随机过程的基本概念和基本类型
随机过程的概念与基本类型
2.2 随机过程的分布律和数字特征
随机过程{X(t), t>0}的二维概率密度
2.2 随机过程的分布律和数字特征
设{X(t)，t T }，{Y(t)，t T }是两个随机过程，二阶矩函数存在，定义 二阶矩过程 一、二阶矩函数存在 定义2.4 互协方差函数 互相关函数 ☆ 显然有关系式
2.1 随机过程的基本概念
从数学上看，随机过程{X(t, e)， t T }是定义在T上的二元函数。 对固定的t，X(t, e) 是(, F,P)上的随机变量； 对固定的e，X(t, e) 是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。
2.1 随机过程的基本概念
按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的 按Xt 的概率特性分类 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
2.4 几种重要的随机过程
定理：设{W(t), - < t < +}是参数为2的维纳过程，则 (1)对任意t(-, +), W(t) ~ N(0, 2|t|) (2)对任意- < a <s, t < +, E[(W(s)-W(a)) (W(t)-W(a))]=2min(s-a, t-a) RW(s, t)=2min(s, t) 证 (1)由定义，显然成立。
第一章 随机过程的概念与基本类型
第一章随机过程的概念与基本类型
随机过程部分
自然界事物的变化过程通常可以分为两类：一类变化过程是具有确定形式的，即当条
件满足时变化规律是确定的。这种过程常可以用一个参数的确定函数来表示，这种过程称
为确定性过程，如在真空中的自由落体，下落的路程便可表为时间参数t的函数
;另一类过程没有确定的变化过程，其变化规律也不
是必然的，它不能用一个参数的确定函数来描述，即对此变化过程进行重复观测
时，所得到的参数的函数不尽相同，这种过程称为随机过程。一、实例
例1 热噪声电压
电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动引起的端电压称为热噪声
电压。在通信中为消除设备中由热噪声电压对信号的持续干扰，必须考虑并研究热噪声电
压随时间变化的过程。为此，通过某种装置对元件或设备两端的热噪声在时间T内进行测量，记录便可得到一个电压---时间的函数V1（t），它是不可预知的，在相同条件下，反复测量，记录便可得到不同的结果，记为Vi(t), i =1,2,……(见图)
热噪声电压的变化规律便可用所有可能测得的结果表示，表为{V（t）,t∈T}，称它
为随机过程。
例2 飞行速度
某种飞机在理论上在时间T内有一个不变的速度V，但实际上飞行中由于各种原因其
飞行速度在V值附近摆动。将每次飞行看为一次实验，对应此实验结果便是一次实际飞行
速度的记录，可记为Vi(t)，为了研究飞机在飞行过程中飞行速度变化过程的概率特性，
需考虑所有可能的飞行速度的全体，记为{V（t）,t∈T },称它为一个随机过程，对于不
同实验结果有不同的实际飞行速度结果Vi(t)与之对应。（见图）
随机过程第二章
F t1 ,t 2 ,t n ; x1 , x2 , , xn
PX t1 x1 , X t 2 x2 , , X t n xn t1 ,t 2 ,t n T , x1 , x2 , xn R
称之为
'
S.P. X t
的n维分布函数。
5、分布函数的性质
（1）对称性： i1 , i2 ,, in 是 任意排列
1,2,, n 的
PX t x
i1
Fti1 ,ti2 ,,tin xi1 , xi 2 , , xin Ft1 ,t2 ,,tn x1 , x2 , , xn
i1
PX t1 x1 , X t2 x2 , , X tn xn
（1）、 T是d, x是d S.P.（随机序列， S.S. ）离散参数，
离散状态的
S .P.
（2）、T是d, x是c S.P. 离散参数，连续状态的 S .P. （3）、T是c, x是d S.P. 连续参数，离散状态的 S .P. （4）、T是c, x是c S.P. 连续参数，连续状态的 S .P.
