集合论 第一章 南开大学李娜

第1章集合1 集合的引入集合----作为本书的中心概念，至少从表面上看是非常简单的。

一个集合是一个任意的收集、群和总体。

因此，我们有2016年9月南开大学所有已注册学生的集合、所有偶自然数的集合、在平面 上距离给定点P恰好两厘米的所有点的集合、所有粉红色大象的集合。

集合不像桌子和星星一样是现实世界的对象，它们是被我们的思维而不是我们的双手创造出来的。

大量的土豆不是土豆的一个集合，一滴水中所有分子的集合和那滴水不同。

由于人的思维具有抽象的能力，它能根据某个共同的性质把不同的对象汇聚在一起，形成一个具有该性质的对象的集合。

这里所说的性质仅仅是把这些对象联系在一起的能力。

因此，存在一个恰好包含数2、5、11、13、28、35、22000的集合。

虽然我们很难看出是什么把它们联系在一起的，但是只有一个事实，即在思维中，我们把它们汇总在一起。

因此，什么是集合？一个直觉的回答是：一个集合就是将一些对象收集起来汇合成的一个整体。

这些被收集起来的对象就是这个被汇合成的整体的元素或者成员。

德国数学家Georg Cantor 19世纪70年代创立了集合论，并在19世纪的后三十年里发表了一系列论文。

他如下地表述集合：集合是我们的直觉或思维中确定的、可区分的对象所汇集成的一个整体，这些对象叫做集合的元素。

”构成集合的对象叫做该集合的元素或成员，我们也说它们属于该集合。

本书中，我们想发展集合的理论作为其它数学规律的一个基础。

因此，我们不关心人或者分子的集合，只关心数学对象的集合，例如，数、空间的点、函数、或集合。

事实上，前三个概念可以在集合论中被定义为具有某种特殊性质的集合，我们将在以后的章节中完成这一点。

因此，从现在起，我们关心的对象只有集合。

为了解释的目的，在数、点这些数学对象被定义之前，我们谈论它们的集合。

然而，我们只在例子、习题和问题中谈论到它们，而不会在集合论的主体中谈论它们。

例如，数学对象的集合有1.1 例(1) 648的所有素因子的集合。

(2) 能够被3除尽的所有数的集合。

(3) 在闭区间[-1,1]上所有连续实值函数的集合。

(4) 实轴长为10并且离心率为3的所有双曲线的集合。

(5) 小于7的所有自然数的集合的集合。

从这些例子可以看出，数学家们处理的集合都是非常简单的。

它们包括自然数的集合以及它的各种各样的子集（例如所有素数的集合）；还包括自然数的二元有序对、三元组和一般意义上的n元组的集合。

整数和有理数可以仅使用这样的集合来定义。

实数可以被定义为有理数的集合或者序列。

微积分处理的是实数的集合和实数上的函数（实数的序对的集合），并且在某些研究中，还需要考虑函数的集合或者函数的集合的集合，等等。

但是，数学家们很少碰到比这更复杂的集合。

现在我们考虑：所有那些自己不是自己的元素所组成的“集合”R。

换句话说，R是满足条件x∉x的所有集合x的集合（∈读作“属于”，∉读作“不属于”）。

现在我们问是否R∈R。

如果R∈ R，那么，R不是它身的元素（因为R中没有元素属于它自身），因此R∉R，这是一个矛盾！反之，如果R∉R，因为R是一个不是其自身元素的集合，因此，这样的集合属于R，即R∈ R，这又是一个矛盾！这个论证可以被简洁地概括为：定义R为：x∈R当且仅当x∉x。

