动点生成函数图像的问题

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动点的函数图像描述规律

动点的函数图像描述规律(一)物体运动的轨迹与函数图像是有区别的（2016•潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）（二）易写出函数解析式（2016•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）（2016•泰安）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）（三）不易写出函数解析式（2016•衡阳）如图，已知A，B是反比例函数y= /（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（)注意函数的增减规律及自变量的范围（2016•黄石）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）巩固练习：1、（2016•烟台）如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）2、（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）。

中考数学复习指导：解决动点生成的函数图象压轴选择题

解决动点生成的函数图象压轴选择题由动点生成的函数图象问题，是近几年中考的热点问题.此类问题多出现在选择压轴题中，可见其分量，因此不少学生往往是望而却步.笔者通过研究发现，抓住“两点”，可以使该类问题轻松获解，下面略举几例与大家分享.一、抓住“拐点”这里所说的“拐点”指的是，动点经过多边形的顶点时，生成的函数图象不平滑，即出了“尖”，我们称之为“拐点”.例1 已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图1，则该封闭图形可能是( )简析由图象可知，动点在整个运动过程中经过两个拐点，下面我们看选项:A选项全程有两个拐点，B选项和C选项全程都有三个拐点，D选项全程无拐点，故选A.例2 如图2，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，→→→→→的路线绕多边形的边匀速运动到点B 动点P从点A出发，沿A D E F G B∆的面积S随着时间‘变化的函数图象大致为( )时停止(不含点A和点B)，则ABP简析由图2可知动点P运动全程一共经过四个拐点.再看选项，选项A三个拐点，选项B两个拐点，选项C四个拐点，选项D三个拐点，故选C.二、抓住可以描出的特殊点这里所说的可以描出的特殊点多指起点、中点、终点，这些点可以求出其坐标，在坐标系中可以描出，根据其位置，可以选出正确选项.例 3 如图3，已知正ABC ∆的边长为2, ,,E F G 分别是,,AB BC CA 上的点，且AE BF CG ==.设EFG ∆的面积为y ,AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是( )简析由动点运动的路程可知动点不经过拐点，所以排除选项A 和选项B ，当0x =时，EFG ∆与ABC ∆重合，此时y = D.当然此题也可以描终点，即当2x =时，也可以求出y = 例4 如图4，点P 是以O 为圆心、AB 为直径的半圆上的动点，2AB =，设弦AP 的长为x ， APO ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )简析由图4知点P 运动全程不经过拐点，故排除选项C 和选项D ，而起点和终点对于选项A 和选项B 是相同的，所以只能描中点，即当1x =时，APO ∆是边长为1的等边三角形，此时0.4334y =≈，点(1,0. 433)显然在选项A 的图象上，故选A.当然此题也可以描出图象的最高点，即当12y =时，可以求出 1.4141x =≈>，故选A. 以上几例充分说明，抓住拐点和描出特殊点，可以使该类问题的解决变得轻而易举.。

关于动点在函数图像中产生的最值问题

关于动点在函数图像中产生的最值问题作者：陈学明来源：《新高考·升学考试》2018年第04期初中数学中关于求最大最小值问题是近年来各类考试的热点，它题型丰富、形式多变、思路灵活，对解题者能力要求较高.这类题目涉及的数学知识比较广泛，解题分析时往往要结合相关几何图形的性质，并在平面直角坐标系中求出函数关系式进而得出结论，主要考查学生对所学知识的综合应用能力，要求较高，一般不容易得分.我们要学会通过对几何图形的探究分析，制定相应策略解决动点在函数中产生的最值问题，提高解决问题的能力.一、动点与一次函数结合形成的最值问题例1.如图1，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，5）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上.在运动的过程中，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标.【分析】作出B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点C，根据两点之间线段最短，这时△ABC的周长最小，求出直线AB′的解析式为y=x+3，所以，直线AB′与y轴的交点C的坐标为（0，3）.例2. 如图2，直线MN与x轴、y轴的正半轴分别交于A、C两点，分别过A、C两点作x 轴、y轴的垂线相交于点B，直线y=x与直线MN交于点P，已知AC=10，OA=8.（1）P点坐标为；（2）作∠AOP的平分线OQ交直线MN于点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，AE+EF的最小值是.【分析】关于第2小题，一定要作出相应的图形.即作出点A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′=OA=8，过点A′作A′F⊥OA于点F，交OQ于点E.此时AE+EF=A′E+EF存在最小值，进而求出结果42.【总结】动点在图形上运动时，与一次函数结合产生的最值问题可以通过作对称图形，根据两点之间线段最短或垂线段最短来解决.二、动点与二次函数结合形成的最值问题例3. 如图3，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标.【分析】第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PA+PC最小，△PAC的周长最小.【解答】（1）因为抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，设y=a（x+1）（x-3），代入点C（0，3），得-3a=3.解得a=-1.所以抛物线的函数关系式是y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.（2）如图4，抛物线的对称轴是直线x=1.当点P落在线段BC上时，PA+PC最小，△PAC的周长最小.设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.由BHBO=PHCO，BO=CO，得PH=BH=2.所以点P的坐标为（1，2）.注：本题也可通过求出直线BC解析式与抛物线对称轴交点得到结论.例4. 如图5，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标.【分析】（1）已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.（2）数形结合，用解析式表示图像上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.【解答】（1）因为抛物线与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），代入点C的坐标（0，-2），解得a=-12.所以抛物线的解析式为y=-12（x-1）（x-4）=-12x2+52x-2.（2）如图6，过点D作x轴的垂线交AC于点E.直线AC的解析式为y=12x-2.设点D的横坐标为m（0因此S△DAC=12（-12m2+2m）×4=-m2+4m=-（m-2）2+4.当m=2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）.例5. 如图7，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）.連结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y.（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？【分析】（1）证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x 的函数关系式.（2）本题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值.【解答】（1）因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°，所以△DCE∽△EBF.因此DCCE=EBBF，即mx=8-xy.整理得y关于x的函数关系为y=-1mx2+8mx.（2）当m=8时，y=-18x2+x=-18（x-4）2+2.因此当x=4时，y取得最大值为2.【思考】本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到y=-1mx2+8mx=-1m（x2-8x）=-1m（x-4）2+16m，那么不论m为何值，当x=4时，y都取得最大值.对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值.第（2）题m=8是第（1）题一般性结论的一个特殊性.【总结】动点在图形上运动时，与二次函数结合产生的最大最小值问题可以通过分析图形特点，借助几何知识求出二次函数关系式来帮助解决，解题过程中一定要注意数形结合.总之，最值问题是初中数学中比较棘手的问题，解题时要注意数形结合思想的应用，抓住点的运动规律，在运动后画出符合条件的图形，再借助几何知识求出相应结果，提高我们解决问题的综合水平.。

