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第35讲 依概率收敛,切比雪夫不等式
问题的提出：
在第4讲中, 曾提到“频率的稳定值记为概 率 ”, 这个“稳定”是何含义？
2
记nA为n重贝努里试验中事件A发生的次数, 则nA /n为事 件A出现的频率. 若在一次试验中A发生的概率为p. 当
试验的次数充分大时, 频率的稳定值为p, 是指
lim nA p
且Xi相互1独n 立,
E( n
i 1
Xi
故
)
,
D
(
1 n
n i 1
Xi)
1 n2
n i 1
D(Xi)
5. n
(1) 当 n 100时 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 知
100
P{| 1 100
i1
Xi
|
0.5}
1 5 / 100 0.8; 0.52
(2) 同 样 利 用 切 比 雪 夫 不 等式 ，要 使 得
则
对
于任意
PX
0,
都
有 22：.
定理的等价形式为：
PX
1
2 2
.
f (x)
8
证明：对于任意
0， 令 Z =
,
0,
当| 当|
X X
| |
时 ； 时 .
则 Z | X |, 那 么 X 的 方 差 ( D ( X ) E[( X )2 ])
存 在 时 , E (Z 2 )也 存 在 , 且 E (Z 2 ) D ( X ).
如:当n 时, Xn YnPa b, Xn Yn Pa b, Xn / Yn Pa / b (b 0).
特别地, 若Xn Pa, f (x)在点a连续, 则 f ( Xn ) Pf (a), 当n 时.
7
定理（切比雪夫不等式）：
设随机变量 X具有数学期 望
E X , 方差 D X2 ,
1－0.9974 0.0026 1 . 9
Chebyshev不等式应用范围广，但是结果比较粗糙.
11
例2：某天文机构想测量宇宙中两颗行星的距离, 进行了n 次独立的观测, 测量结果分别Xi (光年), i=1, 2, …, n. 若
E( Xi ) (为两颗行星的真实距离, 未知), D( Xi ) 5 .
n
P{|
1 n
i1
Xi
| 0.5} 1 5 / n 0.95，
0.52
n需 满 足 n 400. 13
比如： 设E( X） , D（X） 2, 取 K D（X）K ,
则有
P(|
X
|
K )
DK（2X）2
1 K2
.
取 K 3, 则 P (| X | 3 ) P ( X ( 3 , 3 )) 1 .
9
而 当 X ~ N ( , 2 )时,
P (| X | 3 ) 1 P (| X | 3 ) 1 ((3) (3))
lim P n
nA n
p
0.
这种收敛性称为“依概率收敛”！
4
定义：设Y , Y , , Y , 为一个随机变量序列, c为一常数,
12
n
若对于 0, 均有：
lim PYn c 0,
n
成立, 则称随机变量序列Yn, n 1依概率收敛于c,
记为：Yn Pc, 当 n .
5
例1：设 Xn
~
N
(0,
1 n
),
n 1,
2,
, 则 Xn
P 0,
当 n .
证明：对于任意的 0,
P (| X n 0 | ) P ( X n ) P ( X n )
1 ( 0 ) ( 0)
1/n
1/n
2[1 ( n )] 0, 当 n + 时 .
6
性质：若 Xn Pa, Yn Pb, 当 n 时, 函数（gx, y） 在点(a,b)处连续, 那么 g(Xn ,Yn）Pg(a,b), 当n 时.
n n
对于 0, N, 当ｎ>N , 均有 nA p .
n
对于 0 , 只要n充分大, 必定有 nA p .
n
对于 0,
只要n充分大,
"必定"没有
nA n
p .
3
频率“稳定于”概率应从可能性角度来解释, 即
对于
0,
只要n充分大,
nA n
p
发生的可能
性很小，而且随着n的增大，越来越小.
而 据 Z的 定 义 , 知 E (Z 2 )= 2 P X ,
故 而 2P X D ( X ), 即
PX
D(X)
2
成 立.
9
切比雪夫不等式
P
X
2 2
适用范围：对于期望、方差存在的随机变量. ——范围广
重要性：可以对于随机变量落在期望附近的区域 内或外给出一个界的估计.
10
现取这n次观测的平均作为实际距离 的估计.
（1）若n=100, 那么估计与实际值之间的误差在 0.5
光年之内的概率至少有多大？（2）若要以不低于
95%的把握控制估计与实际值之间的误差在 0.5 光年
之内, 至少要观测多少次？
n
解：由题意,
估计与实际值之间的误差即为
1 n
i 1
Xi
.
