人文社科考研数学二历年真题2003—2013

合集下载

考研数学二历年真题(2003—2012)题目

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载

（C）与 x 同阶但不等价无穷小
（A）2
f

(x)
f x是由方程 cosxy ln y x

sin x, x [0, )

2,
（B）1 （C）-1
，
x [ ,2 ]
３．设
４．设函数
F ( x)

（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小

1
确定，则
x
f (t)dt 则（
x

x
e

（B） a 2
５．设函数 z y f xy，其中 f 可微，则 x z z （）
x
e
，且反常积分
（A） 2 yf '(xy) （B） 2 yf '(xy) （C） 2 f (xy) （D） 2 f (xy)
y x y
6．设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（）
1 a 1
（A） a 0,b 2
（C） a 2,b 0
0 0 0
（B） a 0 ， b 为任意常数
（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ，则 A =
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ．

[研究生入学考试]考研数学二真题2003—2012

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11xy==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+< . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T Tf x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x→时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.（3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。

考研数学二真题(2013年)

（D） F (x) 在 x 处可导
1 , 1 x e ( x 1)1 （4）设函数 f (x)= ，若反常积分 1 f (x)dx 收敛，则（ 1 , x e x ln 1 x
）
（A） 2
x
（B） 2
（C） 2 0
y x x y
第 7 页共 18 页
（21）（本题满分 11 分）设曲线L 的方程为 y 1 x 2 1 ln x
4 2 (1 x e) ，
（16）（本题满分 10 分）
1
设 D 是由曲线 y x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx ,Vy 分别是D 绕
3
x 轴， y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy 10Vx ，求 a 的值。
（17）（本题满分 10 分）设平面内区域D 由直线 x 3y, y 3x 及 x y 8 围成.计算 x2dxdy 。
Ik ( y x)dxdy(k 1, 2, 3, 4) ，则（
Dk
）（D） I4 0
（A） I1 0
（B） I2 0
（C） I3 0
第 1 页共 18 页
7 A. B. C. D.
设矩阵 A,B,C 均为n 阶矩阵，若 AB C , 则B可逆，则矩阵 C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价矩阵 C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价矩阵 C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价矩阵 C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价
2）Leabharlann （A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价的无穷小
（D）与 x 等价的无穷小

考研数学二历年真题(2003—2012)__杨玉坤

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10)22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z zxy x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x yy +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xx dx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。

03考研数学二真题

03考研数学二真题考研数学二真题是考研数学科目中的一道真题题目。

这道题目需要我们运用数学的知识和解题方法来进行求解。

下面，我将以解题的方式来呈现这道考研数学二真题。

首先，让我们来看一下这道考研数学二真题的具体内容：已知数列{an}满足条件：a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，对于n ≥ 4，有an = an-1 + an-3，求a2019的最后一位数字。

对于这道题目，我们可以先观察数列的前几项，尝试找到其中的规律。

根据给定的条件，我们可以得到数列的前4项为：1，2，3，6。

接下来，我们尝试继续计算数列的后面几项，并观察其中的特点。

根据题目给出的递推关系式an = an-1 + an-3，我们可以得到数列的第5项为：6+1=7，第6项为7+2=9，第7项为9+3=12，第8项为12+6=18，第9项为18+7=25。

通过继续计算，我们可以得到数列的前10项如下：1，2，3，6，7，9，12，18，25，43观察这个数列，我们可以发现其前4项和后面的项之间有着明显的区别：前4项呈现一个等差数列，而后面的项则不再遵循这个规律。

因此，在求解a2019的最后一位数字时，我们仅需要考虑前4项的规律即可。

接下来，我们来研究一下前4项之间的特点。

我们可以计算数列的前4项的差值，得到第一次差值为1，第二次差值为3，第三次差值为4.再往后我们可以求得差值为7，差值为11，差值为18等等。

通过观察这些差值，我们可以发现它们本身也是一个数列。

根据这个差值数列，我们再次观察其前几项差值的差值，我们可以求得第一次差值为2，第二次差值为1，第三次差值为7，第四次差值为11，第五次差值为29，第六次差值为18,等等。

同样地，这些差值也形成了一个数列。

通过对这两个数列的观察，我们可以发现它们的差值数列本身是一个循环数列，其循环节的长度为3。

也就是说，前4项和后面的项之间的差值数列和差值数列的差值数列均呈现一个长度为3的循环。

2013年考研数学真题及参考答案(数学二)

