24.1.2垂直于弦的直径(二)-2019

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九年级数学上册：24.1.2 垂直于弦的直径2

教学目标：1．知识目标：①通过动手观察实验，使学生理解圆的轴对称性，会描述对称轴；②掌握理解垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法，会类比推理；3．情感目标：①通过探究垂径定理及其推论的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。

③结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透。

本节课是在学生已有几何基础情况上再学习几何内容的一节课，通过二年的学习，学生已学习了图形的认识、轴对称图形、三角形的全等、直角三角形和圆的有关概念等几何知识。

在进行本节之前已通过折纸、平移、轴对称、旋转、中心对称的推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的空间与图形的经验。

垂直于弦的直径就是对垂径定理及其推论的探究和证明，它是圆的一个重要的基础性定理，它对线段的计算、证明线段相等、弧相等等问题提供了十分简便的方法。

同时通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想、归纳的能力，利用圆的轴对称性，还可以对学生进行数学美的教育，同时让学生感受数学来源于生活，又应用于生活。

因此，本节课无论从知识上还是从学生能力的培养及情感教育方面都起着重要的作用。

我多年在农村初中从事数学教学，我所教班级的数学基础和学生学习数学的能力是不乐观的，对这一节的教学根据我以往教学经验和对本班教学情况的掌握，本节学生活动、教学过程：复习，感知旧知：1、弦是圆上任意两点的线段，是最大的弦。

2、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做。

3、圆上任意两点间的部分叫大于半圆的弧叫小于的弧叫。

4、圆心相同，半径不等的圆叫。

圆心不同半径相等的圆叫。

二、引入新课--出示赵州桥图片师：这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径

24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。

人教版初中数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径2

人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。

（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。

教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。

教学难点1、垂径定理的证明。

2、垂径定理的题设与结论的区分。

教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。

教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。

令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。

学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。

教学过程情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？AB与直径CD除垂直外还有什么性质？如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平个结论相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们更理性地看待人生。

24.1.2垂直于弦的直径教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。

24.1.2 垂直于弦的直径(2)课件

②⑤ ③④
③⑤ ④⑤
①③④ ①②⑤
①②④ ①②③
思考
⌒ 你能确定AB的圆心吗？
C
作法： 1．连接AB． 2．作AB的垂直 A ⌒ 平分线，交AB 于点C． 3．作AC的垂直平分线． 4．两条垂直平分线交于一点O．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你能破镜重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法：作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．依据：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
这五条拿出任意两条作为题设，其余三条作为结论，会出现多少个命题？这些命题都是真命题吗？
探究
C
命题1 垂径定理的推论1
① 直径 ③ 平分弦
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
E
A
O B
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
B
2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为
O
P E C
D
O
M
A
O B N
D
探究
命题2 垂径定理的推论2 ① 直径 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒
⌒ ⌒ ⌒
C
② 垂直于弦 ③ 平分弦 O B
已知：AB、CD是弦，CD⊥AB，CD平分AB 求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
E A
D
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
பைடு நூலகம்

24.1.2垂径定理2

24.1.2 垂直于弦的直径练习
复习回顾 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦 · E
2、垂径定理的推论： D 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3、五要素“知二推三”： O ①经过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧弦心距
半径、弦长、弦心距、弓形高
“知二求二”
A
O B
链接中考
2.（江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB 于F，则EF= ——。
O A E P B F
例题选讲例3.如图是一个圆形瓷片的残片，你能找到它的圆心吗？（保留作图痕迹）
A
B
B
A
双基训练 .如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 8cm 面上有油部分最大深度CD= —————— 半径、弦长、弓形的高、圆心到弦的距离
A C D O B
知二求二
思维拓展某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
A
B
C
B
4、基本图形：
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。

