洛阳市轴一中届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)

合集下载

【优质试题】河南省洛阳市2021届高三二模数学(理)试题(解析版)

2021年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷(理科)一､选择题(共12小题).1. 已知集合{}42M x x =-<<，302x N x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（）A. {}43x x -<<B. {}42x x -<<- C. {}22x x -<< D. {}23x x <<【答案】A 【解析】【分析】化简集合N ，结合集合并集运算即可．【详解】解：∵{}42M x x =-<<，{}30232x N x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，∴{}43M N x x ⋃=-<<，故选：A ．2. 若复数z 满足()3443i z i +=-，则z 的虚部为（） A.45B. 4-C. 45-D. 4【答案】C 【解析】【分析】直接对()3443i z i +=-化简，求出z ，从而可求出z 的虚部【详解】解：由()3443i z i +=-，得()()()53453434343455i z i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为45-. 故选：C.3. 已知平面α，直线m α⊄，n ⊂α，则“//m α”是“//m n ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合空间中线线位置关系以及线面平行的判定定理判断可得出结论.【详解】因为m α⊄，n ⊂α，当//m α时，m 与n 平行或异面，即充分性不成立；当//m n 时，满足线面平行的判定定理，//m α成立，即必要性成立；所以“//m α”是“//m n ”的必要不充分条件. 故选：B.4. 设x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则()221x y ++的取值范围是（）A. []0,10B. []1,10C. []1,17D. []0,17【答案】C 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，()221x y ++的几何意义为可行域内动点与定点()1,0P -距离的平方，由图即可求解取值范围．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立2392x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得()3,1A -，()221x y ++的几何意义为可行域内动点与定点()1,0P -距离的平方，由图可知，可行域内动点与定点()1,0P -距离的最小值为1PO =，最大值为()2213117PA =--+=，∴()221x y ++的取值范围是[]1,17 故选：C ．5. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()ln f x x x =+，则()3222,log 9,a f b f c f⎛⎫=-== ⎪⎝⎭的大小关系为（）A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】又函数为偶函数可得a f=，根据解析式可判断()f x 在()0,∞+上为增函数，求出29的大小即可判断.【详解】解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则332222a f f f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()ln f x x x =+，可得()f x 在()0,∞+上为增函数，又由2203log 8log 9<<<=<，则()232log 98f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故有b a c >>. 故选：D.6.)8y -的展开式中26x y 的系数是（）A. 28B. 28-C. 56D. 56-【答案】C 【解析】【分析】写出二项展开式的通项，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】)8y -的展开式通项为)()()888218821r rrrr r r r r T C y C x y ---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅，由826r r -=⎧⎨=⎩可得6r =，因此，)8y -的展开式中26x y 的系数是()2682156C ⋅⋅-=.故选：C.7. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C 的渐近线方程为（）A. y =±B. y =C. 2y x =±D. y x = 【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形，直接得到3ca=，计算渐近线的斜率. 【详解】如图，可知焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，即3c a =，22122b c a a=-=，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±.故选：A.8. 已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象（） A. 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于直线8x π=对称C. 关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 关于直线3x π=对称【答案】B 【解析】【分析】根据周期可计算出ω的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各选项的正误．【详解】解：∵函数()()sin cos 204f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππω=，∴2ω=，∴()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3x π=，求得()11sin012f x π=≠，且()f x 不是最值，故A 、D 错误；令8x π=，求得()2f x =()f x 图象关于直线8x π=对称，故B 正确，C 错误；故选：B ．9. 已知点A 是抛物线()2:20C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若以点()0,8M 为圆心，OA的长为半径的圆交抛物线C 于,A B 两点，且ABO 为等边三角形，则p 的值是（） A. 38B. 2C. 6D.23【答案】D 【解析】【分析】由题意求出点43,4A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，代入抛物线方程即可求解. 【详解】解：由题意，MA OA =，∴A 的纵坐标为4，∵ABO ∆为等边三角形， ∴A 的横坐标为33， ∵点A 是抛物线()2:20C x py p =>上一点， ∴16243p =⨯， ∴23p =. 故选：D .10. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A. 15B.120C.112D.340【答案】C【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：310120C=种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，所以目标事件的概率10112012 P==.故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.11. 四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】A【解析】【详解】四棱锥P-ABCD 中PA ⊥面ABCD ，且ABCD 为正方形，球心为PC 中点，因为,2PA AB a PC R ====，所以2222222234122a R R R S R ππ⎛⎫=+⇒=+⇒=∴== ⎪⎝⎭，选A .点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．12. 已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（）A.5B.5C.5D.3【答案】B 【解析】【分析】根据a 2+b 2+2c 2＝8，得到22282a b c +=-，由余弦定理得到22cos 83ab C c =-，由正弦定理得到2sin 4ab C S =，两式平方相加得()()()22224834ab c S =-+，而222822a b c ab +=-≥，两式结合有()()()()222222248283165S c c c c≤---=-，再用基本不等式求解.【详解】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-① 由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =②由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S abc =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S c c c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以5S ≤，当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号. 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二､填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上)13. 函数()cos22cos f x x x =-的最大值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】先用二倍角公式展开，再利用二次函数求最值即可.【详解】解：函数()2213cos 22cos 2cos 2cos 12cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，当cos 1x =-时，函数()f x 取得最大值，()()max 931322f x f =-=-=. 故答案为：3.14. 若非零向量,a b 满足223a b =，且()()32a b a b -⊥+，则向量a 和b 夹角为___________．【答案】4π 【解析】【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得cos ,a b <>，进而得到结果. 【详解】()()32a b a b -⊥+，()()320a b a b ∴-⋅+=，即2222323cos ,20a a b b a a b a b b -⋅-=-⋅<>-=，又223a b =，22222cos ,33b b a b ∴=<>，b 为非零向量，2cos ,2a b ∴<>=，又[],0,a b π<>∈，,4a b π∴<>=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查根据平面向量数量积求解向量夹角的问题，涉及到平面向量的垂直关系；关键是利用向量垂直关系得到向量数量积为零.15. 若曲线ln y x =在点()1,0的切线与曲线()21722g x x mx =++也相切，则m =___________. 【答案】﹣2或4 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，与曲线方程联立，因为也相切，故判别式等于0，解得参数m 即可.【详解】解：ln y x =的导数为1y x'=，可得曲线ln y x =在点()1,0的切线斜率为1，切线的方程为1y x =-，联立211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，可得()22290x m x +-+=，由切线与曲线()21722g x x mx =++也相切，可得()222490m ∆=--⨯=，解得4m =或﹣2. 故答案为：﹣2或4.【点睛】关键点点睛：带参的一元二次函数与直线相切，可以通过联立方程，判别式等于0，来求得参数. 16. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是AB 、1AA 、11C D 、1CC 的中点，给出以下四个结论：1AC MN ⊥①； 1AC //②平面MNPQ ； 1AC ③与PM 相交； 1NC ④与PM 异面.其中正确结论的序号是______．【答案】①③④ 【解析】【分析】①要证1AC MN ⊥，由于1//AD MN ，则只需证11A C AD ⊥，即只需证1AD ⊥面1A CD 即可； ②由于1AC 与MP 交于一点，则1AC 与平面MNPQ 相交；③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11A D AD ∴⊥，CD ⊥面AA1D1D ，AD 1⊂面AA1D1D ，1CD AD ∴⊥，1AD ∴⊥面1A CD ，11A C AD ∴⊥M ，N 分别是1AA ，11A D 的中点，1AD //MN ∴，即1A C MN ⊥，故①正确；由于M 、N 、P 、Q 分别是AB 、1AA 、11C D 、1CC 的中点，则1AC 与PM 相交，故②不正确，③正确；N ∉面11ACC A ，而M ，P ，C ∈面11ACC A ，NC ∴与PM 异面，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，我们可以根据空间几何中的定义，定理及常用结论对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结果．三､解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且124,,S S S 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 是单调数列，数列{}n b 满足2log n b =记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求证：3n T <. 【答案】（1）1n a =或21n a n =-；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据等差数列前n 项和公式，化简条件，求得公差d ，写出数列通项；（2）由条件写出数列{}n b 的通项，利用错位相减法求得数列{}n n a b 的前n 项和，从而求得最大值. 【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵11a =，且124,,S S S 成等比数列， ∴2214S S S =，即()243242dd ⨯+=+，即220d d -=，解得：0d =或2，∴1n a =或()12121n a n n =+-=-，即1n a =或21n a n =-；（2）证明：∵数列{}n a 是单调数列， ∴21n a n =-，()21212n n n S n +-==，又2log n n b S n =-=-，∴212,2nn n n nn b a b --==， ∴23135212222-=++++n nn T ，又231113232122222n nn n n T +--=++++，两式相减得：12311111111112112122212222222212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭-，整理得：2332n nn T +=-， ∴3n T <.【点睛】关键点点睛：一个新数列由等差数列乘等比数列构成，其前n 项和，可以通过错位相减法求得. 18. 如图，在平面五边形ABCDE 中，//AB CE ，且2AE =，60AEC ∠=，7CD ED ==，5cos 7EDC ∠=，将CDE △沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且3AP =，得到如图2所示的四棱锥P ABCE -.（1）求证：AP ⊥平面ABCE ；（2）求平面PAB 与平面PCE 所成锐二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）22. 【解析】【分析】（1）先由题中条件，求出2CE =，连结AC ，根据勾股定理，得到AP AE ⊥，AP AC ⊥，再由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）以A 为坐标原点，,AB AP 所在直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，根据题中条件，得到平面PAB 的一个法向量，再求出平面PCE 的一个法向量，由向量夹角计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：在CDE △中，因为7CD ED ==，5cos 7EDC ∠=，由余弦定理可得2252cos 7727727CE CD ED CD ED EDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，连结AC ，因为2AE CE ==，60AEC ∠=，所以2AC =，又因为3AP =，故在PAE △中，222AP AE PE +=，所以AP AE ⊥；同理可证AP AC ⊥；又因为AC AE A ⋂=，,AE AC ⊂平面ABCE ，所以AP ⊥平面ABCE ；（2）以A 为坐标原点，,AB AP 所在直线为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(()()3,3,0,1,3,0P C E --，平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =，设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =，因为(3,3PC =-，()2,0,0CE =-，所以00n PC n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即33020x z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则1z =，故()0,1,1n =，所以cos ,22n m n m n m⋅<>===⨯，故平面PAB 与平面PCE 所成锐二面角的大小为45°. 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.19. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b 、c 为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(),0.302,0.38897e e ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：（i ）根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；（ii ）已知优等品的收益z （单位：千元）与x 、y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本()(),1,2,,n i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆn niii i i i nniii i v v u u v unvu bv v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7182e ≈.【答案】（1）32；（2）（i ）0.5y ex =；（ii ）当优等品的尺寸x 为72mm 时，收益z 的预报值最大. 【解析】【分析】（1）分析可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，计算随机变量ξ在不同取值下的概率，进一步可计算得出()E ξ的值；（2）（i ）在等式b y c x =⋅两边取自然对数可得ln ln ln y c b x =+，利用表格中的数据可求得b 、a 的值，由此可得出y 关于x 的回归方程；（ii ）由（i）可得出220.320.320.32e e z ⎫=-+⎪⎭，利用二次函数的基本性质可求得z 的最大值及其对应的x 的值，即可得出结论.【详解】（1）由表可知，抽取的6件合格产品中有3件优等品，所以，ξ的所有可能取值为0、1、2、3，()33361120C P C ξ===，()1233369120C C P C ξ===，()2133369220C C P C ξ===， ()33361320C P C ξ===，所以，随机变量ξ的期望为()199130123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）b yc x =⋅，ln ln ln y c b x ∴=+，()61ln 24.6ii x ==∑，()61ln 18.3ii y ==∑，()611ln ln 4.16i i x x =∴==∑，()611ln ln 3.056i i y y ===∑，()()()6162221ln ln 6ln ln 75.36 4.1 3.05ˆ0.5101.46 4.1ln 6ln iii i i x y x ybx x==⋅-⨯⨯-⨯⨯∴===-⨯-⨯∑∑， ln ln 3.050.5 4.11a y b x =-=-⨯=，ln 10.5ln y x ∴=+，所以，c e =，故y 关于x 的回归方程为0.5y ex =；（ii ）由（i ）知，0.5y ex =，220.520.3220.320.320.320.32e e z y x ex x x ⎛⎫∴=-=-=--+ ⎪⎝⎭，当0.32e x =，即2720.32e x ⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值，故当优等品的尺寸x 为72mm 时，收益z 的预报值最大.【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，点,E F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且EOF △的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且点F 恰为EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22164x y +=；（2）存在，95y x =+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式与EOF △的面积列方程求得a =2b =，即可求解方程；（2）因为点F 为EAB 的垂心，所以AB EF ⊥，根据AB 斜率设直线l 的方程，代入椭圆C 的方程，求出两根的关系，根据AF BE ⊥，转化为坐标方程式通过化简与计算即可求解直线方程．【详解】解：（1）由题可知22212c abc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22164x y +=；（2）假设满足条件的直线l 存在，由())0,2,E F -，所以EF k因为点F 为EAB 的垂心，所以AB EF ⊥，所以2AB k =-，设直线l的方程为2y x t =-+，代入22164x y +=，得()227640x t -+-=，(*)，()()2224764966720t t ∆=--⨯⨯-=-+>，即t <<记()()1122,,,A x y B x y ，则()122127647x x t t x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由AF BE ⊥2221y x+=-，所以12112220y yy x x ++=，将1122,22y x t y xt =-+=-+代入上式，得)()()2121232240x x t x x t t ++++=，所以())()22643224077-⨯+⋅++=t t t t ，所以25180t t +-=，解得95t =(2t =-舍去)，代入(*)满足0∆>，所以直线l 的方程为95y x =+．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数()1ln x f x x x=+. （1）若1≥x 时，()1mf x x ≥+，求实数m 的取值范围；（2）求证：()()2*11ln ln 11nk n n k k n N n =--++>∈⎡⎤⎣⎦+∑. 【答案】（1）2m ≤；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先分离参数转化为求函数的最小值，通过求导函数，进而分析单调性再求得最小值得出结果；（2）由（1）知：()21f x x ≥+恒成立，即2ln 1>-x x ，则()22ln 111+>-+⎡⎤⎣⎦+n n n n 累加后结合放缩法即可证明命题．【详解】解：（1）不等式()1m f x x ≥+，即为()()11ln x x m x++≤，记()()()11ln x x g x x++=，故()()()()()'2211ln 11ln ln x x x x x x x g x x x ⎡⎤++-++-='⎣⎦=，令()ln h x x x =-，则()11h x x'=-， ∵1≥x ，∴()()0,h x h x '≥在[)1,+∞单调递增，故()()min 110h x h ==>，故()0g x '>，故()g x 在[)1,+∞上单调递增，故()()min 12g x g ==，故2m ≤；（2）由（1）知：()21f x x ≥+恒成立，即122ln 1112x x x x x-≥=->-++，令()1x n n =+，则()()222ln 11111+>-=-+⎡⎤⎣⎦++n n n n n n ，故()()2222ln 121,ln 2311223⨯>-+⨯>-+， ()()2222ln 341,,ln 11341⨯>-++>-+⎡⎤⎣⎦+n n n n ，累加得：()21111ln ln 1212111nk n n k k n n n n n =--⎛⎫++>-->-+=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭∑，故()()2*11ln ln 11nk n n k k n N n =--++>∈⎡⎤⎣⎦+∑．【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩(α为参数).经过伸缩变换ϕ：12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，曲线1C 变为曲线2C . （1）求曲线1C 和曲线2C 的普通方程；（2）已知点P 是曲线2C 上的任意一点，曲线1C 与x 轴和y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，试求PAB △面积的最大值和此时点P 的坐标.【答案】（1）224x y +=，2212x y +=；（2）面积的最大值为2+,33P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）曲线1C 中两式平方相加可得普通方程，用代入法求得2C 的普通方程；（2）求得P 到直线AB 距离最大值后可得面积最大值，得P 点坐标．【详解】解：（1）由题设知：曲线1C的参数方程为x y αααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩①②，由22+①②得：224x y +=，经过伸缩变换ϕ：12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，曲线1C 变为曲线2C ，所以)()2224y ''+=，整理得2212x y ''+=，即：2212x y +=.（2）曲线1C 与x 轴和y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，即224x y +=与x 轴的正半轴的交点坐标为()2,0A ，与y 轴的正半轴交点的坐标为()0,2B ，所以直线AB 的方程为20x y +-=. 所以：直线AB 的斜率为1-，设与AB 平行且与曲线2C 相切的直线方程为0x y m ++=，由22012x y m x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234220x mx m ++-=（*），所以221612(22)0m m ∆=--=，解得m =即切线方程是0x y +=，0x y ++=，易知直线0x y ++=上点到直线AB的距离较大，取m =，代入（*）式得x =03y -++=，3y =-，即,33P ⎛-- ⎝⎭，此时P 到直线AB的距离为d ==，又AB =，所以PAB △面积的最大值为122S AB d ==+ 【点睛】关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，曲线的变换，考查椭圆上的点到直线距离最值问题．解题这个距离的最值问题的方法是利用与已知直线平行的直线和椭圆相切，两条切线有两个切点，一个距离达到最大值，一个距离达到最小值． 23. 已知函数()2f x x x a =+-+.（1）当1a =时，画出()y f x =的图象；（2）若关于x 的不等式()3f x a ≥有解，求a 的取值范围. 【答案】（1）图象答案见解析；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）先对函数化简，然后画出分段函数图像即可；（2）由题意可得()max 3f x a ≥，由绝对值三角不等式可得()2f x a ≤-，从而有23a a -≥，进而可求出a 的取值范围【详解】解：（1）1a =时，()1,22123,211,1x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+-+=+-<≤-⎨⎪>-⎩，其图像为：（2）若关于x 的不等式()3f x a ≥有解，即()max 3f x a ≥， ∵()222f x x x a x x a a =+-+≤+--=-， ∴23a a -≥，∴23a a -≥或23a a -≤-，故12a ≤或1a ≤-，故12a ≤，故a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题(1)

