黎曼积分与勒贝格积分

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黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。

黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。

黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。

勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。

因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。

此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。

例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。

此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。

黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i Λ2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<==Λ10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i Λ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E Y 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=Λ21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤Λ.⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()()Λ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.。

黎曼积分与勒贝格积分的区别

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。

在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。

本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。

1. 定义黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分形式。

对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。

而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函数类。

勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。

2. 性质黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。

黎曼积分对函数的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。

而勒贝格积分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。

此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定义的，更加灵活和一般化。

3. 应用在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。

黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下面积、求定积分等。

而勒贝格积分则在测度论和概率论等领域有着重要的应用，能够处理更加复杂的函数和集合。

总的来说，黎曼积分是微积分中最基本的积分形式，适用于一般函数的积分计算；而勒贝格积分是对黎曼积分的推广，更加抽象和一般化，适用范围更广，能够处理更加复杂的函数和集合。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在一定的区别，各有其特点和适用范围。

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分与勒贝格积分积分是微积分中重要的概念之一。

在实际问题中，我们常常需要求解一个区间内函数的面积或者体积。

这个过程就称为积分。

积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。

一、黎曼积分黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。

它是积分的一种基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种积分形式。

黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区间[a，b]上的黎曼积分。

黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼积分是没有定义的。

二、勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。

它是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。

具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。

我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。

于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。

勒贝格积分相对于黎曼积分而言，可以积分更多的函数，也避免了因非连续点而产生的积分误差。

但是它在实际计算上会稍稍麻烦一些。

三、总结黎曼积分和勒贝格积分是积分的两种基本形式。

黎曼积分在实际计算中比较简单，但不是所有函数都能够使用黎曼积分。

勒贝格积分是一种更加通用的积分形式，它可以积分更多的函数，但相对于黎曼积分而言，计算会有一些复杂。

勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。

⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。

1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。

那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。

首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。

设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。

它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。

首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。

而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。

从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。

此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。

但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系,勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类,降低逐项积分与交换积分顺序的条件。

勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义，使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了.它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

关键词:勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1。

1黎曼积分定义设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n —1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-1x ∆ 2x ∆ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max -T 的细度，若()i ni iT x f ∆∑=→10limξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10l i m ξ1。

2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 ni i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一个L —分划2）设{}n E E E D 21=，{}''2'1'D nE E E =均为E 的一个L-分划,若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细)3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解,因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分.对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求{}k E 是单调增加的可测集合列，其并为E ，若极限()dx x f KE k ⎰∞→lim存在,则f 在E 上勒贝格可积，且有()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim当k E 是矩体k I 且()x f 在每个k I 上都是有界连续函数，同时满足()dxx f KE k ⎰∞→lim〈∞时，可以通过计算黎曼积分()dx x f E⎰而得到勒贝格积分()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim而且计算方法与k I 的选择没有关系，只需保证{}k I 单调增加到并集E 。

黎曼积分与勒贝格积分的区别

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。

在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。

而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。

本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。

一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。

黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。

黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。

黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。

但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。

对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。

二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。

勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。

勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。

勒贝格积分与黎曼积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较449 陈佳龙 908 王珏 194 杜腾飞关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。

其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。

事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。

基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的范畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究范围也由R 上有界闭区间延伸到了整个N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。

这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。

为更好地说明L 积分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。

R 积分是这样定义的：定义设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点b x x x x a n =<<<<=K 210将区间[]b a ,分成n 个小区间。

令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k nk x ∆=≤≤1max λ。

在每个小区间[]k k x x ,1-上任取一点()k k k k x x ≤≤-ξξ1，并且作和()k nk k x f ∆=∑=1ξσ.如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即 (),lim lim 1I x f k nk k =∆=∑=→→ξσλλ则称此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作()dx x f I ba⎰=，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。