s, t T ，若定义 Cov[ X (s), X (t )]
存在：
C X ( s ,t ) Cov[ X ( s ), X ( t )] E
X ( s ) m
应用随机过程-期末复习资料
第一章 随机过程的基本概念
一、随机过程的定义
例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。
定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。
E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。
例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]
例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),
0[∞+
随机过程的基本概念
随机过程的基本概念
随机过程是随机现象的数学模型，是一种以时间为自变量而取随机数值的函数族，是概率论和数理统计中的重要工具之一。本文将从定义、性质、分类等方面论述随机过程的基本概念。
一、随机过程的定义
随机过程是由一个随机变量族{Xt}（t∈T）所组成的集合的统称，其中T为时间参数集合。换言之，随机过程是时间与随机变量的集合关系，其中随机变量的取值是时间变化的函数。随机过程可以用X(t)表示，其中t表示时间，X表示在时间t处的随机变量。
简单来说，随机过程就是为一组日期指定随机变量，使得这些随机变量与其日期相关联。每个随机变量表示特定日期发生的随机事件。
二、随机过程的性质
1. 一般随机过程：随机变量群体的每个成员都需要一个完整的概率空间，并且具有一个抽象的时间参数集合。因此，一般随机过程的样本空间往往是所有该样本空间下所有概率空间的笛卡尔积。
2. 同伦：如果存在同伦t:s→t+s（s∈S）,使得随机过程{Xt}具有相同的联合概率分布，则称该随机过程在t上存在同伦。
3. 马尔科夫性质：在一个离散时间的随机过程中，前时刻的状态随后时刻的状态条件独立，且只与当前状态有关，而与以前的任何状态无关，称之为马尔科夫性质。
三、随机过程的分类
1. 离散时间：随机变量在离散位置上取值，时间参数集合为整数集，可表示为{Xn}。
2. 连续时间：随机变量在连续位置上取值，时间参数集合为实数集，可表示为{X(t)}
3. 马尔科夫过程：随机过程满足马尔科夫性质的过程，由此得名。
4. 二元过程：仅具有两个状态变量，称之为二元过程。
随机过程及其概率密度
随机过程及其概率密度
随机过程是一种随机现象的数学模型，用于描述随机变量随时间的演化规律。概率密度则是随机过程的重要属性之一，用于描述随机变量取值的概率分布情况。下面我们将详细介绍随机过程及其概率密度。
一、随机过程的概念及表示
随机过程（random process）是一种随机变量集的集合，表示为
{X(t), t∈T}，其中T为时间的取值范围。随机过程中的每一个随机变量X(t)表示在不同时间点t时随机现象的取值。随机过程可以用一条曲线表示，曲线上每一个点的横坐标表示时间，纵坐标表示相应时间点的随机变量的取值。
二、随机过程的分类
根据时间变量的值域，随机过程又可分为离散时间过程和连续时间过程两类。
1.离散时间过程
离散时间过程是指时间变量的取值范围为离散的，如自然数集合、整数集合或有限集合等。在离散时间过程中，随机变量在不同时间点的取值是相互独立的。
2.连续时间过程
连续时间过程是指时间变量的取值范围为连续的，如实数集合。相比于离散时间过程，连续时间过程中的随机变量在不同时间点的取值往往是相关的。
三、随机过程的特性
随机过程可以通过分布函数或概率密度函数来描述。
1.一维分布函数
一维分布函数F(x,t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值小于等于
x的概率，即F(x,t)=P(X(t)≤x)。
2.一维概率密度函数
一维概率密度函数f(x, t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值在[x, x+dx]范围内的概率，即f(x, t) ≈ P(x < X(t) ≤ x+dx) / dx。一维
概率密度函数可以通过一维分布函数的偏导数得到，即f(x, t) = dF(x, t) / dx。
随机过程的定义及其分类
随机过程的定义及其分类
随机过程是一组随机变量的集合，代表了在时间序列上发生的事件或现象。在数学中，随机过程可以用来描述许多现实世界中的问题，如股票价格、传染病传播等。本文将介绍随机过程的定义及其分类。
一、随机过程的定义
随机过程是一个随时间而变的随机变量集合。具体来说，它包含了一列随机变量 $\{X_t | t \in T\}$，其中 $T$ 通常表示时间或时间的子集，每个 $X_t$ 是一个随机变量。随机过程的每个
$\{X_t\}$ 表示一个随机事件在时间 $t$ 的状态。例如，在股票市场中，$X_t$ 可以表示在时间 $t$ 股票的价格。
二、随机过程的分类
随机过程可以按照多个特性进行分类，下面介绍常见的几种分类方法。
1. 离散时间随机过程和连续时间随机过程
离散时间随机过程和连续时间随机过程是相对于时间而言的。离散时间随机过程是在固定的时间间隔内进行观察，并且在每个时间点上都有一个随机变量，例如掷硬币。连续时间随机过程是在时间轴上连续观察，并且每个时间点上有一个随机变量，并按照一定的碎形原理进行处理。
2. 马尔可夫过程和非马尔可夫过程
马尔可夫过程顾名思义，是取决于当前状态的一个随机过程。当前状态是系统的“记忆”，这使得估计下一状态将非常容易。非马尔可夫过程则是指未满足前述条件的随机过程。
3. 定常随机过程和非定常随机过程
定常随机过程是指在时间上的统计特性不随时间变化，例如期望，方差等。一个例子是一年中某地的降雨量。非定常随机过程则是指在时间上的统计特性会随时间发生变化的随机过程。
4. 平稳过程和非平稳过程
高等数学中的随机过程相关知识点详解
高等数学中的随机过程相关知识点详解
近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。作为高等数
学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关
知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、概率论基础
在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础
知识。概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机
事件的发生规律和概率计算方法。在概率论中，有一些基本概念
和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。
1.1 概率