中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)

中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习（含答案解析）1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】 A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA 方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN 的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB 运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y 关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。

动点与函数图像问题剖析

动点问题的函数图象解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看” 、“写” 、“选”。

“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点（时刻）是特殊点（时刻），这是准确解答的前提和关键；“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值；“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案，多用排除法。

首先，排除不符合函数类形的图像选项，其次，对于相同函数类型的函数图像选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案。

一、选择题（共30小题）1．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24；③图1中的CD长是4cm；④图1中的DE长是3cm；⑤图2中的Q点表示第8秒时y的2y=2．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC→CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（）的面积是×运动，回到点A 时运动停止．设点P 运动的路程长为长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（）． C ． 2a+2BD=y=））时，y=）2+22+21+4．（2012•绥化）如图，点A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OC ﹣﹣DO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y （度）与t （秒）之间函数关系最恰当的是（）．BD 上运动时，∠上运动时，∠5．（2010•宜昌）如图，在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN ⇒⇒KM 运动，最后回到点M 的位置．设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其图象可能是（）．6．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）于是他只好从家出发，乘车沿A⇒B⇒C⇒D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）BE==BE•MN=x x xPQ为一边作正方形PQRS，若BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部份的面积为y，则y与x的函数的大致图象是（）动的路程x为自变量，△ABP面积y为函数的图象，如图2，则梯形ABCD的面积是（）的面积是（向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）y=回至点O停止，点P在运动过程中速度大小不变，以点O为圆心，线段OP长为半径作圆，则该圆的周长l与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）．B D13．（2007•泰安）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，动点P在ABCD的边上沿A﹣B﹣C﹣D的路径以1cm/s的速度运动（点P不与A，D重合）．在这个运动过程中，△APD的面积S（cm）2随时间t（s）的变化关系用图象表示，正确的为（）1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．则大致反映S与t变化关系的图象是（）S=S=此题主要考查了直角梯形的面积求法，以及动点函数的应用，由动点找特殊点，是解决问题的关键．15．（2010•綦江县）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，则线段AP、AD与矩形的边所围成的图形面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是（）时，所围成的面积为梯形，时，所围成的面积为三角形，驶到景点B，然后从B沿直径BC行驶到⊙D上的景点C．假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速，则下面各图中能反映旅游船与景点D的距离随时间变化的图象大致是（）17．（2010•十堰）如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）时间t的关系可能是下列图形中的（）19．（2005•兰州）四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，若直线L⊥AB，直线L截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y，点A到直线L的距离为x，则y与x关系的大致图象为（）CD=BC=BCCD=BC=xy=数图象的描述问题．此题主要考查正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，梯形的面积以及动点分段函20．如图，BC是⊙D的直径，A为圆上一点．点P从点A出发，沿运动到B点，然后从B点沿BC运动到C点．假如点P在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P与点D的距离随时间变化的图象大致是（）21．在▭ABCD中，对角线AC=4，BD=6，P是线段BD上一动点，过P作EF∥AC，与▱ABCD的两边分别交于E、F．设BP=x，EF=y，则反映y与x之间关系的图象是（）得，化简可得y=时，根据平行线的性质，可得=x+9动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）=+t24．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=13，AB=12，E是BC边上一点，过点E作DE⊥BC交AC所在直线于点D，若BE=x，△DCE的面积为y，则y与x的函数图象大致是（）直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的函数图象可能是（）运动时间为t，∠APB的度数为y，则y与t之间函数关系的大致图象是（）∠向终点B运动，设点P所走过路程CP的长为x，△APB的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）y=×自左向右匀速穿过正方形．下图反映了这个运动的全过程，设正三角形的运动时间为t，正三角形与正方形的重叠部分面积为s，则s与t的函数图象大致为（）．B D29．如图，腰长为1和2的两个等腰直角三角形，其一腰在同一水平线上，小等腰直角三角形沿该水平线自左向右匀速穿过大等腰直角三角形，设穿过的时间为x ，大等腰三角形内减去小等腰直角三角形部分的面积为y （各个图中的阴影部分），则y 与x 的大致图象为（）． BDB 点匀速运动，那么表示△PAB 的面积S （厘米2）与点P 运动时间t （秒）之间的函数关系的图象为图（）。