一、单选题二、多选题1.设，函数，下列三个命题：① 函数是偶函数；② 存在无数个有理数，函数的最大值为2；③ 当为无理数时，函数是周期函数.以上命题正确的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3. 已知集合，，则（）A．B．C．D．4. 为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（）A ．10B ．15C ．29D ．585. 已知集合，，则（）A．B．C．D．6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．7. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列结论正确的是（）A ．函数的最小正周期为B ．函数的图像关于直线对称C ．函数的图像关于点对称D ．函数在区间上单调递增8. 已知集合，，则A．B．C．D．9. 若，则（）A．B．C．D．10.将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（）A．B ．的图象相邻两条对称轴间距离为C ．在上单调递减河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题(1)河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题(1)三、填空题四、解答题D ．在上的值域为11. 设P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P 是一个数域．例如，有理数集Q 是数域．下列命题正确的是（）A ．数域必含有0，1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集，则数集M 一定是数域D ．数域中有无限多个元素12. 小兰是一名记者．某天，同事小南有重要文件需要当面交给小兰，小南了解到今天小兰有90%的可能性外出采访，她出门后只有3种选择，去某社区采访民生新闻，去某学校采访教育新闻，或者去某公司采访财经新闻，这3种选择的可能性均相同．但是他联系不到小兰，他只好按照社区、学校、公司、单位的顺序依次去寻找小兰，则下列说法正确的有（）A ．小兰去社区采访民生新闻的概率为0.3B ．小南至多去两个地方就找到小兰的概率是0.6C ．如果小南在社区、学校和公司均没有找到小兰，那么小南在单位找到小兰的概率是0.1D ．如果小南在社区和学校均没有找到小兰，那么小南在公司找到小兰的概率是0.7513. 数列的前项和为，且，则数列的通项公式_______.14. 已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.15.已知数列的前项和，则该数列的通项公式______16. 已知函数.(1)若是函数是极值点，1是函数零点，求实数的值和函数的单调区间；(2)若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.17.如图，四边形是边长为的菱形且，平面平面.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.18.已知在数列中，前n 项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，求证：19. 某省在新高考改革中，拟采取“3+1+2”的考试模式，其中“2”是指考生从政治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考生原始成绩（满分100分）从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，30%，35%，15%，5%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到，，，，五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为100分.具体如下表：等级比例15%30%35%15%5%赋分区间转换公式：，其中，分别表示某个等级所对应原始分区间的下限和上限，，分别表示相应等级的等级分区间的下限和上限，表示某等级内某生的原始分，表示相应等级内该考生的等级分（需四舍五入取整）.例如某学生的政治考试原始成绩为60分，成绩等级为C级，原始分区间为，等级分区间为，设该学生的等级分为，根据公式得：，所以.已知某学校高二年级学生有200人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等级赋分规则转换本年级的政治等级分，其中所有获得等级的学生原始分区间，其成绩统计如下表：原始分94939291908988878685848382人数1112312322345(1)已知某同学政治原始成绩为91分，求其转换后的等级分；(2)从政治的等级分不小于95分的学生中任取3名，设这3名学生中等级分不小于97分人数为，求的分布列和期望.20. 某市高一招生，对初中毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．该市2022年初中毕业升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．该市一初中学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数得分17181920若该初中学校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该初中学校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：(1)预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）(2)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布，则，，．21. 某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数．，．。