概率是指一个事件发生的可能性大小。通常用P来表示，它的
取值范围是0到1。当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。例如，掷一枚硬币正面朝上的概
率为1/2，或者说P=0.5。
1.2 条件概率
条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。通常
用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为
P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。
1.3 概率分布
概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。在不同的情况下，概率分布也是不同的。例如，在离散型随
机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续
性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。
1.4 随机变量
随机变量是一种随机事件的数学描述。它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型
和连续型。离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、
第二章随机过程的概念与基本讲解
Bz (s, t) Rz (s, t) mz (s)mz (t)
定理 2.2 复随机过程 {Xt , t T} 的协方差函数 B(s, t) 具有性质
（1）对称性： B(s, t) B(t, s) ； （2）非负定性：
对任意 t T 及复数 ai , i 1, 2, , n, n 1
Ft1, ,tn ( x1, x2, , xn ) p{X(t1) x1, , X(tn ) xn} 这些分布函数的全体
F {Ft1,...,tn ( x1, x2 , ...xn ), t1, t2 , ...tn T, n 1}
称为 Xt ={X(t),t∈T }的有限维分布函数族。
值得注意的是参数 t 可以指通常的时间，也可以指 别的；当 t 是向量时，则称此随机过程为随机场。为了 简单起见，我们以后总是假设T R (,) 。
例6 抛掷一枚硬币的试验, 样本空间 S={H,T}, 现定义
X (t )
cos πt,当出现H ,
t
,
当出现T ,
t (,),
是与t有关的随机变量X(t)，对于固定的t，X(t)是一个
取非负整数的随机变量。故{X(t)，t∈[0,∞]}是随机过
程。
例 3 在天气预报中，若以 X(t) 表示某地区第 t 次统计
随机过程 概率论
随机过程概率论
随机过程是指在一定的条件下，某一物理过程或现象可以用概率分布函数描述的数学
模型。随机过程是概率论中的重要分支之一，应用广泛，涉及到信号处理、经济、金融、
自然科学等领域。
随机过程的基本概念包括样本函数、状态空间、状态变量、状态转移概率等。其中，
样本函数是指随机过程在某一时间点的取值，状态空间是指所有可能的取值的集合，状态
变量是指样本函数随时间变化的值，状态转移概率是指随机过程从当前状态转移到下一状
态的概率。
随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两类。离散时间随机过程指
在离散的时间点上，随机变量的取值存在随机性；连续时间随机过程指在持续的时间段内，随机变量的取值存在随机性。
对于随机过程的分析和研究，人们通常使用统计和概率论的工具和方法，如概率密度
函数、条件概率、矩、协方差等。通过这些方法，可以从数学上描述和分析随机过程的发
展趋势、周期性、稳定性等特征。
随机过程在实际应用中有着广泛的应用，例如在通信领域，随机过程可以用来描述传
输信道的噪声和干扰；在金融领域，随机过程可以用来建立期权定价模型；在自然科学领域，随机过程可以用来研究生态系统的演化、气候变化等复杂问题。
总之，随机过程作为概率论的重要分支，在各个领域都有着重要的应用，对物理学、
数学、经济学等学科的发展起到了推动作用。使我们能够更好地理解和应对复杂的随机事
件和现象。
随机过程的基本概念和基本类型
第二章 随机过程的基本概念和基本类型
教学目的：（1）掌握随机过程的定义； （2）了解有限维分布族和Kolmogorov 定理； （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 教学重点：（1）有限维分布和Kolmogorov 定理； （2）随机过程的基本类型。
教学难点：（1）有限维分布和Kolmogorov 定理。
2.1 基本概念
教学目的：掌握随机过程的定义；了解随机过程的按状态集和参数的分类。 教学重点：随机过程的定义。
在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，但局限在它们相互独立的情形。将上述情形加以推广，
即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
定义2.1：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈,),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω,为该概率空间上的一随机过程。T 称为参数集。
随机过程的两种描述方法：用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω，即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定,T t ∈),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈0ω，),(0ωt X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现。记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为).(t X 参数T 一般表示时间或空间。参数常用的一般有：
(1) },,2,1,0{0 ==N T 时间此时称之为随机序列或随机序列写为序列.，)({n X }0≥n }.,1,0,{ =n X n 或
随机过程的基本概念
Kolmogorov定理
设分布函数族
{Ft1,t2 , ,tn (x1 , x2 , , xn ), t1, t2 , , tn T , n 1}
满足上面的对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),
X (tn ))
则 X (t )称为严平稳过程
严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.