π
2
, 则当 x → 0 时, α ( x ) 是
【】 .
(A) 比 x 高阶的无穷小 (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小【答案】答案】C.
(B) 比 x 低阶的无穷小 (D) 与 x 等价的无穷小
【考点】考点】计算极限的方法:常用的等价无穷小.
【解析】解析】 x sin α ( x) = cos x − 1 ~ −
(D) I 4 > 0
【解析】解析】在第 II 象限除原点外被积函数 y − x > 0 ,因此 I 2 > 0 . 【评注】评注】在第 IV 象限除原点外被积函数 y − x < 0 ,因此 I 4 < 0 ; 在第 I 象限和第 III 象限,根据轮换对称性得
I1 = I 3 = 0 .
(7)设 A, B, C 均为 n 阶矩阵,若 AB = C ,且 B 可逆,则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价【答案】答案】B. 【考点】考点】向量组的线性表示方法. 【解析】解析】将矩阵 A 和 C 按列分块,设 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) , B = (bij ) , C = (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) . ①由 AB = C 组线性表示; 【】 . (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
π
6
≤θ ≤
π
6
),则 L 所围平面图形的面积为
．
【答案】答案】
π
12
.
【考点】考点】计算极坐标曲线所围图形的面积.

2003-2013数二考研线性代数真题及答案合集

1 0 0 1 0 0 1 0 ， P2 = 0 0 1 ，则 A =（得单位矩阵。记 P 1 = 1 0 0 1 0 1 0
（A） P 2 1P （B） P 1 P 2
* −1
）
（C） P2 P 1
（D） P2 P 1
T
−1
（8）设 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是 4 阶矩阵，A 为 A 的伴随矩阵。若 (1 ,0,1,0) 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 A* x = 0 的基础解系可为（（A） α 1 , α 3 （B） α 1 , α 2 ）（D） α 2 , α 3 , α 4
．
记
a1 b1 α = a 2 , β = b2 ． a b 3 3
（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα + ββ ；
T T
（2）若 α , β 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 + y 2 ．
2 2
考研数学二(2003-2013) 线性代数历年真题及答案汇总
2013 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． ( )
2 −1 . −1 2
(C )
1 −2 . −2 1
（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, λ .若行列式 2 A = −48 ，则 λ = ___ . （22）（本题满分 12 分）

2003-2018年考研数学二真题及解析2019收集

2018年考研数学二真题及答案解析2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（）()A 当lim sin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim sin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos2)cos2,(cos2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则（A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）()s （A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+【答案】 B 【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。

2003年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

2003 年考研数学（二）真题评注
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
1
（1）若 x 0 时， (1 ax2 ) 4 1 与 xsin x 是等价无穷小，则 a=
.
（2）设函数 y=f(x)由方程 xy 2 ln x y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方
(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).
【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完
全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.
8.. 【分析】先用换元法计算积分，再求极限.
【详解】因为
6
由考研云助手整理( 专注免费考研资料微信公众号提供更多资讯)
2
【详解】所求面积为
S 1 2 2 ( )d 1 2 e2a d
20
20
= 1 e 2a
2
1 (e4a 1) .
4a
0 4a
【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算
过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》P.200 【例 7.38】.
5.. 【分析】本题的关键是矩阵T 的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而行
(1)
试将
x=x(y)所满足的微分方程
d2x dy2
(y
sin
x)( dx)3 dy
0
变换为
y=y(x)满足的微
分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0) 0, y(0) 3 的解. 2
七、（本题满分 12 分）
讨论曲线 y 4ln x k 与 y 4x ln 4 x 的交点个数.

考研数学二历年真题及答案详解_2003—2013李永乐

阵 C． 23（本题满分 11 分）
a1 b1 设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) 2( a1 x1 a 2 x2 a3 x3 ) (b1 x1 b2 x2 b3 x3 ) ．记 a 2 , b2 ． a b 3 3
2
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值． 17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x 3 y, y 3x, x y 8 所围成，求 18．（本题满分 10 分）设奇函数 f ( x ) 在 1,1 上具有二阶导数，且 f (1) 1 ，证明：（1）存在 (0,1) ，使得 f ' 1 ；（2）存在 (1,1) ，使得 f ( ) f ( ) 1 ． 19．（本题满分 10 分）求曲线 x 3 xy y 3 1( x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分 11）设函数 f ( x ) ln x
2．已知 y f x 是由方程 cos xy ln y x 1 确定，则 lim n f 1 （
n
2 n

）
（A）2 ３．设 f ( x )
（B）1
（C）-1
（D）-2
x sin x, x [0, ) ， F ( x ) f (t )dt 则（） 0 2, x [ ,2 ]
d2y dx 2
x 0

.
1 1 1 2 2 2 2 2 n n n2 1 n
.