河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)

河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·吉林模拟) 已知全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A . {﹣1，0，1}B . {﹣1，1}C . {﹣1，1，2}D . {0，1，2}3. （2分）(2017·龙岩模拟) 双曲线W： =1（a＞0，b＞0）一个焦点为F（2，0），若点F到W的渐近线的距离是1，则W的离心率为（）A .B .C . 2D .4. （2分）(2017·龙岩模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . πB . 2πC . 3πD . 8π5. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知点M（x，y）是圆C：x2+y2﹣2x=0的内部任意一点，则点M满足y≥x的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·龙岩模拟) 把函数f（x）=cos2（ x﹣）的图象向左平移个单位后得到的函数为g（x），则以下结论中正确的是（）A . g（）＞g（）＞0B . g（）C . g（）＞g（）＞0D . g（）=g（）＞07. （2分）(2017·龙岩模拟) 设不等式，表示的平面区域为D．若曲线y=ax2+1上存在无数个点在D内，则实数a的取值范围是（）A . （0，2）B . （1，+∞）C . （0，1）D . （﹣∞，2）8. （2分）(2017·龙岩模拟) min（a，b）表示a，b中的最小值，执行如图所示的程序框图，若输入的a，b值分别为4，10，则输出的min（a，b）值是（）A . 0B . 1C . 2D . 49. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）= 是奇函数，则f（x）＞﹣1的解集为（）A . （﹣2，0]∪（2，+∞）B . （﹣2，+∞）C . （﹣∞，﹣2）∪（0，2）D . （﹣∞，2）10. （2分）(2017·龙岩模拟) 某市A，B，C，D，E，F六个城区欲架设光缆，如图所示，两点之间的线段及线段上的相应数字分别表示对应城区可以架设光缆及所需光缆的长度，如果任意两个城市之间均有光缆相通，则所需光缆的总长度的最小值是（）A . 12B . 13C . 14D . 1511. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知△ABC的外接圆O的半径为5，AB=6，若 = + ，则| |的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）(2017·龙岩模拟) 数列{an}中，若存在ak ，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个H值．现有如下数列：①an=1﹣2n；②an=sinn；③an= ④an=lnn﹣n，则存在H值的数列有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·吉林期末) 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为________.14. （1分）(2020·漳州模拟) 如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成，若在这个几何体内任取一点，则该点取自圆锥内的概率为________．15. （1分）(2017·龙岩模拟) 已知数列{an}满足：a1=﹣2，a2=1，且an+1=﹣（an+an+2），则{an}的前n项和Sn=________．16. （1分）(2017·龙岩模拟) 甲盒放有2017个白球和n个黑球，乙盒中放有足够的黑球．现每次从甲盒中任取两个球放在外面．当被取出的两个球同色时，需再从乙盒中取一个黑球放入甲盒；当取出的两球异色时，将取出的白球再放回甲盒，直到甲盒中只剩两个球，则下列结论不可能发生的是________（填入满足题意的所有序号）．①甲盒中剩两个黑球；②甲盒中剩两个白球；③甲盒中剩两个同色球；④甲盒中剩两个异色球．三、解答题 (共7题；共45分)17. （10分） (2018高一下·金华期末) 在中，角，，所对的边为，，， .（1）若，，求的面积；（2）若，求的面积的最大值.18. （10分）在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．19. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，将△BCE沿BE折起到△B PE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．（Ⅰ）求证：△PAB为直角三角形；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．20. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率e= ．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦距．（Ⅱ）椭圆C的左焦点为F1 ，右顶点为A，经过点A的直线l与椭圆C的另一交点为P．若点B是直线x=2上异于点A的一个动点，且直线BF1⊥l，问：直线BP是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．21. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）=ea（x﹣1）﹣ax2 ， a为不等于零的常数．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f′（x）的零点个数；（Ⅱ）若对任意x1 ， x2 ，当x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＞a（﹣2x1）（x2﹣x1）恒成立，求实数a的取值范围．22. （5分）(2017·龙岩模拟) 在直角坐标系中xOy，直线C1的参数方程为（t是参数）．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ﹣cosθ（θ是参数）．（Ⅰ）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线C2所表示的曲线；（Ⅱ）若M为曲线C2上的一个动点，求点M到直线C1的距离的最大值和最小值．23. （5分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）=|x+2|+|x+a|（a∈R）．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的最小值，并写出此时x的取值集合；（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、22-1、23-1、。