这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。

但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。

2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。

2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。

4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。

5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。

主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。

初三九年级数学：24.1.2垂直于弦的直径

如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ 5 ）个
如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
O
AC B
就题说果
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 0.2 m．
24.1.2垂直于弦的直径
第二课时：反馈提升课
如图，已知⊙O的半径是2cm，弦AB的长是2cm，则点O到弦AB的距离是 cm．
C
如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． OH⊥AB于H，
则图中相等的线段共有（ 4 ）组
O
拓展问题1 ：垂径定理及推论的应用
已知：在⊙ O中，弦AB的长为24cm， C为AB中点，OC=5cm，求⊙ O的半径
①写出点的坐标：A （
0,4 ）、B （
4 , 4）
C （ 6 , 2 ）、D （ 2 , 0 ）
②⊙D的半径= （ 2 5）（结果保留根号）
（3）求∠ADC的度数
D
F
1、完成本课学案的巩固性作业 2、完成下个学案的预习性作业

《24.1.2垂直于弦的直径》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册

《垂直于弦的直径》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在巩固学生对“垂直于弦的直径”这一概念的理解，能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学逻辑思维能力和空间想象能力。

二、作业内容本节课的作业内容主要围绕以下四个方面展开：1. 基础知识练习：包括直径与弦的概念，垂直关系的判断，通过基础题目帮助学生回顾和巩固所学知识。

2. 经典例题解析：选取几道典型的题目，引导学生分析问题，找出问题中的关键点，运用所学知识解决问题。

3. 拓展应用题：设计一些与生活实际相结合的题目，如测量圆形物体的直径等，让学生在解决实际问题的过程中加深对知识的理解。

4. 自主探究题：设置一些具有挑战性的题目，鼓励学生自主探究，培养其独立思考和解决问题的能力。

三、作业要求1. 基础练习题：要求学生独立完成，并确保答案的准确性。

对于有疑问的地方，可以查阅课本或请教同学、老师。

2. 经典例题解析：要求学生仔细分析题目，找出问题的关键点，并运用所学知识进行解答。

同时，鼓励学生进行多种方法的尝试和比较。

3. 拓展应用题：要求学生将所学知识应用到实际生活中，通过观察、测量、计算等方式解决问题。

在解决问题的过程中，要注意数据的准确性和解题的规范性。

4. 自主探究题：鼓励学生独立思考，尝试多种方法解决问题。

在解决问题的过程中，要注重思维的逻辑性和严密性。

对于有困难的地方，可以与同学讨论或请教老师。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生的完成情况、答案的准确性和解题的规范性进行评价。

同时，要关注学生在解题过程中的思维过程和解题方法的多样性。

2. 评价方式：可以采取自评、互评和教师评价相结合的方式。

自评可以帮助学生反思自己的学习过程和解题方法；互评可以促进学生之间的交流和学习；教师评价可以给出准确的指导和建议。

五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的错误，要及时进行纠正和指导，帮助学生找出错误的原因并加以改正。

2. 对于学生的优秀作业和解题方法，要及时进行表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。

24.1.2 垂直于弦的直径(2)

O · E D B
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。
C A O · B D
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C A E└
●
B
O
① ②
③ ④ ⑤
D
CD是直径 CD⊥AB
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C
A E
●
B
O
④ ⑤
① ② ③
D
AC=BC AD=BD
CD是直径 CD⊥AB AE=BE
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
点C是AB的中点，则OC的长为
。
A
C · O
B
2、下列命题错误的是（
）
A、平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B、平分弦的弦垂直于这条弦 C、垂直于弦的直径平分这条弦 D、弦的中垂线过圆心
3、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E M D
C
A E
●
B
O
① ④
② ③ E AD= BD
D
AC=BC
① ⑤
② ③ ④
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C
A E
●
B
O
② ③
① ④ ⑤

24.1.2垂直于弦的直径(2)

2 2 2 2
O
M
B
O
M
B C
N
D
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
O D A
C
B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据垂径定理和勾股定理求出第三个量.
B
E
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝，求圆O的半径。
D
E O
C
B
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD, AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,
驶向胜利的彼岸
交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B M
E A O
.
D
图中相等的劣弧有:
.
C
F
N
小结
1、垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
2、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 3、垂径定理及其推论：如果一条直线，满足下列五个条件：①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧中的任意两个，就能推出另外的三个结论. 4、重要结论：圆中两条平行弦所夹的弧相等.
∵ OE⊥AD =π(OA2－OB2) ∴由勾股定理得 =π(AE2－BE2 ) OA2=AE2+OE2,OB2=BE2+OE2 = π(32－22 )=5π ∴OA2－OB2=AE2－BE2 答:圆环面积为5πcm2.
已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AD交小圆于B，C两点. ⑴求证：AB＝CD ⑵如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.