勒贝格积分与黎曼积分

从这里，我们也可以看出勒贝格积分“对值域进行划分”的好处。接下来，我用更直观的证明来说明在常义积分下，两个积分的关系：
（1）若 f (x) 为 (R) 可积，则 f (x) 为（L）可积，且积分值相等；设 f (x) 是 [a,b] 上的常义 (R) 可积函数，由以上定理 4 知 f (x) 在 [a,b] 上的不连续点集是零测集，因此 f (x) 是 [a,b] 上的有界可测函数，所以 f ∈ L[a,b] 。对 [a,b] 的任一分划 T : a = x0 < x1 < … < xn = b ，记号 M i , mi , ∆xi 如前面所述，则
所以有，
对左端取上确界，右端取下确界，得
再由 f ∈ R[a,b] ，知
（2）若 f (x) 为（L）可积，推不出 f (x) 为 (R) 可积。 1, x ∈[0,1] ∩ Q
考虑定义在 [0,1] 上的函数 f (x) = 0, x ∈[0,1] \ Q 显然，函数 f (x) 在 [0,1] 上为（L）可积，但不是 (R) 可积。
0, x为无理数
子就是狄利克雷函数——
f (x) = 1, x为有理数
，这个函数就不能被黎曼
积分所定义。所以，勒贝格考虑对值域进行划分，这样子，在局部
将值域限制，不让函数剧烈震荡，就可以对它进行积分了。 3. 勒贝格积分的优点勒贝格积分就是为了弥补黎曼积分不足而创造的，在这里，我
们先详细地叙述一下黎曼积分的缺点： 3.1 黎曼积分的可积函数类很小，而勒贝格积分的可积函数类
需要满足太强的条件。
勒贝格控制收敛定理：设，
，
lim
k →∞
fk (x) =
f (x) ，a.e.

