概率统计模型
概率与统计的数学模型
概率与统计的数学模型
概率与统计是数学中两个重要的分支，它们在现代科学和实际生活
中都起着至关重要的作用。概率是研究随机现象发生的规律性，而统
计是用数据推断总体特征的方法。它们的数学模型在研究和应用中具
有广泛的应用和意义。
一、概率的数学模型
概率的数学模型主要有概率空间和概率分布两个方面。
1. 概率空间
概率空间是指由样本空间和样本空间中的事件组成的数学模型。样
本空间是指所有可能结果的集合，事件是指样本空间的某些子集。概
率空间由三个元素组成：样本空间Ω，事件的集合F和概率函数P。概率函数P定义了事件在样本空间中的概率，它满足三个条件：非负性、规范性和可列可加性。
2. 概率分布
概率分布是指随机变量在各取值上的概率分布情况。随机变量是样
本空间到实数集的映射，它描述了随机现象的数值特征。概率分布可
以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来描述。例如，二项分布是描述n重伯努利试验的概率分布，
其PMF可以用来计算在n次试验中成功的次数。
连续型概率分布可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来描述。例如，正态分布是一种常见的连续型概率分布，它在自然界和社会科学中有广泛应用。
二、统计的数学模型
统计的数学模型主要有样本和总体两个方面。
1. 样本
样本是指从总体中获取的部分观察结果。样本可以是随机抽样或非随机抽样得到的，它用来代表总体并推断总体的特征。样本是统计推断的基础。
2. 总体
总体是指研究对象的整体集合。总体可以是有限总体或无限总体，它包含了研究对象的所有可能结果。总体的特征可以用参数来描述，例如总体的均值、方差等。
概率统计模型
风险决策的基本要素 内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果
决策者：进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较 重大和严肃时，通常应以后者形式出现.
B
出海
A 不出海 -1000
C
天气好0.6 天气坏0.4
天气好0.6 天气坏0.4
5000 -2000
-1000 -1000
X
5000
-2000
P
0.6
0.4
于是，出海的收益期望值为：
E(X)=5000×0.6+(-2000) ×0.4=2200
同最理上后例，只，不包出比括海较一的个两决收个策益点期期，望望称值值为单为的级：大决策小问，题进。在行有决此实策际：问出题中海将！包括
0.5 风暴
C
E
(0.3)
(0.2)
正常施工
台风 0.1
-
应急
-50000
-50800
F
D 正常施工
求解上述模型
－18000 0 －24000
－18000 －12000
－20000
(0.7)
－54000
(0.2) (0.1)
7.3 概率统计模型与数学实验
7.3 概率统计模型与数学实验
7.3.1数据的统计描述和假设检验模型
一、基本统计量命令
对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：
均值：mean(x) 中位数：median(x)
标准差：std(x)方差：var(x)
偏度：skewness(x)峰度：kurtosis(x)
例1 20名学生的两次测验成绩(第一列是同一名学生的两次成绩)
输入代码如下：
data=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20;
94,85,79,90,78,76,81,85,88,68,92,73,88,84,90,70,69,83,83,85;
89,89,86,85,87,88,75,93,88,78,86,80,86,89,85,79,78,88,88,90 ]
x=data(2,:)
mean1=mean(x)
median1=median(x)
std1=std(x)
var1=var(x)
skewness1=skewness(x)
kurtosis1=kurtosis(x)
3 常见概率分布的函数
常见的几种分布的命令字符为：
正态分布：norm 指数分布：exp
帕松分布：poiss β分布：beta
χ分布：chi2
威布尔分布：weib 2
t分布：t F分布：F