人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 (2).docx

初中数学试卷马鸣风萧萧24.1.2 垂直于弦的直径1.圆的对称性.2.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质.3.能运用垂径定理计算和证明实际问题.自学指导阅读教材第81至83页内容，并完成下列问题.知识探究1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心.2.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交CB=⌒DB；⑤⌒CA=⌒DA.于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE=DE；④⌒3.平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.自学反馈ABC、DCB、⌒CBD、⌒ACB、⌒CAD、⌒1.如图，弦AB⊥直径CD于E，写出图中所有的弧_⌒AD、⌒DB、⌒BC、⌒AC、⌒AB、⌒⌒DCB、⌒DCA、⌒CAB；劣弧有：⌒AD、⌒BD、⌒BC、⌒AC、⌒AB；最长的弦是：CD；ABC、⌒ACB、⌒DCA、⌒CAB；优弧有：⌒CAD=⌒CBD；此图是轴对称图形吗？如果是，AD=⌒DB，⌒AC=⌒BC，⌒相等的线段有：AE=EB，CO=DO；相等的弧有：⌒对称轴是什么？是；CD所在的直线.2.在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为8 cm.3.在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为3 cm.圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个.4.⊙O的半径OA=5 cm，弦AB=8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为3 cm.已知弦的中点，连结圆心和中点构造垂直是常用的辅助线.5.某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个.6.⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长是8，最长弦的长为10.过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径.活动1 小组讨论例1ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长.解：6.常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.例2⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3.最大值为5.当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM最大.例3已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB.求证：AC=BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE=DE.∵OA=OB，OE⊥AB，∴AE=BE. ∴AE-CE=BE-DE.即AC=BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.例4 如图，在⊙O 中，CD 为弦，EC ⊥CD ，FD ⊥CD ，EC 、FD 分别交直径AB 于E 、F 两点，求证：AE=BF. 证明：略过圆心作垂径，与已知的另两个垂直构造一组平行线.例5 如图，⊙O 中CD 是弦，AB 是直径，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求证：CE ＝DF.证明：略本题即为上题的变式训练.当题目的条件不变，只是图形发生变化时，通常结论不变，解题思路也不变.活动2 跟踪训练1.在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是53 cm.这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长.2.弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为134cm.图① 图②3.如图①，AB 为⊙O 的直径，E 是⌒BC中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=8. 4.如图②，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么AB=CD.(只需写一个正确的结论即可)5.已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.求证：AC=BD. 证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则AE=BE ，CE=DE.∴AE-CE=BE-DE. 即AC=BD.过圆心作垂径.6.如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长.解：作OF ⊥CD 于点F ，连结OD.∵AE=2，EB=6，∴AB=8.∴AO=4.∴EO=2.∵∠DEB=30°，∠OFE=90°，∴OF=12OE=1.在Rt △ODF 中，∵OD=4，OF=1. ∴DF=22OD OF =15.∴CD=2DF=215.第6题先过圆心作垂径，将30°角放在直角三角形中，求出弦心距，再连半径构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形.7.已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB=４０ cm ，CD=４８ cm ，求弦AB 与CD 之间的距离.①AB 、ＣＤ在点O 两侧，②AB 、CD 在点O 同侧.解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD.①当AB 、CD 在点O 两侧时，如图1.连结AO 、CO ，则AO=CO=25 cm ，AE=20 cm ，CF=24 cm. 由勾股定理知OE=15 cm ，OF=7 cm.∴EF=OE+OF=22 cm. 即AB 与CD 之间距离为22 cm.图1 图2②当AB 、CD 在点O 同侧时，如图2，连结AO 、CO.则AO=CO=25 cm ，AE=20 cm ，CF=24 cm. 由勾股定理知OE=15 cm ，OF=7 cm.∴EF=OE-OF=8 cm. 即AB 与CD 之间距离为8 cm.由①②知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm.活动3 课堂小结垂径定理及其推论，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形).教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。