浅谈黎曼积分与勒贝格积分

浅谈黎曼积分与勒贝格积分1 序言积分是整个分析数学中最基本的概念，我们已学过的积分有黎曼积分(简称R 积分)和勒贝格积分(简称L 积分)．黎曼积分产生于1854年，它对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的．但对量子力学中的物理量与概率论中一般随机变量的数学期望是不够用的．而勒贝格积分是实变函数论的中心课题，由法国数学家勒贝格在20世纪初（1902年）提出来的．它是黎曼积分的推广与发展，是一种新型积分理论．它对于处理数学分析中的一些重要结果，如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿—莱布尼茨公式问题是相当灵活深刻与自然的．2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1 积分定义首先我们从两种不同的分划来考察这两种积分．定义1)146145](1[-P 设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，区间[]b a ,作分划b x x x a T n =<<<= 10:，将[]b a ,分成几部分，在每个小区间[]1,+i i x x 上任取一点i ξ，1,,1,0-=n i 记1--=∆i i i x x x ，作和)()(11i i n i i x x f -=--=∑ξσ．令)m ax (1i i x x -=+λ．如果对区间任意的分划与i ξ的任意取法，当0→λ时，σ趋于有限的极限I ，则称它为()x f 在[]b a ,上的黎曼积分，记为：dx x f R I ba⎰=)()(．而勒贝格积分有如下定理：定理1)135](2[P 设()x f 是[]b a ,上的有界可测函数，()≤≤x f c d ．对于[]d c ,的分法，d y y y c n =<<<= 10，令[](){},,,;,max 111i i i i i ni y x f y b a x x e y y y <≤∈=-=∆--≤≤任取[]i i i y y ,1-∈η，则ini iy b a me dm x f ∑⎰=→∆=1],[lim)(η (ime 表示ie 的测度)此定理说明，勒贝格积分也如同建立黎曼积分那样，通过分划、近似求和、取极限三步来得到，但与黎曼积分不同之点是“分法”的不同．勒贝格积分是对函数值域[]d c ,进行分划．在集合[](){}i i i y x f y b a x x e <≤∈=-1,,;上，函数值()x f 变化不大，近似于()x f ，从而保证了极限i iy me ∑→∆ηlim的存在．而黎曼积分则是对定义区间[]b a ,的分划b x x x a n =<<<= 10，{}i ni x x ∆=∆≤≤1max ，取[]i i i x x ,1-∈ξ，此时，无论x∆怎样小，即分法无论怎样“细”，()x f 在[]i i x x ,1-上的变化可能是很大的．于是极限()ini ix xf ∆∑=→∆1limξ就有可能不存在，即黎曼不可积．因此有界可测函数虽然在[]b a ,上的勒贝格积分存在，但黎曼积分就不一定存在了．实质上，黎曼积分是将定义区间[]b a ,分成小区间[]i i x x ,1-，而勒贝格积分是将定义区间[]b a ,分成小的可测集i e ，()x f 虽在某个小的区间[]i i x x ,1-上可能变化很大，而在每个小集合i e 上可能变化很小．2.1 函数的可积范围勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类广泛．勒贝格积分比较完整地扩充了黎曼积分，比较系统地克服了黎曼积分的某些缺陷．定理2)147](1[P 定义在有限区间上的函数若为R 可积，则必为L 可积，且积分值相等．（这说明勒贝格可积函数集是黎曼可积函数集的推广）．另外一方面，勒贝格可积却不一定黎曼可积．例1 函数()⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x x D ,1,0在[]10，上有界但不是R 可积的，却是L 可积的．证显然[]1,0,1)(∈≤x x D ．对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，1)(11=∆=∆∑∑==ni iin i ixx D ξ；当取i ξ全为无理数时，0)(1=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多少小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即)(x D 在[]10，上R 不可积．可见黎曼可积函数类受到一定条件的限制．而在L 积分定义下，此函数在[]10，上是勒贝格可积的，且 ()[]0)(1,0=⎰dm x D L ．可见勒贝格积分比黎曼积分的积分适应范围广．2.2 积分的可加性)101100](3[-P这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性．黎曼积分具有有限可加性，即若()n i E E E E i ni i ,,2,1,,1===，均为有限区间．(),j i E E j i ≠Φ= 则有()∑⎰⎰==ni E Eidx x f dx x f 1)(．但是黎曼积分不具有可数可加性．例如取 ()(],,2,1,1,11,1,11,1,0,1~=⎥⎦⎤⎝⎛+=⎥⎦⎤ ⎝⎛+===i i i E n E E x f i 则∞==1i iEE ， ni iEE 1~==， ()j i EE ji≠Φ= ，从而有1)(~+=⎰n ndx x f E， 1)()()()(211+=+++=⎰⎰⎰∑⎰=n ndx x f dx x f dx x f dx x f niE E E ni E ， 1)(=⎰dx x f E，=∑⎰∞=dx x f i E i1)( ++++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f nE E E )()()(21++-+--++-+-=1111113121211n n n n 1≠，所以,)()(~1dx x f dx x f Eni E i⎰∑⎰==dx x f dx x f Ei E i⎰∑⎰≠∞=)()(1．对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷．我们有下面的定理做保证．定理3)101](3[P 设()x f 是有界可测集E 上的可积函数，∞=iiEE ，i E 等均可测且两两不相交，则有dm x f dm x f i E Ei∑⎰⎰∞==1)()(．