傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别

傅里叶变换与拉普拉斯变换区别

Differences Between Two Transforms
• 差别二求解微分方程的简易性差别
1 拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。 2 时域微分性质（给出证明） 3拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换
为例
Differences Between Two Transforms
利用matlab对函数进行傅里叶变换，得到其幅度频谱
-(2 cos(w) - 2)/w2
1
0.8
0.6
0.4
正因如此，傅立叶变换更多的是针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。
0.2
0 -6 -4 -2 0 w 2 4 6
那么对于一些函数，例如eαtu(t) (α>0)，无法满足上述收敛定理，因此不存在傅里叶变换
Differences Between Two Transforms
与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。以斜坡信号tu(t)为例
谢谢
Байду номын сангаас
因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述讨论均基于拉普拉斯单边变换

傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。

对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域的相位有关系吗信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。

拉普拉斯变换和傅里叶变换

一、引言

在信号处理和数学分析中，拉普拉斯变换和傅里叶变换是两个非常重要的工具。它们在不同领域中都有广泛的应用，包括电子工程、通信系统、图像处理和控制系统等等。本文将对这两个变换进行全面、详细、完整且深入的探讨。

二、拉普拉斯变换

2.1 定义

拉普拉斯变换是一种数学变换方法，用于将一个函数转换为复平面上的函数。给定一个函数f(t)，其拉普拉斯变换记作F(s)，其中s是一个复数。拉普拉斯变换的定义如下：

F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) f(t) * e^(-st) dt

其中，L表示拉普拉斯变换操作符，e是自然对数的底数。

2.2 特点

拉普拉斯变换具有以下特点：

1.线性性质：L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)，其中a和b是常数，f(t)

和g(t)是函数。

2.平移性质：L{f(t-a)} = e^(-as) * F(s)，其中a是常数。

3.时移性质：L{f(t)*e^(at)} = F(s-a)，其中a是常数。

4.余弦变换：L{cos(ωt)} = s / (s^2 +ω^2)，其中ω是常数。

2.3 应用

拉普拉斯变换在许多领域中有广泛的应用，包括电路和信号处理。它可以用于求解常微分方程和偏微分方程，以及分析线性时不变系统和信号的稳定性。

三、傅里叶变换

3.1 定义

傅里叶变换是一种数学变换方法，用于将一个函数转换为频域的函数。给定一个函数f(t)，其傅里叶变换记作F(ω)，其中ω是一个实数。傅里叶变换的定义如下：

F(ω) = FT{f(t)} = ∫[-∞,+∞) f(t) * e^(-iωt) dt

拉普拉斯变换和傅里叶变换频谱的区别

拉普拉斯变换和傅里叶变换频谱的区别拉普拉斯变换和傅里叶变换是信号处理中常用的两种变换方法，它

们可以将复杂的时域信号转化为频域信号，用于信号的分析和处理。

下面将详细介绍拉普拉斯变换和傅里叶变换频谱的区别。

1. 定义区别

拉普拉斯变换是一种对信号进行复数变换的方法，其定义具有连续性，包含对实数信号和复数信号的处理。傅里叶变换是一种虚数变换，对

信号进行分解和求和，其定义也是连续的。

2. 变换域的不同

拉普拉斯变换的变换域为复平面，变换结果是一个复数函数。傅里叶

变换的变换域为实数轴，变换结果是一个实数函数，且傅里叶变换可

以通过反变换得到时域信号的精确表示，而拉普拉斯变换不行。

3. 变换对象的不同

拉普拉斯变换通常被用于对连续的时域信号进行变换，而傅里叶变换

则更加适用于对离散的信号序列进行处理。

4. 技术应用的差异

拉普拉斯变换在信号处理和系统控制等方面应用广泛，可以用于滤波、建立控制系统模型，以及稳定性分析等任务。傅里叶变换则主要用于

信号分析和图像处理，可以在时间和频率域内进行信号的分析，是数

字信号处理中不可或缺的分析工具。

5. 傅里叶变换的两种形式

傅里叶变换有两种形式，一种是傅里叶正变换，把时域信号转换为频

域信号，另一种是傅里叶反变换，把频域信号还原为时域信号。而拉

普拉斯变换只有一种形式。

在信号处理领域中，选择采用哪种变换方法，主要取决于所处理的信

号和具体的任务要求。若要对时域信号进行振幅和相位分析，那么傅

里叶变换是比较适合的。而如果需要对连续信号进行系统模型建立或

者控制系统设计，那么拉普拉斯变换所提供的分析工具就更加适合。

拉氏变换和傅里叶变换的关系

一、拉氏变换

1、拉氏变换的定义：

如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为

()()()0e d st F s L f t f t t ∞

-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数

)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。

2、拉氏变换的意义

工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用

二、傅里叶变换

1、傅里叶变换的定义：

傅立叶变换与拉普拉斯变换

附录A 傅里叶变换

1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS

狄立赫雷条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰

dt t f T 1

)(。

傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集

}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集

}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1

，角频率为1

1122T f π=π=ω。

任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。傅里叶级数：

∑∞

=ω+ω+

=1

110)sin ()(n n n t n b t con a a t f

系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

称11111/()f T f ω==为信号的基波、基频；1(,2~)i nf i n ω=为信号的n 次谐波。

根据欧拉公式：cos ,sin 22in t in t in t in t

e e e e n t n t i

ωωωωωω--+-== 复指数形式的傅里叶级数： ∑∞

-∞

=ω=

n t jn n e F t f 1

)(

(1) 周期信号的傅里叶频谱：

(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。 (ii)称{}n F 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS 幅度谱。