动点问题的函数图像

动点问题的函数图像复习指要【典例分析】例1（2014•贵阳，第9题，3分）如图，三棱柱的体积为10，其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止，过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分，它们的体积分别为x、y，则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象是（）A．B．）D．C．考点：动点问题的函数图象．分析：根据截成的两个部分的体积之和等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式，再根据一次函数的图象解答．解答：?解：∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y，∴x+y=10，∴y=﹣x+10（0≤x≤10），纵观各选项，只有A选项图象符合．故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，比较简单，理解分成两个部分的体积的和等于三棱柱的体积是解题的关键．例2 （2014年•河南省，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）】A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：这是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x的函数关系式，根据关系式选择图象；③点P在边AB上时，利用线段间的和差关系求得y与x的函数关系式，由关系式选择图象．解答：解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分．故C错误；②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即y=，则其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段．故B、D错误；③点P在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象是直线的一部分．'综上所述，A选项符合题意．故选：A．点评：本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题．例3（2014•广西桂林，第12题，3分）如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，PQ同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿BADC和BCD方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（）A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23tD．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积考点：动点问题的函数图象．}分析：根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案．解答：解：由答图2所示，动点运动过程分为三个阶段：（1）OE段，函数图象为抛物线，运动图形如答图1﹣1所示．此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动．△BPQ为等边三角形，其边长BP=BQ=t，高h=t，∴S=BQ•h=t•t=t2．由函数图象可知，当t=4秒时，S=4，故选项A正确．（2）EF段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣2所示．此时点P在线段AD上、点Q在线段BC上运动．由函数图象可知，此阶段运动时间为4s，—∴AD=1×4=4，故选项B正确．设直线EF的解析式为：S=kt+b，将E（4，4）、F（8，8）代入得：，解得，∴S=t，故选项C错误．（3）FG段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣3所示．此时点P、Q均在线段CD上运动．设梯形高为h，则S梯形ABCD=（AD+BC）•h=（4+8）•h=6h；当t=9s时，DP=1，则CP=3，∴S△BCP=S△BCD=××8×h=3h，·∴S△BCP=S梯形ABCD，即BP平分梯形ABCD的面积，故选项D正确．综上所述，错误的结论是C．故选：C．点评：本题考查了动点问题的函数图象分析，有一定的难度，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解．例4（2014•黄冈，第8题，3分）已知：在△ABC 中，BC=10，BC 边上的高h=5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ．点D 为BC 上一点，连接DE 、DF ．设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（）A ．》B ．C ．D ．考点：动点问题的函数图象．$ 分析：判断出△AEF 和△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF ，再根据三角形的面积列式表示出S 与x 的关系式，然后得到大致图象选择即可．解答：解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴=，∴EF=•10=10﹣2x ，∴S=（10﹣2x ）•x=﹣x 2+5x=﹣（x ﹣）2+， ∴S 与x 的关系式为S=﹣（x ﹣）2+（0＜x ＜10），纵观各选项，只有D 选项图象符合．~ 故选D ．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S 与x 的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．例5（2014•山东菏泽，第8题，3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是考点：动点问题的函数图象．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2（x-1）2，配方得到y=-（x-2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，￥CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=，（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．例6（2014年•福建漳州，第10题，4分）世界文化遗产“华安二宜楼”是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．解答：解：如图所示，当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而减小；当停留拍照时，t增大但s=0；当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．综上所述，只有C符合题意．故选：C．点评：主要考查了动点问题的函数图象．此题首先正确理解题意，然后根据题意把握好函数图象的特点，并且善于分析各图象的变化趋势．。

动点生成函数图象问题

Q，进而找出运动过程中不同情形的临界点 4、计算：进行相关的计算
应用
如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线 BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论正确的有________ ① AE=6cm ② sin∠EBC= 0.8 ③ 当0＜t≤10时，y=t2 ④ 当t=12s时，△PBQ是等腰三角形
衢州市兴华中学
聂秀宾
引例
如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC， CD，DA运动至点A 停止，设点P的运动路程为x ， △ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，求△ABC的面积。
一般思路
1、判断：判断在运动过程中可能出现的不同情形 2、对照：动点图形和函数图象对照着看，抓住两图的对应关系。
应用
在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示，点Q（1，）是函数图象上的最低点，请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题：（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长（2）求∠B的度数（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围
挑战如图1，在矩形 ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm．点P
从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿 D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图2是点P出发x秒后△APD 的面积S1（cm2 ）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．（ 1 ）参照图象，求 a、b、c、d2 的值；（ 3 ）如果点 P、Q分别为半径为 cm，3cm的⊙P、⊙Q的圆心，那么在运动过程中，当 x 为何值时，两圆外切？ (2)当x为何值时，点P，Q相遇？

2020中考专题复习：动点函数图像问题

2020中考专题复习：动点函数图像问题一、解题方法归纳：函数图象问题为广东中考的高频考点,2016年和2018年广东中考数学第10题都曾考到,预计2020年中考还会考到此类题型.其中由几何图形中的某些元素(点或线段或其他图形)的变化,从而导致相应的线段长度、线段比值或图形面积发生变化,进而分析两个变量之间的函数关系, 判断函数图象大致形状是这类题型的一个难点。