对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解．我们知道，R 积分建立在具有有限可加性的测度之上，L 积分建立在具有可数可加性的L 测度之上，因此也就反映到了相应的积分上来了．2.3 可积函数的连续性连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数．比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的．非黎曼可积的函数的例子也是容易举出的．例如狄利克雷函数)(x D 就不是黎曼可积的．那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件．他将函数的可积性归结到了函数的内在性质——连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚．这个可积条件是：有界函数)(x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是)(x f 的不连续点集为零测度集．例如黎曼函数)(x R ⎪⎩⎪⎨⎧>==为无理数当为互质的整数）当x q p q q p x q ,0,,0(,1这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的．虽然在[]10，中有无穷多个有理点，而黎曼函数在[]10，上的不连续点有无穷多个，但这个函数在[]10，上仍然是黎曼可积的，且有⎰=100)(dx x R ，事实上，[]10，中的全体有理数组成一个零测度集．所以黎曼函数是黎曼可积的．现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质．设)(x f 是可测集)(∞<⊂mE R E 上的连续函数，则)(x f 在E 上勒贝格可积⇔)(x f 在E 上勒贝格可测．那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理．设)(x f 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对于任意0>δ，存在闭子集E E ⊂δ，使)(x f 在δE 上是连续函数，且δδ<-)(E E m ．从这个定理可以看出，在可测集E 上几乎处处有限的可测函数是基本连续的，或称为是近于连续的．因此勒贝格可积函数是近于连续的．对应于黎曼可积函数的情形，有0)(=-δE E m ．例如，在[]10，上定义的狄利克雷函数)(x D ： )(x D ⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x ,1,0显然)(x D 是有界函数，但)(x D 在[]10，上无处连续，所以在[]10，上)(x D 的所有不连续点组成的集合为[]1,0=E ，且01≠=mE ，所以)(x D 不是黎曼可积的，但)(x D 是简单函数，所以)(x D 是可测的，从而)(x D 是勒贝格可积的．通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出． 2.4 积分与极限的交换勒贝格积分较黎曼积分优越些．对于黎曼积分来说，积分求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分符号交换顺序．这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强．而对于勒贝格积分，我们有勒贝格控制收敛定理，勒维定理．从这两个定理出发，我们可以得到对于非负可测函数项级数是可以逐项积分的．对于勒贝格积分来说，要使积分号与极限号能换序，无须一致收敛那样强的条件，只需可测函数列{}n f 几乎处处收敛(或更弱一些依测度收敛) ，且有可积的控制函数)(x g 就行．用狄利克雷函数)(x D 来说明，把[]10，中的有理点依次排列为 n r r r ,,,21，做函数)(x D n ：)(x D n {}⎩⎨⎧∈=.,0,,,,121其余情形若n r r r x则{}N n n x D ∈)(几乎处处收敛于)(x D ，)(x D n ≤)(x D 且)(x D n .,0N n ∈≥因此在L 积分意义下，有[][]⎰⎰==∞→1,01,0.0)()()(limdm x D L dm x D n n但)(x D 不是R 可积的，就谈不上上述极限等式成立的可能性．尽管在R 积分意义下， ⎰=10,0)()(dx x D R n .N n ∈定理4)141](1[p （勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下述条件：)(x f n 的极限存在，)(x f )(lim x f n n ∞→=，且有可积函数)(x g 使);)(()(N n E x x g x f n ∈∈≤，那么，f 可积且有dm x f dm x f En n E)(lim )(⎰⎰∞→=．例2)208](1[P 求极限⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n ．解因为nx xn nx522sin 121+在[]1,0上连续，所以在[]1,0上R 可积．又因为 212121222252211sin 1-+=+≤+x xn nx x n nx nx x n nx ， []1,02121L x ∈≤-，0sin 1lim52221=+∞→nx xn nxn ，[]1,0∈x ．由勒贝格控制收敛定理，得 ⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n=nxdm x n nx L n 5]1,0[22sin 1)(lim 21⎰+∞→=[]001,0=⎰dm ．定理5)138](3[P 设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下面的条件：;)()(021 ≤≤≤x f x f ),()(lim x f x f n n =∞→则)(x f n 的积分序列收敛于)(x f 的积分：.)(lim )(dm x f dm x f n n E∞→=⎰定理6)137](1[P 设)(x f ，)(x u n ，)(N n ∈均为可测集E 上的非负可测函数，且)()(1x u x f n n ∑∞==，则.)()(1dm x u dm x f n En E∑⎰⎰∞==勒维定理用起来特别方便，在R 积分论中没有任何类似结果可与之比拟，试看一个简单例子．例4)207](1[P 设)(x f 0≥为可测函数,令 {}⎩⎨⎧=,0),()(x f x f n ,)(,)(n x f n x f >≤则当)(x f 几乎处处有限时,有{}⎰⎰=∞→EnEn dm x f dm x f )()(lim．