考研数学(二)真题分析详解

2003年考研数学（二）真题分析详解一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= -4 . 【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xaxx x ax x x ，故a=-4.（2）设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0 .【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得y y xy x y '=+'+342，将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为)1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x（3）xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(ln n n.【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)0()(n fn 【详解】因为 2ln 2xy ='，2)2(ln 2xy =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(ln )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn =（4）设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414-ae aπ . 【分析】利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ.（5）设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = 3 .【分析】本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT（6）设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B 21 .【分析】先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nn n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ B ]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n nn n n x n，可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n （3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ A ]【分析】将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(yx ϕ.【详解】将xxy ln =代入微分方程)(y x x y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(uu -=ϕ，故 )(y x ϕ=.22x y - 应选(A).（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（5）设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ B ] 【分析】直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是1tan >x x ，1tan <xx，从而有 4tan 41ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 402ππ<=⎰dx x x I ，可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).三、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(+==-f f f【详解】 xx ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim )00(30300-=-+==----→→→=113lim 1113lim 22022--=----→→x ax x ax x x=.6213lim 220a x ax x -=--→ 4sin1lim )(lim )00(200xx ax x e x f f ax x x --+==+++→→=.4222lim 41lim 420220+=-+=--+++→→a x a x ae xax x e ax x ax x 令)00()00(+=-f f ，有 4262+=-a a ，得1-=a 或2-=a . 当a=-1时，)0(6)(lim 0f x f x ==→，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim 0f x f x ≠=→，因而x=0是f(x)的可去间断点.四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t 的取值.【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=，得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x=9时，由221t x +=与t>1得t=2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x 五、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【分析】被积函数含有根号21x +，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换：arctanx=t ，即 x=tant. 【详解】设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e t t ⎰--=tdt e t e t e t t t sin sin cos ⎰-+-，故.)cos (sin 21sin C t t e tdt e tt+-=⎰ 因此dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C xe x x ++-六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】将dy dx 转化为dxdy比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为.21x x e C e C Y -+=设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y x x --=-七、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【分析】问题等价于讨论方程04ln 4ln 4=-+-k x x x 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）.【详解】设=)(x ϕk x x x -+-4ln 4ln 4则有 .)1(ln 4)(3xx x x +-='ϕ 不难看出，x=1是)(x ϕ的驻点. 当10<<x 时，0)(<'x ϕ，即)(x ϕ单调减少；当x>1时，0)(>'x ϕ，即)(x ϕ单调增加，故k -=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的最小值.当k<4，即4-k>0时，0)(=x ϕ无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，0)(=x ϕ有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当 k>4，即4-k<0时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 30k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ，故0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q ，再由题设线段PQ 被x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式dt y x s ba⎰'+'=22进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为)(1x X y y Y -'-=-，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则y x y Y '+=，故Q 点的坐标为).,0(y xy '+由题设知 0)(21='++y xy y ，即 .02=+xdx ydy 积分得 C y x =+222 (C 为任意常数).由2122==x y知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 .1222=+y x(2) 曲线y=sinx 在[0，π]上的弧长为.cos 12cos 120202dx x dx x l ⎰⎰+=+=ππ曲线y=f(x)的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 22,cos t y t x .20π≤≤t 故 dt t dt t t s ⎰⎰+=+=202222sin 121cos 21sin ππ，令u t -=2π，则du u du u s ⎰⎰+=-+=202022cos 121)(cos 121ππ=.4222l l =九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)【分析】液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ϕ之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππϕ+=4)(2, 从而 .4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022-==⎰y t du u y ϕϕπ上式两边对y 求导，得 )()(6)(2y y y ϕϕπϕ'=，即 ).(6)(y y ϕπϕ'=解此微分方程，得yCe y 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知C=2,故所求曲线方程为.26y e x π=十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f a x --+→)2(lim 存在，证明： (1) 在(a,b)内f(x)>0;(2) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'b adx x f a a b f .)(2))((22ξξη 【分析】 (1) 由ax a x f a x --+→)2(lim 存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为ax a x f a x --+→)2(lim 存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f a x 又0)(>'x f ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 设F(x)=2x ,)()()(b x a dt t f x g xa ≤≤=⎰, 则0)()(>='x f x g ，故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点ξ，使ξ=''=--=--⎰⎰⎰x x a b a a a dt t f x dt t f dt t f a b a g b g a F b F ))(()()()()()()()(222，即 )(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰. (3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得))((2)(22a f dxx f a b b a -'=-⎰ξηξ，即有 ⎰-=-'b adx x f a a b f .)(2))((22ξξη 十一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P【分析】已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P ，则是常识问题.【详解】矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(600280222---=------=-λλλλλλa A E =)2()6(2+-λλ，故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即 2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00000012000480246a a A E ，知a=0.于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ 当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ，解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb c ba A ---++++=---= =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac c b ba ++-=-= =0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb cb a A ---++++-===])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++-,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为 ])([2)(22222b b a a b ac c b ba ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.。