2.宽平稳过程
定义2 设随机过程{ X (t) ， t T }，如果它满足： （1） X (t) 是二阶矩过程； （2）均值函数为常数，即X (t) E[ X (t)] （3）协方差函数 (t1 , t2 ) 仅依赖 t1 t2 ，即 (t1 , t2 ) E[ X (t1 )X (t2 )] 2 ( )
单位时间从袋中任取一球，取后放回，对
每一个确定的t对应随机变量
X
(t
)
t, 3
et ,
如果t 时取得红球 如果t 时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求 X (t) 的概率分布
解 对每一个确定的时刻 t， X (t) 的概率分布为
t
X (t) 3
t
e
2
P
3
所以
F(t, x) P(X (t) x)
随机过程2.4 随机过程的基本类型
若过程 X (t),是t 正R态过程,且
EX(t) 0,
R(
s,
t
)
2δ( s
t
)
0, ,
st st
电子科技大学
随机过程的基本类型
称其为高斯白噪声过程，它是独立过程. 高斯白噪声是典型的随机干扰数学模型,普
遍存在于电流的波动,通信设备各部分的波 动,电子发射的波动等各种波动现象中.
相互独立,称随机过程 X (t), t T
为独立过程.
电子科技大学
随机过程的基本类型
Leabharlann Baidu
注 独立随机过程的有限维分布由一维分布确定
n
Fn (t1, , tn; x1, , xn ) Fk (tk ; xk ) k 1
Ex.1 高斯白噪声
实值时间序列X (n), n N的
E{X (n)} 0, D[( Xn )] 2 ,
电子科技大学
证 若n1<n2<…<nm
n2
n1
Y (n2 ) Y (n1) X (k) X (k)
k0
k0
X(n1 1) X(n2 )
Y (n3 ) Y (n2 ) X (n2 1) X (n3 )
Y (nm ) Y (nm1 ) X (nm1 1) X (nm )
什么是随机过程(一)
什么是随机过程（一）
引言概述:
随机过程是概率论和数学统计学中的重要概念，用于描述随机事件在时间和空间上的演化规律。它在实际问题建模和分析中具有广泛的应用，涵盖了大量的领域，如通信系统、金融市场、生物学等。本文将介绍随机过程的基本概念和特征，并探讨其在实际中的应用。
正文:
1. 随机过程的定义
1.1 随机过程的基本概念
1.2 随机变量与随机过程的关系
1.3 不同类型的随机过程（如离散随机过程、连续随机过程等）
2. 随机过程的特征
2.1 随机过程的时间域特征
2.2 随机过程的统计特征
2.3 随机过程的独立性和相关性
2.4 随机过程的平稳性
2.5 随机过程的马尔可夫性质
3. 随机过程的应用
3.1 通信系统中的随机过程
3.2 金融市场中的随机过程
3.3 生物学中的随机过程
3.4 物理学中的随机过程
3.5 工程控制中的随机过程
4. 随机过程的建模和分析方法
4.1 马尔可夫链模型
4.2 随机演化方程模型
4.3 随机微分方程模型
4.4 随机过程的仿真方法
4.5 随机过程的参数估计方法
5. 随机过程的未来发展
5.1 随机过程在人工智能中的应用
5.2 随机过程在时空数据分析中的应用
5.3 随机过程在大数据分析中的应用
5.4 新兴领域中的随机过程研究
5.5 随机过程理论与实际应用的结合
总结:
本文介绍了随机过程的定义、特征和应用，并讨论了随机过程的建模和分析方法。随机过程作为概率论和数学统计学的重要分支，具有广泛的应用前景。随着人工智能和大数据分析的发展，随机过程在各个领域中的应用将进一步扩展。值得期待的是，未来随机过程理论和实际应用的结合将推动该领域的进一步发展。
第2章 随机过程的概念与基本类型
第2章随机过程的概念
与基本类型
内容提要
❑随机过程的基本概念
❑随机过程的分布
❑随机过程的数字特征
❑复随机过程
❑几种重要的随机过程
2.1 随机过程的基本概念
❑随机过程——随机变量族
❑随机过程几个例子：