12
由于对i 1, 2, , n, 都有E(Xi ) , D(Xi ) 5,
问题的提出：
在第4讲中, 曾提到“频率的稳定值记为概 率 ”, 这个“稳定”是何含义？
2
记nA为n重贝努里试验中事件A发生的次数, 则nA /n为事 件A出现的频率. 若在一次试验中A发生的概率为p. 当
试验的次数充分大时, 频率的稳定值为p, 是指
lim nA p
且Xi相互1独n 立,
E( n
i 1
Xi
故
)
,
D
(
1 n
n i 1
Xi)
1 n2
n i 1
D(Xi)
5. n
(1) 当 n 100时 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 知
100
P{| 1 100
i1
Xi
|
0.5}
1 5 / 100 0.8; 0.52
(2) 同 样 利 用 切 比 雪 夫 不 等式 ，要 使 得
则
对
于任意
PX
0,
都
有 22：.
定理的等价形式为：
PX
1
2 2
.
f (x)
8
证明：对于任意
0， 令 Z =
,
0,
当| 当|
X X
| |
时 ； 时 .
则 Z | X |, 那 么 X 的 方 差 ( D ( X ) E[( X )2 ])
存 在 时 , E (Z 2 )也 存 在 , 且 E (Z 2 ) D ( X ).
如:当n 时, Xn YnPa b, Xn Yn Pa b, Xn / Yn Pa / b (b 0).
特别地, 若Xn Pa, f (x)在点a连续, 则 f ( Xn ) Pf (a), 当n 时.
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定理（切比雪夫不等式）：
设随机变量 X具有数学期 望
E X , 方差 D X2 ,
1－0.9974 0.0026 1 . 9
Chebyshev不等式应用范围广，但是结果比较粗糙.
11
例2：某天文机构想测量宇宙中两颗行星的距离, 进行了n 次独立的观测, 测量结果分别Xi (光年), i=1, 2, …, n. 若
E( Xi ) (为两颗行星的真实距离, 未知), D( Xi ) 5 .
n
P{|
1 n
i1
Xi
| 0.5} 1 5 / n 0.95，
0.52
n需 满 足 n 400. 13
比如： 设E( X） , D（X） 2, 取 K D（X）K ,
则有
P(|
X
|
K )
DK（2X）2
1 K2
.
取 K 3, 则 P (| X | 3 ) P ( X ( 3 , 3 )) 1 .
9
而 当 X ~ N ( , 2 )时,
P (| X | 3 ) 1 P (| X | 3 ) 1 ((3) (3))
lim P n
nA n
p
0.
这种收敛性称为“依概率收敛”！
4
定义：设Y , Y , , Y , 为一个随机变量序列, c为一常数,
12
n
若对于 0, 均有：
lim PYn c 0,
n
成立, 则称随机变量序列Yn, n 1依概率收敛于c,
记为：Yn Pc, 当 n .
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例1：设 Xn
~
N
(0,
1 n
),
n 1,
2,
, 则 Xn
P 0,
当 n .
证明：对于任意的 0,
P (| X n 0 | ) P ( X n ) P ( X n )
1 ( 0 ) ( 0)
1/n
1/n
2[1 ( n )] 0, 当 n + 时 .
6
性质：若 Xn Pa, Yn Pb, 当 n 时, 函数（gx, y） 在点(a,b)处连续, 那么 g(Xn ,Yn）Pg(a,b), 当n 时.
n n
对于 0, N, 当ｎ>N , 均有 nA p .
n
对于 0 , 只要n充分大, 必定有 nA p .
n
对于 0,
只要n充分大,
"必定"没有
nA n
p .
3
频率“稳定于”概率应从可能性角度来解释, 即
对于
0,
只要n充分大,
nA n
p
发生的可能
性很小，而且随着n的增大，越来越小.
而 据 Z的 定 义 , 知 E (Z 2 )= 2 P X ,
故 而 2P X D ( X ), 即
PX
D(X)
2
成 立.
9
切比雪夫不等式
P
X
2 2
适用范围：对于期望、方差存在的随机变量. ——范围广
重要性：可以对于随机变量落在期望附近的区域 内或外给出一个界的估计.
10
现取这n次观测的平均作为实际距离 的估计.
（1）若n=100, 那么估计与实际值之间的误差在 0.5
光年之内的概率至少有多大？（2）若要以不低于
95%的把握控制估计与实际值之间的误差在 0.5 光年
之内, 至少要观测多少次？
n
解：由题意,
估计与实际值之间的误差即为
1 n
i 1
Xi
.
12
由于对i 1, 2, , n, 都有E(Xi ) , D(Xi ) 5,