中山大学固体物理第五章参考答案
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Kronig-Penney 一维方形势场模型有着 重要意义，首先它是第一个可以严格求解的 模型，证实了周期场中的电子可以占据的能 级形成能带，能带之间存在禁带。其次，这 个模型有多方面的适应性，经过适当修正可 以用来讨论表面态，合金能带以及超晶格的
Blakemore 书也介绍了这 个模型， p213 给出了 p=2 的结果。
解： (1)有效质量的引入，是把周期性势场作 用归结到质量中去，在受外场作用时可以 不考虑周期性势场而直接把晶体中的电子 准经典运动的加速度与外力联系起来，这 样的电子看起来像自由电子。
(2)负有效质量：电子交给晶格的动量多于它 从外场中所获得的动量，此时电子的状态 是处于布里渊区边界附近，电子受到晶格 的强烈的布拉格反射，电子的加速方向与 外力作用方向相反，有效质量为负。
b=0, U0=∞， P=β2ba/2
见 Kittel 8版 p121
对于本题，每个能带里有8条 小分能带
AB
8
a
a
3. (1)试说明有效质量的物理意义.
(2) 试说明负有效质量的物理意义。
(3) 什么是空穴? 为什么能带中空穴的速度等 于逸失电子的速度, 这与通常我们所说的 外加电场下, 电子与空穴有相反的漂移速 度是否有矛盾? 为什么?
进行一些推导和必要简化，最后可 以得出下式
maU0b
2
sin
a
a
cos(
a)
cos(ka)
式中
2mE
而 k 2
是电子波的波矢。
上式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E 与波矢 k 之间的关系式。
f( E)
E
图 5 f(E)函数图
由图看出，在允许取的 E值之间，有一些不允许取 的 E值，称为能隙。
，显然有
•即这与通常我们。所空说穴的的外速加度电等场于下逸，失电电子子与的
速空度穴，有可相以反说的空漂穴移是速能度带没中有一矛个盾电，子通逸常失所后
的说另的一是种在描实述空。间中，正质量的电子与正质
量的空穴电性相反，因 而受电场作用漂移
速度相反。
构造一虚拟的 空穴带，以描
述空穴动力学
k
逸失一电子 后的价带
一. 电子散射 • 电阻表明存在对电子的散射； • Bloch波稳态解－> 无散射； • 散射－> 偏离平移对称性的结果，稳态
Bloch态的微扰：
散射：偏离平移对称性有几种可能：
1）时间和空间都确定的缺陷，如杂质、
位错、晶界；
2）随时间变化的偏离平移对称性，如晶
格振动；
3）电子－电子相互作用造成的散射，与
3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，
作图画出其前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有
一个价电子时的费米半径kF；(2)第一布里渊区的内切圆 半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电子浓度1 (即平均每 个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费
米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。
边界条件：波函数和它的一阶导数在 x=c,和a处连续
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
0 ca
Aeic Beic Cei 'c Dei 'c , ( Aeic Beic ) '(Cei 'c Dei 'c ) Cei 'a Dei 'a eika ( Aeia Beia ), '(Cei 'a Dei 'a ) eika ( Aeia Beia )
附加题：利用二维自由电子气模 型解释De Haas－Van Alphen效 自由二维应电。子气具有准连续的能谱，在垂直 磁场下聚集成间隔为 c 的分立能级。
E k 2k2
2、能隙的由来？利用能带理论 解释导体、半导体以及绝缘体？
要点：本质是由于原子与原子的 相互作用能级分裂成能带，能带 之间即是能隙。晶体中是由于周 期性势场的影响，在布里渊区边 界处bloch波的散射形成了能隙。
导体半导体绝缘体：电子的填充 +能隙的大小
3、当加有电场后，满带中的电 子能永远的飘移下去吗？
– （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维 超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)
AB
ECA
EVA
8
a
a
ECB
克朗尼格-朋奈模型
EVB (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型
U(x)
Baidu Nhomakorabea
周期性方势阱
U0
2区
1区 3区
b
x
0 ca
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0 (0 x c) U(x) U0 (c x a)
(3)空穴：k(状态)空间的一种状态空缺，是存 在这一空缺的整个能带的描述，同其它电子
一运样动，方在向真与实 其空它 间电k的子e 位相置同不，确总定带，正在电荷k空。间 k的e
如果 轨道 中一个Ee(ke波) Ee矢(ke为) Eh (ke) Eh (k的h ) 电子逸失Eh,(kh则) Ee(ke) 空穴vh(kh的) v波e(ke)矢为- ，能带是对称的，有
4、用紧束缚近似处理面心立方 晶格s态电子，试导出其能带关 系，并求出能带底的有效质量。
5、 氢原子外层只有一个电子，为何固态氢 不像钾、钠等碱金属那样呈金属性？科学家 们又为何相信，只要通过高压手段把氢原子 间距压缩得足够小，就可以使固态氢转变为 金属？请通过能带模型加以解释。
解：固态氢的原子局域在氢原子周围，无法 形成公有化运动。当施加高压时，氢原子的 间距减小，氢原子周围的电子的周期性势场 势垒减小，电子形成公有化运动，从而固态 氢可以导电，变为金属。
4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子
能量函数En(k) 能量最低的前四条曲线的表达式，画出其
示意图并给出各曲线的简并度。
二度简并
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井）， 你认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是 准连续的。
定态薛定谔方 程为：
d 2 d2x
2m 2
E
U ( x)
0
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
0 ca
1( x) Aeix Beix , 2( x) Aei'x Bei'x , 3( x) eika ( Aeix Beix ), 这里 2mE / , ' 2m(E U0) /
Blakemore 书也介绍了这 个模型， p213 给出了 p=2 的结果。
解： (1)有效质量的引入，是把周期性势场作 用归结到质量中去，在受外场作用时可以 不考虑周期性势场而直接把晶体中的电子 准经典运动的加速度与外力联系起来，这 样的电子看起来像自由电子。
(2)负有效质量：电子交给晶格的动量多于它 从外场中所获得的动量，此时电子的状态 是处于布里渊区边界附近，电子受到晶格 的强烈的布拉格反射，电子的加速方向与 外力作用方向相反，有效质量为负。
b=0, U0=∞， P=β2ba/2
见 Kittel 8版 p121
对于本题，每个能带里有8条 小分能带
AB
8
a
a
3. (1)试说明有效质量的物理意义.