现在考虑当x=R时；根据R的定义，R∈ R当且仅当R∉ R；这是一个矛盾！这就是著名的罗素悖论！关于这个论证的一些补充说明。

首先，R作为一个集合的集合没有错误。

许多集合的元素是集合这一点在数学中是合法的（参阅例1.1），并且也不会导致悖论。

第二，我们可以很容易地构造出R的元素。

例如，如果x是所有自然数的集合，那么x∉x（所有自然数的集合不是一个自然数）。

因此，x∈R。

第三，构造不属于R的集合就不那么容易，但这是无关紧要的。

即使不存在是它们自身元素的集合，前面的论证也将产生矛盾。

（一个集合是它自身的元素，似乎“所有集合的集合”V就是这样的一个集合；显然V∈V。

然而，“所有集合的集合”会以一种更加微妙的方式导致它自己独有的矛盾——参阅习题3.3和3.6。

）如何解决这个矛盾呢？我们现在假设有一个集合R，它被定义为所有那些不是自身元素的所有集合的集合，并且导出一个矛盾作为R的定义的一个直接后承。

这仅意味着不存在满足R的定义的集合。

换句话说，这个论证证明了不存在集合使得它的成员恰是那些不为自身元素的集合。

包含在罗素悖论和其它类似例子中的教训使我们不能仅仅通过定义集合来证明集合的存在（类似地，如通过定义独角兽，我们不能证明独角兽的存在）。

因此，存在不能定义集合的性质，即，不可能把具有这些性质的所有对象收集到一个集合中。

不幸的是，如何做到这一点是不知道的，并且逻辑中的某个结果（尤其是由哥德尔发现的所谓不完全定理）似乎表明做到这一点是不可能的。

因此，我们尝试把数学家使用的集合的某些相对简单的性质作为公理来陈述，然后小心地检查从这些公理逻辑推出的所有定理。

因为公理是显然真的，并且定理是从它们逻辑地推出，所以，定理也是真的（不一定显然）。

我们最终得到大量有关集合的真理，它们包含目前已知的自然数、有理数、实数、函数、序数等等的基本性质，并且没有矛盾。

经验表明，在这个公理系统中，当代数学使用的所有概念差不多都能被定义，并且它们的数学性质也可以被导出。

在这种意义上，公理化集合论可以作为数学其它分支的一个令人满意的基础。

另一方面，我们没有断言关于集合的每个真的事实都能从我们现有的公理中被推导出。

在这种意义上，公理化系统是不完备的，并且我们把完备性问题的讨论放到最后一章。

2 性质在前节中，我们引入集合作为具有某种共同性质的对象的收集。

性质这个概念需要一些分析。

日常生活中的某个性质一般被认为是模糊的而很难在数学理论中被承认。

例如，考虑“所有20世纪中国优秀的电影作品构成的集合。

”不同的人判断一部电影作品是否优秀的标准是不同的，因此，不存在一个普遍被接受的标准来决定一部电影作品是否这个“集合”的一个元素。

再来看一个更加惊人的例子，考虑“那些能够用十进制记数法写下的自然数的集合”（对于“能够”，我们指某个人能实际地用纸和笔做到）。

显然，0是能被写下的。

如果数n 能被写下，那么想必数n 1也能被写下。

因此，根据熟悉的归纳法原则，每个自然数n 都能被写下。

但这显然是荒谬的；为了用十进制写下101010将需要在1的后面跟1010个零，这需要以每秒一个零的速度连续工作300年。

这个问题是由“能够”的模糊意思引起的。

为了避免类似的问题，我们现在明确地描述一个性质的含义。

只允许明确的数学性质；幸运的是，这些性质对于所有数学事实的表达来说是足够的。

本节中我们的解释是非形式的。

读者如果想从一个更加严格的观点了解对这个主题的研究可以查阅一些数理逻辑的书籍。

基本的集合论性质是隶属性：“……是……的一个元素，”并用∈表示。

所以，“X∈Y”读作“X是Y的一个元素”或者“X是Y的一个成员”或者“X属于Y。

”在这些表达中X和Y是变元；它们代表（指称）不确定的、任意的集合。

命题“X∈Y”成立或不成立依赖于集合X和Y。