(iii)称{}n ϕ为傅里叶复数相位频谱，简称FS 相位谱。

(iv)周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率1ωn (或频率1nf )上有值。 (v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T π=ω。

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傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换的意义

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质地区别

傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。

傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。主要用于信号处理。

拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。

z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。

第四章Z变换

1 Z变换的定义

(1) 序列的ZT：

(2) 复变函数的IZT：，是复变量。

(3) 称与为一对Z变换对。简记为或

(4) 序列的ZT是的幂级数。代表了时延，是单位时延。

(5) 单边ZT：

(6) 双边ZT：

2 ZT收敛域ROC

定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。收敛的充要条件是它

(3) 有限长序列的ROC

序列在或(其中)时。

收敛域至少是。

序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：

当时，收敛域为( 除外)

右边序列的ROC

序列在时。

如果，则序列为因果序列。

ROC的情况：

当时，ROC为；

当时，ROC为。

左边序列的ROC

序列在时。

如果，则序列为反因果序列。

ROC的情况：

当时，ROC为；

傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结

傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。

傅里叶变换：

时域信号：f(t)

傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)

dω

傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。

拉普拉斯变换：

时域信号：f(t)

拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt

逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)

e^(st) ds

拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。

在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。

拉普拉斯和傅里叶变换的联系与区别

拉普拉斯变换和傅里叶变换都是数学上的重要工具，常用于信号分析和处理问题。它们之间有很多联系，但也有一些区别。

联系：

1. 都是线性变换，能够描述信号在某个域中的变化情况。

2. 都可以将时域信号转换到频域，从而方便对信号进行分析，如频谱分析、滤波等。

3. 拉普拉斯变换和傅里叶变换都能够描述周期信号，但拉普拉斯变换可以描述非周期信号。

4. 在某些情况下，拉普拉斯变换和傅里叶变换可以相互转化。

区别：

1. 傅里叶变换只能对周期信号进行处理，而拉普拉斯变换可以处理所有信号，包括非周期信号。

2. 拉普拉斯变换是复变函数中的概念，因此比傅里叶变换更加广泛地适用于数

学和工程中的各种问题。

3. 傅里叶变换适用于短时间和频率上的分析，而拉普拉斯变换则适用于更长时间和更广泛的频率范围内的分析。

4. 拉普拉斯变换与傅里叶变换常数项的选择不同，因此它们的数学形式上也不同。

5. 拉普拉斯变换将时域的差分方程转换为复变函数中的代数式，因此在控制系统的分析和设计中非常有用。

综上所述，拉普拉斯变换和傅里叶变换都是非常重要的数学工具，它们有很多相似的地方，但也有一些重要的区别。在具体应用中，需要根据问题的特点选择合适的变换方法。

傅里叶变换和拉普拉斯变换的联系

傅里叶变换和拉普拉斯变换的联系主要表现在以下两个方面：

性质上的联系：从性质上来看，拉普拉斯变换可以说是傅里叶变换的推广。傅里叶变换是将一个信号表示成一系列正弦波的叠加，用于频域分析；而拉普拉斯变换则可以将一个信号表示成复平面上的函数，用于更全面的时域和频域分析。这主要是因为拉普拉斯变换引入了复指数函数，使得变换后的函数具有更丰富的性质，比如可以处理一些傅里叶变换无法处理的信号。

应用上的联系：在应用上，傅里叶变换和拉普拉斯变换常常是相互补充的。对于一些在实数域内无法直接进行傅里叶变换的信号，可以通过引入拉普拉斯变换进行处理。另一方面，对于一些在频域内表现复杂的信号，可以通过傅里叶变换进行简化分析。同时，这两种变换也在很多领域有广泛的应用，比如信号处理、控制系统分析、图像处理等。

总的来说，傅里叶变换和拉普拉斯变换在性质和应用上都有密切的联系，它们都是信号和系统分析的重要工具。

深刻理解‘拉普拉斯变换’‘傅里叶变换’‘Z变换’

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。

对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。

傅里叶与拉氏变换

傅里叶变换和拉普拉斯变换都是信号处理中常用的数学工具，它们可以将信号从时域转换到频域，提供更好的分析和处理能力。

傅里叶变换将原函数用一系列不同频率的正弦波叠加表示，通过将信号分解为无穷多个正弦/复指数信号的加成，把信号变成正弦信号相加的形式。对于周期信号来说，因为可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零。而对于非周期信号，每个信号的加权应该是零，但有密度上的差别。

拉普拉斯变换是一种广义的傅里叶变换，适用于连续时间信号。通过对信号进行拉普拉斯变换，可以将信号从时域转换为拉普拉斯域，其中包含了信号在不同频率下的振幅和相位信息。拉普拉斯变换引入了e-σ，可以将原函数用一系列的正弦波和指数函数表示。

总体来说，傅里叶变换和拉普拉斯变换都是将信号从时域转换到频域的数学工具，但两者在应用范围和具体形式上存在差异。如需更多信息，建议查阅数学专业书籍或咨询数学领域专家。

傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1.前言

1.1背景

利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以

使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积

分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属

于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变

换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，

也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯

齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。

拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉

Pierre Simon Laplace 斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基

本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。

即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相

关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时

也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）

在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对

于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴

趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉

斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理

理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的

相关定义，相关性质，以与相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶

傅里叶变换与拉普拉斯变换

区别：

1、积分域与变换核

傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换，是两种常见的数学变换手段，而所谓的积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，其作用就是将复杂的函数运算变成简单的函数运算，当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换，傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取不同的积分域与变换核得来的。

2、频域和复频域

傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与变换的“频域”有所区别。

应用：

1、拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。

2、傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。则随着FFT算法的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。

拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换

傅立叶变换，拉普拉斯变换，Z变换的意义

在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦

函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。