2023-2024学年河南省洛阳市联考高考数学(理)仿真模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年河南省洛阳市联考高考数学（理）仿真模拟试题（二模）一、单选题1.已知全集{}05U x x =<<，集合A 满足{}13U A x x =<<ð，则（）A.1A ∉B.2A∈ C.3A∉ D.4A∈【正确答案】D【分析】根据补集的定义求出集合A ，再判断即可.【详解】因为{}05U x x =<<，且{}13U A x x =<<ð，所以{}|0135A x x x =<≤≤<或，所以1A ∈，2A ∉，3A ∈，4A ∈.故选：D2.已知i 为虚数单位，22023i i i 1iz +++=- ，则复数z 在复平面上所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】B【分析】先根据复数的乘方求出22023i i i +++ ，再根据复数的除法运算即可得解.【详解】因为41424344i i i i i 1i 10k k k k +++++++=--+=，则()()()220231i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 22z -++++-====-----+ ，所以11i 22z =-+在复平面上所对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.故选：B.3.已知向量()()3,4,8,a b m == ，且a b a b +=-，则b = （）A.6B.8C.10D.12【正确答案】C【分析】由a b a b +=- ，可得0a b ⋅=，即可得答案.【详解】因a b a b+=- ，所以22222222a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅ 0a b ⇒⋅=，即2440610m m b +=⇒=-⇒==.故选：C4.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则π2πcos 33a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.32C.12D.12-【正确答案】C【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即123a =，则π2π123π2π2π2π2ππ1cos cos cos 41πcos πcos cos 333333332a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:C .5.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】C【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242p p =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C6.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A.A =12A +B.A =12A+C.A =112A+ D.A =112A+【正确答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A+，1k k =+=3，32k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A.2B.63C.46D.8【正确答案】A【分析】首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出几何体各个面的面积即可得出答案.【详解】如图，在棱长为4的正方体中，C 为棱的中点，三棱锥A -BCD 即为该几何体．其中ABD △为直角三角形，42AB =，BD =4，AB ⊥BD ，所以其面积为14222⨯⨯=；BCD △为等腰三角形，BC =CD ，BD =4，点C 到边BD 的距离为4，所以其面积为14482⨯⨯=；ABC 为等腰三角形，25BC AC ==，42AB =，所以点C 到边AB 的距离为23，所以其面积为13262⨯=ACD 为等腰三角形，25AC CD ==，43AD =所以点C 到边AD 的距离为22，所以其面积为12362⨯⨯=综上，该几何体各个面中面积最大的面为ABD △，其面积为82故选：A ．8.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1222,10n n a a S +=-=，则{}n a 的通项公式为（）A.34nn a =- B.22nn a =+ C.2n a n n=+ D.231n a n =-【正确答案】B【分析】先由题设求出1a ，再通过构造得1222n n a a +-=-，由等比数列的通项公式即可求解.【详解】令1n =可得2122a a =-，又21210S a a =+=，解得14a =，又12242(2)n n n a a a +-=-=-，则122a -=，1222n n a a +-=-，即{}2n a -是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222n n a --=⋅，22n n a =+.故选：B.9.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A.B.C. D.6【正确答案】A【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长．【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径6r =，如图：可知E 为外接球球心，EP EB r ==，PD ⊥平面ABC ，D 为底面等边ABC 的中心，设正四面体的棱长为d，则23BD =，3PD d =，在RtEDB 中，则222EB ED DB =+，即22236()()33r d d r =+-，解得3d r =，即d =故选：A10.甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A ：甲和乙选择的景点不同，事件B ：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率()P B A =（）A.15B.25C.925D.920【正确答案】B【分析】先利用古典概率公式求出()P A 和()P AB 的概率，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】由题知，251155A 4()C C 5P A ==，11241155C A 8()C C 25P AB ==，所以()()8225()455P AB P B A P A ===，故选：B.11.已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（） A.33B.2C.3D.54【正确答案】C【分析】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，由已知条件可得出2113=a a ，利用椭圆和双曲线的定义可求得1PF 、2PF ，分析出12F PF ∠为直角，利用勾股定理可求得椭圆1C 的离心率.【详解】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，设()2120F F c c =>，因为双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，则21223a a =，设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q，则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112121214323PF a a a PF a a a⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，由对称性可知PQ 、12F F 的中点均为原点O ，所以，四边形12PFQF 为平行四边形，因为P 、1F 、Q 、2F 四点共圆，则有12121212πF PF FQF F PF FQF∠+∠=⎧⎨∠=∠⎩，故12π2F PF ∠=，由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即()2221142233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212049a c =，即123a c =，故椭圆1C 的离心率为112515323c e a ==⨯=.故选：C.12.设21ln36ln27,,e 3e p q r -===，则（）A.p q r >>B.p r q >>C.r p q>> D.r q p>>【正确答案】A【分析】令()ln x f x x =，求得()21ln xf x x -'=，得到函数的单调性与最大值，再由当()()12f x f x =且12x x ≠时，设()203e f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭且203e x ≠，求得()22e 6ln273()3ef f ->=，即可求解.【详解】解：由21ln e ln36ln27,,e e 3e p q r -====，令函数()ln x f x x =，可得()21ln x f x x-'=，当(0,e)x ∈，可得()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(e,)x ∈+∞，可得()0f x '<，()f x 单调递减，所以当e x =，函数()f x 取得极大值，即为最大值()e1f x =，函数()y f x =的图形，如图所示，对于函数()ln x f x x=，当()()12f x f x =且12x x ≠时，212e x x >.设()20e 3f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭且20e3x ≠，则220e e 3x ⋅>，可得03x >，所以()()03f x f <，所以()22e 6ln273(3ef f ->=,所以p q r >>.故选：A.二、填空题13.为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区,,A B C 参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区A ，则不同的安排方法种数共有______种．【正确答案】100【分析】根据题意有311++和221++两种情况，共有223335353322C C C A A 150A ⨯⨯+⨯=种情况，再根据员工甲去三个小区的可能性相同，得到答案.【详解】五名员工分别去三个小区A ，B ，C 参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，则有311++和221++两种情况，共有223335353322C C C A A 150A ⨯⨯+⨯=种情况，员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有115011003⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭种情况.故10014.直线l 经过点()2,3P -，与圆22:22140C x y x y +++-=相交截得的弦长为，则直线l 的方程为________．【正确答案】512460x y --=或2x =【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.【详解】圆22:22140C x y x y +++-=，即()()221116x y +++=，圆心为()1,1C --，半径4r =，因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离3d ==，若直线的斜率不存在，此时直线方程为2x =，满足圆心()1,1C --到直线2x =的距离为3，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为k ，则直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=，则3d ==，解得512k =，所以直线方程为()53212y x +=-，即512460x y --=，综上可得直线方程为512460x y --=或2x =.故512460x y --=或2x =15.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数()sin cos x f x xωω=的图像向左平移2π3个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小正值是___________．【正确答案】54##1.25【分析】化函数()f x 为余弦函数，写出图像平移后的解析式，由偶函数求出ω的最小正值.【详解】()sin sin cos x f x x xxωωωω==-1π2cos sin 2cos 226x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向左平移2π3个单位后得到2ππ2cos 36y x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为此时函数是偶函数，所以2πππ,Z 36k k ω+=∈，则13,Z 42k k ω=-+∈，所以当1k =时，ω取得最小正值，此时54ω=.故5416.若函数f (x )＝12ax 2－e x＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且212x x ≥，则实数a 的取值范围是________.【正确答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】对()f x 求导后令'()0f x =,再根据12,x x 是导函数的两根数形结合分析两根的关系求解.【详解】函数21()12xf x ax e =-+,所以'()x f x ax e =-,若函数21()12xf x ax e =-+在1x x =和2x x =两处取到极值,则1x x =和2x x =是函数'()x f x ax e =-的两个零点,即是方程0,xax e -=,即xe a x=的两个根,所以函数()xe g x x=的图象与直线y a =有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为12,x x ,由于2(1)'()xx e g x x-=,所以当0x <或01x <<时,)'(0g x <；当1x >时,'()0g x >；故()g x 的减区间有(),0∞-和()0,1,增区间有()1,+∞,且当1x =时,()()min 1g x g e ==,作出()g x 的草图：由图可知：12,0x x >,且a e >,因为212x x ≥,即212x x ≥,取212x x =,并令1,(0)x t t =>,则22,x t =所以22t t e e t t =,解得ln 2t =,此时ln 22ln 2ln 2e a ==,故2ln 2a ≥,即实数a 的取值范围是2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭本题主要考查了函数的极值问题,包括数形结合求解函数零点与范围分析的问题,需要根据题意参变分离画出图像分析极值点之间的关系,并找到临界条件进行分析.属于中等题型.三、解答题（一）必做题17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，且满足()111n n na n a +=++.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设1cos πn n n a S b n n++=，求数列{}n b 的前21n -项和21n T -.【正确答案】（1）证明见解析（2）212n T n -=--【分析】（1）方法1：由()111n n na n a +=++可得()1111n n a a n n n n +-=++，由累加法求出{}n a ，再证明数列{}n a 为等差数列；方法2：由()111n n na n a +=++可得11111n n a a n n n n++=+++，可证得1n a n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列，求出{}n a ，再证明数列{}n a 为等差数列；方法3：由()111n n na n a +=++可得()111n n na n a +=++，两式相减可明数列{}n a 为等差数列；（2）由（1）知2n S n =，所以()(1)2nn b n =-+，方法1：由并项求和法求出数列{}n b 的前21n -项和21n T -；方法2：由错位相减求和求出数列{}n b 的前21n -项和21n T -.【小问1详解】方法1：()111n n na n a +=++ ，()1111n n a a n n n n +∴=+++2n ∴≥时，()1111n n a a n n n n -=+--，累加得：112111n a a n n n n-=+-=，21,1n a n n ∴=-=时也成立，21n a n ∴=-.12n n a a --=，{}n a ∴是等差数列方法2：()()11111,11n n n n a a na n a n n n n ++=++∴=+++ ，11111n n a a n n n n+∴+=+++，1n a n n ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭为常数数列，11121n a a n n ∴+=+=，21n a n ∴=-，12n n a a -∴-=，{}n a ∴是等差数列.方法3：当2n ≥时，()111n n n a na --=+①，()111n n na n a +=++②，∴②-①可得：()()1111n n n n na n a n a na +---=+-112n n n a a a -+∴=+，{}n a ∴是等差数列，因为121,3,21n a a a n ==∴=-.