解决此类问题的关键是“化动为静,以静探动”即首先把动态问题按运动路径分类，每类形成相对静态问题，然后通过对各类相对静态问题的解决从而探究整体问题的解决。

解决这类题目通常按下面的步骤来进行:(1)根据点运动或图形运动的路径的特点进行分类讨论, 得到自变量的取值范围;(2)在某一个确定的范围内,用含自变量x(或t)的代数式表示出所需的线段长,利用面积公式或三角形相似的性质等,表示出所求图形的面积或线段比,化简得出y(或s)关于x(或t)的关系式;(3)根据关系式,结合自变量的取值范围,判断出函数图象.典型例题讲解：类型一：点动问题例1.如图,一只蚂蚁从O点出发,沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周,当蚂蚁运动的时间为t 时,蚂蚁最终与O点的距离为s,则s关于t的函数图象大致是( )针对性练习：1. (青海)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P 从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A 和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为( )2. (资阳)如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动，设∠APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是( )3. 如图，等边△ABC的边长为2 cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C移动，若△APQ的面积为S(cm2)，则下列最能反映S(cm2)与移动时间t(s)之间函数关系的大致图象是( )4. (泰安)如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )5. 如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH.设小正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则y关于x的函数图象大致是( )类型二：线动，面动问题例2. 如图，正方形ABCD的顶点A(0，22)，B(22，0)，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t，(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分(阴影部分)的面积为S，则函数S与t的图象大致是( )针对性练习：1. (鄂州)如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是( )2. (莆田)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD，设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是( )3. (钦州)如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，tan∠B＝43.点D是边BC上的一个动点(点D与点B不重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF.设△AEF的面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象大致是( )。

二次函数——由动点生成的特殊三角形问题

二次函数——由动点生成的特殊三角形问题在数学中，二次函数是一类特殊的函数，其数学表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a≠0。

二次函数在数学中被广泛运用于解决各种问题，其中包括由动点生成的特殊三角形问题。

这个问题是通过将动点移动而生成的三角形，而且有一些特殊性质。

在本文中，我们将探讨这个问题，并研究其中的数学原理和应用。

首先，让我们考虑一个动点M(x, y)在平面直角坐标系上的移动。

该动点的运动路径取决于二次函数y = ax² + bx + c的具体形式。

我们可以通过设置一些特定的条件，来确定动点的运动路径。

例如，如果我们设置动点在y轴上移动，即x始终为常数，那么我们可以得到一条直线y = bx + c，其中b、c为常数。

这条直线称为二次函数的纵轴截距。

同样地，如果我们设置动点在x轴上移动，即y始终为常数，那么我们可以得到y轴上的一条直线y=c。

这条直线称为二次函数的横轴截距。

通过改变a的值，我们可以改变二次函数的开口方向。

当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线；当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。

有了这些基本概念后，我们可以引出动点生成的特殊三角形问题。

该问题是通过动点在平面上的移动生成一个特殊的三角形。

设有一个二次函数y = ax² + bx + c。

我们将动点M(x, y)沿着该函数的图像移动。

当动点到达二次函数的两个零点时，即该二次函数与x轴的交点时，我们可以得到一个特殊的三角形。

令二次函数与x轴的交点为A(x₁,0)和B(x₂,0)。

那么三角形OAB的面积可以通过计算底边OA和OB之间的面积来得到。

对于这个特殊的三角形，我们可以发现一些有趣的性质。

首先，由于三角形的底边OA和OB的长度是确定的，因此三角形的面积也是确定的。

这意味着不论动点如何移动，三角形的面积是恒定的。

其次，由于底边OA和OB的长度也是确定的，所以这个特殊三角形的形状也是固定的。

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题函数图像中的存在性问题是函数图像是否存在的研究。

在研究函数图像的存在性时，我们通常会考虑到以下几个问题：函数是否有定义域和值域，函数是否连续，函数是否可导等等。

其中，因动点产生的面积问题是函数图像的一个特殊存在性问题。

考虑一个动点在平面上运动，其轨迹为函数的图像，我们可以通过计算该轨迹所围成的面积来研究函数图像的存在性。

首先，让我们考虑一个较简单的函数图像，例如：y=x。

当动点在平面上矩形区域内运动时，其轨迹就可以看作是函数y=x的图像。

我们可以将矩形区域分成无数个小长方形，并计算每个小长方形所围成的面积的和。

当矩形区域趋近于函数图像所占据的面积时，这个和就可以逼近函数图像所围成的面积。

如果这个和存在且为有限值，则可以认为函数图像所围成的面积存在。

然而，对于一些函数图像，存在动点产生的面积问题可能并不存在。

例如：y=1/x。

当动点运动到x=0的位置时，函数图像与x轴相切，不再围成一个有限的面积。

在这种情况下，我们无法通过动点产生的面积来研究函数图像的存在性。

对于一些较为复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能会更加具有挑战性。

例如：y = sin(x)。

当动点在平面上运动时，函数图像会在一些位置出现多个极大值和极小值。

在这种情况下，计算动点产生的面积变得更为复杂，可能需要使用更高级的数学工具来解决。

总之，动点产生的面积问题是函数图像存在性问题的一个特殊情况。

通过计算动点所产生的面积，我们可以研究函数图像的存在性。

然而，对于一些复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能并不存在或更加困难。

因此，在研究函数图像的存在性时，我们需要综合考虑多个因素，并使用合适的数学工具来解决。

几何画板动点与函数问题

第七节动点与函数问题这类问题主要探究动点在移动过程中，相关线段的长或相关图形的面积随点的移动距离的变化而变化的情况，大多可以通过建立直角坐标系，构造出动态的函数图象，结合图象的动态演示过程，来寻找解题思路，明晰各种情况，使问题得到解决。