⏹生物群体的生长问题：以X t 表示在t 时刻群体的个数，
是一个随机变量。若从t=0开始，每隔对每一个t ，X
t
24小时对群体个数观测一次，则{X t , t =0, 1, …}是随机过程。
⏹某电话交换台在时间段[0, t]内接到的呼叫次数是与t有
关的随机变量X (t)，对于固定的t，X (t) 是一个取非负整数的随机变量。则{ X (t), t∈[0, ∞) } 是随机过程。
随机过程的定义
[定义]设（Ω,☞,P）是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t∈T，有一个随机变量X (t, e) 与之对应，则称随机变量族{ X (t, e), t∈T}是(Ω,☞,P) 上的随机过程，简记为随机过程{ X (t), t∈T}或{ X
, t∈T} 。T
t
称为参数集，通常表示时间。
状态与样本函数
X(t, e) 是定义在T⨯Ω上的二元函数
⏹状态——对于固定时刻t ∈T，X(t, e) 是(Ω, ☞, P) 上
的随机变量，此时把X(t) 所取的值称为随机过程X(t)在时刻t 所处的状态。
X(t) 的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。
⏹样本函数——对于固定样本点e，X(t, e) 是定义在T上
的普通函数，称之为随机过程{ X (t), t ∈T}的一个样本函数或轨道。样本函数的全体称为样本函数空间。
第二章 随机过程的概念和类型
第二章 随机过程的概念和基本类型
2.1 随机过程的基本概念
随机过程是随机数学一个十分广泛的分支，它研究的是客观世界中随机现象演变过程的统计规律性.随机过程理论不仅广泛应用于自然科学的各个领域（例如物理学、生物学、电子技术等），而且在社会科学的许多领域也日益受到重视.
我们都知道，初等概率论的主要研究对象是随机现象，可以用一个或有限个随机变量来描述随机试验所产生的随机现象.但是，随着科学技术的不断发展，我们必须对一些随机现象的过程进行研究，也就是要考虑无穷多个随机变量，而且解决问题的出发点不是随机变量的独立样本，而是无穷个随机变量的一次具体观测.这时，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律，这种随机变量簇就是随机过程.
下面先考察几个例子.
例 2.1 某人不断地掷一颗骰子，设()X n 表示第n 次掷骰子时出现的点数，1,2,n =⋅⋅⋅，对于任意一个n ，在第n 次掷骰子前不知道试验的结果会出现几点，因此，()X n 是一个随机变量.这样，随机现象可以用一簇随机变量{(),1}X n n ≥来描述.
例2.2 设()X t 表示某流水线从开工（0t =）到时刻t 为止的累计次品数，在开工前不知道时刻t 的累计次品数将有多少，因此，()X t 是一个随机变量，假设流水线不断工作，随机现象可以用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述.
例2.3 在天气预报中，若以()X t 表示某地区第t 次统计所得到的该天最高气温，则()X t 是一个随机变量，为了预报未来该地区的气温，我们必须用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述它的统计规律性.
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这就是随机过程。 一族无穷多个、相互有关的随机变量，
变量， 则称随机变量族 XT { X ( t , ); t T } 为该概率
T 称为参数集。 空间上的一随机过程。
随机过程的两种描述方法：
X (t , ) : T R 用映射表示 X T , 即 X (, ) 是一定义在 T 上的二元单值函数， 固定 t T , X ( t , ) 是一定义在样本空间 上的函数，
— —则称 f ( t1 , t 2 , x1 , x2 )为二维概率密度 .