【小问2详解】由（1）知2n S n =，所以()(1)2nn b n =-+，方法1：并项求和当n 为偶数时，()()11(1)2(1)31n n n n b b n n +++=-++-+=-，()()()()2112322213112n n n T b b b b b n n ---∴=+++++=-+-⨯-=-- 方法2：错位相减求和()21213456(1)21n n T n --=-+-+++-+ ①()()22113456(1)21n n T n --=-+-++-+ ②①-②：()()212311111121n T n -=-+-+-+++--+ 42n=--212n T n -∴=--18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，E ，F 分别是棱BC ，PA 的中点．（1）证明：EF P 平面PCD ．（2）若PC ====，求直线EF 与平面PAD 所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）38【分析】（1）构造面面平行，利用面面平行的性质定理证明线面平行即可；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF 的方向向量与平面PAD 的法向量，即可得线面夹角的正弦值.【小问1详解】证明：取AD 的中点H ，连接EH ，FH ．因为F ，H 分别是棱PA ，AD 的中点，所以HFPD ．因为PD ⊂平面PCD ，HF ⊄平面PCD ，所以HF ∥平面PCD ．因为E ，H 分别是棱BC ，AD 的中点，所以HF CD ∥．因为CD ⊂平面PCD ，HE ⊄平面PCD ，所以HE ∥平面PCD ．因为HE ，HF ⊂平面HEF ，且HE HF H = ，所以平面HEF ∥平面PCD ．因为EF ⊂平面HEF ，所以EF P 平面PCD ．【小问2详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC的方向为x ，y 轴的正方向，垂直平面ABCD 向上的方向为z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设1AB =，则2AD CD PD ===，PC =．由余弦定理可得44121cos 2222PDC +-∠==-⨯⨯，则120PDC ∠=︒，从而()2,0,0A ，()0,0,0D，(0,P -，31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，131,,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故()2,0,0DA =，(0,DP =-，0,2,2EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，则20000x n DA y n DP ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩,令y =()n = ．设直线EF 与平面PAD 所成的角为θ，则357sin cos ,38n EF n EF n EFθ⋅====⋅，即直线EF 与平面PAD所成角的正弦值为38．19.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图(甲）中a 的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为2212,s s ，试比较2212,s s 的大小（只要求写出答案）；（2）佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；（3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ.其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差22s ，设X 表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数，求X 的数学期望.注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得211.95s =≈：②若2(,)Z N μδ-，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)0.9544P Z μδμδ-<<+=.【正确答案】（1）22120.015,a s s =>；（2）0.42；（3）6.826.【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1可得a ，再由分布的离散程度即可比较方差大小；（2）根据互斥事件的概率和及对立事件的概率求解即可；（3）求出从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826，得到(10,0.6826)X B ~，求出()E X 即可．【小问1详解】由题意，(0.0100.0200.0300.025)101a ++++⨯=，解得0.015a =，由甲、乙的频率分布直方图可以看出，甲的指标的波动大，乙的比较平均，波动较小，故2212s s >；【小问2详解】设事件A ：在甲公司产品中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件B ：在乙公司产品中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件C ：在甲、乙公司产品中随机抽各取1桶，恰有一桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=，()()()P C P A P B ∴=+()()(10.3)0.30.3(10.3)0.42P A P B =-⨯+⨯-=；【小问3详解】50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，由条件得()~26.5,142.75Z N 从而14.5538.455)1.9P PZ Z -<<<<=26.511.95)0.6826+=，∴从乙公司产品中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826，依题意得()~10,0.6826X B ，()100.6826 6.826E X ∴=⨯=.20.已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点．（1）当k 变化时，求点M 的轨迹方程；（2）若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）22412x y y =+，其中3y ≤-或13y >（2）存在，32k =±【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M xy ，联立直线l 与双曲线E 的方程，消去y ，得()221424400kxkx -+-=，根据已知直线l 与双曲线E 相交于A 、B 两点，得2160640k ∆=->且2140k -≠，即252k <且214k ≠，由韦达定理，得1222414k x x k-+=-，则021214k x k -=-，02314y k-=-，联立消去k ，得22000412x y y =+，再根据k 的范围得出y 的范围，即可得出答案；（2）设()33,C x y ，()44,D x y ，根据双曲线E 的渐近线方程与直线l 的方程联立即可得出3621x k =-，4621x k =+，则340212214x x kx k +-==-，即线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点，若A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则3CD AB =，结合弦长公式列式得34123x x x x -=-，即可化简代入得出21241k =-，即可解出答案.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,Mx y ，联立直线l 与双曲线E 的方程，得22344y kx x y =-⎧⎨-=⎩，消去y ，得()221424400kxkx -+-=．由2160640k ∆=->且2140k -≠，得252k <且214k ≠．由韦达定理，得1222414kx x k-+=-．所以120212214x x k x k +-==-，20022123331414k y kx k k --=-=-=--．由020********k x k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩消去k ，得22000412x y y =+．由252k <且214k ≠，得03y -≤或013y >．所以，点M 的轨迹方程为22412x y y =+，其中3y ≤-或13y >．【小问2详解】双曲线E 的渐近线方程为12y x =±．设()33,C x y ，()44,D x y ，联立123y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3621x k =-，同理可得4621x k =+，因为340212214x x kx k+-==-，所以，线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点．若A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则3CD AB =．3412x x -=-，34123x x x x -=-．而12x x -==，3426612212141x x k k k -=-=-+-．所以，21241k =-32k =±，所以32k =±，存在实数，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点．21.关于x 的函数()2ln af x x ax x=+-.（Ⅰ）若()f x 为单调函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅱ）讨论()f x 的零点个数.【正确答案】（1）(]2,0+3⎫-∞⋃∞⎪⎪⎣⎭；（2）见解析【详解】试题分析：（1）先求导数，再根据参数a 讨论导函数符号不变号的条件：0a ≤时，恒为正，0a >时，根据二次函数图像确定判别式为非正，解得实数a 的取值范围；（2）根据函数单调性讨论函数零点个数：由于()10f =，所以函数单调时只有一个零点.函数不单调时，根据零点存在定理确定零点个数.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，，()322122a ax x af x ax x x x -+---'==①0a ≤时，()0f x '>恒成立，故()f x 为单调递增函数.②0a >时，令()32(0)g x ax x a x =-+->，()2616g x ax a x x ⎛=-+=- ⎝'.当0x <<时，()0g x '>，当x >()0g x '<.∴()g x 在0⎛ ⎝上单调递增，在⎫∞⎪⎭上单调递减.∴x =()g x 的极大值点，也是()0∞，＋上的最大值点.若20g a =--≤，得23a ≥∴23a ≥时，()0g x ≤，则()0f x '≤，∴()f x 在()0+∞，上单调递减.综上，若()f x 为单调函数，实数a 的取值范围是(]2,0+3⎫-∞⋃∞⎪⎪⎣⎭.（Ⅱ）由题设知，()10f =，①由（Ⅰ）知，0a ≤或23a ≥时，()f x 单调，故()f x 只一个零点.②若()0f x '=得()1310g a =-+=得13a =，则()()()33211113132311333322g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+-=--+=--+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当1302x -+<<或1x >时()0g x <，即()0f x '<，当1312x -+<<时()0g x >.即()0f x '>.()f x 在1302⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，和()1+∞，上单调递减，在13,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 的极小值点132x -+=，极大值点1x =.又()13102f f ⎛⎫-+<= ⎪ ⎪⎝⎭，根据函数的增长速度，0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞，∴()f x 有两个零点，一个在区间1302⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，另一个为1x =.③103a <<或1233a <<时，有0g >.又()g x 在0⎛ ⎝上单调递增，在⎫∞⎪⎭上单调递减，且()00g a =-<，x →+∞时()32g x ax x a =-+-→-∞，故必存在不为1的1x ，2x ，使得()()120g x g x ==，故()()120,,+x x x ∈⋃∞时，()0g x <，则()0f x '<；()12,x x x ∈时，()0g x >，则()0f x '>.∴()f x 在()10x ，和()2,+x ∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增.)1103a <<时，()1310g a =-+>，故1201x x <<<，由()()()1210f x f f x <=<及0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞知，()f x 有三个零点.)1233a <<时，∵()22322211101e a e a a e ae a f a e e e e e---+-⎛⎫=-+-⋅==< ⎪⎝⎭.()11313103g a =-+<-⨯+=，即()10f '<，∴必有1201x x <<<且()10f x <，()()210f x f >=.又0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞，故()f x 有三个零点.综上，0a ≤或3a ≥等时，()f x 只一个零点；13a =时，()f x 有两个零点；103a <<或133a <<时，()f x 有三个零点.（二）选做题22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211221t x t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 10k ρθρθ--=．（1）求曲线C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 恰有一个交点，求k 的值．【正确答案】（1）2212y x -=且()[),11,x ∞∞∈--⋃+；10kx y --=.（2）【分析】（1）利用加减消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化公式可得l 的直角坐标方程；（2）因为直线过定点，通过数形结合观察与渐近线平行时或与双曲线相切时只有一个交点，进而求解.【小问1详解】解：在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为222111t x t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数），因为2211t x t+=-得：2101x t x -=≥+，所以(,1)x ∈-∞-或[1,)+∞，则422422121t t x t t ++=-+，2242421t t t =-+，整理得2212y x -=，因为直线l 的极坐标方程为cos sin 10k ρθρθ--=，所以直线l 直角坐标方程为10kx y --=，所以曲线C 直角坐标方程2212y x -=且(),1x ∞∈--⋃[1,)+∞，l 的直角坐标方程10kx y --=.【小问2详解】l 的直角坐标方程10kx y --=，则恒过点(0,1)-，设为M 点，因为已知直线l 与曲线C 恰有一个交点，所以如图所示要么与渐近线平行，要么和双曲线相切，当直线l和渐近线平行时，k =当直线l 和双曲线相切时，221012kx y y x --=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则22(2)230k x kx -+-=，则22412(2)0k k ∆=+-=，解得k =，综上k的值为23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足3a b c ++=.证明：（1）17|1|22a b c +-++≥；（2）()3332221119a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭.【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用绝对三角不等式即可证明结论；（2）利用三元基本不等式()3333a b cabc ++≥和基本不等式即可证明结论.【小问1详解】因为111|1|1222a b c a b c a b c +-++≥+-++=+++，当且仅当1(1)02a b c +-+≥时取等号，又因为3a b c ++=，所以117|1|3222a b c +-++≥+=.【小问2详解】因为a ，b ，c 为正实数，3a b c ++=，由三元基本不等式知，()33322222211111133(a b bc ac c abc a b c a b c a b b a c ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333()(()(222)9222c b a a b c a b c bc ac ab bc ac ab ⎡⎡⎤=+++++≥=++=⎢⎢⎥⎣⎦⎣，当且仅当1a b c ===时取等号，所以()3332221119a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭。