Matlab工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令字符为：
概率密度：pdf 概率分布：cdf
逆概率分布：inv 均值与方差：stat
随机数生成：rnd
当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.如对均值为mu、标准差为sigma 的正态分布，举例如下：
概率模型知识点总结
概率模型知识点总结
概率模型是一种用来描述随机现象的模型，通常用来预测或计算某个事件发生的概率。在
统计学和机器学习领域，概率模型被广泛应用于数据分析、模式识别、预测和决策等领域。本文将从概率基础、贝叶斯网络、隐马尔可夫模型等方面对概率模型进行详细介绍和总结。
一、概率基础
1. 概率的定义
概率是描述随机事件发生可能性的数学概念。在统计学中，概率通常用P(A)来表示，表示事件A发生的可能性。概率的范围是0≤P(A)≤1，即事件发生的概率介于0和1之间。
2. 条件概率
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。条件概
率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
3. 贝叶斯定理
贝叶斯定理是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。贝叶
斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
4. 随机变量
随机变量是指在试验中可能出现并且有可能取得不同值的量。随机变量分为离散型随机变
量和连续型随机变量两种。
5. 概率分布
概率分布是描述随机变量取值概率的分布情况。常见的概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布等。
二、贝叶斯网络
1. 贝叶斯网络的概念
贝叶斯网络是一种用图模型表示随机变量间依赖关系的概率模型。贝叶斯网络由有向无环
图(DAG)和条件概率分布组成。
2. 贝叶斯网络的表示
贝叶斯网络由节点和有向边组成，节点表示随机变量，有向边表示变量之间的依赖关系。
每个节点都有一个条件概率分布，表示给定父节点的情况下，节点的取值概率。
高中数学模型总结归纳
高中数学模型总结归纳
数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，我们可以对实际问题进行定量分析和预测。在高中数学学习中，数学模型是一个重要的学习内容，它能够培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。下面将从线性规划、概率统计和微分方程三个方面总结归纳高中数学模型的相关知识。
一、线性规划模型
线性规划模型是数学建模中常用的一种模型。它通过建立一组线性方程和一个线性目标函数来描述实际问题，并求解最优解。线性规划模型在经济、管理、交通等领域有广泛的应用。例如，在生产计划中，可以通过线性规划模型来确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。在运输问题中，可以利用线性规划模型来确定最佳的物流路径，以最大化运输效益或最小化运输成本。
二、概率统计模型
概率统计模型是研究随机现象的数学模型。它通过建立概率分布函数和统计模型来描述实际问题，并对随机变量进行分析和推断。概率统计模型在风险评估、市场调查、医学研究等领域具有重要的应用价值。例如，在风险评估中，可以利用概率统计模型来评估不同投资组合的风险和收益，以帮助投资者做出合理的决策。在市场调
查中，可以通过概率统计模型来分析市场需求和消费者行为，以指导企业的营销策略。
三、微分方程模型
微分方程模型是描述变化过程的数学模型。它通过建立微分方程和初始条件来描述实际问题，并求解方程得到解析解或数值解。微分方程模型在物理、生物、环境等领域有广泛的应用。例如，在物理学中，可以利用微分方程模型来描述物体的运动规律，求解方程可以得到物体的位置、速度和加速度等信息。在生物学中，可以通过微分方程模型来描述生物种群的增长和衰退过程，以了解生态系统的变化和稳定性。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型
在高中数学中，概率是一个重要的概念，在日常生活中也随处可见。概率模型是用来描述不确定事件发生的可能性的数学模型。在高中数学中，我们学习了六种常见的概率模型，分别是等可能模型、几何模型、排列模型、组合模型、条件概率模型和贝叶斯模型。