证令{}n n x f x f )()(=，则)(x f n )(,0x f n ≥单调上升,且几乎处处收敛于)(x f , 据勒维定理即知⎰⎰=∞→EEn n dm x f dm x f )()(lim ．2.5 牛顿—莱布尼茨公式数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式 dt t f a f b f ba)()()('⎰=-．在数学分析中通常在)(x f 有连续导数的假定下证明上述公式．或者将条件减弱些，但总要求)('x f 为R 可积才行．可是对L 积分情形，可以在)('x f 为L 可积的条件下进行讨论，并且由可积函数可引进一种绝对连续函数概念，后者几乎处处存在有限导数．看以下定理:在通常数学分析中，对微积分学基本定理，即牛顿—莱布尼茨公式 ⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(成立所给的条件是很严的；)(x f 在[]b a ,上连续，)()('x f x F =，[]b a x ,∈，即)(x F 是)(x f 的任一原函数．换言之有定理7)143](2[P 若)('x F 在[]b a ,上连续，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理的条件可减弱如下：定理8 若)(x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()()b a x x f x F ,,'∈=则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理9 若)(x f 在[]b a ,上可积(不一定连续)，且)()('x f x F =，[]b a x ,∈，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(而勒贝格积分中的牛顿-莱布尼茨公式成立的条件为:定理10)144](2[P 若)(x F 在[]b a ,上可微，且)('x F 有界，则)()('x f x F =勒贝格可积，且⎰-=baa Fb F dm x f L ).()()()(定理10告诉我们，对于具有有界导数的函数，牛顿—莱布尼茨公式成立．以上四个定理均给出牛顿—莱布尼茨公式成立的充分条件．那么什么是该公式成立的充要条件呢？我们叙述结果之前先给出定义２)145](2[P 设)(x f 定义在[]b a ,上，如果0,0>∃>∀δε，使得对于[]b a ,上任意有限个互不相交的开区间族{}),(i i a b ，当δ<-∑)(i iia b时，就有ε<-∑ii i a f b f )()(成立，则称)(x f 是[]b a ,上的一个绝对连续函数．定理11)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()('b a x a F x F dm t F L xa∈-=⎰成立的充要条件是)(x F 在[]b a ,上绝对连续．进而可得定理12)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()(b a x a F x F dt t f R xa∈-=⎰成立的充要条件是：（1）)(x f 在[]b a ,上黎曼可积，（2）)(x F ∃，在[]b a ,上绝对连续，使得)()('x f x F =在[]b a ,上几乎处处成立．【附注】定理12的充要条件（2）可改为 (2'))(x F ∃在[]b a ,上满足莱布尼茨条件，使得)('x F )(x f =在[]b a ,上几乎处处成立．其中)(x F 满足莱布尼茨条件是指:,,,021x x c ∀>∃[]212121)()(,,x x c x F x F b a x x -<-⇒∈．由定理11, 定理12可知，)(x f 勒贝格可积是不定积分存在的充要条件；而黎曼可积与原函数存在之间并无必然的联系，即存在黎曼可积但无原函数的函数，也有原函数存在但黎曼不可积的函数．例5)7574](4[-P符号函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1;0,0;0,1)sgn(x x x x 在[]1,1-上是黎曼可积的，但函数)sgn(x 不存在原函数．例6函数)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,0,0,1cos 21sin 2222x x x x x 存在原函数)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 2x x xx 但)(x f 在[]1,1-上不是R 可积的，因为221cos 2xx 在[]1,1-上无界．所以说勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越．3 总结综上所述，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且因为它所具有的独特的性质，解决了古典分析中许多解答不了的问题，使分析数学进入到现代分析时代．然而，随着函数论、概率论等各门学科的发展，也暴露出来勒贝格积分的局限性．数学的发展将是不可限量的．可以预测：随着依赖数学为基础的其他学科的发展，积分的发展也会越来越完善．参考文献[1] 郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要[M]．高等教育出版社，2004 [2] 朱玉堦．实变函数简编[M]．高等教育出版社，1987[3] 潘学锋．浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系[J]．甘肃联合大学学报，2007，09 [4] 汪秀荣．从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展[J]．广西师院学报，1996，09 [5] 张良勇，董晓芳．浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J]．高等函授学报，2006，08 [6] 周成林．勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J]．新乡教育学报，2005，09 [7] 刘晓辉，刘文菡．勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J]．新余高专学报，2006，02 [8] Serge Lang ．Realand Function Analysis 3rd ed [M]．Spring-Verlag ，1997。