一、双直线型双动点与函数问题例1如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=3。

动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动。

当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

分析：由条件易知，两个动点运动4秒时，同时到达终点。

可将点M设置为主动点，利用点M的点值构造出点N。

画图时要注意线段的方向，构造动态函数图象时要注意将测量得到的实际长度和面积转化为特定长度和面积。

作法：⑴构造水平线段AO，双击点A标记中心，将点O按固定比43缩放，得到点C；再将点C按—90°旋转，得到点B。

连接OB，AB，得到Rt△OAB。

将点C隐藏。

在OA上构造任意一点M，选定点M，度量其点值；选定点M的点值及线段OB，点击“绘图”菜单中的“在线段上绘制点”，得到点N。

⑵用“线段直尺工具”连接MN，AM，选定点O，M，N，点击“构造”菜单→“构造三角形的内部”，得到△OMN的内部。

度量点A，O的距离，得到线段AO的长；计算AO长与4的商，得到单位长度。

度量点A，M的距离，得到线段AM的长，计算AM长与单位长度的商，得到线段AM的特定长度，修改其标签为x。

选定△OMN的内部，度量其面积，再用面积除以单位长度的平方，得到△OMN的特定面积，修改其标签为y。

⑶建立直角坐标系并标记坐标系。

选定x及y的值，点击“绘图”菜单→“绘制点（x，y）”，在坐标系中得到对应的点D。

中考数学：动点产生的函数关系

中考数学：动点产生的函数关系
今天再分享一道动点产生的函数关系题，观察两个小题，其实是一样的东西，只不过第一小题DE是数值，第二小题DE是字母，所以这一题我们不再分小题来解析，直接一次性来解决S关于x的表达式；
解析：
首先有对称，则可得∠PAE=∠NAE
再结合AN//PM
可得∠PAE=∠NAE=∠PEA
那么PA=PE
要得到四边形面积S，则DE、PA和AD需已知
目前仅有PA未知，所以我们需要找到PA的表达式
根据DE和AD可得AE²=1+x²
而△PAE为等腰，能够涉及到的也就是三线合一了，
所以我们过P做AE的垂线
则
这个时候别忘了，在△PEF或者△PAF中，现在有一条边已知了，如果知道锐角的三角函数，则可表示出PA或PE，
观察∠PEA和∠PAE，可知它们都等于∠AED
那么可以得到∠AED的余弦值
cos∠AED=x/√(1+x²)
所以sin∠PAF=x/√(1+x²)
结合AF可得PA
那么现在DE、PA和AD都已知了
所以S=（DE+PA）·AD/2=（3x²+1）/4x
有了表达式，那么第一小题只需要代入求值即可；
所以这道题完全就是一些图形线段之间的计算，虽说是中考卷倒数第二题，
但难度上谈不上，算不上几何压轴题难度。

动静相宜数形结合——浅析动点生成函数图像问题

与Ｙ的关系，再由Ａ，点的坐标，求出直线ＡＢ的函
・
图１
图２
（１）求Ａ，Ｂ两点的坐标；
・
数关系式，从而求出，Ｙ的值，即可得出Ｐ点的坐标，再设直线ＰＤ的函数关系式为Ｙ＝＋４，求出ｋ的值，即可得出直线ＰＤ的函数关系式．
１
２中考回眸，考法评价
２．１２０１２年无锡卷第２６题
如图１，Ａ，Ｄ分别在轴和Ｙ轴上，ＣＤ∥ 轴，ＢＣｌＹｆ轴，点Ｐ从Ｄ点出发，以１ｃｍ／ｓ的速度，沿五边形ＯＡＢＣＤ的边匀速运动一周．记顺次连接Ｐ，０，
颗“ 常青树 ”，成为每年中考数学中的一道靓丽
风景．
意到后三个，但往往会忽略方向，总是凭 “ 经验 ” 做题，而第（１）问的难度恰好就在方向上．题目中没有
告诉我们动点Ｐ从哪个方向运动，只说“ 点Ｐ从Ｄ
Ｄ三点所围成图形的面积为Ｓｅｍ，点Ｐ运动的时间为ｔｓ．已知ｓ与ｔ之问的函数关系如图２中折线
段ＯＥＦＧＨＩ所示．
ＤＯ＝６一ＡＯ和ＳＡａ ∞：４，即可得出 ÷ＤＤ・ＡＯ＝４，
从而得出ａ的值，再根据图２得出Ａ的坐标，再延长
１内容分析
动点生成函数图象问题通过点、线或面的运动构成一种函数关系，生成一种函数图象，将几何图形与函数图象有机地融合在一起，体现了数形结合的思想．在题型方面有选择题、填空题、解答题等多种题型，在试题难度设计上大多属于中上难度题．动点生成函数图象问题涉及知识面广，设问形式多变、解

