(完整word版)蝴蝶定理的八种证明及三种推广.docx

蝴蝶定理的证明

定理： 设 M 为圆内 弦 PQ 的中点，过

M 作弦 AB 和 CD 。设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 E 和 F ，

则 M 是 EF 的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的

帮助下，翩翩起舞！

证法 1

如图 2 ，作 OU

AD ， OV BC U ，V 分别为 AD 、 BC

的中点，且由于

，则垂足

EUO EMO 90 FVOFMO 90

得 M 、 E 、U 、O 共圆； M 、F 、V 、 O 共圆。

则 AUM= EOM ， MOFMVC

又 MAD MCB ， U 、V 为 AD 、BC 的中点，从而 MUA

MVC ，

AUM

MVC

则

EOM

MOF ，于是 ME=MF 。

证法 2 过 D 作关于直线 OM 的对称点 D' ，如图 3

所示，则

FMD'

EMD ，MD=MD'

1

A

○

C

联结 D'M 交圆 O 于 C'，则 C 与 C'关于 OM 对称，即

P E

FQ

U

M

PC'

CQ 。又

V

D

O

1 1 1

CFP= （ QB+PC ）= （QB+CC'+CQ ）=

BC'= BD'C'

2 2

2

故 M 、F 、 B 、 D' 四点共圆，即 MBF MD'F

而

MBF EDM

2

○

B

图 2

C'

C

A

由 1 、 2 知， DME

D'MF

， 故 ME=MF 。

○ ○

P

E

F

Q

M

证法 3 如图 4，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。对 NEF 及截线 AMB ， NEF 及截

线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有

FM EA NB 1 ， FM ED NC 1

ME AN BF

ME DN CF

由上述两式相乘，并注意到

NA ND NC NB

O

B

D

D'

图 3

N

得

FM 2 AN ND BF CF BF CF ME

2

AE ED

BN CN

AE ED

A

C P

E

F

Q

PM +MF MQ - MF

PM 2 MF 2

PM - ME MQ+ME

PM 2 ME 2

M

D

O

B

化简上式后得 ME=MF 。[2]

图 4

2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

证法 4

（ Steven 给出）如图 5，并令

DAB= DCB A

C

α

ADC=

ABC

α

P E

δγ

F Q

DMP= CMQ

γ

M δ

AMP=

BMQ

β O

PM MQ

a

D

β

ME

x ， MF

y

B

由

S

AME

S

FCM

S

EDM S

FMB

1

即

S

FCM S

EDM

S

FMB S

AME

图 5

，

AM AE sin

FM CM sin ED MD sin

MF MB sin

MC CF sin

EM MD sin

FB BM sin

MA ME 1

sin

化简得

MF 2

CF FB

QF FP a y a y a 2 y 2

ME 2

AE ED

PE EQ

a x a x

a

2

x

2

即 y 2

a 2 y 2

从而 x

y,ME

MF 。

2

2

2

x a x ，

证法 5 令 PMD

QMC

，

QMB

AMP

，以点 M 为视点，对

MBC 和 MAD

分别应用张角定理，有

sin

sin

sin sin

sin

sin

MF

MC

，

MD

MA

MB

ME

上述两式相减，得

sin

1

1

sin

MC

MD

sin

MB MA

MF ME

MC MD

MA MB

2

设 G 、H 分别为 CD 、AB 的中点，由 OM

PQ ，有

MB MA 2MH 2OM cos 90 2OMsin

MD

MC 2MG 2OM cos 90

2OMsin

y

A

C

1

P E

M F Q

2

2

1

D

O

于是

1 1 而

180 ，知 sin

0 ，

2

sin

MF

ME

，

B

3

故 ME=MF 。

图 6

4

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证