考研数学二历真题及答案详解(—)

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013 ）2013 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题1—8 小题．每题 4 分，共 32 分．１．设cos x1x sin(x),(x)，当 x0 时，x（）2（ A ）比x高阶的无量小（ B）比x低阶的无量小（ C ）与x同阶但不等价无量小（ D ）与x等价无量小2．已知y f x 是由方程 cos xy ln y x 1 确立，则 lim n f21（）n n（A）2（B） 1（C）-1（D）-2３．设 f (x)sin x, x[0,)， F ( x)x2, x[,2]f (t )dt则（）（Ａ） x为 F ( x) 的跳跃中断点．（Ｂ） x为 F ( x) 的可去中断点．（Ｃ） F ( x) 在x连续但不行导．（Ｄ） F (x) 在x可导．1,1x e( x1)1４．设函数 f ( x)，且失常积分f x dx收敛，则（）1, x ex ln1x（A ）2（ B）a 2（ C）2 a 0（D）02５．设函数 z y f xy，此中 f可微，则x z z（）x y x y（ A ）2 yf ' ( xy)（B） 2 yf ' (xy ) （C）2f ( xy)（D ）2f (xy )x x6．设D k是圆域D(x, y) | x2y 21的第 k 象限的部分，记 I k( y x)dxdy ，则（）D k（A） I10（B）I20（C）I30（D）I407．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．（C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013 ）1a12008．矩阵a b a 与矩阵0b0相像的充足必需条件是1a1000（ A ）a0, b2（ B）a0 ， b 为随意常数（ C ）a2, b0（ D）a2， b 为随意常数二、填空题（本题共 6 小题，每题 4 分，满分 24分. 把答案填在题中横线上）19．lim2ln(1x) x．xx010．设函数 f ( x) 1 e t dt ，则y f ( x) 的反函数x f 1 ( y) 在y 0处的导数dx|y 0．x1dy11．设关闭曲线L的极坐标方程为r cos36t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积6为．x arctan t1处的法线方程为12．曲线上对应于 t．y ln 1 t 213 ．已知y1e3 x xe2x , y2e x xe2 x , y3xe2 x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则知足y(0)0, y' (0) 1 方程的解为．14．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式， A ij为元素 a ij的代数余子式，且知足Aij aij0(i, j1,2,3)，则A =．三、解答题15．（本题满分10 分）当 x0时，1cos x cos2x cos3x 与 ax n是等价无量小，求常数 a, n ．16．（本题满分 10 分）设 D 是由曲线y 3a (a 0)及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y分别是D绕 x 轴和y轴旋转一x ，直线 x周所形成的立体的体积，若10V x V y，求 a 的值．数学二历年考研试题及答案详解（ 2003~2013 ）17．（本题满分 10 分）设平面地区 D 是由曲线 x 3y, y3x, xy 8所围成，求x 2 dxdy ．D18．（本题满分 10 分）设奇函数f ( x) 在 1,1 上拥有二阶导数，且 f (1) 1，证明：（1）存在 (0,1) ，使得 f ' 1；（2）存在( 1,1) ，使得 f ( )f ( )1 ．19．（本题满分 10 分）求曲线 x 3xyy 3 1( x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．20．（本题满分 11）1 设函数f (x)ln xx⑴求 f ( x) 的最小值；⑵设数列 xn知足 ln x n11 ，证明极限 lim x n 存在，并求此极限．xn 1n21．（本题满分 11）设曲线 L 的方程为y 1 x 21ln x(1 x e) ．42（1）求 L 的弧长．（2）设 D 是由曲线 L ，直线 x 1, x e 及 x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标．22．本题满分 11 分）1 a0 1 a, b 为什么值时，存在矩阵C ，使得 ACCAB ，并求出所有矩阵C ．设 A, B1 ，问当 1 0b23（本题满分11 分）a 1b 1 设二次型f ( x 1, x 2 , x 3 )2(a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2 (b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 ) 2 ．记a 2 ,b 2 ．a 3b 3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为2TT；（2）若 ,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 2 y 12 y 22 ．