浅析动点问题中的函数图像

浅析动点问题中的函数图像摘要：2015年的高考已经结束了，在理科数学全国2卷中，我们看到了有关动点问题中的函数图像类型题。

从历年的高考题中，此类题型时常出现。

此类问题常以动点的运动来研究几何图形的变化规律，通过图像的形式体现出来。

它的特点是：图形中的某个元素(如：点)按照某种规律运动，在运动过程中，引起某个其他元素的变化，从而构造出函数所对应的图像变化，并通过信息技术验证相应的结果。

关键词：动点问题；函数图像；信息技术我们看到，有关动点问题中的函数图像类型题，通常在选择题中出现。

解答此类题型，常用方法有两种：定性法和定量法。

下面，笔者将列举几道近年来的高考题，说明一下这两种方法。

同时，我们也可以借助信息技术来验证结果，从而说明信息技术在数学中的应用。

答案A与D，当p点与C点重合时, x=.经计算，此时PA+PB=。

当p点与Q点(CD的中点)重合时，x=.经计算，此时PA+PB=。

由此我们知道。

故选A。

验证：通过数学软件——几何画板的应用，具体实践如下：1画出矩形ABCD，做出点P,连接PA,PB。

2计算PA+PB：当点P与点C 重合时，PA+PB=3.21；当点P与CD中点重合时，PA+PB=2.84，由此对照确定答案A。

例2. (2014 全国1)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为( )解法分析：同理，上述两法也适用于此题。

定性法：当时，过点M作MQ垂直于OP.由OP=1，得OM=cosx,PM=sinx.所以，有即 ,故f(x)的最大值为;当时，因为P点的运动具有对称性，所以点M到OP的距离也具有对称性，关于直线x=对称，此时，当x=,f()=0。

综上，选D。

特值法：当P与点A重合时，x=0,得到y=0；当OP与OA的夹角，x=时,M到OP的距离最大。

由OP=1知，OM=，则点M到OP的距离为<1；所以，排除答案A，B;当OP与OA垂直时，x=,此时O点与M点重合，那么，点M到OP的距离仍为0，这样就可以排除答案C。

专题02 动点问题的函数图象(解析版)