河南省洛阳市-高三第二次统一考试数学理科

河南省洛阳市-高三第二次统一考试数学（理科）试题第Ⅰ卷(选择题，共60分)一．选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合符合要求的。

1．2)11(ii +- 的值为 A ．1B ．iC ．1-D ．i -2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A ．x x f =)(，2)(x x g =B ．2)(x x f =，2)()(x x g =C ．11)(2--=x x x f ，1)(+=x x gD ．11)(-⋅+=x x x f ，1)(2-=x x g3．对于平面α和直线m ．n ，给出下列命题① 若n m //，则m ．n 与α所成的角相等； ② 若α//m ，α//n ，则n m //； ③ 若α⊥m ，n m ⊥，则α//n④ 若m 与n 是异面直线，且α//m ，则n 与α相交。

其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．44．若二项式n xx )2(3+的展开式存在常数项，则n 值可以为A ．7B ．8C ．9D ．105．已知x ．y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≥004430y y x x ，则x y x 222++的最小值为A ．52B ．12-C ．2524D ．16．一个正四面体的外接球半径与内切球半径之比为A ．1:3B ．2:3C ．1:4D ．1:27．已知等比数列{}n a 的前n 项和5152-⋅=-n n t S ，则实数t 的值为A ．4B ．5C ．54D ．518．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有 A ．1480个B ．1440个C ．1200个D ．1140个9．已知10<<<y x ，)1(log +=x a x ，)1(log +=y b y ，则a ．b 的大小关系是A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．与x ．y 的具体取值有关10．在ABC ∆中，内角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，已知a ．b ．c 成等比数列，3=+c a ，43cos =B ，则BC AB ⋅等于 A ．23B ．32- C ．3D ．3-11．设离心率为e 的双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左右两支都相交的充要条件是 A ．122>-e kB ．122<-e kC ．122>-k eD ．122<-k e12．函数⎩⎨⎧-=-xx f x f 2)4()(2,2,-≤->x x 在[)+∞,2上为增函数，且0)0(=f ，则)(x f 的最小值是 A ．)0(fB ．)2(fC ．)4(fD ．)2(-f第Ⅱ卷(选择题，共90分)二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

河南省洛阳市高三“二练”考试数学(理)试题(扫描版).pdf

压强P=F / S；浮力F=ρ液V排 g ；密度ρ=m / v ；电流I=U / R ；吸收热量Q=C m (t t0 ) 速度V=S / t；功W=F S；功率P=W / t ；电功W电=U I t；电功W电=P电t ；电功率P电=U I 电功率P电=W / t 杠杆平衡条件： F1 l1=F2 l2 1千瓦时=3.6×106焦串联电路：电流处处相等，总电压=各部分电压相加，总电阻=各部分电阻相加。

并联电路：同支路电压相等，总电流=各部分电流相加。

1.如图电路中，电源电压为6伏，电阻R2的阻值为30欧。

当开关S闭合时，电流表A的读数为0.5A。

求 ①R2的电流。

②电流表A1的读数。

③R1的阻值。

④电阻R2的电功率。

⑤R1工作2分钟消耗的电能。

2．小灯泡12V　6W”字样。

当滑动变阻器的滑片P移至，小灯泡L正常发光；滑动变阻器的滑片P移至[ 3．电热水器铭牌上注明：“220V 6000W”。

正常工作0.2小时要耗电几度（千瓦时）？合多少焦？ 4．某白炽灯正常工作60秒，消耗电能6000焦，求此灯泡额定功率是多少瓦？ 5．重5牛的书本从1.5米高处落下，历时0.5秒，求重力做功多少焦？平均速度多少千米/小时？功率多少瓦？ 6．①某实心正方体质量21600千克，体积8米3，它的密度是多少克/厘米3？ ②把它放于水平地面上，对地面的压强是多少帕？（g=10牛/千克） ③把它浸没在水中，受到的浮力是几牛？ ④若此物体比热为0.9×103 J/(kg·℃)，把它升高温度5℃，需要吸热多少焦？ 7．如图所示杠杆保持静止，A为支点， AC=1m，BC=3m，物体G的重力为5牛，求弹簧秤的读数是几牛？此杠杆为类杠杆。

（填“省力”“费力”或“等臂”）初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。

2020年河南洛阳高三二模数学试卷(理科)

2020年河南洛阳高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则（）．A. B.C. D.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）．A. B. C. D.3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（）．A. B. C. D.4.下图是我国第届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数第届第届第届第届第届第届第届第届奥运会中国代表团奖牌总数统计图A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C.第届与第届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数．铜牌数都有所下降D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是5.抛物线：的焦点为，点是上一点，，则（）．A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则框图中①处可以填（）．开始，输出结束是否A.？B.？C.？D.？7.下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（）．A.B.C.D.8.在中，，，，点分别在线段，上，且，，则（）．A.B.C.D.9.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．A.B.C.D.10.已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（）．A.B.C.D.11.已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（）．A.B.C.或D. 或12.已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点．若平面，则在内轨迹的长度为．其中正确的个数是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则展开式中的系数为．14.从名医生和名护士中选出名去武汉抗击疫情，医生中的甲和乙不能同时参加，护士中的丙与丁至少有一名参加，则不同的选法种数为．（用数字作答）15.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是．16.在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．（1）（2）求数列和的通项公式．求数列的前项和．（1）（2）18.如图，在等腰梯形中，，，，，，分别为、、的中点．以为折痕将折起．使点到达点位置（平面）．若为直线上任意一点，证明：平面．若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．（1）（2）19.某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本．检测一项质量指标值，该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数质量指标值频率组距甲生产线样本的频率分布直方图根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取件恰有件为合格品的概率．现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线．根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．若有的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好．甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：，．（1）（2）20.设函数．若，时，在上单调递减，求的取值范围．若，，，求证：当时，．（1）（2）21.已知点，分别在轴，轴上运动，，．求点的轨迹的方程．过点且斜率存在的直线与曲线交于，两点，，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程．若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．（1）（2）23.已知函数．若不等式有解，求实数的取值范围．函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．【答案】解析:根据题意，，则，．故选．解析:由，可得，所以，所以．故选．解析:∵终边上点，∴ ，，∴故选．解析:抛物线：的准线方程，点在上，，可得：，解得：．故选．解析:第一次循环：，不满足条件，；D 1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，不满足条件，；第六次循环：，不满足条件，；第七次循环：，满足条件，输出的值为．所以判断框中的条件可填写“”．故选．解析:根据题意，，则，在中，又由，则，则，则，则．故选．解析:如图，B 7.B 8.，，C 9.∵，，，，∴．又，，∴，∴异面直线与所成角的正弦值为．故选．解析:如图，不妨设直线的斜率为，∴直线的方程为，联立，得，∴．由题意，方程得的两根异号，则，此时，，则，即，∴，∴，即．A 10.故选．解析:令，则可得：，当时，恒有，即，所以在上单调递减，又，则，即为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，由，可得，，故，解可得，，故选．解析:为的外心，可得，平面，可得，即有，①正确；若为等边三角形，若，又，可得平面，即，由可得，矛盾，故②错误；若时，设与平面所成角为，可得，，设到平面的距离为，B 11.C 12.由，可得，即有，当且仅当取得等号，可得的最大值为，，即有的范围为，③正确；取的中点，的中点，连接，，，由中位线定理可得，，可得平面平面，可得在线段上，而，可得④正确．故选：．13.解析:∵，∴，二项式展开式通项为，，，所以的展开式中的系数为．14.解析:①设甲参加，乙不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，②设乙参加，甲不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，③设甲，乙都不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，综合①②②得：不同的选法种数为．15.解析:因为，（1）所以，即解集为，因为在区间上恒成立，所以，所以，且两个等号不同时成立，所以．故答案为．解析:∵角的平分线交于，又，，∴，不妨设，，∴，∴，∴的面积为，则时，取得最大值为．故答案为：．解析:，∴，，，∴，16.（1）；（2）；．17.（2）（1）（2）∴，∴．∵，∴．解析:连接，∵，，分别为、、的中点，∴，又∵平面，平面．∴平面，同理，平面．∵平面，平面，．∴平面平面．∵平面．∴平面．连接，在和中，由余弦定理可得，，由与互补，，，可解得，于是，∴，，∵，直线与直线所成角为，∴，又，（1）证明见解析．（2）．18.∴，即，∴平面，∴平面平面，∵为中点，，∴平面，如图所示，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，∴即，令，则，，可得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，∴，∴二面角的余弦值为．解析:（1）．（2）甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．保留乙生产线较好．19.（1）（2）（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：．设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．那么“从甲生产线生产的产品中任取件，恰有件为合格品”就相当于进行次独立重复试验，事件恰好发生次，其概率为：．列联表：甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计的观测值，∵，，∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．由知甲生产线的合格率为，乙生产线的合格率为，∵，∴保留乙生产线较好．解析:，时，，，∵在上单调递减，∴，，令,,时，；时，，∴在上为减函数，在上为增函数，∴，（1）．（2）证明见解析．20.（2）（1）∴，∴的取值范围为．若，，时，，，令，显然在上为增函数，又，，∴有唯一零点，且，时，，；时，，，∴在上为增函数，在上为减函数，∴，又，∴，，，∴，（），∴当时，．解析:设，，则，设，由得，，又由于，化简得的轨迹的方程为．（1）．（2）的取值范围为．21.（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得，，设，，则，，由已知，，则，故直线，，令，则，由于，，，所以，的取值范围为．22.（1）极坐标方程为，直角坐标方程为．（2）．（1）（2）（1）（2）解析:曲线，即.∴．曲线的极坐标方程为．直线的极坐标方程为，即，∴直线的直角坐标方程为．设，，∴，解得，又，∴（舍去），∴，点到直线的距离为，∴的面积为．解析:设，∴在单调递减，在单调递增，故，∵有解，∴，即的取值范围为．，当且仅当时等号成立，∴，即，∵，当且仅当，，时等号成立，∴，即成立．（1）的取值范围为．（2）证明见解析．23.。