第一种概率模型是等可能模型。在等可能模型中，我们假设所有的结果是等可能发生的，例如掷硬币、掷骰子等。在这种情况下，我们可以通过计算事件发生的可能性来求解概率。例如，抛掷一枚硬币，出现正面的概率和出现反面的概率都是1/2。
第二种概率模型是几何模型。几何模型适用于一些连续事件，例如抛掷一根棍子，棍子落在某个距离范围内的概率。这种情况下，我们需要用到几何概率的计算方法，即事件的概率等于事件所占的长度或面积与总长度或面积的比值。
第三种概率模型是排列模型。排列模型适用于有序事件的概率计算。例如，从一副扑克牌中抽出三张牌，求得其中一种特定牌型的概率。这种情况下，我们可以使用排列的计算公式，将事件的可能性与总的可能性进行比较。
第四种概率模型是组合模型。组合模型适用于无序事件的概率计算。例如，从一副扑克牌中抽出三张牌，求得其中任意三张牌的概率。
这种情况下，我们可以使用组合的计算公式，将事件的可能性与总的可能性进行比较。
第五种概率模型是条件概率模型。条件概率模型是指在已知一些信息的情况下，求另外一些信息的概率。例如，在已知某人生病的情况下，求他感染某种疾病的概率。在条件概率中，我们需要用到贝叶斯公式来计算概率。
第六种概率模型是贝叶斯模型。贝叶斯模型是一种用来更新先验概率的模型。在贝叶斯模型中，我们通过观察到的事实来更新我们对事件发生的概率的估计。这种模型常常用于统计学和机器学习中。
概率模型的建立与应用
概率模型的建立与应用
概率模型是一种用于描述和分析事件发生可能性的数学模型。它基
于概率论的基本原理，通过建立随机变量之间的关系来描述不确定性。概率模型广泛应用于各个领域，包括统计学、机器学习、风险评估等，对于分析和解决实际问题具有重要意义。
一、概率模型的建立
概率模型的建立主要包括以下几个步骤：问题定义、随机变量选择、概率分布函数确定和模型验证。
首先，需要清晰地定义问题。明确问题的背景、目标和参数，确定
我们希望通过概率模型来解决的具体问题。
接下来，选择适当的随机变量。随机变量是概率模型的基本元素，
它表示问题中的不确定因素。根据问题的特点和要求，选择合适的随
机变量来描述问题的随机性。
确定概率分布函数是概率模型建立的关键一步。概率分布函数描述
了随机变量的取值和其对应的概率。常见的概率分布函数包括正态分布、泊松分布、二项分布等，根据问题的具体情况选择适当的概率分
布函数。
最后，需要验证模型的准确性和可靠性。通过数据的收集和分析，
比较实际观测值与模型预测值的差异，评估模型的拟合程度和表现能力。如果模型的预测结果与实际情况一致，说明模型具有较好的描述
和预测能力。
二、概率模型的应用
概率模型在各个领域都有广泛的应用，下面以风险评估为例详细介
绍概率模型的应用过程。
在风险评估中，我们希望通过概率模型来预测风险事件发生的可能
性和影响程度，从而制定相应的风险管理策略。
首先，我们需要明确问题，比如某个行业的经营风险评估。然后选
择适当的随机变量，比如该行业的利润变动、市场需求变化等。接下来，确定概率分布函数，比如利润变动可以假设服从正态分布，市场
logit模型计算概率
logit模型计算概率
Logit模型是一种用于计算概率的统计模型，通常应用于分类
问题。在logit模型中，我们首先计算出一个线性组合，然后将这
个线性组合通过一个logistic函数转换成一个概率值。
具体来说，对于二分类问题，logit模型可以表示为：
P(Y=1|X) = 1 / (1 + exp((β0 + β1X1 + β2X2 + ... +
βnXn)))。
其中，P(Y=1|X)表示在给定输入变量X的情况下，因变量Y取
值为1的概率。exp表示自然指数函数，β0, β1, β2, ..., βn
是模型的系数，X1, X2, ..., Xn是输入变量的值。
在实际应用中，我们可以利用已知的数据集来估计模型的系数，然后将输入变量的值代入模型中，通过logistic函数计算出因变量
取值为1的概率。这样就可以利用logit模型来进行分类预测。
另外，对于多分类问题，我们可以使用多项logit模型来计算
各个类别的概率，具体形式类似于二分类问题的logit模型，只是
需要对应多个类别进行建模。
总的来说，logit模型通过将线性组合转换为概率值，为分类问题的概率计算提供了一种有效的方法。在实际应用中，我们可以利用logit模型进行概率预测，从而进行分类决策。
第三章 概率统计模型
3
i 1
P S n i .
