞,3D ． [)+∞,334.若函数2()log (1)f x x =+且0,a b c >>>则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（）A ．()()()f a f b f c a b c >> B ．()()()f c f b f a c b a >> C ．()()()f b f a f c b ac >> D ．()()()f a f c f b a cb >>[]()()()()()()()()()[]()()()()21432322112.2239281732652423211+++-+-+--+-+b a a ba b a b a b ba a a ba ba b a b b a b a ()()326125b a a b +++[]()()()()()()()()()49.41877213635214.635342.113--()()()()()()ba c ab b a b a C >>>><432.15.4()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(]()()()()()()()()()()()()().34.3332.1531430.29.2128.6127.326.25.24.2321.0,20.2219.132118.17.16.23215.211431.15321222.231.2511.10,1510.9.8.47.4,2266.87.6.5B C A A C C C D x x f C A C B B d b e a c c b a b a c b c a x ∞-⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛∞+±-->>>>>>>>>>，，，，，，， 2015高考数学专题复习：幂函数作函数图像并完成填空232131031213223,,,,,,,,,----===========xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ，1 幂函数的表达式：2 幂函数的性质：①所有幂函数在上都有意义，并且图像都过点 ②如果0>α，则幂函数图像过原点，并且在区间上为增函数③如果0<α，则幂函数图像在()0,+∞上是3.幂函数()+∞∈=,0,x x y α1，当1>α时若01x ,<<其图像在直线y x =的若1x >，其图像在直线y x =的 2，当10<<α时若01x ,<<图像在直线y x =的若1x >，其图像在直线y x =的4.大概作出下列情况下幂函数在第一象限的图像：()11>α ()102<<α ()03<α()mnx x f =1.作出下列幂函数图像：()()431x x f = ()()432-=x x f ()()343x x f =()()534xx f = ()()535-=x x f ()()346-=x x f2.已知0>c ，下列不等式中一定成立的一个是（）A ．cc 2> B ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛>21 C ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛>212 D ．cc ⎪⎭⎫ ⎝⎛>212 3.下列关系中正确的是（）（A ）313232)21()51()21(<<（B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<<（D ）313232)21()21()51(<< 4.下列函数中值域为()∞+，0的有 ①y =12+-x x ②()01>=x x y ③21x y = ④32-=x y5.函数:①12y x =,②12log (1)y x =+, ③|1|y x =-,④12x y +=在区间()10，上单调递减的函数有 6.幂函数()f x 的图像过点43,27)（，则()f x 的解析式是____________ 7.若函数312x x >，则x 的取值范围为8.若32232(),,l o g 3xa b x c x===，当1>x 时，,,a b c 的大小关系是 ( )A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. a c b <<9.下列各式中正确的是（）A.3131521512⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛- B. 21215465--⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ C. ()()525232->-π D. ()31325<-π10.函数()43223---=xx y 有意义，则x 的取值范围为11.下列四个函数中，是奇函数且在区间()0,1-上为减函数的是（）A.xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B.x x y --=24 C.x y 2log = D.31x y -= 12.函数13y x x =-的图像大致为（）13.已知幂函数()21-=x x f ，若()()221422++>+a a f a f ，则a 的取值范围是()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛--+∞∞-=1,3113.1211.1,310.9.8.,10,7.6.3,25.4,24.3.243A DB B x x f DC Y。