2025届洛阳市重点中学高考数学二模试卷含解析

2025届洛阳市重点中学高考数学二模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3cos2g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 2．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（） A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --3．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤4．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（） A ．32B ．32-C ．12D ．12-6．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-7．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}68．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．69．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（） A ．6B ．3C ．4D ．510．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（） A ．32B ．12C ．14D ．1811．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（） A 2B ．2C 3D ．312．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（） A ．()2sin(2)12g x x π=-B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省洛阳市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(培优卷)模拟试卷

河南省洛阳市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(培优卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（）A．B．C．D．第(2)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题函数、的定义域为，的导函数的定义域为，若，，，，则的值为（）A．B．C．D．第(4)题在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A．56个B．57个C．58个D．60个第(5)题若集合，，定义集合且，则（）A．B．C．D．第(6)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题若全集U和集合A，B的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题公差不为零的等差数列满足，，则（）A．B．C．D．第(2)题函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法正确的是（）A ．函数的最大值为3B．函数关于点对称C．函数在上单调递增D．函数的最小正周期为第(3)题将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5），（7，9，11，13）．（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中正确的是（）A．第10个括号内的第一个数为1023B．2021在第11个括号内C．前10个括号内一共有1023个数D．第10个括号内的数字之和三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)

高考数学二模试卷（理科）
题号得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A=[-1，1]，B={x|1nx＜0}，则 A∩B=（）
A. （0，1）
B. （0，1]
C. （-1，1）
D. [-1，1]
2. 已知 z 的共轭复数是，且|z|= +1-2i(i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的的
A. [ -1， -1]
B. [
C. [ -1，5]
D. [
11. 在四面体 ABCD 中，AD⊥平面 ABC，AB＝AC
-1， +1] -1，5]
，BC＝2，若四面体 ABCD 的
外接球的表面积为，则四面体 ABCD 的体积为（）
A. 24
B. 12
C. 8
D. 4
12. 已知 a＞0，曲线 f（x）=3x2-4ax 与 g（x）=2a2lnx-b 有公共点，且在公共点处的切
20. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行了数据统计，具体情况如表：
（1）求数列{an}的通项公式；
第 2 页，共 17 页
（2）设 bn=
，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．
18. 已知平面多边形 PABCD 中，PA=PD，AD=2DC=2BC=4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC ，E 为 PD 的中点，现将△APD 沿 AD 折起，使 PC=2 ．（1）证明：CE∥平面 ABP；（2）求直线 AE 与平面 ABP 所成角的正弦值．

河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题

一、单选题1. 2020年是脱贫攻坚战决胜之年．凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会．为了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的个单位对本县的个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为（）A．B．C．D．2. 2011年至2020年是中国电力工业发展的黄金十年，煤电产能结构持续优化，新能源发展突飞猛进．如图是2011年至2021年每年1~8月全社会用电量统计图，则下列说法不正确的是（）A ．2021年1~8月的全社会用电量最大B ．2020年1~8月的全社会用电量同比增长最低C ．2016年1~8月全社会用电量为2011年至2021年每年1~8月全社会用电量的中位数D ．2011年至2015年每年1~8月全社会用电量同比增长的极差大于2016年至2021年每年1~8月全社会用电量同比增长的极差3.已知等差数列的前项和为，，则（）A ．11B ．12C ．13D ．144.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A．B．C．D．5. “米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（）A ．2B ．3C ．4D ．66.已知集合，，则（）A．B．C．D．河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题二、多选题7.函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8. 若复数，则复数z 的虚部是（）A ．B．C ．1D ．29. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且，，则（）A ．双曲线的离心率为B．过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，则C．若为的中点，则直线（其中为坐标原点）和直线的斜率之积为D．的内切圆半径和的内切圆半径之比为10.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标保持不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（）A．B．的图象关于点对称C ．若，则的值域是D ．对任意，都成立11. 已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（）A．B．C．D．12. 根据小红家2022年全年用电量（单位：度）和该月的用电量占年总用电量的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（）A ．2022年第二季度的用电量为260度B ．2022年下半年的总用电量为500度C ．2022年11月的用电量为100度三、填空题四、解答题D ．2022年12个月的月用电量的中位数为80度13. 已知向量，满足，，则满足条件的一个向量__________．14.四边形中，，，设、的面积分别为、，则当取最大值时，__________．15.在展开式中，常数项为__________.（用数值表示）16. 已知函数．（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数在上的值域．17. 已知函数，其中为自然对数的底数．(1)若，求的单调区间；(2)证明：．18. 已知为实数，且，数列的前项和满足（1）求证：数列为等比数列，并求出公比；（2）若对任意正整数成立，求证：当取到最小整数时，对于都有.19.如图，在正三棱柱中，为上一点，，，为上一点，三棱锥的体积为.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．20. 已知函数，.（1）求的单调性；（2）若，且的最小值小于，求的取值范围.21. 为积极响应国家对垃圾分类处理的号召，增强市民的环保意识，加快城市生态文明的建设，某市决定在A ，B ，C 三个社区进行垃圾分类回收试点，现准备建造一座垃圾处理站D ，集中处理三个社区的湿垃圾．如图，已知千米，千米，，．（1）求垃圾处理站D与社区A之间的距离；（2）假设有大、小两种运输车，负责在各社区和垃圾处理站之间运输湿垃圾，车在运输期间都是直线行驶，每辆大车的行车费用为每千米a元，每辆小车的行车费用为每千米元（）．现有两种运输湿垃圾的方案方案一：用一辆大车运输，从D出发，依次经A，B，C，再由C返回到D；方案二：用三辆小车运输，均从D出发.分别到A，B，C，再各自原路返回到D．请从行车费用的角度比较哪种方案更合算，并说明理由．。

河南省洛阳市数学高三理数第二次模拟考试试卷

河南省洛阳市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·黑龙江开学考) 设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜2x＜8}，则（∁UA）∩B等于（）A . [﹣1，3）B . （0，2]C . （1，2]D . （2，3）2. （2分）(2017·抚顺模拟) 已知i是虚数单位，若复数z= ，则z的共轭复数的虚部为（）A . ﹣3iB . ﹣3C . 3iD . 33. （2分） (2015高二上·河北期末) 已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A . a＞b﹣1B . a＞b+1C . |a|＞|b|D . 2a＞2b4. （2分） (2016高一下·潮州期末) 函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·江西模拟) 设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A . 3B . 4C . 11D . 406. （2分） (2016高一上·厦门期中) 函数y=xln|x|的大致图象是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 有一段演绎推理是这样的:“幂函数在上是增函数；已知是幂函数；则在上是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误8. （2分）有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 48πB . 36πC . 24πD . 12π9. （2分） (2018高一下·黄冈期末) 已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则AC等于（）A . 5B .C . 2D . 110. （2分） (2019高二上·宾县月考) 若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）A . [3- , ）B . [3+ , ）C . [ , ）D . [ , ）11. （2分）在区间[0，1]上任取两个数a、b，则方程x2+ax+b2=0有实根的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二上·徐州期末) 关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）在四边形ABCD中, ,则这个四边形的形状是________.14. （1分） (2019高二上·南宁月考) 如图，在边长为2正方体中，为的中点，点在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点构成的图形的面积是________.15. （1分） (2019高一下·上海月考) △ABC中，则 ________.16. （5分）(2019·上海) 已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高二上·衡阳期中) 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．19. （5分）(2017·临沂模拟) 某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校1400名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表身高（cm）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）频数2511453表2：女生身高频数分布表身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）频数28151221（Ⅰ）估计该校高一女生的人数：（Ⅱ）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（Ⅲ）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）的学生人数，求X的分布列及数学期望EX．20. （10分） (2018高二上·阜城月考) 已知椭圆：的离心率为，且过点，，是椭圆上异于长轴端点的两点.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线：，且，垂足为，，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.21. （10分） (2017高二下·惠来期中) 已知函数f（x）=xlnx（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数在[1，e]上的最小值为，求a的值；（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．22. （10分） (2019高三上·长春月考) 在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点, 轴的非负半轴建立极坐标系,点的极坐标，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点,求中点到直线的距离最小值．23. （10分） (2017高二下·石家庄期末) 已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[ ，1]，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