3. n维分布函数
n维随机向量( X ( t1 ), X ( t2 ),, X ( tn ))的联合分布函数为
Ft1 ,, t n ( x1 ,, xn )F ( t1 ,, t n ; x1 ,, xn )
P{ X ( t1 ) x1 ,, X ( tn ) xn } 若 f ( t1 ,, tn ; x1 ,, xn ) 0,
Ft1 ,,t n ( x1 ,, xn ) F ( t1 ,, t n ; x1 ,, xn )
1 x n f ( t ,, t ; y ,, y )dy dy -x 1 n 1 n 1 n
2.2 有限维分布与Kolmogvrov定理 一、随机过程的分布函数 1. 一维分布函数
设X ( t )是一随机过程，称
Ft ( x )F ( t , x ) P{ X ( t ) x }
称为{ X ( t )}的一维分布函数. 若 f ( t , x ) 0,
使得
Ft ( x ) F ( t , x )
根据T和S的不同过程可以分成不 同的类：
参数空间分类：
离散参数 连续参数
状态空间分类：
如 T {0,1,2} 如T {t | t 0}
离散状态 连续状态
S取值是离散的 S取值是连续的
随机过程分为以下四类： (1)离散参数离散型随机过程； (2)连续参数离散型随机过程； (3)连续参数连续型随机过程； (4)离散参数连续型随机过程。
第2章 随机过程的基本 概念和基本类型
2.1 基本概念
n 维随机向量。 在概率论中，我们研究了随机变量，
在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，但局限
在它们相互独立的情形。 将上述情形加以推广， 即研究 定义2.1：设 (, , P )是一概率空间，对每一个参数
t T ，X (t , ) 是一定义在概率空间 ( , , P ) 上的随机
序列. 随机序列写为 { X ( n)，n 0} 或{ X n , n 0,1,}.
(2) T {0,1,2,}
(3) T [a , b] 其中a可以取0或 , b可以取 .
当参数取可列集时， 一般称随机过程为随机序列。 随机过程 { X ( t ); t T }可能取值的全体所构成的集合 称为此随机过程的状态空间，记作S. S中的元素 称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的 抽象空间构成。
称为n维随机向量( X ( t1 ), X ( t2 ),, X ( tn )) 的n维分布函数.
— —则称 f ( t1 ,, tn ; x1 ,, xn )为n维概率密度.
4. 有限维分布族
一维、二维， ，n维分布函数的全体 :
{ Ft1 ,, t n ( x1 ,, xn )，t1 ,, t n T , n 1}
cos t , 当出现 H 时 t ( , ) X (t ) 当出现 T 时 2t ，
其中 P{ H } P{T } 1 / 2, 则 { X ( t ) , t ( , )}是一
随机过程。
例2.3
Brown运动： 英国植物学家Brown注意到 漂浮在液面上的微小粒 子不断进行无规 则的运动，这种运动后 来称为Brown运 动。同时分子大量随机 碰撞的结果。记 ( X ( t ),Y ( t ))为粒子在平面坐标上的 位置， 则它是平面上的 Brown运动。
以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：
独立增量过程； 二阶矩过程； 平稳过程； Poission过程；
更新过程；
Markov过程； 鞅； 维纳过程。
随机过程举例 例2.1 随机游动： 一醉汉在路上行走，以 概率p前进一步，
以概率1 p后退一步（假设其步长 相同） ,以X ( t )记 他在t时刻在路上的位置，则 X ( t )就是直线上的随 机游动. 例2.2 抛掷一枚硬币，样本空间为 S { H , T } 定义：
— —称为二维随机向量 ( X ( t1 ), X ( t2 )) 的分布函数。 若 f ( t1 , t 2 , x1 , x2 ) 0,
Ft1 ,t2 ( x1 , x2 ) F ( t1 , t2 , x1 , x2 )
1 x2 f ( t , t , y , y )dy dy -x 1 2 1 2 1 2
即为一随机变量； 对于固定的 0 , X ( t , 0 ) 是一个 关于参数 t T 记号 X ( t , ) 有时记为 X t ( ) 或简记为 X ( t ).
的函数， 或称随机过程的一次实现。 通常称为样本函数，
参数 T 一般表示时间或空间。
参数常用的一般有：
(1) T N 0 {0,1,2,}, 此时称之为随机序列或 时间
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f ( t , y )dy
则称 f ( t , x ) 为{ X ( t )}的一维概率密度 .
2. 二维分布函数
设二维随机向量 {( X ( t1 ), X ( t 2 )) ( t1 , t 2 ) T }
Ft1 ,t2 ( x1 , x2 )F ( t1 , t2 , x1 , x2 ) P{ X ( t1 ) x1 , X ( t2 ) x2 }