离散数学及其应用 重要名词中英对应以及重要概念解释与举例

离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例

1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）

1.1 Propositional Logic（命题逻辑）

Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。

Truth Table（真值表）

Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）

Translating English Sentences

1.2 Propositional Equivalences（命题等价）

Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）

Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）

Logical Equivalences——Page24

Disjunctive normal form(DNF，析取范式)

Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～29

1.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）

Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词

Quantifiers——量词

Ø Universal Quantifier(全称量词) "

全部满足

Ø Existential Quantifier(存在量词) $

至少有一个

Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)

Logical Equivalence Involving Quantifiers

Negating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)

Using Quantifiers in System Specifications

Examples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。1.4 Nested Quantifiers（量词嵌套）Page59 12、13

"x"yP(x,y) Û "y "x P(x,y)

$x $yP(x,y) Û $y$xP(x,y)

"x"yP(x,y) Þ $y"xP(x,y)

"y"xP(x,y) Þ $x"yP(x,y)

$x"yP(x,y) Þ "y$xP(x,y)

$y"xP(x,y) Þ "x$yP(x,y)

"x$yP(x,y) Þ $y$xP(x,y)

"y$xP(x,y) Þ$x$yP(x,y)

Prenex normal form(PNF 前束范式)：所有量词变换到最前面，否定变换到后面。

1.5 Rules of Inference(推理规则)

V alid Arguments in Propositionnal Logic(命题逻辑中的正确论点)

Premises(前提)——all but the final proposition in the argument

Conclusion(结论)

R ules of Inference for Propositionnal Logic

Page 66～67，证明方法及过程示范

Resolution(归结): ((p∨q) ∧(┐p ∨r)) →(q ∨r) 合取，若两子句有互补文字，则可消去。Fallacies(谬论)

R ules of Inference for Quantified Statements

Universal instantiation(全称量词实例化)

Universal generalization(全称量词一般化)

Existential instantiation(存在量词实例化)

Existential generalization(存在量词一般化) Page 70

以上四点，其实就是一般和特殊之间的转换。名字是骗人的。

1.6 Introduction to Proofs

Direct proof:证明p->q

Proof by Contraposition:对位证明，通过证明其逆反命题来证明原命题

Vacuous and Trivial Proofs

Proof by Contradiction:反证法

1.7 Proof Methods and Strategy

2 Basic Structures: Sets, Functions, Sequences and Sums（集合、函数、序列与和）Cardinality集合的势，即其中元素的个数。

Power Set :the set of all subsets of the set S.原集合的所有子集组成的集合。

Cartesian product:笛卡尔积、直积，A×B={(a,b)|a∈A∧b∈B}

Function

Onto:满射

Injective=One-to-One：单射

Bijection：双射=单射加满射

3～7 略

8 Relations（关系）

8.1 relations and Their Properties

Reflecxive自反：if (a, a)∈R for every element a∈A 都有环

Irreflexive 反自反：一个环也没有

Symmetric 对称：if (b, a)∈R whenever (a, b)∈R, for all a,b.有从a到b，必有从b到a。Antisymmetric 反对称：除非a=b，有从a到b，必无从b到a。

Asymmetric 不对称：有从a到b，必无从b到a。

Transitive 传递：a到b，b到c，则有a到c。

Combining Relations(复合关系)：S·R(空心圆圈)