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别黎曼积分和勒贝格积分是微积分中的重要概念，它们的联系与许多定理有着密不可分的关系，这篇文章首先将简要介绍它们的概念，然后讨论它们之间的联系和区别。

黎曼积分指定义在定义域上函数及其导数组成的可积函数，它的定义源于数学家黎曼的研究，主要包括类连续型函数及其衍生物的积分，这样的积分的计算可以方便的由柯西积分和分部积分来实现。

勒贝格积分（Leibniz Integral）又称作定积分，是微积分中极为重要的概念，它可以用来对被积函数与定义域范围内的某一点（通常作为积分上限）上的值作出定义，从而计算出函数在定义域内满足某种约束条件时的定量结果。

它是科学家勒贝格早期研究的体现，这类积分具有可积性、同参数性等特征。

黎曼积分和勒贝格积分之间的联系非常密切，它们最主要的区别在于它们的定义方式。

首先，它们各自的定义条件是不同的，前者要求函数及其导数连续，而后者则要求函数及其定义域范围内某一点上的值作出定义。

其次，在实际计算上，勒贝格积分更加困难一些，因为在函数的定义域范围内的某一点上的值的定义需要更多的计算才能得出，而黎曼积分则只要求函数及其导数的连续性，因此，计算上较为简单。

它们之间的联系也非常密切，首先，黎曼积分也可以用于计算勒贝格积分，它们都可以把复杂的积分分解为一系列更简单的积分
从而求得最终结果；其次，黎曼积分和勒贝格积分之间也存在多种比较关系，比如黎曼积分是微分方程的特殊形式，勒贝格积分也可用于定义解决特殊的积分问题。

总的来看，黎曼积分和勒贝格积分都是微积分中非常重要的概念，它们之间存在着一定的联系，而且在计算上也相互交互。

正是因为它们之间的联系，使得它们在实际计算中经常运用到一起，这样就可以更好地求解复杂的积分问题。

(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

3 Ex,xfn都收敛于xf,则xf在E上勒贝格可积其积分为 dmxfdmxfEEnnlim. 对一般的函数由于xfxfxf,则 dmxfdmxfdmxfEEE. 若左端的两个积分值都有限时,称xf在E上勒贝格可积. 勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积. 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在ba,上的xf黎曼可积的必要条件是xf在ba,上有界. 注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件 1、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为xf在ba,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设xf在ba,上有界,bxxxaTn10为对ba,的任一分割,其中令 iixxxfM,sup,iixxxfm,inf,iiixxx1,11iiniixxms,11iiniixxMS,ni,2,1有 dxsdxSbaba. 2、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得
4 iiiiniimMwxw1. 3、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得 TsTS成立. 4、定义在ba,上的函数xf黎曼可积的充分必要条件为xf在ba,上的一切间断点构成一个零测度集. 注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件 1、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为0,总存在E的某一分割D,使得 iiimEw. 2、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 3、设xf在ba,上的黎曼反常积分存在,则xf在ba,上勒贝格可积的充要条件为xf在ba,上的黎曼反常积分存在,且有 babadxxfdmxf,. 4、设xfn为E上的可测函数列,xfn在E上的极限函数几乎处处存在,且MdxxfEn,则xf在E上勒贝格可积. 5、设xf是是定义在可测集E上的连续函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质

黎曼积分和勒贝格积分

从而
b
(x)dx
f (x)dx
b
f (x)dx 0，
[a,b]
a
a
又(x) 0 a.e.于[a,b],
故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
又(x) 0 a.e.于[a,b], 故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集，
0
1
⑵ 非负可测函数的积分
设f(x)为E上非负可测函数，定义
(L)E f (x)dx sup{(L)E (x)dx :(x)为E上的简单函数,
0 (x) f (x)}
为f(x)在E上的Lebesgue积分.
⑶ 一般可测函数的积分
设f(x)为E上的可测函数，定义
(L) f (x)dx (L) f (x)dx (L) f (x)dx
是
E

i 1
Ei
(
Ei可测且两两不交）
上非负简单函数，定义(L)E

(
x)dx

n

ci
mE i
i 1
为 (x) 在E上的Lebesgue积分.
例：对Dirichlet函数
D(x) 1 x[0,1]Q 0 x[0,1]Q
有(L)E D(x)dx 1 0 01 0

x(n) 1

x(n) 2

x(n) kn
b
n 1,2,3,
|
T
(n)
|
max{xi(n)

x(n) i1
:
1 i kn}
lim | T (n) | 0

黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性

黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性一、本文概述本文将深入探讨黎曼积分（Riemann Integral）的局限性和勒贝格积分（Lebesgue Integral）的优越性。