专题02动点问题的函数图象【考点1】随时间变化的函数关系【例1】（2018•东城区二模）有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃Oe 的直径，且AB CD⊥．入口K位于¶AD中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为x，与入口K的距离为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是()A．A O D→→→→→D．O D B C→→→C．D O C→→B．C A O B【分析】采用排除法解题，注意由圆的对称性，D O A-路线呈现对称性，图象应用对称特征．--、B C【解析】解：按选项A中路线，图象应呈现对称性，故A错误；按选项C，距离K最近点应靠近D，故C错误；选项D中路线，B到C段图象应呈现对称性，故D排除．故选：B．【点拨】本题是动点函数图象问题，解答时注意动点到达临界点前后图象的变化趋势．【变式1-1】（2017•顺义区二模）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，30∠=︒，4OABAB=米．当木杆的上端A 沿墙壁NO下滑时，木杆的底端B也随之沿着地面上的射线OM方向滑动．设木杆的顶端A匀速下滑到点O停止，则木杆的中点P到射线OM的距离y（米)与下滑的时间x（秒)之间的函数图象大致是( )A．B．C．D．【分析】作PQ OB⊥，根据三角函数求得OA的长，从而得出其中位线PQ的最大值，再由OA长度与下滑时间满足一次函数关系即可得出答案．【解析】解：如图，过点P作PQ OB⊥于点Q，//∴，PQ OAQ为AB中点，PPQ ∴为AOB ∆的中位线，即12PQ OA =， 30OAB ∠=︒Q ，4AB =，cos 4OA AB OAB ∴=∠==则OP =，当点A 匀速向下滑动时，OA 的长度随时间x 的变化满足一次函数关系，由于12PQ OA =，PQ ∴的长度与下滑时间满足一次函数关系，且PQ B 选项，故选：B ．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据点A 下滑是匀速得出一次函数关系及由中位线得出PQ 长度的最大值是解题的关键．【考点2】线段间的变量关系【例2】（2019•顺义区一模）如图，点A 、C 、E 、F 在直线l 上，且2AC =，1EF =，四边形ABCD ，EFGH ，EFNM 均为正方形，将正方形ABCD 沿直线l 向右平移，若起始位置为点C 与点E 重合，终止位置为点A 与点F 重合．设点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于矩形MNGH 内部的长度为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题．【解析】解：由题意可得，点C 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而增大，函数解析式为2sin 45x y =⨯=︒，函数图象是一条线段，当点D 从点H 运动到点G 的过程中，y 随x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段，当点A 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而减小，函数图象是一条线段，故选：A ．【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-1】（2017•朝阳区一模）如图1，在ABC ∆中，AB BC =，AC m =，D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点P 为AC 边上的一个动点，连接PD ，PB ，PE ．设AP x =，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是( )A ．PDB ．PBC ．PED ．PC【分析】观察图2，确定x 为何值取得最小值即可一一判断．【解析】解：A 错误，观察图2可知PD 在4m x =取得最小值． B 、错误．观察图2可知PB 在2m x =取得最小值． C 、正确．观察图2可知PE 在34m x =取得最小值． D 、错误．观察图2可知PC 在x m =取得最小值为0．故选：C ．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．【考点3】周长的变化【例3】（2017•东城区二模）如图，点E为菱形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF，设AF x=，BEF∆的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的大致图象是()A．B．C．D．【分析】先根据正方形的对称性找到y的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低点x的值的大小>可判断正确的图形．AM MC()【解析】解：如图，连接DE与AC交于点M．则当点F运动到点M处时，三角形BEF∆的周长y最小，且AM MC>．通过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：故选：B．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象．解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．【变式3-1】（2017•平谷区二模）如图，正方形ABCD中，动点P的运动路线为AB BC，动点Q的运动路线为对角线BD，点P，Q以同样的速度分别从A，B两点同时出发匀速前进，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止．设点P的运动路程为x，PQ的长为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为()A．B．C．D．【分析】分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别判定即可．【解析】解：P点在AB上运动时，y先变小再增大；点P在BC上运动时，y逐渐增大；故选：B．【变式3-2】（2017•石景山区二模）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y 与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是()A ．20B ．24C ．48D ．60【分析】根据点P 的移动规律，当OP BC ⊥时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．【解析】解：如图2所示，当OP BC ⊥时，4BP CP ==，3OP =，所以26AB OP ==，28BC BP ==，所以矩形ABCD 的面积6848=⨯=．故选：C ．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出4BP CP ==，3OP =．【考点4】面积的变化【例4】（2019•东城区二模）如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为()s ，PAB ∆的面积为2()y cm ．表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为( )A B ．52 C ．2 D ．【分析】由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC ，则对角线BD 为P在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，即可求解．【解析】解：由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC =，则对角线BD 为= 当点P 在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，由图2知，当x =y a =，即12a = 解得：52a =，故选：B ．【点拨】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．【变式4-1】（2018•大兴区一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点P 在矩形的边上沿B C D A →→→运动．设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．【解析】解：根据题意和图形可知：点P 按B C D A →→→的顺序在边长为1的正方形边上运动，APB ∆的面积分为3段；当点P 在BC 上移动时，底边不变高逐渐变大，故面积逐渐变大；当点P 在CD 上移动时，底边不变，高不变，故面积不变；当点P 在AD 上时，高不变，底边变小，故面积越来越小直到0为止．故选：B ．【点拨】考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图象，图象需分段讨论．1．（2018•顺义区二模）已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从A 出发，沿AD 边以1/cm s 的速度运动，动点Q 从B 出发，沿BC ，CD 边以2/cm s 的速度运动，点P ，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x （秒)，BPQ 的面积为2()y cm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，Q 点分别在BC 、CD 上运动时，形成不同的三角形，分别用x 表示即可．【解析】解：（1）当02x 剟时，2BQ x =14242y x x =⨯⨯=当24x 剟时，如下图2111(44)4(4)(82)4(24)28222y x x x x x x =-+⨯-⨯---⨯⨯-=-++由上可知故选：B ．2．（2018•朝阳一模）如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90A ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上一动点（点P 与点A 不重合），以AP 为边作正方形APDE ，设AP x =，正方形APDE 与ABC ∆重合部分（阴影部分）的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】如图1，当点D 落在BC 上，利用BPD ∆为等腰直角三角形得到3x =，所以当03x <…时，2y x =，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ，表示出26DF x =-，所以221(26)2DFG APDE y S S x x ∆=-=-⋅-正方形，然后利用所得的解析式对各选项进行判断．【解析】解：如图1，当点D 落在BC 上，ABC ∆Q 为等腰直角三角形，四边形APDE 为正方形， BPD ∴∆为等腰直角三角形，PB PD x ∴==， 26x ∴=，解得3x =，当03x <…时，2APDE y S x ==正方形，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ，易得BPF ∆和DGF ∆都是等腰直角三角形，6PF PB x ∴==-，(6)26DF x x x ∴=--=-，22221(26)1218(6)182DFG APDE y S S x x x x x ∆∴=-=-⋅-=-+-=--+正方形，综上所述，22(03)(6)18(36)x x y x x ⎧<=⎨--+<⎩……．故选：C ．3．（2018•东城一模）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A 为入口，F ，G 为出口，其中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB CG EF ==；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且¶BC，¶CD ，¶DE 所对的圆心角均为90︒．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10/m s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离()y m 与时间()x s 的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是( )A ．甲车在立交桥上共行驶8sB ．从F 口出比从G 口出多行驶40mC ．甲车从F 口出，乙车从G 口出D ．立交桥总长为150m【分析】根据题意、结合图象问题可得．【解析】解：由图象可知，两车通过¶BC，¶CD ，¶DE 弧时每段所用时间均为2s ，通过直行道AB ，CG ，EF 时，每段用时为3s ．因此，甲车所用时间为3238s ++=，故A 正确；根据两车运行路线，从F 口驶出比从G 口多走¶CD，¶DE 弧长之和，用时为4s ，则走40m ，故B 正确；根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G 口驶出，故C 错误；根据题意立交桥总长为(3233)10150m ⨯+⨯⨯=，过D 正确；故选：C ．4．（2018•海淀一模）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y ．定义(,)x y 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线1x =，3y =将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )A ．点A 的横坐标有可能大于3B ．矩形1是正方形时，点A 位于区域②C ．当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D ．当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【分析】A 、根据反比例函数k 一定，并根据图形得：当1x =时，3y <，得3k xy =<，因为y 是矩形周长的一半，即y x >，可判断点A 的横坐标不可能大于3；B 、根据正方形边长相等得：2y x =，得点A 是直线2y x =与双曲线的交点，画图，如图2，交点A 在区域③，可作判断；C 、先表示矩形面积22()S x y x xy x k x =-=-=-，当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D 、当点A 位于区域①，得1x <，另一边为：2y x ->，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：1x >，3y >，即另一边0y x ->，可作判断．【解析】解：设点(,)A x y ， A 、设反比例函数解析式为：(0)ky k x=≠，由图形可知：当1x =时，3y <， 3k xy ∴=<， y x >Q ，3x ∴<，即点A 的横坐标不可能大于3，故选项A 不正确；B 、当矩形1为正方形时，边长为x ，2y x =，则点A 是直线2y x =与双曲线的交点，如图2，交点A 在区域③，故选项B 不正确；C 、当一边为x ，则另一边为y x -，22()S x y x xy x k x =-=-=-， Q 当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C 不正确；D 、当点A 位于区域①时，Q 点(,)A x y ，1x ∴<，3y >，即另一边为：2y x ->，矩形2落在区域④中，1x >，3y >，即另一边0y x ->，∴当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确；故选：D ．5．（2018•延庆县一模）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A ，B 两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒)，其中0180t 剟，到A 边距离为y （米)，图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y 与t 的对应关系．下面有四个推断：①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次；其中正确的是( ) A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④【分析】利用图象信息，一一判断即可；【解析】解：①错误．小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度； ②正确．小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③错误，小明游75米时小林游了50米； ④正确．小明与小林共相遇5次；故选：D ．6．（2018•通州一模）如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当3t 时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④【分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断34t 剟图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【解答】解：由图象可知，机器人距离点1A 个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t 在34-之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB 或OF 上，则当3t =时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确；所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误．故选：C ．7．（2017•东城一模）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边ADE ∆和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A ．A O D →→B ．E AC →→C ．A ED →→D ．E A B →→【分析】根据各个选项中的路线进行分析，看哪条路线符号图2的函数图象即可解答本题．【解析】解：由题意可得，当经过的路线是A O D →→时，从A O →，y 随x 的增大先减小后增大且图象对称，从O D →，y 随x 的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A 符号要求；当经过的路线是E A C →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B 不符号要求；当经过的路线是A E D →→时，从A E →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于于刚开始的值，故选项C 不符号要求；当经过的路线是E A B →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D 不符号要求；故选：A ．8．（2017•房山区一模）如图1，已知点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，6AB =，8BC =，动点M 从点E 出发，沿E F G H E →→→→匀速运动，设点M 运动的路程x ，点M 到矩形的某一个顶点的距离为y ，如果表示y 关于x 函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【分析】由图2得出始点E 到顶点的距离为3，只有顶点A ，B 满足，又由开始时先增大，得出只有顶点B 满足．【解析】解：由图2得出始点E 到顶点的距离为3， 6AB =Q ，∴只有顶点A ，B 满足，又Q 沿E F G H E →→→→匀速运动开始时先增大，∴只有顶点B 满足，故选：B ．9．（2018秋•朝阳期末）如图，在ABC∆中，AB AC=，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且12MN BC=，MD BC⊥交AB于点D，NE BC⊥交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM x=，BMD∆的面积减去CNE∆的面积为y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是()A．B．C．D．【分析】设：12a BC=，B Cα∠=∠=，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用BMD CNES S S∆∆=-，即可求解．【解析】解：过点A作AH BC⊥，交BC于点H，则12BH HC BC==，设12a BC=，B Cα∠=∠=，则MN a=，2CN BC MN x a a x a x=--=--=-，tan tan DM BM B x α==g ，tan tan AH BH B a α==g ，tan ()tan EN CN C a x α==-g ，21tan tan ()(2)tan 222BMD CNEa a S S S BM DM CN EN x a a x ααα∆∆=-=-=-=-g g g g ，其中，tan a αg 、2tan 2a α均为常数，故上述函数为一次函数，故选：A ．10．（2017秋•海淀区期末）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点 B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿O e 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB =．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点DD ．在4.84秒时，两人的距离正好等于O e 的半径【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解析】解：A 、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B 、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C 距离相等，故本选项不符合题意；C 、当小红运动到点D 的时候，小兰还没有经过了点D ，故本选项不符合题意； D 、当小红运动到点O 的时候，两人的距离正好等于O e 的半径，此时9.684.842t ==，故本选项正确；故选：D．。

