人教版高中数学必修一《集合与函数概念》章末复习课(含答案)

第一章集合与函数概念章末复习课

知识概览

对点讲练

分类讨论思想在集合中的应用

分类讨论思想是高中的重要数学思想之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题．

1．由集合的互异性决定分类

【例1】设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，则实数a＝________.

分析由A∩B＝{9}知集合A与B中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a 的值，注意集合中元素互异性的检验．

答案－3

解析由A∩B＝{9}，得2a－1＝9，或a2＝9，

解得a＝5,3，－3.

当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，

A ∩

B ＝{9，－4}，与A ∩B ＝{9}矛盾；

当a ＝3时，a －5＝－2,1－a ＝－2，B 中元素重复，舍去；

当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，满足题设．

∴a ＝－3.

规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用．

(2)本题在解题过程中易出现的错误：①分类讨论过于复杂；②不进行检验，导致出现增根；③分类讨论之后没有进行总结．

变式迁移1 全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a ＋11|,2}，∁S A ＝{5}，求实数a 的值． 解 因为∁S A ＝{5}，由补集的定义知，5∈S ，但5∉A.

从而a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.

当a ＝2时，|2a ＋11|＝15∉S ，不符合题意；

当a ＝－4时，|2a ＋11|＝3∈S.故a ＝－4.

2．由空集引起的讨论

【例2】 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，若A ∩B ＝B ，求实数p 的取值范围．

解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，

(1)当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1，

故p<2，此时满足B ⊆A ；

(2)当B ≠∅时，又B ⊆A ，借助数轴表示知

⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋1≤2p －1－2≤p ＋1

2p －1≤5，故2≤p ≤3.

由(1)(2)得p ≤3.

规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法．如A ⊆B 即可分两类：(1)A ＝∅；(2)A ≠∅.而对于A ≠∅又可分两类：①A B ；②A ＝B.从而使问题得到解决．需注意A ＝∅这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．

变式迁移2 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x|mx －2＝0}，若B ⊆A ，求由实数m 构成的集合．

解 A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}

当m ＝0时，B ＝∅，符合B ⊆A ；

当m ≠0时，B ＝{x|x ＝2m }，由B ⊆A 知，2m ＝1或2m

＝2.即m ＝2或m ＝1. 故m 所构成的集合为{0,1,2}．

数形结合思想在函数中的应用

数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率．

【例3】 设函数f(x)＝x 2－2|x|－1 (－3≤x ≤3)，

(1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

(4)求函数的值域．

(1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)解 当x ≥0时，

f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，

当x<0时，

f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，

即f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧ (x －1)2－2(0≤x ≤3)(x ＋1)2－2 (－3≤x<0). 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．

(3)解 函数f(x)的单调区间为

[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．

f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，

在[－1,0)，[1,3]上为增函数．

(4)解 当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2； 当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.

故函数f(x)的值域为[－2,2]．

规律方法 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．

变式迁移3 当m 为何值时，方程x 2－4|x|＋5＝m 有4个互不相等的实数根？

解 令f(x)＝x 2－4|x|＋5，

则f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－4x ＋5， x ≥0，x 2＋4x ＋5， x<0， 那么原问题转化为探求m 为何值时，函数f(x)的图象与直线y ＝m 有4个交点．作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知，当1

数学问题中，已知条件是结论成立的保证．但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难以解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向所求结论靠拢，是解题过程中经常要做的工作．变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．

【例4】 对任意x ∈[1，＋∞)，不等式x 2＋2x －a>0恒成立．求实数a 的取值范围． 解 方法一 由已知x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x －a>0恒成立，

即a

令g(x)＝x 2＋2x ，x ∈[1，＋∞)，

则原问题可转化为a 小于g(x)在[1，＋∞)上的最小值．

∵g(x)＝(x ＋1)2－1，图象的对称轴为x ＝－1，

∴函数g(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴x ＝1时，g(x)取最小值g(1)＝3.∴a<3.

即所求a 的取值范围是(－∞，3)．

方法二 当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x －a>0恒成立，