黎曼积分作为数学分析中的经典积分理论，具有广泛的应用和深远的历史影响。

然而，随着数学理论的发展和应用领域的拓展，其局限性逐渐显现。

勒贝格积分作为一种更为先进的积分理论，不仅克服了黎曼积分的缺陷，而且在处理复杂函数和更广泛的积分问题上显示出独特的优越性。

本文将通过对比两者的定义、性质和应用实例，全面揭示勒贝格积分相较于黎曼积分的优势所在，进而揭示积分理论在数学及其他领域中的重要作用。

二、黎曼积分的局限性黎曼积分，作为微积分学中的经典概念，对于许多基本的数学问题和物理问题都提供了有效的解决方案。

然而，随着数学理论的发展，人们逐渐发现了黎曼积分的局限性，这主要体现在以下几个方面：黎曼积分在处理某些类型的函数时显得无能为力。

比如，对于那些在某一点处不连续但在该点附近快速振荡的函数，黎曼积分往往难以准确描述其积分行为。

这是因为黎曼积分依赖于函数在分割区间上的上确界和下确界，而对于快速振荡的函数，这些上确界和下确界可能并不能很好地反映函数的整体特性。

黎曼积分在处理无界函数时也存在困难。

虽然可以通过引入极限过程来处理无界函数的积分，但这无疑增加了计算的复杂性。

相比之下，勒贝格积分则能更自然地处理这类问题，因为它允许函数在积分区域内无界，只要其积分值有限即可。

黎曼积分在处理可测集时也有一定的局限性。

在黎曼积分的定义中，积分区域必须是一系列矩形的并集，这限制了其在处理复杂集合时的应用。

相比之下，勒贝格积分则将积分区域推广到更一般的可测集，这使得它在处理更广泛的数学问题时具有更大的灵活性。

尽管黎曼积分在许多方面都有着重要的应用，但其局限性也限制了其在某些领域的发展。

相比之下，勒贝格积分则以其更广泛的适用范围和更强的处理能力，逐渐成为现代积分理论的主流。

勒贝格积分和黎曼积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较20141000449 佳龙20141003908 王珏20141000194 杜腾飞关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R 积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。

其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。

事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。

基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究围也由R 上有界闭区间延伸到了整个N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。

这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。

为更好地说明L 积分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。

R 积分是这样定义的：定义设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点b x x x x a n =<<<<= 210将区间[]b a ,分成n 个小区间。

令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k nk x ∆=≤≤1max λ。

在每个小区间[]kk x x,1-上任取一点()k k k kx x ≤≤-ξξ1，并且作和()k nk k x f ∆=∑=1ξσ.如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即(),lim lim 1I x f k nk k =∆=∑=→→ξσλλ则称此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作()dx x f I ba⎰=，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别

浅谈R积分和L积分的联系与区别数学学院数学与应用数学（师范）专业 2009级某某指导老师某某摘要：积分在整个分析数学中有着重要的地位，现有的积分有两种形式：一种是作为研究数学分析中心内容的黎曼积分（简称R积分），一种是作为研究实变函数核心内容的勒贝格积分（简称L积分），这两类积分既有密切的联系，又有本质的区别。

本文主要是从黎曼积分和勒贝格积分的定义出发，进行分析和比较，利用实例来归纳总结出它们的联系与区别。

关键词：黎曼积分；勒贝格积分；联系；区别Abstract: Integral plays a critical role in the whole of Analytic Mathematics. And the current integration has two forms: one is the Riemann integral (R integral) which is regarded as the central content of the study of the mathematical analysis. The other one is the Lebesgue integral (L integral) which is regarded as the core content of the study of the real variable function. The two kinds of integral not only have the close relations but also have the essential differences. According to the definition of the Riemann integral and the Lebesgue integral ,this paper analyses and makes a comparison with the definitions, which uses some examples to summarize their relations and differences.Key words:Riemann integral; Lebesgue integral; relation; difference1 引言积分学的历史很早，它起源于求积问题。

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别

黎曼积分与勒贝格积分

勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

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勒贝格积分与黎曼积分的比较

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(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

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黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性

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