同样, 当n 时, 用稳态概率wi 来代替 P 则
Sn i .
En 0.632 0.285 0.896 0.263 0.977 0.452
0.857.
即从长期看, 每周的平均销售量为0.857.
讨论 在原问题中, 若将订购策略改为: 若当周末的库存量为零 时, 订购量为销售量加2, 否则不订购, 试建立相应的模型.
ds 数值 K 是卖出一份海鲜的收益与处理一份海 d s dc
我们从这个例子看出, 当收益与处理的差价固定时, 鱼贩
的策略只与这些差价有关，而与市价的涨落没有关系.
应用 设鱼贩小张销售带鱼, 早上他从港口进货进价为4元/斤,
白天他在菜市场卖带鱼的售价为7元/斤，晚上他将剩货处
理给饲料厂, 处理价为2.5元/斤, 销售量服从参数为0.03的 指数分布, 求最优的进货量. 由以上分析, 此时K
0.368,0,0.632 .
2 1 P
0 0.632 0.368 0.368 0.368 0.264 0.368,0,0.632 0.184 0.368 0.448
0.251712,0.243952,0.504336 .
i 1
即从长期看, 失去销售的机会为10%. 最后计算平均销售量（用数学期望）:
概率论中几种概率模型方法总结
概率论中几种概率模型方法总结
绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。
1 古典概型
古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n
中的样本点数中的样本点数。在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下:
1.1 袋中取球问题
1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题
随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。
事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。
分析:随机地从袋中取出k 个球有k
m+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这
数学建模 第二章 概率统计模型
的预测值与对应的观测值有较高的一致性，则认为该回归模型拟 合数据，即所谓“拟合优”，否则需重新估计模型，这就是拟合 优度检验。
2.1.4． 聚类分析方法的一般原理
聚类分析过程
• 面对大量的数据和变量，如何快速将具有相近特质的样本或变量 分在一类，从而达到降维和寻找共性的目的就成为一个重要的研 究方向。
1+ eb0 + b1x
多元Logistic回归方程
• 如果解释变量不止一个，则可以将一元logistic回归推广到多元 logistic回归，得到模型如下：
logit(
p)
ln( 1
p
p
)
0
1x1
2
x2
L
m xm +
• 即可类似求得Y=1的概率：
eb0 + b1x1+ b2 x2 + L + bm xm p = 1+ eb0 + b1x1+ b2x2 + L + bmxm
聚类分析方法分类
• 系统聚类 系统聚类按照距离的远近，把距离接近的数据一步一 步归为一类，直到数据完全归为一个类别为止。
• 第一步 将每个样品独自聚成一类，共有n类； • 第二步 根据所确定的样品“距离”公式，把距离较
解释概率模型：Logit,Probit以及其他广义线性模型
16
四、序列logit和probit模型
有时，一些因变量的结果是多样的，但它们并不是一些完全离散的毫无关联的类别。这些反应的类 别可以看做一系列阶段。晚期的响应是嵌套在早期的响应里面的。例如，结婚的决定是分两个阶段的: 一个人是否计划结婚，然后就是这个婚姻是否会在结束了某种教育程度之前开始(例如完成高中或者大 学学历)。
新兵自身教育logit估计的值是0.304，取了自 然指数之后对应的比数就是1.355。保持其他所有 的条件不变，教育每增多一年，分配到一个高级 技巧性的或者特级技巧性的而非中级技巧性的任 务的比数就增加1.355倍。在相同条件下，教育每 增长一年，得到一个特级或者高级技巧性任务是 得到一个中级技巧性任务的比数的1.355倍。
人
完成高中教 育的
没有完成高 中教育的
未完成大学 教育的
完成大学教 育的
y=1，如果某个人没有完成高中教育 y=2，如果某个人完成高中但没有完成大学教育 y=3，如果某个人完成了大学教育但没有一个专业学历 y=4，如果某个人拥有一个专业学历
有职业学历
没有职业学 历
17
相对应的概率：
18
有时候，所得的结果并不仅仅是很有序地分布在决策树的某一个分支上。马达拉 (Maddala，1983)讨论了克拉格和尤勒(Cragg&Uhler，1975)关于私家车需求的研究模型，提 供了另外一种做决定的次序。模型包括了一系列二分的选择:
数学建模-第四章-概率统计模型PPT参考课件
11
数 学
建 例如，对例4.1.1按期望值准则进行决策，则需要 模 计算各行动方案的期望收益值，事实上
E(A1) 4 0.2 6 0.5 1 0.3 4.1 E(A2 ) 5 0.2 4 0.5 1.5 0.3 3.45 E(A3 ) 6 0.2 2 0.5 1.2 0.3 2.56
c）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工， 支付工程的延期损失费50 000元;二是采取应急措施，实施此措施可 能有三种结果：有70%的可能减少误工期 2天，支付延期损失费及应 急费用54 000元；有20%可能减小误工期3天，支付延期损失费及应 急费用46 000元；有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及 应急费用38 000元。