(2) 试说明负有效质量的物理意义。
(3) 什么是空穴? 为什么能带中空穴的速度等 于逸失电子的速度, 这与通常我们所说的 外加电场下, 电子与空穴有相反的漂移速 度是否有矛盾? 为什么?
进行一些推导和必要简化，最后可 以得出下式
maU0b
2
sin
a
a
cos(
a)
cos(ka)
式中
2mE
而 k 2
是电子波的波矢。
上式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E 与波矢 k 之间的关系式。
f( E)
E
图 5 f(E)函数图
由图看出，在允许取的 E值之间，有一些不允许取 的 E值，称为能隙。
，显然有
•即这与通常我们。所空说穴的的外速加度电等场于下逸，失电电子子与的
速空度穴，有可相以反说的空漂穴移是速能度带没中有一矛个盾电，子通逸常失所后
的说另的一是种在描实述空。间中，正质量的电子与正质
量的空穴电性相反，因 而受电场作用漂移
速度相反。
构造一虚拟的 空穴带，以描
述空穴动力学
k
逸失一电子 后的价带
一. 电子散射 • 电阻表明存在对电子的散射； • Bloch波稳态解－> 无散射； • 散射－> 偏离平移对称性的结果，稳态
Bloch态的微扰：
散射：偏离平移对称性有几种可能：
1）时间和空间都确定的缺陷，如杂质、
位错、晶界；
2）随时间变化的偏离平移对称性，如晶
格振动；
3）电子－电子相互作用造成的散射，与
3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，
作图画出其前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有
一个价电子时的费米半径kF；(2)第一布里渊区的内切圆 半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电子浓度1 (即平均每 个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费
米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。
边界条件：波函数和它的一阶导数在 x=c,和a处连续
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
0 ca
Aeic Beic Cei 'c Dei 'c , ( Aeic Beic ) '(Cei 'c Dei 'c ) Cei 'a Dei 'a eika ( Aeia Beia ), '(Cei 'a Dei 'a ) eika ( Aeia Beia )
附加题：利用二维自由电子气模 型解释De Haas－Van Alphen效 自由二维应电。子气具有准连续的能谱，在垂直 磁场下聚集成间隔为 c 的分立能级。
E k 2k2
2、能隙的由来？利用能带理论 解释导体、半导体以及绝缘体？
要点：本质是由于原子与原子的 相互作用能级分裂成能带，能带 之间即是能隙。晶体中是由于周 期性势场的影响，在布里渊区边 界处bloch波的散射形成了能隙。
导体半导体绝缘体：电子的填充 +能隙的大小
3、当加有电场后，满带中的电 子能永远的飘移下去吗？
– （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维 超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)
AB
ECA
EVA
8
a
a
ECB
克朗尼格-朋奈模型
EVB (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型
U(x)
Baidu Nhomakorabea
周期性方势阱
U0
2区
1区 3区
b
x
0 ca
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0 (0 x c) U(x) U0 (c x a)
(3)空穴：k(状态)空间的一种状态空缺，是存 在这一空缺的整个能带的描述，同其它电子
一运样动，方在向真与实 其空它 间电k的子e 位相置同不，确总定带，正在电荷k空。间 k的e
如果 轨道 中一个Ee(ke波) Ee矢(ke为) Eh (ke) Eh (k的h ) 电子逸失Eh,(kh则) Ee(ke) 空穴vh(kh的) v波e(ke)矢为- ，能带是对称的，有
4、用紧束缚近似处理面心立方 晶格s态电子，试导出其能带关 系，并求出能带底的有效质量。
5、 氢原子外层只有一个电子，为何固态氢 不像钾、钠等碱金属那样呈金属性？科学家 们又为何相信，只要通过高压手段把氢原子 间距压缩得足够小，就可以使固态氢转变为 金属？请通过能带模型加以解释。
解：固态氢的原子局域在氢原子周围，无法 形成公有化运动。当施加高压时，氢原子的 间距减小，氢原子周围的电子的周期性势场 势垒减小，电子形成公有化运动，从而固态 氢可以导电，变为金属。
4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子
能量函数En(k) 能量最低的前四条曲线的表达式，画出其
示意图并给出各曲线的简并度。
二度简并
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井）， 你认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是 准连续的。
定态薛定谔方 程为：
d 2 d2x
2m 2
E
U ( x)
0
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
0 ca
1( x) Aeix Beix , 2( x) Aei'x Bei'x , 3( x) eika ( Aeix Beix ), 这里 2mE / , ' 2m(E U0) /