2012 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题 :1-8 小题 , 每题 4 分 , 共 32 分. 以下每题给出的四个选项中 , 只有一个选项切合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定地点上 .．．． (1) 曲线 yx 2x的渐近线条数 ( )x 2 1(A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3(2) 设函数f ( x)(e x 1)(e 2 x2)(e nxn) ，此中 n 为正整数 , 则 f (0)( )(A) ( 1)n 1(n 1)!(B)( 1)n ( n 1)!(C)( 1)n 1 n!(D)( 1)n n!(3)设a n0 (n1,2,3 ),S n a 1 a 2a 3a n ，则数列 S n 有界是数列 a n 收敛的( )(A) 充足必需条件(B) 充足非必需条件 (C) 必需非充足条件(D)非充足也非必需(4)设I kk ex 2sin xdx,( k 1,2,3),则有( )(A)I 1 I 2I 3 (B) I 3 I 2 I 1 (C) I 2I 3 I 1(D)I 2 I 1 I 3(5) 设函数为可微函数，且对随意的x, y 都有( x, y) ( x, y) 0, 则使不等式f ( x 1 , y 1 ) f ( x 2 , y 2 )f ( x, y ）x 0, y成立的一个充足条件是( )(A)x 1 x 2 , y 1 y 2 (B) x 1 x 2 , y 1 y 2 (C) x 1 x 2 , y 1 y 2 (D) x 1 x 2 , y 1 y 2(6)设地区 D由曲线y sin x,x, y 1 围成，则 ( x 5 y 1)dxdy2D( )(A)(B) 2 (C) -2 (D) -11(7)设 α10 , α21 ,α31 ,α41 , 此中 c 1 ,c2 ,c3 ,c4 为随意常数，则以下向量组线性有关c 1c 2c 3c 4的为( )(A)α1,α2 ,α3(B)α1,α2 ,α4(C)α1,α3 ,α4(D)α2 ,α3 ,α4100(8) 设A为3阶矩阵， P 为3阶可逆矩阵，且P1AP010. 若Pα1,α2,α3，Qα1α2,α2,α3002则Q 1AQ()100100200200(A) 020(B)010(C)010(D)020001002002001二、填空题： 9-14 小题 , 每题 4分,共 24分 . 请将答案写在答题纸指定地点上 .．．．(9) 设y y( x) 是由方程x2y 1 e y所确立的隐函数，则 d 2 y x 0.dx2(10)lim n 111 22222n 1 n2n n n.(11)设z f ln x1,此中函数f u 可微，则xz y 2 z.y x y(12)微分方程 ydx x3y 2 dy0 知足条件y x11的解为y.(13)曲线y x2x x0 上曲率为2的点的坐标是.2(14)设 A 为3阶矩阵，A=3，A*为 A 陪伴矩阵，若互换 A 的第1行与第2行得矩阵B，则BA*.三、解答题： 15-23 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定地点上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.．．．(15)( 本题满分 10分)1 x1lim f x ，已知函数 f x，记 asin x x x 0(I) 求a的值 ;(II) 若x0 时，f x a 与 x k是同阶无量小，求常数k 的值.(16)( 本题满分 10分)x2y2求函数 f x, y xe 2的极值 .(17)( 本题满分 12 分)数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013 ）过 (0,1) 点作曲线 L : y lnx 的切线 , 切点为 A , 又 L 与 x 轴交于 B 点 , 地区 D 由 L 与直线 AB 围成 , 求地区D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)( 本题满分 10分)计算二重积分xyd ，此中地区 D 为曲线 r 1cosD(19)( 本题满分 10 分)已知函数 f ( x) 知足方程 f (x)f ( x) 2 f ( x) 0 及 f ( x)(I) 求 f ( x) 的表达式 ;(II)求曲线 y f ( x2) x f ( t 2)dt 的拐点 .(20)( 本题满分 10 分)证明 xln1x cos x 1 x 2 , ( 1 x 1) .1 x 2(21)( 本题满分 10 分)(I) 证明方程x n +x n-1x 1 n 1的整数，在区间(II) 记(I) 中的实根为 xn ，证明 lim x n存在，并求此极限.n与极轴围成 .f ( x) 2e x ,1,1 内有且仅有一个实根；2(22)( 本题满分 11 分)1 a 0 0 1 0 1 a 01设 A0 1 a ，0 0 a 0 0 1(I)计算队列式 A ；(II) 当实数 a 为什么值时，方程组 Ax 有无量多解，并求其通解 .(23)( 本题满分 11 分)1 0 1已知A0 1 1 ，二次型 f x 1 , x 2 , x 3 x T A T A x 的秩为 2， 1 0 a0 a 1(I)务实数 a 的值；(II)求正交变换 xQy 将 f 化为标准形 .2011 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题： 1～8 小题，每题4 分，共 32 分。