1.3集合的基本运算-2020-2021学年高一数学同步课堂(人教A版2019必修第一册)

第一章集合与函数概念

1.3 集合的基本运算

一、并集

【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？

【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？

二、交集

【特别提醒】

交集有下列运算性质：A∩B＝；A∩A＝；A∩∅＝。

三、全集

1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为．

2.记法：全集通常记作.

【思考】全集一定是实数集R吗？

四、补集

(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一

方面，补集的元素逃不出全集的范围．

(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 为全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁U A 有三层意思： ①A 是U 的子集，即A ⊆U ； ②∁U A 表示一个集合，且(∁U A )⊆U ；

③∁U A 是U 中不属于A 的所有元素组成的集合，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }． (4)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈∁U A ，二者必居其一．

一、1.提示： “x ∈A 或x ∈B”这一条件包括下列三种情况：x ∈A ，但x ∉B ；x ∈B ，但x ∉A ；x ∈A ，且x ∈B.用Venn 图表示如图所示．

2. 提示：不等于，A ∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合B 的元素个数和． 二、 B ∩A A ∅ 三、1.所有元素 全集 2. U

提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R ，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、不属于集合A ∁U A {x |x ∈U ，且x ∉A }

1．并集的运算 求集合并集的方法

(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn 图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．

(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．

(1)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )

A ．{0}

B ．{0,2}

C ．{－2,0}

D ．{－2,0,2}

【答案】D

【解析】M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，－2}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}，故选D.

(2)已知集合M ＝{x |－35}，则M ∪N ＝( )

A ．{x |x <－5或x >－3}

B ．{x |－5

C ．{x |－3

D ．{x |x <－3或x >5} 【答案】A

【解析】在数轴上表示集合M ，N ，如图所示，则M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}．

【跟踪训练】

设集合A ＝{－1，0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2，3}

C.{－1，0，－2}

D.{－1，0，－2，3}

【答案】D

【解析】因为A ＝{－1，0，－2}，B

＝{

x |x 2－x －6＝0}＝{－2，3}， 所以A ∪B ＝{－1，0，－2，3}.故选D.

2．交集的运算

求两个集合的交集的方法

(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．

(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．

（1）若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A.{2}

B.{3}

C.{－3，2}

D.{－2，3}

【答案】A

【解析】易知A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B ＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{2}，故选A.

（2）已知集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( )

A ．{x |x >－1}

B ．{x |x <2}

C ．{x |－1

D ．∅

【答案】C

【解析】在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，故A ∩B ＝{x |－1

【跟踪训练】

（1）设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A.{2}

B.{1，2，4}

C.{1，2，4，6}

D.{1，2，3，4，6}

【答案】B

【解析】由题意可得：A ∪B ＝{1，2，4，6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}.故选B. （2）若集合A ＝{x |－23}，则A ∩B ＝( ) A.{x |－2

【解析】∵A ＝{x |－23}，∴A ∩B ＝{x |－2

利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .

(2)关注点：当集合A ⊆B 时，若集合A 不确定，运算时要考虑A ＝∅的情况，否则易漏解