模
1.决策者 2.决策的备选方案或策略A1 ， A2，…，Am 3.决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对
同一个决策问题，不同的决策准则将导致不同 的方案选择。 4.事件或自然状态N1 ， N2 ， …，Nn 5.结果，即某事件(状态)发生带来的收益或损失值
6
数
学
建
模
表 4.4.1
自然状态
天
气
情
13
数
学
建
步骤如下:
模
1.画一个方框□作为出发点，称为决策点。 从决策点画出若干条直线或折线，每一条 代表一个行动方案，这样的直(折)线，称 为方案分枝。分枝数表示可能的行动方案 数。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型
高中数学中，概率是一个重要的概念。它用来描述事件发生的可能性大小。在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。下面将逐个介绍这六种概率模型。
一、等可能概型：
等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
二、几何概型：
几何概型是指在几何空间中进行概率计算。比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。
三、排列概型：
排列概型是指在排列问题中的概率计算。比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
四、组合概型：
组合概型是指在组合问题中的概率计算。比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
五、条件概型：
条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。
六、分布概型：
分布概型是指在统计分布中的概率计算。比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。
概率统计模型(数学建模)
3
二 报童的诀窍
问题：
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有
卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售 价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份 报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太
多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。 试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最 大收入。
1 ，所以
n
ab
p r dr
0
ac
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr
下的两块面积，则
pr
P1 a b
P2 b c
P1 P2
O
n
r
因为当购进
n份报纸时，P1
n
0
pr dr
是需求量
r
不超过
n的概率，即卖不完的概率；P2
pr dr是需求量 r
传送带
挂钩
……
工作台
……
要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假设下建立模型 描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。
1 模型分析
为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送系统的效率，在 工人生产周期（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要 假设工人生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过工作台， 他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，他将产品放下 并立即投入下一件产品的生产，以保证整个系统周期性的运转。
几种概率模型
today sun cloud rain
yesterday sun cloud rain
0.50 0.25 0.25
0.375 0.125 0.375
0.125 0.625 0.375
soggy damp dryish dry
sun cloud rain
0.05 0.15 0.20 0.60 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.35 0.10 0.05
B
1× .6
1
.6
.5× .6
.5× .2
.5× .2
.18
.018
序列标注
标注：人名 地名 组织名 观察序列：毛泽东
实体命名 识别
标注：名词 动词 助词 形容词 副词 …… 观察序列：今天天气非常好！
汉语词性 标注
一、产生式模型和判别式模型（Generative model vs. Discriminative model） 二、概率图模型（Graphical Models） 三、朴素贝叶斯分类器（ Naive Bayes Classifier） 四、隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM） 五、最大熵模型（Maximum Entropy Model，MEM） 六、最大熵马尔可夫模型（MEMM） 七、条件随机场（conditional random fields，CRF）