河南省洛阳市届高三数学下学期第二次仿真模拟试题理

洛阳市第一高级中学高三理科数学模拟试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（王玮琪供题）1.已知复数312(2i z i i +=-为虚数单位),则||z = 3. .1 .25A B C D2.设21:()1,:log 02xp q x <<,则p 是q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.执行如下程序框图,则输出结果为 .5 .4 .3 .2A B C D4.已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③c o s y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是.A ①④②③.B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①5.已知sin()sin 0352ππααα++=--<<，则2cos()3πα+等于 4343. . . .5555A B C D --6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 4575. . . .3233A B C D7.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P ,则2212||||PF PF -= 222222.4 .4 .3 .3A a B b C a b D a b ++8.已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是57.. . .266A B C D ππππ 9.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是.A 若//,m n ααβ=，则//m n .B 若,m m n α⊥⊥，则//n α.C 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ .D 若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥10.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，22212b ac -=，则tan C = 11.2 . 2 . .22A B C D --11.设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，0FA FB FC ++=，O 为坐标原点，且OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，则222123++=S S S.2 .3 .6 .9A B C D12.如果函数()f x 在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<，满足1()()'()f b f a f x b a-=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是区间[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是区间[0,]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是 11311.(,) .(,3) .(,1) .(,1)32223A B C D 二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.（王玮琪供题）13.设,x y 满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的取值范围为_______.14.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为_______.15.如图，直角梯形ABCD 中，o//,90,4AB CD DAB AD AB ∠===，1CD =，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+均为正实数)，则11m n+的最小值为_______．16.已知函数3,[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是_____．三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) （段俊霞供题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈. (1)证明数列{}2nn S 为等差数列； (2)求12...n S S S +++. 18.(本小题满分12分) (孟应兵供题)如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图(2)）．(1)求证：PB DE ⊥；(2)若PE BE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为o30，求PE 长．19.(本小题满分12分)(秦文春供题) 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与(2)将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.20.(本小题满分12分)（李桂芳供题）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)(04)F x y r r +=-<<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．(1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM ∆面积S 的最大值． 21. (本小题满分12分)(王玮琪供题)设函数(),ln bxf x ax e x=-为自然对数的底数. (1)若曲线()y f x =在点 22(,())e f e 处的切线方程为2340x y e +-=，求实数,a b 的值； (2)当1b =时，若存在 212,[,]x x e e ∈，使12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F . (1)证明：,,,C E F D 四点共圆；(2)若D 为BC 的中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长. 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0απ<<)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||OA OB +的值. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()||,0f x x a a =-<．(1)证明:1()()2f x f x +-≥；(2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围．洛阳一高第二次综合模拟理科数学参考答案A 二、填空题13. [3,3]- 14.15 15.74+37[log ,1]3三、解答题17.(1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=， …2分整理得11122n nn nS S ++-=， …4分所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. …5分 (2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅， …6分令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅① …7分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ② …9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅， …11分整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. …12分 18.(1) ,,DE AB DE PE DE EB ⊥∴⊥⊥. …2分又,PEBE E DE =∴⊥平面PEB . …4分PB ⊂平面PEB ，PB DE ∴⊥. …5分(2)由(1)知,DE PE DE EB ⊥⊥，且PE BE ⊥，所以,,DE BE PE 两两垂直.分别以,,ED EB EP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. …6分设||PE a =，则(0,4,0)B a -，(,0,0)D a ，(2,2,0)C a -，(0,0,)P a ，可得(0,4,),(2,2,0)PB a a BC =--=-. …7分设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以(4)0220a y az x y --=⎧⎨-=⎩，取4(1,1,)an a -=. …9分直线PD 与平面PBC 所成的角为o30,且(,0,)PD a a =-，o 1sin 30|cos ,|||2PD n ∴=<>==. …11分解之得45a =，或4a =（舍去）. 所以PE 的长为45. …12分19.(1)完成下面的…3分22100(40251520)8.24960405545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.8.249 6.635>,∴有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. …6分(2)视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为25．由题意可知2(3,)5X B ,3322()()(1)(0,1,2,3)55ii i P X i C i -==⨯⨯-=. …8分从而分布列为…10分615(),()(1)528E X np D X np p ===-=. …12分20.(1)设两动圆的公共点为Q ．由椭圆的定义可知Q 的轨．所以曲线C 的方程是： (2)证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：(有公因式m －1)继续化简得： (1)(53)0m m --=，或1m =(舍)，综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点证法二：(先猜后证)由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ；取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，此时直线AB 恒经过y 轴上的点5只要猜出定点的坐标给2分) 满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：)所以MA MB x ⋅=⋅(3)ABM △面积MNA MNB S S S =+△△＝由第(2)因N 在椭圆内部，所以k R ∈，可设4(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为21.(1)由已知得0,1x x >≠，()2(ln 1)()ln b x f x a x -'=-.则()222222be e f e ae =-=-且()2344b f e a '=-=-，解之得1,1a b ==. (2)当1b =时，()2ln 1()ln x f x a x -'=-=2211111ln ln ln 24a a x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以当211ln 2x e x =⇒=时，()max 14f x a '=-. 而命题“若存在 212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使12()'()f x f x a ≤+成立”等价于 “当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+”.又当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，()max 14f x a '=-，所以()max 14f x a '+=. 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()min14f x ≤” ① 当14a ≥时，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，则()()222min124e f x f e ae ==-≤，故21124a e≥-. ② 当14a <时，由于()2111ln 24f x a x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 当00a a -≥⇒≤时，()0f x '≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min 14f x f e e ae ==->，不合题意. 当0a -<即104a <<时，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一()20,x e e ∈使 ()0f x '=，且满足：当()0,x e x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当()20,x x e ∈时， ()0f x '>，()f x 为增函数；所以()()000min 01ln 4x f x f x ax x ==-≤，()20,x e e ∈. 所以2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾. 综上得a 的最小值为21124e-. 22.(1)连,EF BE ，则ABE AFE ∠=∠.AB 是圆的直径，AE BE ∴⊥.又AB BC ⊥，,ABE C AFE C ∴∠=∠∴∠=∠，即EFD C π∠+∠=，所以,,,C E F D 四点共圆. 5分 (2)AB BC ⊥，AB 是圆的直径，BC ∴是圆的切线，24,2DB DF DA BD =⨯==，所以AB =因为D 是BC 的中点，所以4BC =，AC ==. 8分由2CB CE CA =⨯得16CE CE =⨯=AE AC CE =-=分23.(1)由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩得 ①当2πα=时，直线l 为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=. 1分 ②当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=. 0απ<<,l ∴的极坐标方程为θα=和θπα=+.综上，l 的极坐标方程为θα=和(0)θπααπ=+<<.也可以写成()R θαρ=∈. 3分由(0)1cos p p ρθ=>-得cos p ρρθ-=. 222,cos x y x ρρθ=+=,222()x y x ρ∴+=+,整理得22()2py p x =+. 5分(2)设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩得，11cos p ρα=-，即||1cos p OA α=-， 7分由1cos p θπαρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩得，21cos p ρα=+，即||1cos p OB α=+， 9分 111cos 1cos 2||||OA OB p p pαα-+∴+=+=. 10分 24. (1)证明：函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜0，则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a|+|﹣﹣a|=|x ﹣a|+|+a|≥|（x ﹣a ）+（+a ）| =|x+|=|x|+≥2=2． ……………5分(2)f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a|+|2x ﹣a|，a ＜0．当x≤a 时，f （x ）=a ﹣x+a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a+a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；当x 时，f （x ）=x ﹣a+2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞）.不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．……………10分。

洛阳市轴一中届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)

【优质试题】河南省洛阳市2021届高三二模数学(理)试题(解析版)

河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题(1)

河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)

2023-2024学年河南省洛阳市联考高考数学(理)仿真模拟试题(二模)含解析

河南省洛阳市-高三第二次统一考试数学理科

河南省洛阳市高三“二练”考试数学(理)试题(扫描版).pdf

2020年河南洛阳高三二模数学试卷(理科)

2025届洛阳市重点中学高考数学二模试卷含解析

河南省洛阳市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(培优卷)模拟试卷

河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)

最新河南省洛阳市高三二练考试数学(理)试题 (含答案解析)

河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题

河南省洛阳市数学高三理数第二次模拟考试试卷

河南省洛阳市届高三数学下学期第二次仿真模拟试题理