中考选择压轴题：动点问题的函数图像解题技巧.doc

中考选择压轴题：动点问题的函数图像解题技巧【常规解法】【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE 的面积的变化趋势．解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE 的面积为0；当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，当x=2时有最大面积为4，当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，当x=6时，有最大面积为8，当点P带DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x 增大而减小，最小面积为0；故选：C．【点击本质】解：由题意知，点P运动轨迹AE+AD+CD=10，故排除B。

当2x6时，P在AD边上运动，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，故排除A、D。

故正确选项为C。

例题2【常规解法】【分析】根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1-x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+（1-x）2，进而可求出函数解析式，求出答案．解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1-x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1-x）2即y=x2+（1-x）2．y=2x2-2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=1/2∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选：B．【点击本质】解：x0，故排除A。

由题意知，EFGH面积随着AE=x增加，先变小，再变大，故排除C。

另一方面，由于y表示EFGH面积，我们知道，面积是二维变量，它应为边长的二次函数，于是y与x应为抛物线图像，故正确选项为B。

小结通过以上例题．可以得出解决这类问题的一般步骤：第一步：弄清题意，分析函数自变量的取值范围及分段；第二步：分析各段上的函数的变化趋势；第三步：确定函数的解析式的形式，根据函数的性质选出正确答案。