我们有时说“X∈Y”是X和Y的一个性质。

例如，“m小于n”是m和n的一个性质。

字母m和n是变元，表示不确定的数。

有些m和n具有这个性质（例如，“2小于4”是真的），但是其它的则没有（例如，“3小于2”是假的）。

所有其它集合论的性质都能借助隶属关系并有逻辑的帮助，即：用等词、逻辑联结词和量词来刻画。

我们经常在不同的语境中谈论同一个集合，并且发现用不同的变元表示它很方便。

我们用等号“=”表达两个变元表示相同的集合。

因此，如果X与Y是相同的集合，那么记作X=Y（X与Y相等，或者，X等于Y）。

在下面的例子中，我们列出了关于相等的一些显而易见的事实：2.1例(1) X=X。

（X和X相等。

）(2) 如果X=Y，那么Y=X。

（如果X和Y相等，那么Y和X也相等。

）(3) 如果X=Y并且Y=Z，那么X=Z。

（如果X和Y相等，并且Y和Z相等，那么X和Z也相等。

）(4) 如果X=Y并且X∈Z，那么Y∈Z。

（如果X和Y相等，并且X属于Z，那么Y也属于Z。

）(5) 如果X=Y并且Z∈X，那么Z∈Y。

（如果X和Y相等，并且Z属于X，那么Z也属于Y。

）从简单的性质出发，用逻辑联结词可以构建更复杂的性质。

常用的逻辑联结词有：“并非……”、“……并且……”、“……或者……”、“如果……，那么……”和“……当且仅当……”。

2.2例(1) “X∈Y或者Y∈X”是X和Y的一个性质。

(2) “并非X∈Y并且并非Y∈X”或者表达为“X不是Y的一个元素并且Y也不是X的一个元素”也是X和Y的一个性质。

(3) “如果X=Y，那么X∈Z当且仅当Y∈Z”是X，Y和Z的一个性质。

(4) “X不是X的一个元素”（或者：“并非X∈X”）是X的一个性质。

我们用X∉Y代替“并非X∈Y”并且用X≠Y来代替“并非X=Y。

”量词“对所有的”（即：“对每一个”）和“有”（即：“存在”）提供了额外的逻辑手段。

数学的实践表明在我们刚刚描述的这种限制的语言中，所有的数学事实都能被表达，但是，这种语言却不允许本节开头的那种模糊的表达。

让我们观察一些包含量词性质的例子。

2.3例(1) “存在Y∈X。

”(2) “对每个Y∈X，存在Z使得Z∈X并且Z∈Y。

”(3) “存在Z使得Z∈X并且Z∉Y。

”(1)的真或假明显地依赖于集合X。

例如，如果X是1949年之后所有中华人民共和国主席的集合，那么(1)就是真的；如果X是1949年之前所有中华人民共和国主席的集合，那么(1)就是假的。

我们说(1)是X的一个性质，或者说(1)依赖于参数X。

类似地，(2)是X的一个性质，(3)是X和Y的一个性质。

还需要注意：Y不是(1)的一个参数，因为对于某个具体的集合Y而言，Y对于(1)是否为真不产生任何意义；我们在量词中使用字母Y仅是为了方便，也可以说“存在W∈X，”或者“存在X的某个元素。

”类似地，(2)不是Y或Z的一个性质，(3)不是Z的一个性质。

在这里，我们不再给出确定一个给定性质的参数的规则，我们依赖于读者的常识，并通过下面的例子来说明这一点。

2.4例(1) “Y∈X。

”(2) “存在Y∈X。

”(3) “对每个X，存在Y∈X。

”这里，(1)是X和Y的一个性质；它对某些集合对X、Y是真的，但对其它的对是假的。

(2)是X的一个性质（但不是Y的），而(3)没有参数。

因此，(3)或者是真的或者是假的（事实上，它是假的）。

没有参数的性质（因此，或者为真或者为假）被称作命题；所有数学定理是（真）命题。

我们有时希望涉及一个任意的、不确定的性质。

我们用黑体大写字母表示命题和性质，并且，如果方便的话，在圆括号内列举它的某个或全部参数。

因此，A(X)代表参数X的任意性质，例如，在例2.3中的(1)、(2)。